学闵行中学高一级第二学期期中考试数学试卷(附详细答案)

闵行中学2010学年第二学期高一年级

数学学科期中考试卷

2010.4

一． 填空题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 与2009︒终边相同的最小正角是_________________.

2. 集合,25k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭

，{}N απαπ=-<<，

则M N =∩ _____ .（用列举法表示）

3. 若角α

的终边经过点(1,A -,则cos α= ． 4. 已知4

sin 5

α=

，且α是第二象限角，那么tan α的值为_________________. 5. 已知半径为2cm 的扇形的圆心角为

23

π，则该扇形的面积为___________2

cm . 6.

倍，则这条弦所对的圆心角为________________弧度.

7. 函数21x

y =+(0x ≥)的反函数是_________________________. 8. 化简cos45cos15cos45cos75

__________________.

9. 若tan 2α=，则

22sin cos sin cos αα

αα

=-________________.

10. 已知角α和β满足2

20π

βα≤

<<，且()()ββαββαsin sin 21cos cos 2++-=+，

则α和β满足的关系式是:_______________________. 11. 如图，有一高楼OP ，楼前有遮挡物体，故不能直接测

量到高楼的水平距离，现采用如下方法测量高楼高度：

A 为观测地点，'','A A 是两个高度已知且在同一条垂

直地面的垂线上的两个观测点. 给出如下观测数据：

① 观测点高度 'AA a = '''A A b = ② 观测仰角 α=∠''O PA β=∠''''O PA

试用上述数据表示高楼高度：OP =___________________________.

O ''O 'A 'O

A 'A

12. 如果()sin sin sin αβαβ+=+，则α和β满足的关系式可以是:__________________.

① ()2k k Z απ=∈ ② ()24

R k k Z π

αβπ∈=+

∈且

③ ()2k k Z αβπ+=∈ ④ ()k k Z αβπ+=∈

二． 选择题（共4小题，每小题4分，共16分）

13． “3

π

α=

”是“tan α=------------------------------------------------------------（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充分且必要条件

D ．既非充分又非必要条件

14． 下列命题中真命题的个数是 ------------------------------------------------------------------（ ）

①

{}{}36090,18090,k k Z k k Z ααββ=⋅︒±︒∈==⋅︒+︒∈；

② ()cos cos παα-=-；

③ 若4α=，则sin 0cos 0αα><且.

A ．0 个

B ．1 个

C ． 2 个

D ． 3 个

15．在ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则此三角形一定是------------------------（ ）

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．形状不确定

16．若2log 1sin x α=+()R α∈，则函数243

12x x y -+⎛⎫

=

⎪⎝⎭

的值域为-------------------------（ ）

A ．(]0,2

B ． 11,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ． 1,28⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

三． 简答题（共5小题，共计74分，每小题要有必要的解题过程）

17．（本题满分10分）已知是第一象限的角，且4

sin

5，求sin 2和tan 2

的值.

18．（本题满分14分） （1）已知tan 34πθ⎛⎫

+=

⎪⎝⎭

，求θθ2cos 22sin -.

（2

19．（本题满分12分）

已知锐角ABC ∆，三条边c b a ,,的对角分别是C B A ,,，其中8a =，3

B π

=

，ABC S ∆=

（1）求边长c ； （2）求ABC ∆中最小内角的正弦值.

20．（本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）

设()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()12

log f x x =，

（1） 当0

（3） 是否存在正实数()0,1a ∈，使得当[]1,1x a a ∈-+时，函数()f x 的最大值是

2141log 2a ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭.

21． （本题满分20分,第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）

已知ABC ∆，三条边c b a ,,的对角分别是C B A ,,，其周长为p ，面积为S . 根据下列条件，研究以下各问题： （1） 若

tan tan tan a b c

A B C

==

，判断ABC ∆的形状； （2） 若2

2

sin sin 1A B +=，且最大边12=c ，求其面积S 的最大值； （3） 若57a ≤≤，78c ≤≤，且2

cos 9

C =

，求其面积S 的最大值. 对问题（3）有同学给出如下解法： 11

sin 7812822

S ac B =

≤⨯⨯⨯= 当7,8,90a c B ===︒时，面积S 有最大值28.

上述解法是否正确，请说明理由；若正确试求b

a

的取值范围，若不正确给出求面积S 最大值的正确解法.