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第二节 传递函数讲解

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§2-3传递函数（transferfunction）：§；2-3传递函数（传递函数）

§2-3传递函数（transferfunction）：§；2-3传递函数（传递函数）

§2－3 传递函数 (transfer function)传递函数的概念与定义线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。

这里，“初始条件为零”有两方面意思：一指输入作用是t ＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在0t -=时的值为零。

二指输入信号作用于系统之前系统时静止的，即0t -=，系统的输出量及各阶导数为零。

许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。

一、传递函数的概念与定义图2-5 传递函数图示()()()s U s U s G r c =二、关于传递函数的几点说明 传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关； 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章。

）传递函数是关于复变量s 的有理真分式，它的分子，分母的阶次是n ≥m ： 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。

这将在第四章根轨迹中详述。

传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为()()()G s C s R s =。

当()()r t t δ=时，()1R s =，所以：()()[]()()[]()[]s G L s R s G L s C L t c 111---===传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。

三、传递函数举例说明例1. 如图所示的RLC 无源网络，图中电感为L （亨利），电阻为R （欧姆），电容为C （法），试求输入电压u i (t)与输出电压u o (t)之间的传递函数。

图2-6 RLC 无源网络解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。

无源网络通常有电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。

传递函数解读

传递函数解读

5、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储 的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性 质，其运动方程为
2 d d 2 T x (t ) 2 T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) , 0< <1 2 0 dt dt
传递函数：
X 0 ( s) K G( s) 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
定，可有可无
传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换；
传递函数的零点和极点
传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写 为如下形式：
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) K* a 0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量； K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量
与输入量之比。
比例环节的传递函数为
Xo (s) G(s) K Xi (s)
例
求图示一齿轮传动副的传递函数, 分别为输入轴及 输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间 隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状态).
因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
z1ni (t) z2n o (t)
z1Ni (s) z2 No (s)
其拉换变换：
No (s) z1 G(s) K Ni (s) z 2
2、惯性环节
凡运动方程为一节微分方程：
d T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
此环节与比例环节相比，不能立即复现输 出，而需要一定的时间。说此环节具有 “惯性”，这是因为其中含有储能元件K与 阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。

传递函数的基本性质

传递函数的基本性质

有:
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
(2.20)
当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.20)亦可写为:
Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
(2.21)
当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换Uc(s)与输入 函数拉氏变换Ur(s)之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
于或等于分母的阶数n （m≤n） ，且所有系数均为实数。
2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 将式(2.23)中分子多项式及分母多 项式因式分解后，写为如 下形式：
G(s) C(s) k (s z1)(s z2 ) (s zm ) R(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
• 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统 在复数域的数学模型----传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研 究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。传递函数 是经典控制理论中最基本、最重要的概念
一、传递函数的概念
图2-4所示的RC电路中电
容的端电压Uc (t) 。根据克
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的 初始电压Uc (0)，得:
RCsUc (s) RCuc (0) Uc (s) Ur (s) (2.17)
式中 Uc(s)—— 输出电Uc(t)的拉氏变换； Ur(s)—— 输入电压Ur(t)的拉氏变换。
由上式求出Uc(s)的表达式:
Uc (s)
图中零点用“o”表示，极点 用“X ”表示。

第二章(3)传递函数.ppt

第二章(3)传递函数.ppt

m
cxo kxo kxi csX o (s) kXo (s) kXi (s) c
传递函数 G(s) Xo(s) k 1 Xi (s) cs k Ts 1
略去质量的阻尼—弹簧系统
例 如图所示无源滤波电路，
已知
u i
(t)
i(t)R
1 C
u 0 (t)
1 C
i(t)dt
i(t)dt
g(t) L1[G(s)]
传递函数具有以下特点：
(1) 传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的 固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入 量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。
(2) 传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不同 的物理系统可能具有相同的传积分运算转化为简单的代数运算；
特点：延时环节也是线性环节，有输入信号后，在τ时间内没有任何输出， 到τ时间后，不失真地反映输入。 延时常作为一个特性，与其他环节共同存在，而不单独存在。
延迟环节与惯性环节的区别：
✓ 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；
✓ 延迟环节从输入开始之初，在0 ~ 时间内, 没有输出，但t=之后，输出等于之前时刻 的 输入。
电路中常遇到下述的近似微分环节。
图 永磁式直流测速机
2
近似微分环节
G(s) kTs Ts1
已知
u
i
(t)
1 C
i(t)dt i(t)R
u 0 (t) i(t)R
例7 图2-14所示的无源微分电路
ui (t)
C
u0 (t)
其中，
拉氏变换得
U
i
(s)
1 Cs

第二章 2-2传递函数

第二章 2-2传递函数
6
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。

2传递函数

2传递函数
2.4 线性系统的传递函数
一、 微分方程的求解
微分方程的求解分为时域法和变换域法，它们之间的关系可以用 下图来表示：
通过Laplace变换，将微分方程的解简化为关于S的代数方程，并得到 输出的Laplace变换C(s)后，反变换得到微分方程的时间域解C(t)。
二、传递函数
传递函数表征了系统的动态性能，而且可以用来研究系统结构和参数 变化对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的数学模型之一。
零极点分布图如右图：
4．零点、极点、传递系数与系统响应的关系
系统的传递函数的几乎全部信息都集中表现为它的零点、极点和传
以下面传递函数为例加以说明：
G( s) (5s 10) 2.5( s 2) (2s3 10s 2 18s 10) ( s 1)( s 2 j )( s 2 j )
1．传递函数定义 在线性系统中，当初始条件为零时，系统输出的Laplace变换象 函数与输入的Laplace变换象函数之比，称为系统的传递函数。
系统的初始条件为零。 传递函数与系统的初始状态无关
传递函数只能适用于线性系统，另外对输入输出进行Laplace变换时，
设线性时不变系统的微分方程为：
d nc d n-1c dc d mr d m-1r dr a0 n a1 n-1 an-1 an c b0 m b1 m-1 bm-1 bm r dt dt dt dt dt dt
●系统的零输入响应是由系统的初始条件激励出来的响应，它与输 入信号无关，其运动模态同样由G(s)的极点决定，属于自由运动模态。 传递函数G(s)极点的形式，决定了系统自由运动模态的具体形式：
★当极点为互不相等的实数根 p1，p2， ，pn 时，自由运动的模态形 式为： pn t p1t p2t

传递函数 (2)

传递函数 (2)

传递函数传递函数是控制系统分析和设计中非常重要的概念。

它是描述系统输入和输出之间关系的数学模型。

通过传递函数，我们可以研究和预测系统对输入信号的响应，并进行系统性能分析和调节设计。

1. 什么是传递函数？传递函数是一种数学模型，用来表示线性时不变系统(LTI系统)的输入与输出之间的关系。

在控制系统中，LTI系统是指其输出仅与输入和时间有关，且具有线性性质和时不变性质。

传递函数可以通过系统输入和输出的拉普拉斯变换来表达。

一个典型的传递函数通常采用以下形式表示：$$G(s) = \\frac{Y(s)}{U(s)}$$其中，G(G)为传递函数，G(G)为系统的输出，G(G)为系统的输入。

G为复变量，表示连续时间域。

2. 传递函数的性质传递函数具有以下性质：线性性质：传递函数具有线性性质，即系统对输入信号的响应与输入信号的线性组合成正比。

这意味着系统对两个输入信号的响应等于这两个信号分别进行响应后的输出信号之和。

时不变性质：传递函数具有时不变性质，即系统对于同一输入信号，在不同时间下的响应是相同的。

时不变性是控制系统设计和分析中很重要的一个性质，它保证了系统的稳定性和可靠性。

因果性质：传递函数具有因果性质，即系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号值，而不依赖于未来的输入信号值。

因果性质保证了系统的实时性和可靠性。

稳定性：传递函数可以用来描述系统的稳定性。

一个稳定的系统在有限时间范围内对有限输入产生有界输出。

通过分析传递函数的特征根（系统极点），我们可以确定系统的稳定性。

3. 传递函数的应用传递函数在控制系统分析和设计中有着广泛的应用。

它可以帮助我们理解和预测系统的行为，并进行系统性能分析和调节设计。

3.1. 系统响应分析通过传递函数，我们可以分析系统对不同类型的输入信号的响应。

例如，当输入信号为阶跃信号时，传递函数可以告诉我们系统的转换函数、稳态误差和响应时间等重要参数。

当输入信号为正弦信号时，传递函数可以帮助我们分析系统的频率响应和振荡特性。

传递函数

传递函数
R ＋ i (t ) u r (t ) C u c (t ) L ＋
－
－
第二节 传递函数
解：由图列微分方程
2u R L d du ur 解： 输入量： c c + u = u 得 c r RC dt + LC + 2 dt i uc 输出量： C 拉氏变换： ur
+ uc -
RCsUc(s) + LCs2 Uc (s) + U c (s ) 根据基尔霍夫定律：
第二节 传递函数
式中： K 0 — 为放大系数 传递函数性质： S = S1 , S2 · · · , Sn — 传递函数的极点 （ 4 ）传递函数是在零初始条件下定义的， （1）传递函数只适用于线性定常系统。 S = 不能反映非零初始条件下系统的运 Z1 , Z2 · · · , Zm — 传递函数的零点 动过程。 传递函数分母多项式就是相应微分方 （2）传递函数取决于系统的结构和参数， 将传递函数中的分子与分母多项式分 程的特征多项式，传递函数的极点就是微 与外施信号的大小和形式无关。 别用因式连乘的形式来表示，即 分方程的特征根。 （3）传递函数一般为复变量S 的有理分式。 K0 (s –z1 ) (s –z2 ) · · · (s – z m ) G (s ) = (s – s 1 ) ( s – s 2 பைடு நூலகம் · · · (s –sn ) n>=m
根据传递函数的定义有
C ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s ) R( s) an s n an1s n1 a1s a0
第二节 传递函数
二、传递函数的求取 传递函数以般有三种方法求取：1、直接计算法， 2、阻抗法，3、动态结构图法（下一节在讲）。 1、2两种一起讲 例题1、求图示RLC电路的传递函数。

传递函数h(s)

传递函数h(s)

传递函数h(s)传递函数h(s)是控制工程中的一个重要概念，它能够描述一个系统的输入、输出之间的关系，被广泛地用于系统建模和控制器设计中。

本文将从以下几个方面介绍传递函数h(s)的相关内容。

1. 什么是传递函数h(s)传递函数h(s)被定义为系统输出与输入之间的比值，其中s表示Laplace变换的复频域变量。

传递函数h(s)通常表示成以下形式：h(s)=Y(s)/X(s)其中Y(s)为系统输出的Laplace变换，X(s)为系统输入的Laplace变换。

2. 传递函数h(s)的意义传递函数h(s)描述了输入信号在系统内传输和处理的方式，可以揭示系统的动态特性和频率响应特性。

其中，系统的动态特性包括零极点分布、系统阶数等内容；频率响应特性包括截止频率、幅频特性、相频特性等内容。

3. 传递函数h(s)的性质传递函数h(s)具有多种性质，下面介绍其中几个重要性质。

（1）时域特性：传递函数h(s)的逆Laplace变换可以得到系统的时间响应，这个响应包括系统的稳态响应和暂态响应。

（2）稳定性：当传递函数h(s)的所有极点均位于s平面的左半面时，系统是稳定的，否则系统是不稳定的。

（3）因果性：当传递函数h(s)是因果传递函数时，系统是因果的，否则系统是非因果的。

4. 传递函数h(s)的应用传递函数h(s)广泛应用于系统建模和控制器设计中。

在系统建模中，传递函数h(s)可以用来描述电路、机械系统、化学反应等各种物理系统；在控制器设计中，传递函数h(s)可以用来设计比例-积分-微分（PID）控制器、模型预测控制器、自适应控制器等各种控制器。

总之，传递函数h(s)是控制工程中不可或缺的重要概念，理解和掌握传递函数h(s)的相关内容，对于系统建模和控制器设计具有重大的意义。

2.2 传递函数讲解

2.2 传递函数讲解

Td R1c
二阶微分环节
微分方程：
y(t)

T
2
d 2r(t) dt 2

2 T
dr(t) dt

r(t)
传递函数： G(s) T 2s2 2 Ts 1
这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微
分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点 分别为实数和一对共轭复数。
六、 延迟环节
1 s
特点：
1、输出和输入相同仅延迟时间τ；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械 传动、气动传动。
原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速 度有限。输出响应要延迟一段时间τ才能产生。
典型环节
比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节
振荡环节 延迟环节
传递函数
G(s) K
pj
j 1
2.2.2 典型环节及其传递函数
一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压 的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的 动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一 般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典 型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。
可得出输出量的拉氏变换
Y (s) G(s)R(s)
当传递函数和输入已知时，通过拉氏反变换可求出时域表达式 y(t)。
三、传递函数的性质
传递函数只适用于零初始条件下的线性定常系统。它与线性常系
数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。
传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学
输出随时间无限的增加

自动控制原理课件：2_2传递函数

自动控制原理课件：2_2传递函数

零状态响应 零输入响应
RC电路对阶跃输入的响应
Uc(0)
•传递函数
例2-1中建立了RC网络的微分方程
RC
duc dt
+ uc
=
ur
如果取零初始状态，有：
RCsU c (s) + Uc (s) = U r (s)
U c (s)
=
1 RCs
+
U 1
r
(s)
传递函数：零初始条件下，系统输出和输入的拉 氏变换之比。
二、传递函数的定义
设线性定常系统的微分方程为：
a0
dn dt n
c(t)
+
a1
d n−1 dt n−1
c(t)
+L+
an−1
d dt
c(t)
+
anc(t)
=
b0
dm dt m
r(t) +
b1
d m−1 dt m−1
r(t) + Lbm−1
d dt
r(t) +
bm r (t )
c(t)为被控量，r(t)为输入量
a0、a1Lan , b0、b1Lbm 为常系数，
由系统结构、参数决定。
设初始值为零，进行拉氏变换：
[a0sn + a1sn−1 +L+ an ]C(s) = [b0sm + b1sm−1 +L+ bm]R(s)
则系统传递函数：
G(s)
=
C(s) R(s)
=
b0 s m a0 s n
+ b1sm−1 + a1sn−1
传递函数经因式分解，可变成如下形

第二章传递函数讲解ppt课件

第二章传递函数讲解ppt课件
求指数函数e-αt的象函数。
解:
F(s)L[eat] eaet stdt e(sa)tdt
0
0
1 e(sa)t
s
|0s1
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
常用函数的拉氏变换对照表
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
②定义： 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0 ②t>0时，f(t)连续，则f(t)的拉氏变换存在，表示为：
F(s)L [f(t)]f(t)esdt 0
拉氏变换函数 （象函数）
原函数
衰减因子，其中： τ-时间常数 s = -σ+jω为拉氏变换算
子，其中： σ-衰减系数 ω-振荡频率（rad/s）
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
建立控制系统数学模型的方法:
分析法(又称机理建模法)是根据组成系统各元 件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如： 电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定 理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构 以知的常用此法。
④ 性质： 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
1) 叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等 于两个函数拉氏变换的代数和。 即
L[f1(t)f2(t) ]L[f1(t) ]L[f2(t) ]
dt

自动控制理论第二章传递函数_图文

自动控制理论第二章传递函数_图文
解：前向通路4条 独立回路3个
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。

《控制工程》传递函数解析PPT课件

《控制工程》传递函数解析PPT课件

m
.. y(t
)
+
c
. y(t
)
+
k
y
(t)
f (t)
令初始条件均为零， 方程两边取拉氏变换
k c
第二章 传递函数
y(t)
m
f(t)
(ms 2 + cs + k ) Y( s ) F( s )
∴
G(s)
Y(s) F(s)
ms2
1 + cs
+
k
-
图2-5
例2 ： L、R、C 电路系统
R
L
u1(t)
则该系统的传递函数 G(S) 为：
G(s)
X0 (s) Xi (s)
bms m ansn
+ bm1s m1 + L + s0 + an1s n1 + L + a0
-
（n≥m）
传递函数方框图：
Xi(s) G（s）
X0(s)
第二章 传递函数
求传递函数的步骤：
1）列出系统微分方程（非线性方程需线性化） 2）假设全部初始条件均为零，对微分方程进行拉氏变换
系统综合设计的基础，因此，十分重要。
-
一、定义
第二章 传递函数
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变
换与输入量的拉氏变换之比。
设线性定常系统的微分方程为：
an x(0n)( t) + an1x(0n1)( t) + L + a0 x0( t)
bm x(i m)( t)
第二章 传递函数
第二章 传递函数
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L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—象函数。f(t)—原函数
拉氏反变换的定义
将象函数 F(s) 变换成与之相对应 的原函数 f(t) 的过程
? f (t) ? L?1[F(s)] ? 1 ? ? jw F(s)estds
2? j ? ? jw
拉氏变换的性质
线
性
若 有 常 数 k1 ， k2, 函 数
第二节 传递函数
拉氏变换与拉氏变换的定义
拉普拉斯变换
拉氏变换是控制工程中的一个基本数 学方法，其优点是能将时间函数的导 数经拉氏变换后，变成复变量 S的乘积， 将时间表示的微分方程，变成以 S表示 的代数方程。
拉氏变换的定义
设有时间函数 f(t) ，其中，t ? 0 则f(t)的拉氏变换记作：
? L[f (t)] ? F(s) ? ? f (t)e?st dt 0
理
其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)
延迟时间a.
复
数
域
的
位
移
若f(t) 的拉氏变换为 F(s), 对于任一
定
常数 a,有
理
L[e ? at f (t)] ? F(s ? a)
微 分 定
理
设f(t)的拉氏变换为 F(s),
则 L[df (t)] ? L[f ' (t)] ? sF (s) ? f (0? )
G(s) ?
U c (s) U (s)
?
1 R1C1R2C2s 2 ? (R1C1 ?
R2C2
?
R1C2 )s ? 1
传递函数的基本形式 零点、极点表示形式：
? zi (i ? 1, 2, , m)
? p j ( j ? 1, 2, , m)
Kg
?
bm an
传递函数的零点。 传递函数的极点。 传递函数的传递系数。
? 1?t ?.e? st dt ?
0
? e? st dt ? ? 1 e? st
0
s
? 0
?
1 s
2、单位脉冲函数
??t ??
?0 ???
t?0 t?0
? L[ ?(t)] ? ? ?(t)e?st dt ? 1 0
3、单位斜坡函数
u
?t
??
?0 ??t
t?0 t? 0
? ? ? ? L u(t) ?
m
d2y dt 2
?
f
dy ? ky ? dt
F
ms2Y (s) ? fsY (s) ? kY (s) ? F (s)
(ms2 ? fs ? k )Y (s) ? F (s)
Y (s)
1
G(s) ? F (s) ? ms2 ? fs ? k
LC
d 2uc dt 2
?
RC
duc dt
?
uc
?
u
LCs 2U c (s) ? RCsU c (s) ? U c (s) ? U (s)
氏变换为 G(s) ，
? 则有
L
? ?
t 0
f (t
?
?
)g(? )d?
? ?
?
F(s)G(s)
式中，
t
?0
f
(t
?
? )g(?
)d?
?
f
(t)
?
g(t)
称为 f(t) 与g(t) 的卷积。
典型时间函数的拉氏变换
1、单位阶跃函数
1?t
??
?0 ??1
t?0 t?0
? ? L ??1?t ??? ?
dt
其中f(0+)由正向使 t ? 0时的f(t)值。
积 分 定 理
设f(t)的拉氏变换为 F(s),则
? L[ t f (t)dt] ? F(s) ? 1 f (?1) (0 ? )
0
ss
? 其中 f (?1) (0? ) 是 t f (t )dt在t ? 0? 时的 0
值。
初
值
定
设 f(t) 的拉氏变换为 F(s) ，则函
s L[cos wt] ? s 2 ? w 2
传递函数
传递函数的基本定义 ： 线性定常系统的传递函数，定义为零
初始条件下，系统输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比。
传递函数的基本概念
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得
其中：
传递函数
传递函数的主要特点
f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉
性
氏变换为F1(s),F2(s),则有：
质
L[ k1f1(t) ? k2f2 (t)] ? k1F1(s) ? k2F2 (s)
此式可由定义证明。
实
数
域
的
位
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实
移
数a有,
定
L[f (t ? a)] ? e?asF(s)
? 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数，m≤n ，且所具有复变 量函数的所有性质 。
? G(s) 取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度 与大小）无关
? G(s) 虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系 统的物理结构
? 传递函数与微分方程有相通性。只要把系统或元件微分方程中各 阶导数用 S 相应阶次的变量代替，就很容易求得系统或元件的 传递函数。
[sin ? L
wt ] ? ? 1 (e jwt ? e? jwt )e? st dt
0 2j
? ? 1 ? (e? (s? jw)t ? e? (s? jw)t )dt 2j 0
11
1
w
?
( 2j s?
? jw
s?
)? jw
s2 ?
w2
6、余弦函数 coswt
cos wt ? 1 (e jwt ? e ? jwt ) 2
传递函数的基本形式 时间常数表示形式：
理
数f(t) 的初值定理表示为：
f (0? ) ? lim f (t) ? limsF(s)
t? 0?
s? ?
证明技巧：可利用微分定理来进
行证明
终 值 定 理 若f(t)的拉氏变换为 F(s), 则终值
定理表示为：
lim f (t) ? lim sF (s)
t ??
s? 0
卷
积 定
理
设f(t)的拉氏变换为 F(s),g(t) 的拉
? 0
te? stdt
?
?
1 s
??te? st
? 0
?
? 0
e?
st
dt
? ?
?
1 s2
4、指数函数 eat
? ? L[e at ] ? ? eat e ?st dt ? e ? ? (s? a )t ? 1
0
0
s? a
5、正弦函数 sinwt
sin wt ? 1 (e jwt ? e? jwt ) 2j
(LCs 2 ? RCs ? 1)U c (s) ? U (s)
G(s)
?
Uc (s) U (s)
பைடு நூலகம்
?
(LCs 2
1 ? RCs
? 1)
R1C1R2C2
d 2uc d t2
?
(R1C1 ?
R2C2
?
R1C2
)
d uc dt
?
uc
?
u
R1C1R2C2s 2U c (s) ? (R1C1 ? R2C2 ? R1C2 )sU c (s) ? Uc (s) ? U (s)