第六章反比例函数1.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.2.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值.5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.6.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.7.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.8.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式y=(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.9.能使用反比例函数解决简单实际问题.1.经历从具体问题情境中抽象出反比例函数概念的过程,进一步感受函数的模型思想.2.探索反比例函数的性质,体会研究函数的一般性方法.1.在反比例函数学习的过程中,进一步发展勇于探索与合作交流的精神.2.根据图象和表达式理解反比例函数的性质,体会数形结合的思想和分类的思想.函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念,是研究现实世界变化规律的重要数学模型,学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间关系”和“一次函数”等内容,对函数已经有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数及其性质,可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,这对后续学习会产生积极影响.本章通过具体情境的分析,概括出反比例函数的表达式,明确反比例函数的概念,通过例题和学生列举的实例可以丰富对反比例函数的认识,理解反比例函数的意义.结合实例经历列表、描点、连线等活动,理解函数的三种表示方法,逐步明确研究函数的一般要求,反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象,为学生探索反比例函数的一般形式,反比例函数的性质提供了思维活动的空间,通过对反比例函数y=(k>0和k<0)图象的全面观察和比较,发现反比例函数自身的规律,结合语言表述,在相互交流中发展从图象中获取信息的能力,同时可以使学生更牢固地掌握反比例函数的性质.本章最后讨论了反比例函数的某些应用,包括在实际中的应用和在数学内部的应用.在这些数学活动中,注意用函数观点来处理问题或对问题的解决用函数做出某种解释,用以加深对函数的认识,并突出知识之间的内在联系.【重点】反比例函数图象及其性质;利用反比例函数解决简单的生活问题.【难点】根据具体情况对变量的情况进行讨论.1.注重反比例函数概念的形成过程和对概念意义的理解.在反比例函数概念形成的过程中,应充分利用学生已有的生活经验和背景知识,创设丰富的现实情境,引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律,并逐步加深理解,教学中要提供直观背景,其主要作用是:①展现产生反比例函数的现实原型,提供可概括性材料,引导学生主动参与并感受数学概念的形成过程;②在获得反比例函数概念之后,现实原型将成为概念的某种直观解释或实际意义,通过举例、说理、讨论等活动,力求使学生体验如何用数学的眼光来审视某些实际现象,思考其数学意义.2.要注意和函数的有关知识的衔接,与一次函数进行类比,掌握函数的三种表示法,深化对函数概念的理解.反比例函数概念的形成,是从感性认识到理性认识转化的过程,概念一旦建立后,即已摆脱其原型成为数学对象(有经验支撑的数学知识).要通过对函数图象的观察和分析,掌握反比例函数的主要性质,体验“用数学眼光来研究某些数学现象”,深化函数模型思想,进一步发展我们的抽象思维能力.另外,反比例函数y=(k≠0)具有丰富的数学含义,应转向对其数学意义的理解,从而可以进行更深层次的研究.1反比例函数经历抽象反比例函数概念的过程,体会反比例函数的含义,理解反比例函数的概念.从现实情境和已有知识经验出发,经历抽象反比例函数的过程,让学生建立初步的符号感,发展学生的抽象思维能力.1.通过创设情境,让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程,养成用数学思维方式解决实际问题的习惯.2.在小组讨论中充分体会合作交流的重要性,培养合作意识,提高合作技能.【重点】反比例函数的概念及应用.【难点】根据已知条件确定反比例函数的表达式.【教师准备】求函数值的统计表.【学生准备】复习函数的相关知识.导入一:我们知道,导体中的电流I,与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时,(1)你能用含有R的代数式表示I吗?(2)当R越来越大时,I(3)变量I是R的函数吗?为什么?[设计意图]从学生身边的生活和已有知识出发,创设情境,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象反比例函数概念做铺垫.导入二:我们在前面学过一次函数和正比例函数,知道一次函数的表达式为y=kx+b,其中k,b为常数且k≠0,正比例函数的表达式为y=kx,其中k为不为零的常数,但是在现实生活中,并不是只有这两种类型的函数.这就是本节课我们要揭开的奥秘.1.复习旧知在某变化过程中有两个变量x,y,若给定其中一个变量x的值,y都有唯一确定的值与它相对应,则称y是x的函数.例如购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式是y=0.4n,这是一个正比例函数.等腰三角形的顶角的度数y度与底角的度数x度的关系为y=180-2x,y是x 的一次函数.2.问题探索问题1【课件1】导入一中的电流、电阻、电压之间是否存在函数关系?解:(1)I=.(2)从左到右依次填:11,5.5,3.67,2.75,2.2.利用表格数据提供的信息,并参照对关系式的分析,可以得出当电阻R越来越大时,电流I越来越小;当R越来越小时,I越来越大.(3)当给定一个R的值时,相应地确定了一个I值,因此I是R的函数.[知识拓展]舞台灯光可以在很短时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天,或由黑夜变成白昼,这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光较暗;反之,当电流I较大时,灯光较亮.问题2【课件2】京沪高速铁路全长约为1318 km,列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京,列车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?【师生活动】先让学生进行小组合作交流,再在全班范围内进行问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看成函数,了解所讨论的函数的表示形式.【归纳规律】上述实例所列出的等式,它们是函数吗?是正比例函数,还是一次函数?如果不是一次函数,你能总结自变量和因变量之间的函数关系吗?一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.从y=(k≠0)中可知x作为分母,所以x不能为零.[设计意图]让学生自己举例、总结规律、抽象概念,便于学生理解和掌握反比例函数的概念,同时培养和提高学生的总结归纳能力和抽象思维能力.【做一做】1.一个矩形的面积为20 cm2,相邻的两条边长为x cm和y cm,那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?2.某村有耕地346.2 hm2,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(hm2/人)是全村人口数n的函数吗?为什么?3.y是x(1)(2)根据函数表达式完成上表.[设计意图]这一过程目的是强化学生对反比例函数概念的理解,体会反比例函数的实际意义,并且让学生感受自己探索发现的知识与实际生活有着密切的联系并能解决实际问题,从而获得学习的成就感,激发学生的学习兴趣.[知识拓展](1)反比例函数的一般式:y=(k为常数,k≠0).反比例函数的变形式:①y=kx-1(x的指数为-1,k为常数,k≠0);②xy=k(k为常数,k≠0).(2)取值范围:①比例系数k≠0;②自变量x是一切非0实数;③函数值y也是一切非0实数.(3)判断方法:要判断一个函数是不是反比例函数,就看它能不能写成y=(k为常数,k≠0)的形式.下列各式表示y是x的反比例函数的是()A.x+y=-2B.y=C.y=D.y=-2x+1〔解析〕 A.y=-2-x,是一次函数;B.y=,本选项符合题意;C.y=,y是x的正比例函数;D.y=-2x+1,y是x的一次函数.故选B.1.一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式,那么y 是x的,这个函数中自变量x的取值范围是.答案:y=(k为常数,k≠0)反比例函数x≠02.下列函数解析式中,y是x的反比例函数的是()A.y=B.y=C.y=D.y=答案:B3.反比例函数y=(k≠0),若x=时,y=4,则k等于()A. B.4 C.4 D.答案:C4.当a=时,函数y=(a+2)是反比例函数.答案:21反比例函数1.复习旧知2.问题探索形如:y=(k为常数,k≠0)的函数叫y是x反比例函数①k≠0②x≠0→x>0或x<0③y≠0→y>0或y<0【做一做】一、教材作业【必做题】教材第150页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第151页习题5.1的4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列函数中,y是x的反比例函数的是()A.y=-2xB.y=-C.y=-D.y=-2.下列函数关系是反比例函数的是()A.三角形的底边为一常数,则三角形的面积y与三角形的高x间的函数关系B.力F为一常数,则力所做的功W与物体在力的方向上移动的距离s间的函数关系C.矩形的面积为一常数,则矩形的长y与宽x间的函数关系D.当圆锥的底面积为一常数,圆锥的体积V与圆锥的高h的函数关系3.已知函数y=是反比例函数,则m的值为()A.-3B.0C.-3或0D.24.已知y与x成正比例,z与y成反比例,那么z与x之间的关系是()A.成正比例B.成反比例C.有可能成正比例,也有可能成反比例D.无法确定5.已知y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值,由表知函数表达式为.根据函数表达式完成下表6.若y与x2+1成反比例则函数的解析式为.【能力提升】7.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=2时,y=-4;当x=-1时,y=5,求出y 与x的函数关系式.【拓展探究】8.某工作人员打算利用不锈钢制作一个面积为0.8 m2的矩形模具,设矩形模具的长为y m,宽为x m.(1)写出y与x的函数关系式,并说明y与x之间是什么函数关系;(2)若使模具长比宽多1.6 m,已知每米这种不锈钢条的价格为6元,制作这个模具共花多少钱?【答案与解析】1.C(解析:A,D是正比例函数,B中k未说明不等于0,只有C符合定义.)2.C3.B(解析:由1-m2-3m=1,求出m=-3或0,又m+3≠0,∴m=0.)4.B5.y=-62-216.y=7.解:∵y1与x成正比例,∴设y1=k1x,∵y2与x成反比例,∴设y2=,∴y=k1x+.由x=2时,y=-4;x=-1时,y=5得解得k1=-1,k2=-4,∴y=-x-.8.解:(1)分析题意,由矩形的长y与宽x之间的关系,可得yx=0.8,即y=,∴y是x的反比例函数. (2)由题意知y=x+1.6,∴x+1.6=,整理得x2+1.6x-0.8=0,解得x1=0.4,x2=-2(不符合题意,舍去).当x=0.4时,x+1.6=2.∴(0.4+2)×2×6=28.8(元).∴制作这个模具共花28.8元.1.反比例函数知识是对函数学习的进一步深化,与先前的知识有着密切的联系.所有本课时的教学过程中,对以往函数知识的简要回顾取得了良好效果,不但建立起新旧知识的联系,也为继续深入研究反比例函数奠定了知识基础和方法基础.2.把生活中存在的反比例函数关系的事例进行导入和教学,拉近了生活和数学学习的距离,帮助学生感受到反比例函数的知识就在我们的生活之中,就在我们的身边.在反比例函数的关系式y=(k为常数,k≠0)中,忽略了强调k≠0而出错.反比例函数是生活中一种重要的函数关系式,在教学的过程中,要给学生更多的时间去发现和总结生活中这样的关系式.对于综合性比较强的课堂练习,要给予学生及时的提示和点拨.随堂练习(教材第150页)1.解:(1)是反比例函数,k=5. (2)是反比例函数,k=0.4. (3)不是反比例函数(是正比例函数). (4)是反比例函数,k=2.2.解:例如:①已知一个矩形的面积为20 cm2,它的长y(cm)是宽x(cm)的反比例函数;表达式为y=.②一本书30万字,读完它所用时间t是每天所读字数a(万字)的反比例函数;表达式为t=.(答案不唯一)习题6.1(教材第150页)1.解:根据题意,y与x之间满足y=,y是x的反比例函数.2.解:根据题意,y与x之间满足y=,y是x的函数,y是x的反比例函数.3.解:(1)(3)(4)是.理由如下:(1)xy=-,即y=,满足反比例函数的概念,其中k=-.(2)y=5-x,即y=-x+5,是一次函数. (3)y=满足反比例函数的概念,其中k=-. (4)y=(a≠0)满足反比例函数的概念,其中k=2a.4.解:表中依次填:5,,,,,,,.(1)变量R是变量I的函数. (2)R=,∴R不是I的反比例函数.已知反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).(1)求这个函数的解析式;(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由.〔解析〕(1)把点A的坐标代入已知函数解析式,通过解方程即可求得k的值.(2)只要把点B,C的坐标分别代入函数解析式,适合函数关系式的点在该函数图象上.解:∵反比例函数y=的图象经过点A(2,3),∴3=,解得k=6,∴函数的解析式为y=.(2)把B,C两点的坐标代入y=,有6≠-6,2=,∴点B不在该函数图象上,点C在该函数图象上.[解题策略]确定反比例函数的表达式,常见类型有:已知图象上一点的坐标、已知一对函数值、已知一个图形的面积求表达式,另外还有根据实际问题求表达式.已知函数y=(m2-2m).(1)m为何值时,y是x的反比例函数?(2)m为何值时,y是x的正比例函数?解:(1)根据反比例函数的定义可知m2+m-1=-1,且m2-2m≠0,解得m=-1.所以m=-1时函数y=(m2-2m)是反比例函数.(2)当m2+m-1=1,且m2-2m≠0,即m=1或-2时,此函数是正比例函数.已知变量x,y满足(x-2y)2=(x+2y)2+10,则x,y是否成反比例关系?如果不是,请说明理由;如果是,请求出比例系数.〔解析〕直接去括号,进而合并同类项得出y与x的函数关系式即可.解:∵(x-2y)2=(x+2y)2+10,∴x2-4xy+4y2=x2+4xy+4y2+10,整理得出8xy=-10,∴y=,∴x,y成反比例关系,比例系数为-.2反比例函数的图象与性质1.能画出反比例函数的图象,进一步掌握画函数图象的步骤.2.理解和掌握反比例函数的性质.通过画图象,进一步培养“描点法”画图的能力和方法,并提高对函数图象的分析能力,同时尝试用类比和由特殊到一般的思维方法.归纳反比例函数的一些性质特征,由图象的画法和分析,体验数学活动中的探索性和创造性、感受双曲线的数学美,并通过图象的直观教学激发学习兴趣.【重点】反比例函数的图象画法和性质.【难点】借助于图象理解反比例函数的性质.第课时进一步熟悉画函数图象的主要步骤,会画反比例函数的图象,能够利用反比例函数的图象解决一些实际问题.激励学生在探索反比例函数的图象的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数的图象特点.调动学生的主观能动性, 积极参与教学活动,促使学生在学习中培养良好的情感态度与合作、交流的意识,提高观察、分析、解决问题的能力.【重点】反比例函数的图象.【难点】对反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析.【教师准备】几个反比例函数图象的投影图片、教材相关图片的投影等.【学生准备】直尺,坐标纸;复习函数图象的作图过程与方法.导入一:【提出问题】还记得一次函数y=kx+b(k≠0)的图象吗?那么反比例函数的图象又会是什么样子呢?你想知道吗?导入二:?画反比例函数y=的图象1.列表描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.连线:用光滑的曲线顺次连接各点,即可得到函数y=的图象(如下图).强调:列表时,自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于描点.2.如果在列表时所选取的数值不同,那么图象的形状是否相同?连线时能否连成折线?为什么必须用光滑的曲线连接各点?曲线的发展趋势如何?3.让学生尝试作出反比例函数y=的图象.学生采用相同的步骤和方法完成作图,教师巡视,指导一段时间后,请学生在黑板上画出图象.4.观察函数y=和y=的图象,它们有什么相同点和不同点?图象分别都是由两支曲线组成的,它们都不与坐标轴相交,两个函数图象都是轴对称图形,它们都有两条对称轴.5.反比例函数的性质.再让学生观察反比例函数图象,提问:(1)当k>0时,双曲线的两个分支各在哪个象限?(2)k<0时,双曲线的两个分支各在哪个象限?【总结】(1)当k>0时,双曲线的两个分支分别分布在第一、三象限内;当k<0时,双曲线的两个分支分别分布在第二、四象限内.(2)两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴.[知识拓展]反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点对称,由于反比例函数中自变量x≠0,函数值y≠0,因此它们的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不会与坐标轴相交.反比例函数y=(k≠0)的图象是由两支曲线(双曲线)组成的,当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.1.反比例函数y=的图象位于()A.第一、三象限内B.第一、二象限内C.第二、四象限内D.第三、四象限内答案:A2.反比例函数y=(k≠0)的图象,当k>0时,两支曲线分别位于第、象限内;当k<0时,两支曲线分别位于第、象限内.答案:一三二四3.反比例函数y=(k≠0)的图象是两支,又称,这两个分支不连续,都无限接近但永远不会到达和.答案:关于原点对称的曲线双曲线x轴y轴4.若A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线y=上的两点,且x1>x2>0,则y1y2.(填“>”“=”或“<”)答案:<第1课时函数y=(k≠0)的图象①k>0②k<0一、教材作业【必做题】教材第153页随堂练习.【选做题】教材第154页习题6.2的3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图,是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是()A.y=x2B.y=C.y=-D.y=x2.反比例函数y=(k<0)的大致图象是()3.已知点(1,1)在反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象上,则这个反比例函数的大致图象是()4.如图,已知A是反比例函数y=(k≠0)的图象上一点,AB⊥x轴于点B,且ΔABO的面积是3,则k的值是()A.3B.-3C.6D.-65.如图,点A在双曲线y=上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,C,D在x轴上,若四边形ABCD 为矩形,则它的面积为.【能力提升】6.关于反比例函数y=的图象,下列说法正确的是()A.必经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限内C.两个分支关于x轴对称D.两个分支关于原点成中心对称7.函数y=2x与函数y=在同一坐标系中的大致图象是下图中的()【拓展探究】8.如图所示,A,C是函数y=的图象上任意两点,过A作y轴的垂线,垂足为B,记RtΔAOB的面积为S1;过C作y轴的垂线,垂足为D,记RtΔOCD的面积为S2,则()A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.不能确定9.在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(k≠0)的图象与y=的图象关于x轴对称,且反比例函数y=的图象经过A(1,n),试确定n的值.【答案与解析】1.B2.B3.C(解析:∵点(1,1)在反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象上,∴k=1×1=1,∴此反比例函数的图象在第一、三象限内,∴C正确.故选C.)4.C(解析:根据题意可知SΔAOB==3,又因为反比例函数的图象位于第一象限,k>0,则k=6.故选C.)5.2(解析:过A点作AE⊥y轴,垂足为E,∵点A在双曲线y=上,∴四边形AEOD的面积为1,∵点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,∴四边形BEOC的面积为3,∴四边形ABCD的面积为3-1=2.)6.D7.B8.C(解析:由反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义可以推出RtΔAOB与RtΔOCD的面积都等于.故选C.)9.解:因为反比例函数y=的图象与y=的图象关于x轴对称,则k=-3,故反比例函数y=的解析式为y=.因为点A(1,n)在反比例函数y=的图象上,所以n=-3.研究反比例函数的方法同先前研究函数的方法有着高度的一致,在这里利用学生对以往研究函数的方法,比较顺利地解决了画反比例函数图象、分析反比例函数特点的探索活动,取得了事半功倍的效果.在学生画反比例函数图象的时候,老师担心学生画不准、画不好,过早地把一些提示话语传递给了学生,没有等学生可能出现问题之后,显得对学生放手不够,过多地干预了学生的自主探究活动.应该重点强调反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的值对函数图象的影响,并帮助学生通过规律性的总结,熟记反比例函数图象的特点.调整部分难度过大、综合性过强的训练试题,设置习题的目的以巩固知识、强化记忆为主.随堂练习(教材第153页)解:图(1)是反比例函数y=的图象.因为图象的两分支位于第二、四象限.习题6.2(教材第154页)1.解:列表如下:描点、连线,如图所示.2.解:不对,因为反比例函数中的x,y的值都不能为0,所以反比例函数的图象不可能与坐标轴相交.3.解:列表:描点、连线,和点(2,1).若ab<0,则正比例函数y=ax和反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的()〔解析〕∵ab<0,∴a,b为异号,分两种情况:(1)当a>0,b<0时,正比例函数y=ax 的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象限内,无此选项;(2)当a<0,b>0时,正比例函数的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限内,选项C符合.故选C.某地资源总量Q一定,该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是()〔解析〕∵由题意,得Q= xn,∴x= .∵Q为一定值,∴x是n的反比例函数,其图象为双曲线.又∵x>0,n>0,∴图象在第一象限内.故选B.第课时掌握反比例函数y=(k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.激励学生在探索反比例函数图象性质的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数图象的性质.调动学生的主观能动性, 积极参与教学活动,促使学生在学习中培养良好的情感态度与合作、交流的意识,提高观察、分析、抽象的能力.【重点】反比例函数y=(k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.【难点】反比例函数y=(k≠0)随着k值的不同在不同象限的增减性.【教师准备】反比例函数基本图象的投影图片.【学生准备】复习上一课时学过的k值不同,反比例函数y=(k≠0)图象所处的不同象限.导入一:在反比例函数y=(k≠0)中,k的值对函数的性质有什么影响呢?导入二:【提出问题】1.作函数图象的一般步骤是什么?2.一次函数图象是什么?它具有怎样的性质?3.我们知道反比例函数的图象是双曲线,那么它又具有怎样的性质呢?带着这个疑问我们一起走入今天的课堂.【师生活动】教师提出问题,找学生回答,并引出本节新课的内容.[设计意图]通过创设问题情境,引导学生复习一次函数的性质,激发学生参与课堂学习的热情,为学习反比例函数的性质奠定基础.出示教材图6-4.【问题思考】(1)三个函数解析式的k值有什么特点?(2)当x取值-2,-4,-6时,y值是怎样变化的?(3)在第一象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的?(4)在第三象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的?【小结】当k>0时,函数图象位于第一、三象限内,在每个象限内,y的值随x值的增大而减小.出示教材图6-5.【问题思考】(1)三个函数解析式的k值有什么特点?(2)当x取-6,-4,-2时,y值是怎样变化的?(3)在第二、四象限内,随着x值的增大,y的值是怎样变化的?【小结】当k<0时,函数图象位于第二、四象限内,在每个象限内,y的值随着x值的增大而增大.二、想一想在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2,S1与S2有什么关系?为什么?【总结】S1=S2.原因如下:在反比例函数y=(k≠0)的图象上任取一点,过这一点分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴所围成的矩形面积始终等于常量.[知识拓展]判断一个点是否在反比例函数y=(k≠0)的图象上,关键是看这个点的横、纵坐标的乘积是否等于k.如果等于k,那么说明点在其图象上,反之就不在图象上.例如,由点(2,5)在反比例函数y=的图象上,得k=2×5=10.因为(-5)×(-2)=10,所以点(-5,-2)在反比例函数y=的图象上.反比例函数y=(k≠0):k>0⇔双曲线在第一、三象限内⇔在每个象限内,y随着x增大而减小;k<0⇔双曲线在第二、四象限内⇔在每个象限内,y随着x增大而增大.1.已知反比例函数y=(k≠0)的图象位于第二、四象限内,函数图象上有两点A(2,y1),B(5,y2),则y1与y2的大小关系为()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.无法确定解析:由反比例函数y=(k≠0)的图象位于第二、四象限内,可知k<0,且在每一象限内,y 随着x增大而增大.因为2>5>0,所以y1>y2.故选A.2.对于反比例函数y=,下列说法正确的是()A.图象经过点(1,-3)B.图象位于第二、四象限内C.x>0时,y随着x增大而增大D.x<0时,y随着x增大而减小解析:由反比例函数y=,得xy=3,所以该图象经过点(1,3),故A选项错误;因为k>0,所以图象位于第一、三象限内,故B选项错误;当k>0,x>0时,y随着x增大而减小,故C选项错误;当k>0,x<0时,y随着x增大而减小,故D选项正确.故选D.3.当a≠0时,函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是图中的()。
