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![算术平方根(2)[上学期]--华师大版](https://img.taocdn.com/s1/m/2f91c2bcb0717fd5360cdc88.png)
平方与平方根的计算无题计算平方与平方根是数学中常见的运算，其涉及到数字的平方和平方根的求解。
平方是指数字乘以自身的结果，如2的平方为4，记作2²=4。
而平方根则是指一个数字的平方等于给定的数，如4的平方根为2，记作√4=2。
以下将介绍平方和平方根的计算方法及应用。
一、平方的计算方法平方是将一个数字乘以自身得到的结果。
在计算平方时，可通过直接计算或使用计算器来求解。
下面通过几个例子来演示平方的计算方法：1. 例如，计算3的平方，即3²：解：3²=3 × 3=9。
2. 当数字是负数时，平方的结果也为正数，例如：(-2)²=4。
3. 分数的平方可通过将分子和分母分别进行平方再简化得到。
例如：(4/5)²= (4²)/(5²)= 16/25。
二、平方根的计算方法平方根是一个数字，它的平方等于给定的数。
平方根的计算可通过手算或使用计算器来完成。
下面通过几个例子演示平方根的计算方法：1. 例如，计算16的平方根，即√16：解：√16=4，因为4²=16。
2. 当数字不能完全平方时，平方根为无理数，需通过近似值进行计算。
例如：√2≈1.414。
3. 分数的平方根可通过分子和分母分别求平方根再简化得到。
例如：√(25/36)=√25/√36=5/6。
三、平方与平方根的应用领域1. 几何学中，平方和平方根广泛应用于计算图形的面积和长度。
例如，正方形的边长为a，则它的面积为a²。
而正方形的对角线长度则是边长的平方根的两倍，即2√a。
2. 物理学中，平方可用于计算速度、加速度等物理量的平方。
例如，速度的平方表示物体的动能。
3. 工程学中，平方和平方根可应用于计算电阻、电压、功率等电子元件的数值。
4. 统计学中，平方和平方根常用于计算标准差和方差等统计指标。
小结平方与平方根是数学中常用的运算，可通过直接计算或使用计算器来求解。
第1讲 平方根（一）（一）无理数【自主“学”习】1. 有理数都可以写成 的形式.2. 和 统称为有理数.3. 小数分为 、 和 . 【自主研“究”】1．现实生活中是否确实存在不是有理数的数,如果有，请举出一些例子.2．设正方形的边长为a,它的面积为2. （1）a 满足什么条件？（2）a 可能是整数吗？为什么？若不是整数，你能否确定a 的范围？a 可能是分数吗？为什么？1. 3.1415926是（ ）A ．有理数B ．无限小数C ．无限循环小数D ．以上都不正确 2.面积为6的长方形，长是宽的3倍，则宽为（ ）A ．整数B ．分数C ．有理数D ．以上都不对例1下列各数 1010010001.2310281010010001.214.323，，，，，，，，--ππ （相邻两个1之间0的个数逐次加1）中， 错误！未找到引用源。
（1）有理数集合：{ …} （2）整数集合： { …} （3）无理数集合：{ …}（4）非负数集合：{（二）平方根一、【情境导入】1、要剪一个面积为25cm 2的正方形纸板，纸板的边长应是多少？2、将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，再拼成一个新正方形，新正方形的边长是多少？这两个问题的共同点是：已知平方结果的值，求底数的值，也就是进行平方运算的逆运算：开平方。
三、【知识精要】 14．算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
规定0的算术平方根是0，即00=15．平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 就叫做a 的平方根，记为“a ±”，读作“正负根号a ”。
规定0的平方根是0，即00±= 16．根据算术平方根的意义，你认为a 要满足什么条件？17．填空：因为422=，所以2叫4的 ；表示为 。
18．因为932=，所以3叫9的 ；表示为 。
平方根表（二）一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造。
2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。
3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。
4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。
二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。
2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。
三、教学过程上节课，我们学习了查平方根表，下面做一个练习：查表求、的值解：（1）。
（2）。
第（2）小题中被开方数四舍五入得到14.60，所以只查14.6的算术平方根就可以了。
通过上一节课，我们现在对于1至100之间的数均可在平方根表中查到它的算术平方根是多少，同学们自然就会想到，那么小于1或大于100的所有正数的算术平方根是否也能通过查这个表来求得呢？显然直接查是不可能的，肯定要将范围内与范围外的数建立起，扩大为原来的10倍，再看从4到400、从400到40000均有相同的规律。
再看从4扩大10000倍得到40000，它们的算术平方根相应地从2扩大100倍得到200；反过来，我们再看当被开方数从4缩小为原来的得到0.04时，它的算术平方根由2缩小为原来的而得0.2；由上面的变化规律我们不难得出下列结论：如果正数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位。
小数点向右移便是扩大，向左移便是缩小。
这里值得强调的是被开方数的小数点必须是向右或向左两位两位地移动，其算术平方根的小数点则相应地向右或向左一位一位地移动。
我们看到这一重要的规律有什么用呢？请同学想一想，刚才我们所要解决的问题，看看能否得到一些启发？（由学生来谈想法，最好能让学生举出实际例子。
2.2.2 平方根教材分析《平方根》是北师版初中数学八年级上第二章第二节。
在此之前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识，这为过渡到本节起着铺垫作用。
本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。
本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。
因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
学生分析八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析平方根性质的基础。
教学目标【知识与技能】掌握平方根与算术平方根的概念，能及时通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。
【过程与方法】通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。
【情感、态度与价值观】鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。
教学重、难点本节课的重点是平方根与算术平方根的概念和性质。
因为平方根与算术平方根的概念和性质始终贯穿本章，正确理解这两个概念是学好本章的关键。
本节课的难点是平方根与算术平方根的区别与联系。
因为平方根与算术平方根这两个概念容易引起学生理解上的偏差和意义上的混淆，如处理不当将直接影响以后的学习。
说教法与学法【教法】学生在七年级学过乘方运算，但由于间隔时间长，他们会有不同程度的遗忘，为了实现新旧教学方式和学习方式的接轨，我利用情景教学激发学生的兴趣，利用对比教学让学生掌握概念的本质，完善学生的知识结构。
【学法】学生才是学习的主人，教师本节的学法我定为小组交流合作法和自主学习法。
平方根（2）
班级姓名学号
教学目标：了解数的算术平方根的概念．会用根号表示一个数的算术平方根。
能运用算术平方根解决实际问题。
重难点：根据一个数的算术平方根的意义解决有关问题。
教学过程：
一、情境创计
面积为15m2正方形的长是多少？等腰直角三角形的一直角长为5cm，则
二、课前预习与导学
正数a有2个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根。
例如，4的平方根是±2，2叫做4的算术平方根
•4的平方根是±2，2叫做4的算术平方根，记作2 =2，
•2的平方根是“±2”，2叫做2的算术平方根，
•0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，
•即±0 =0
三、新课
交流：
1． 16的算术平方根的平方根是什么？
5的算术平方根是什么？
2、 0的算术平方根是什么？
0的算术平方根有几个？
3、 -2、-5、-6有算术平方根吗？为什么？
例1：求下列各数的算术平方根：
•（1）625；（2）0.81；
•（3）6；（4）（-2）²
• (5) (6)
•
应用：
例2：“欲穷千里目，更上一层楼”。
说的是登的高看得远。
若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d≈hR，其中R是地球半径（通常取6400km），小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度为20M，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该小船离小丽有多远？
探究
正数a的算术平方根的取值范围？
（由学生交流讨论）
四、课堂巩固练习：
1、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是。
•2、若x²=16，则5-x的算术平方根是。
•3、若4a+1的平方根是±5，则a²的算术平方根是。
•4、的平方根等于，算术平方根等于。
• 5、若|a-9|+ =0，则的平方根是。
•6、，算术平方根是。
•7、已知△ABC的三边分别是a、b、c，
•且 b²-4b+4=0，求c的取值范围。
• 8、已知y= + +3，求xy的算术平方根。
•9、在△ABC中，∠C=90°.
•(1)如果AC=5,BC=12,求AB;
•(2)如果AC=2,BC=1,求AB;
•(3)如果AB=25,BC=24,求AC;
•(4)如果AC=5,AB=12,求BC;
五、小结与思考：平方根与算术平方根的区别与联系
六、作业布置：补充习题2.3 2 4 5
【课后作业】
班级姓名学号
一、精心选一选
1．下列说法正确的是（）．
A．81
±B．2是4的平方根
-的平方根是9
C．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
D．任何一个非负数的平方根都不大于这个数
2．144的平方根是（）．
A．12
±
-D．12±B．12 C12
3．下列各数没有平方根的是（）．
A．18 B．3)3
(-D．11.1
(-C．2)1
4．如果5
x有意义，则x可以取的最小整数为（）．
3-
A．0 B．1 C．2 D．3 5．2)3
(-的值是（）．
A．3
-D．9 -B．3 C．9
6．下列说法不正确的是（）．
A．2
-B．3的指数是2±表示两个数：2或2
C．在数轴上表示正数的两个平方根的两个点，总是关于原点对称D．正数的两个平方根的积为负数
二、细心填一填
1．36的倒数的算术平方根的相反数是________．
2．2
a的最小值是________，此时a的取值是________．
+
1+
3．1
x的算术平方根是2，x＝________．
2+
4．已知正数a和b，有下列命题：
（1）若2
+b
a，则ab≤1
=
3
（2）若3
a，则ab≤
+b
=
2
（3）若6=+b a ，则ab ≤3
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤________．
5．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________．
6．一个正数的两个平方根的和是________．
7．一个正数的两个平方根的商是________．
8．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________．
9．当2=x 时，=-+2)1(3
3x x ________．
10．一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________．
三、计算：
1．
914414449⋅ 2．494 3．8116- 4．41613+-
四、求下列各式中x 的值．
1．0252=-x 2．81)1(42=+x 3．6442=x 4．09822
=-x
五、下列各式中，哪些有意义？
（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-
六、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根．
七、如图所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形DFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长；EF 的长；△AEH 的面积．。
