(完整版)《复变函数》教学大纲

数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲课程编码()课程总学时：54 学分：3一、课程说明1．课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。

本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。

复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。

因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。

复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。

早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。

复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。

复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。

在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。

2．课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。

为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。

（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。

同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。

（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。

3．选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。

参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。

《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。

《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。

《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。

《复变函数》课程简介及教学大纲课程代码：112000091课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。

一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。

本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。

通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。

二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。

第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。

2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。

3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。

基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。

2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。

3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。

4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。

重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。

难点：用复数方法表示平面区域、曲线。

第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。

2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。

3 初等函数。

基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。

《复变函数》教学大纲一、课程性质:学科专业课二、教学的目的要求：目的：通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论与方法，并且培养学生和用它们解决实际问题的能力，为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

要求：1、熟练掌握复变函数的各种表示方法及其运算，理解复变函数的概念，知道复变函数的极限、连续的概念。

2、理解复变函数导数、复变函数解析的概念，熟悉复变函数解析的充要条件，了解调和函数与解析函数的关系，了解初等解析函数的定义及主要性质。

3、理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分，理解柯西（Cauchy）积分原理，掌握Cauchy积分公式与高阶导数公式，知道解析函数无限次可导的性质。

4、理解复变项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法，知道幂级数在收敛圆内的一些基本性质，了解Taylor定理。

三、学分和学制：共计3学分，学制一学期。

四、授课对象：初等教育系小学教育专业理科专科生。

五、教学环节及总学时安排:课程讲授:54学时课堂讨论及其他实践活动:可根据教学内容适当安排六、教学手段与教法建议：以讲授式为主，适当配以多媒体教学等手段，并采取课堂辅导和课下作业相结合的方式以期达更好的效果。

七、考核方式：期末闭卷考试，平时可结合课堂测验和课下作业等多种考核方式八、教学内容：第一章复数与复变函数（12学时）教学要求：1、了解复数定义及其几何意义；2、熟练掌握复数的运算；3、了解复平面点集的几个基本概念；4、了解区域与若尔当曲线；5、理解复变函数；6、理解复变函数的极限与连续。

教学重点：复变函数及其极限与连续教学难点：区域与若尔当曲线教学内容：第一节复数（4学时）一、复数域二、复平面三、复数的模与辐角四、复数的乘幂与方根五、共轭复数六、复数在几何上的应用第二节复平面上的点集（2学时）一、平面点集的几个基本概念二、区域与诺尔当曲线第三节复变函数（2学时）一、复变函数的概念二、复变函数的极限与极限第四节复球面与无穷远点（4学时）一、复球面二、扩充复平面上的几个概念复习参考题：习题1、2；习题7、8；习题10、11；习题17。

复变函数教学大纲课程名称：复变函数课程编码：英文名称：ComplexAnalysis学时：48学分：3适用专业：信息与计算科学课程类别：任选课程性质：学科基础课先修课程：数学分析高等代数空间解析几何教材：复变函数论钟玉泉第三版高等教育出版社一、课程性质与任务复变函数论是一门古老而富有生命力的学科;早在19世纪,Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础;复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广,而且作为一种强有力的工具,它不仅在数学学科众多分支如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…有着广泛应用,而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等,目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域;复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课;开设本课程,主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上,一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助,另一方面,使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力;二、课程教学的基本要求复变函数论作为一门学科,有其自身的特点和研究方法与研究工具,在学习过程中,应注意与微积分理论的比较,从而加深理解,同时也须注意复变函数本身的特点,并掌握它自身所固有的理论和方法,抓住要点,融会贯通;本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用;教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求;在复变函数论的学习过程中,使学生逐步提高数学修养,掌握数学研究的基本思想方法,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高,同时极大的扩展学生的学习思路,使他们了解更多的应用知识,特别是和现代生活息息相关的数学应用知识;三、课程内容及教学要求第一章复数与复变函数教学基本内容：1.复数发展史略；2.复数定义及运算：复数的定义、相等及运算,复数的代数式,复数的模与辐角,共轭复数；3.复平面与复球面：复平面,复数的向量式、三角式与指数式,复数的乘幂与n次方根,无穷远点与复球面；4.复数的应用举例；5.平面点集：邻域,聚点,孤立点,内点,外点,边界点,边界,开集,闭集,有界集,曲线连续曲线,简单曲线,简单闭曲线,光滑曲线,逐段光滑曲线,区域,闭区域,单连通区域,复连通区域,几个重要定理闭矩形套定理,有限覆盖定理,聚点原理,无穷远点的邻域；6.复变函数,极限,连续：复变函数单值函数,多值函数,单叶函数,反函数,无界函数,极限,有界数列,无界数列,几个定理柯西收敛准则等,复变函数的连续性,复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系;重点：1．复数及其运算；2．复平面,复数的模与辐角；3．复平面上的点集,区域；4．无穷远点与扩充复平面；5．复变数函数,极限与连续概念;难点：复数的球面表示及无穷远点的概念的理解;本章节主要教学要求：了解复数定义及其几何意义,熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数、极限与连续;第二章解析函数教学基本内容：1．复变函数的导数定义；2．解析函数的概念及基本性质；3．解析函数的求导公式与求导法则；4．柯西－黎曼条件.条件；5．指数函数；6．多值函数导引：辐角函数；7、对数函数；8．幂函数；9．三角函数;重点：1.解析函数定义；2.解析函数的充分必要条件及柯西－黎曼条件所揭示的解析函数的特征；3．初等函数概念与性质;难点：1．已知解析函数的实部或虚部,求该解析函数、支点;本章节主要教学要求：复变函数的概念,能把复变函数理解为两个复平面集合间的映射,能把一个复变函数看成两个实的二元函数；能精确的叙述复变函数的极限概念,并直观的理解起意义；掌握复变函数的连续性概念和基本性质；理解复变函数可导与解析的概念,弄清这两个概念之间的关系；熟练掌握解析函数的.条件；能运用.条件判定函数的解析性；熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式；熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义、基本性质和简单映射性质,并会运用欧拉公式和复数的指数表示；掌握各初等多值函数的定义和基本性质,了解其多值性;第三章复变函数积分教学基本内容：1．复变函数积分的定义及基本性质；2．单连通区域内的柯西积分定理；3．不定积分概念；4．多连通区域内的柯西积分定理；5．柯西积分公式,高阶导数公式；6．平均值公式,最大模原理；7．柯西不等式,刘维尔定理,代数基本定理的证明,摩勒拉定理; 重点：1．柯西积分定理；2．柯西积分公式；3．高阶导数公式;难点：1．计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分;本章节主要教学要求：掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义,基本性质和计算方法,及其与实函数积分的关系；熟练掌握柯西积分定理,能证明柯西积分定理；理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念；熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式；掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理,并能应用它们做一些较简单的证明题,了解摩勒拉定理;第四章解析函数的幂级数表示法数学基本内容：1．复数项级数、序列,柯西收敛准则；2．复函数项级数,一致收敛及其判别准则,维尔斯特拉斯定理；3．幂级数的收敛圆,收敛半径公式,幂级数在收敛圆内表示解析函数；4．解析函数在一点邻域内展开成泰勒级数,展开式的唯一性、系数公式,初等函数的泰勒展开；5．解析函数零点的孤立性,唯一性定理;重点：1.幂级数的收敛圆及收敛半径的求法；2.将函数在一点展成幂级数的方法；3.解析函数的唯一性定理;难点：1．利用级数乘法将函数在指定点展成泰勒级数;本章节主要教学要求：理解复数项级数的基本概念,掌握一致收敛性的判别法；掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式,理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性；牢记e z,In1+z,sinz,cosz和1+z a的幂级数展开式,并能熟练的运用；掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理;第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点教学基本内容：1．洛朗级数的定理与收敛域,内闭一致收敛性,所定义函数的解析性；2．解析函数洛朗展开式的系数公式、收敛域；3．解析函数的孤立奇点包括无穷远点的分类,三类奇点的特征与性质；4．整函数与亚纯函数的概念;重点：1.将函数展成洛朗级数的方法；2.识别孤立奇点类别的方法；3.解析函数在其孤立奇点的去心邻域内的性质;难点：1.孤立奇点类别的识别；2.将在其孤立奇点展成洛朗级数;本章节主要教学要求：理解洛朗级数的概念,会求出一些简单的洛朗级数的收敛域；能熟练的求出一些较简单函数的洛朗展开式；掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质,了解解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念;第六章留数理论及其应用教学基本内容：1．留数的定义及计算方式,在无穷远点的留数；2．留数定理；3．利用留数定理计算实积分；重点：1.计算留数的方法；2.留数基本定理;难点：1．函数在无穷远点处留数的计算;本章节主要教学要求：理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理,会用留数理论计算积分；知道利用留数定理计算实积分的一般方法,并能计算常见的三种类型的实积分;三、课程学时分配五、课程习题要求每章根据学生学习情况,留有一定数量的思考题供学生课后复习,巩固课堂教学效果,并进行讲评;六、考核方式以期末闭卷考试成绩为主,参考课堂提问、课堂讨论、实验、平时作业及出勤情况等,综合评定给出成绩;七、课程的主要参考书1、复变函数论钟玉泉编高等教育出版社2、复变函数余家荣编人民教育出版社3、复变函数引论N·N·普里瓦洛夫着人民教育出版社。

复变函数教学大纲一、引言复变函数是数学中重要的概念和工具之一，它在多个学科领域中具有广泛的应用。

本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和相关定理，培养学生的复变函数思维和解题能力。

二、基础知识1. 复数的基本概念1.1 复数的定义和表示1.2 复数的运算规则1.3 复数平面2. 复数函数的基本性质2.1 复数函数的定义2.2 复数函数的分类2.3 复数函数的连续性三、解析函数与调和函数1. 解析函数的概念1.1 解析函数的定义1.2 拟解析函数1.3 解析函数的运算性质2. 调和函数的概念与性质2.1 调和函数的定义2.2 调和函数的性质2.3 调和函数的应用案例四、复变函数的微积分1. 复变函数的导数与全纯函数1.1 复变函数的导数定义1.2 全纯函数的性质1.3 Cauchy-Riemann方程2. 积分和级数2.1 线积分的定义2.2 级数收敛性与收敛域2.3 保形映射与调和函数的全纯性五、留数理论与积分计算1. 留数的概念与计算1.1 留数的定义1.2 计算留数的方法1.3 应用案例：圆周积分计算2. 积分计算与柯西公式2.1 柯西公式的概念与应用2.2 柯西积分定理与柯西奇点定理2.3 辐角原理与Rouché定理六、解析函数的应用1. 解析函数在物理学中的应用1.1 电磁场中的解析函数1.2 流体力学中的解析函数1.3 其他物理学领域的应用2. 解析函数在工程学中的应用2.1 线性系统与解析函数2.2 信号处理与解析函数2.3 通信系统与解析函数七、实际案例与综合应用1. 热区变换与应用1.1 极坐标变换1.2 电场中的热区变换2. 综合案例分析2.1 基于复变函数的工程问题求解2.2 基于复变函数的物理问题求解八、教学评估与提升1. 教学评估方式1.1 课堂表现评估1.2 作业和实验评估1.3 考试评估2. 教学内容提升2.1 添加实例和案例分析2.2 引入计算机辅助教学2.3 拓展教材资料和参考书目九、总结通过本次复变函数教学，学生将掌握复数的基本概念和运算规则，理解解析函数和调和函数的性质，学会应用留数理论和积分计算复变函数，了解复变函数在不同学科和领域的应用，并通过综合应用案例提升解题能力和综合分析能力。

《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。

复变函数论主要研究解析函数。

解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。

复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。

保形映照是复变函数几何理论的基本概念。

；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。

3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。

复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。

4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。

5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。

复变函数教学大纲
一、前言
复变函数是数学中非常重要的一个分支，研究和应用广泛。

本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和应用，帮助学生掌握复变函数的理论和解题方法。

二、基本概念和初等函数
1. 复数的定义和运算规则
2. 复变函数的定义和性质
3. 初等函数概念及其在复变函数中的应用
三、解析函数
1. 解析函数的定义和性质
2. 函数的解析性与调和性的关系
3. 基本解析函数的引入和性质
四、级数展开
1. 幂级数的概念和性质
2. 基本初等函数的幂级数展开
3. 常用函数的级数展开
五、留数与留数定理
1. 解析函数的奇点及分类
2. 留数的定义和计算方法
3. 留数定理及其应用
六、辐角原理和主要定理
1. 辐角原理的引入和性质
2. 极大模原理的定义和应用
3. 唯一性定理和边界值问题的解决
七、复变函数的应用
1. 简单电路中的应用
2. 热传导方程中的应用
3. Laplace变换和傅里叶变换中的应用
八、论文写作与参考文献
1. 论文写作的基本要求和格式
2. 如何查找和引用相关文献
3. 导师指导与学术交流
结语
本教学大纲囊括了复变函数的基本理论和重要应用，并配有适当的例题和习题，以帮助学生巩固所学知识。

希望通过本课程的学习，学生能够对复变函数有一个深入的理解，并能够独立解决实际问题。

《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。

已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。

先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。

（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。

（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。

（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。

（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。

二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。

1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。

2、使学生了解区域的概念。

3、使学生了解复球面与无穷远点。

4、使学生理解复变函数概念。

教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。

课程编号：×××课程名称：复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。

通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。

为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。

对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。

本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。

二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。

为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。

2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。

基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。

要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。

）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。

3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。

重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。

要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。

2、熟练掌握初等解析函数的运算。

复变函数课程大纲一、课程简介复变函数是数学分析的重要分支，研究复数域上的函数及其性质。

本课程旨在介绍复变函数的基本理论和应用，使学生对复变函数的复杂性和美妙性有全面的了解。

二、课程目标1. 理解和掌握复数的基本概念和性质。

2. 掌握复变函数的连续性、可微性和解析性。

3. 熟悉复变函数的积分理论和Laurent级数展开。

4. 理解共形映射的概念和应用。

5. 学会应用复变函数分析解决实际问题。

三、课程大纲1. 复数与复平面1.1 复数的定义与运算规则1.2 复数的几何表示及其性质1.3 复平面上的点集与集合运算2. 复变函数的基础2.1 复变函数的定义2.2 复变函数的极限与连续性2.3 复变函数的导数与解析性2.4 初等函数的复变函数3. 全纯函数与解析函数3.1 全纯函数的定义与性质3.2 解析函数的概念与判定条件3.3 应用：调和函数与调和共轭函数4. 积分理论4.1 积分路径和积分曲线4.2 积分的独立性与积分路径的连通性 4.3 柯西黎曼积分定理及其应用4.4 柯西积分公式和柯西定理5. 级数展开与留数理论5.1 函数的Taylor展开5.2 Laurent级数的定义与性质5.3 留数与留数定理5.4 应用：计算复积分和求解微分方程6. 共形映射6.1 什么是共形映射6.2 平面区域的共形映射6.3 上半平面到单位圆盘的映射6.4 应用：边值问题与几何构造四、教学方法为达到课程目标和要求，将采用以下教学方法：1. 理论讲授：将重点突出的知识点进行全面而详细的讲解。

2. 示例演练：通过具体的例子和问题，在课堂上进行实际操作和计算，以加深学生对知识的理解。

3. 案例分析：引入一些真实的案例和应用，让学生将所学的复变函数理论应用于实际问题的求解。

4. 讨论互动：组织课堂讨论，鼓励学生积极参与，提出问题和思考，促进学习效果的提高。

五、考核方式1. 平时作业：布置课后习题和实践题，加深对知识的理解与应用能力。