三角函数线及其应用
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高考数学知识点:三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)高考数学知识点:三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)三角函数线的定义:设任意角α的顶点在原点O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),过P点作x轴的垂线,垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线,高二,设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T,则有向线段MP、OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线,正切线,即:sinα=MP,cosα=OM,ta nα=AT,如下图:注:线段长度表示三角函数值大小,线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线,要注意以下几点:(1)正弦线、余弦线、正切线都是有向线段,利用它们的数量来表示三角函数值,是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下:正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行,向上为正,向下为负;余弦线OM在x 轴上,向右为正,向左为负。
(2)作三角函数线时,所用字母一般都是固定的,书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A(1,0)的单位圆的切线上(其中二、三象限角需作终边的反向延长线)。
(3)对于终边在坐标轴上的角,有时三角函数线退化为一个点,有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在。
(4)当时,正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地,每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式:公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律:奇变偶不变,符号看象限。
即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。
形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数线及其应用课时第21.有向线段(1)定义:带有方向的线段.OMMP. (2)表示:用大写字母表示,如有向线段,2.三角函数线PPPMxM. ,过垂直于作轴,垂足为作图:①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线,交②过(1,(2)图示:MPOMAT,分别叫做角α、结论:有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线,统称为三、角函数线.思考:当角的终边落在坐标轴上时,正弦线、余弦线、正切线变得怎样?xy轴上当角的终边落在轴上时,正弦线、正切线分别变成了一个点;终边落在提示:时,余弦线变成了一个点,正切线不存在.π8π1.角和角有相同的( )77A.正弦线 B.余弦线.不能确定D .正切线C.π8πC [角和角的终边互为反向线,所以正切线相同.]772.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′.正弦线′,正切线 A OMAT′.正弦线′,正切线 B MPAT,正切线C.正弦线MPAT′,正切线′D.正弦线MPAT,C,正切线为正确.C [α为第三象限角,故正弦线为]3.若角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为.y轴上,正弦线与单位圆的交点为(0,0的余弦线长度为时,α的终边落在1 [若角α1)或(0,-1),所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.【例1ππ10π17.(3)-;(2);(1)364 [解]如图.MPOMAT为正切线.其中为正弦线,为余弦线,三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.xA)的终边(α作正切线时,应从(1,0)点引为第一或第四象限角轴的垂线,交α(2)ATT.于点,即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1.作出-的正弦线、余弦线和正切线.8 ]如图:[解π5????MP-=,sin??8π5????OM-,cos=??8π5????AT-. =tan??8) >cos β,那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α>sin .若Aα、β是第一象限角,则α>tan β是第二象限角,则B.若α、βtanα>sin βC.若α、β是第三象限角,则sin>tan β.若α、β是第四象限角,则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小.,tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin,coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨:(1) 切线判断大小满足cos α>cos β2π4π观察图形,(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误;A,故βsin <αsin 时,βcos >αcos 可知,(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知,cos α>cos β时,tan α<tan β,故B错误;图(2)由图(3)可知,cos α>cos β时,sin α<sin β,C错误;图(3)由图(4)可知,cos α>cos β时,tan α>tan β,D正确.]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′,=′,tan=,=′cos==解:如图,(2)sin,cos,333554πAT′.=tan 5.MPMP′|,符号皆正,| 显然|′|>2π4π∴sin>sin;352π4πOMOM′|,符号皆负,∴cos>cos;|<| |352π4πATAT′|,符号皆负,∴tan<tan|>||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤:①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:①关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.②注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.2π2π2πabc=tan,则( =cos, 2.已知sin=,)777abcacb<..<B<<A babcac<.D<.C<<D[由如图的三角函数线知:2π2ππATMP>,因为=<,784MPOM,>所以.2π2π2π所以cos<sin<tan,777bac.]所以<<πππ3π3.设<α<,试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果<α<,4224上述长度关系又如何?ππMPOMAT,,余弦线为,正切线为α<时,角α的正弦线为[解] 如图所示,当<42π3πATMPOMMPOM′,′时,角α显然在长度上,的正弦线为>′,余弦线为><;当<α24ATATMPOM′.′>′>′正切线为′,显然在长度上,]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式?,sin α≤1.利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|,sin α≤|≤1)的不等式:提示:对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作),过点(0画出如图①所示的单位圆;在,轴上截取=PPOPOPOPOP′上的角的集合;图中阴影部分即为和点和和′;写出终边在′,并作射线aa的角α的范围.α的角α的范围,其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式?≤α(|.利用三角函数线如何解答形如2cos α≥,cosaaa|≤1)的不等式:≤cos α对形如提示:cos ≥,α(|图②.xaaxOM轴的垂线交单位圆于两,0)=,过点画出如图②所示的单位圆;在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合;图中阴影部分即为满′,作射线′;写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围.的角α的范围,其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围.【例132. αα|≤(1)cos α>-≤;(3)|sin ;(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨:→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图,由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z,<α<2π2+π-∈. α???44??(2)如图,由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ+∈π,α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤,得-≤sin α≤.222如图,由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈,π+Zπ-α≤≤.α???66??2”,求α的取值范围.的不等式改为“cos α< 1.将本例(1)2[解]如图,由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z<2,π2+π+∈<α. α???44??132.将本例(3)的不等式改为“-≤sin θ<”,求α的取值范围. 22π117π3π2π????-=-,sin且-≤sin θ=]由三角函数线可知sin=sin,sin=[解??62633223,故θ的取值集合是< 2ππ2π7π????kkkk????k+22π2,+π+π,2π- (.∈Z)∪????6633yx-1的定义域..利用本例的方法,求函数=2sin 3x-1≥0,2sin ]要使函数有意义,只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k++,2π2π∈Z). (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.写角的范围时,抓住边界值,然后再注意角的范围的写法要求.(3)在一定范围内先找出符合条件的角,再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒:所有角的集合..本节课的重点是三角函数线的画法,以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题,难点是对三角函数线概念的理解. .本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ;三角函数线的画法,见类型1(1) ;利用三角函数线比较大小,见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式,见类型(3).三角函数线是三角函数的几何表示,它们都是有向线段,线段的方向表示三角函数值3的正负,与坐标轴同向为正,异向为负,线段的长度是三角函数的绝对值,这是本节重中之 重. .利用三角函数线解三角不等式的方法41.下列判断中错误的是( )A .α一定时,单位圆中的正弦线一定B .在单位圆中,有相同正弦线的角相等C .α和α+π有相同的正切线D .具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确;B 错误,如与有相同正弦线;C 正确,因为α与π+α的终边互为反66向延长线;D 正确.]πOMMP 分别是角α=的余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是( 2.如果, )5MPOMMPOM <0<.B0<<.A .MPOMMPOM 0>>>>0 DC ..ππOM 的余弦线和正弦线满足α=[角β=的余弦线与正弦线相等,结合图象可知角D 54MP 0.]>>baba,则cos 4 ,3.若.=sin 4,的大小关系为=ππ35ba<,<< [因为424 ,如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]<cos 4,即观察可知sin 4<的集合.α的终边范围,并由此写出角α.在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤-(1)sin α;≥(2)cos 223yOBABOA=(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解,两点,连接],,则角2π2???kkk?∈Zπ,≤π≤απ+2+2.α)含边界,角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD,则角α=-(2)作直线交单位圆于,两点,连接,的终边在如图②所示的2.24???kkk?∈,Zπ≤α≤+2π2π+π.阴影区域内(α的取值集合为,角含边界)α???33??。
教学案例:三角函数线的应用一、案例过程在必修4第一章三角函数的复习课上,当复习到三角函数线的时候,我和以前一样,复习完定义之后,接下来就要复习三角函数的同角关系式和诱导公式了。
就在这时候,有个学生提问说:“老师,三角函数线有哪些应用呢?”我接着问:“那么大家想一想,三角函数线有哪些应用呢?能够相互讨论。
”学生开始思考,互相讨论,也有同学讲课本打开……讨论结果整理如下:1、在讲解三角函数线的时候,学习了如何利用三角函数线解不等式,例如解不等式21sin >x 。
2、同时有些学生发现利用三角函数线记忆特殊角ππππ2,23,,2,0的正弦值和余弦值更加深刻。
3、利用三角不等线能够画三角函数的图像,和分析三角函数的性质。
4、在利用三角不等线证明同角关系式1cos sin 22=+αα二、案例分析看到同学们讨论结果,我们了解了三角函数线应用很广泛,我们还应用它,多次作为基本工具,讲解公式和函数图像性质,但我发现在证明诱导公式的时候,我们是利用三角函数的定义证明的。
这时候我就想能不能利用三角函数线证明诱导公式呢?如图,角α的终边与单位圆的交点为P ,过P 作x PM ⊥轴于M ,则角απ+,απ-,α-的终边如图所示。
我们以ααπsin )sin(-=+,ααπcos )cos(-=+为例。
如图,角απ+的终边与单位圆的交点为Q ,过Q 作x QN ⊥轴于N ,则ON OM =+=)cos(,cos απα,由图可知,NQ MP ,长度相等,方向相反,所以ααπcos )cos(-=+同理可证其他的诱导公式。
三、案例反思这节课给我的触动很大,通过三角函数线的应用的研究,我发现课本中某些内容存有相互联系,但在讲课过程中,我仅仅利用它,而没分析和总结他们之间的联系,在以后的教学中,我要善于总结知识点之间的联系,而不能将它们孤立,作为教师要善于思考和总结。
x。
三角函数线及应用三角函数是高等数学中的重要内容,广泛应用于各个领域,如工程、物理、天文学等。
本文将介绍三角函数的定义、性质及其在实际问题中的应用。
首先,我们来定义三角函数。
在平面直角坐标系中,以原点O为起点,做一条射线r,与X轴正半轴之间的夹角记为θ。
此时,r与X轴正半轴的交点为点P。
根据射线和X轴的夹角θ不同,我们定义三角函数sinθ、cosθ、tanθ和cotθ等,其中:正弦函数sinθ等于点P的纵坐标y与斜边OP的长度之比;余弦函数cosθ等于点P的横坐标x与斜边OP的长度之比;正切函数tanθ等于点P的纵坐标y与点P的横坐标x之比;余切函数cotθ等于点P的横坐标x与点P的纵坐标y之比。
根据三角函数的定义,我们可以得到以下性质:1. 对于任意实数θ,有sin²θ+ cos²θ= 1。
这被称为“三角恒等式”,是三角函数的基本性质之一。
2. sinθ和cosθ的取值范围均在[-1, 1]之间,tanθ和cotθ的取值范围为实数集。
3. 三角函数在不同象限的取值情况:第一象限:sinθ> 0,cosθ> 0,tanθ> 0,cotθ> 0;第二象限:sinθ> 0,cosθ< 0,tanθ< 0,cotθ< 0;第三象限:sinθ< 0,cosθ< 0,tanθ> 0,cotθ> 0;第四象限:sinθ< 0,cosθ> 0,tanθ< 0,cotθ< 0。
接下来,我们来看一些三角函数的具体应用。
1. 工程中的应用:在工程中,三角函数常常被用于解决各种测量和设计问题。
例如,在建筑设计中,建筑师需要根据太阳的位置来确定房间的采光效果。
这时,就可以利用三角函数来计算太阳的仰角和方位角,从而确定阳光的照射方向和强度。
2. 物理学中的应用:在物理学中,三角函数被广泛应用于描述振动、波动和旋转等现象。
三角函数公式及其应用三角函数是研究三角形内角关系与边长比值的一门数学概念,是数学中基础而重要的内容之一、三角函数公式是描述三角函数之间关系的一组数学公式,它们在解决各种三角函数问题中起到了重要的作用。
三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割和余割六种函数,它们分别表示一个角的三边比值。
常见三角函数公式及其应用如下:1.正弦公式:正弦公式用于计算三角形的边长:a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c为三角形的边长,A、B、C为三角形的内角。
2.余弦公式:余弦公式用于计算三角形的边长:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中a、b、c为三角形的边长,C为三角形的内角。
3.正切公式:正切公式用于计算三角形的内角大小:tanA = sinA/cosA其中A为三角形的内角。
4.余切公式:余切公式用于计算三角形的内角大小:cotA = 1/tanA = cosA/sinA其中A为三角形的内角。
5.和差化积公式:sin(A±B) = sinA*cosB ± cosA*sinBcos(A±B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB其中A、B为角度。
6.和差化积公式的应用:通过使用和差化积公式,可以展开复杂的三角函数表达式,简化计算过程。
7.万能公式:a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2Ra^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA其中a、b、c为三角形的边长,A、B、C为三角形的内角,R为三角形的外接圆半径。
8.万能公式的应用:万能公式可以用于计算三角形的边长和内角大小,同时也可以用于证明三角形的性质。
除了以上公式,三角函数也有一些重要的性质和恒等式,如周期性、奇偶性、反函数等,这些性质和恒等式也对解决三角函数问题具有重要的指导意义。
三角函数广泛应用于各个领域,如物理学、工程学、计算机图形学等。
在物理学中,三角函数被用于描述波动、振动等运动规律。
一、终边法:1、平分图例:比大小解:一二四象限很容易比较函数值的大小二三象限的比较略为麻烦,现在画图在平分线以上,sin值大于cos值在平分线以上,cos值大于sin值用此法可快速比较正弦和余弦值的大小。
二、单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数(如图).两个小应用:π3πtan0sin cosπsin cos2π222+---=三、诱导公式:对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值,①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
(符号看象限)注:题型一 利用三角函数线解三角不等式例1:解下列不等式.分析:作出满足sin α 、cos α= 12-的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.答案:(1)作直线交单位圆于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则OA 与OB 围成的区域(图1中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为2{|22,}33k k k z ππαπαπ+≤≤+∈(2)作直线x=-12-交单位圆于C ,D 两点,连接OC 与OD ,则OC 与OD 围成的区域(图2中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α集合为24{|22,}33k k k z ππαπαπ+≤≤+∈ 点拨:对形如f(α)≥m 或f(α)≤m 的三角函数,求角α的范围的问题可利用三角函数线来求解.题型二 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的分析:同角求值中最经典的三道题,一定要掌握求解方法。
对于已知正切,求关于正弦余弦表达式的值,要对齐次式敏感。
遇到含有正弦余弦和或者差的形式,要善于平方,再利用22sin cos 1θθ+=得到sin cos θθ这一隐含信息。
三角函数公式在解三角形中的应用例3: (12分)在△ABC 中,若sin(2))A B A B πππ-=-=-,求△ABC 的三个内角.分析: 先利用诱导公式对等式进行化简,得到sin sin cos cos A B A B ==,进而由22sin cos 1A A +=可求出A ,进一步即可求出B 和C.以上结论要牢记,另外要注意“三角形”这一条件的限制作用,比如在锐角三角形ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C >cos A+cos B+cos C.(答题时间:30分钟)。
1 单位圆的定义:圆心在圆点,半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义:如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么得到六个三角函数
有向线段:有大小和方向的线段。
3,正弦线作法:
(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,
得有向线段MP叫做角的正弦线,当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且y有正值;当线段MP与y 轴反向时,MP的方向为负向,且y有负值。
同理可得余弦线等其它线。
正弦线的方向以上为正,且永远为从点P在x轴的投影点M指向终边与单位圆的交点P,
余弦线的方向以右为正,且永远为从原点O指向终边与单位圆的交点P在x轴的投影点M,
4. 正切线作法:
根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
正切线的方向以上为正, 正切线的方向永远从(1,0)指向角终边所在直线,
且正切线永远在y轴右边,正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上。
角终边落在1、3象限正切线为正,2、4象限时正切线为负,
常用的三种三角函数线的作法:
第一步:作出角的终边,与单位圆交于点P;
第二步:过点P作X轴的垂线,设垂足为M,得正弦线MP、余弦线OM;
第三步:过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线的交点设为T,得角的正切线AT.
特别注意:三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,书写时要带上方向符号。
五、三角函数线的应用。
三角函数线及其应用【知识梳理】1. 有向线段带有方向的线段叫做有向线段.【常考题型】题型一、三角函数线的作法3 n【例i】作出3n的正弦线、余弦线和正切线.43 n[解]角匸的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线AT,3 n 3 n与34的终边的反向延长线交于点「则34的正弦线为MP ,余弦线为OM,正切线为AT.【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时,应从 A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点即可得到正切线 AT.【对点训练】作出-护勺正弦线、余弦线和正切线.解:如图所示,题型二、利用三角函数线比较大小[例 2 】 分别比较 sin 2^ sin 4^; cos^n W cos 4^ tan 2^ tan 4^的大小. 35 3 5 3 5[解]在直角坐标系中作单位圆如图所示•以 x 轴非负半轴为始边2 n作了的终边与单位圆交于 P 点,作PM _LOx ,垂足为3 正方向的交点 A 作Ox 的垂线与0P 的反向延长线交于4 n 4 n 4 n4 n 同理,可作出 的正弦线、余弦线和正切线,sin = M ' P z , cos = OM ' , tan = AT '.5 5 552 n 4 n 2 n 4 n由图形可知,MP>M ' P ',符号相同,则sin"3>sin"5";OM>OM ',符号相同,贝U cosy'cos 4";2 n 4 nAT<AT ',符号相同,则tan§<tan 〒.【类题通法】利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①角的位置要 比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.T ,MP ,迹才=OM , tan^^ AT.“对号入座”;②Q n-Q ■的正弦线为【对点训练】设4< /才,试比较角a 的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果 n < a~~,上述长度关系又如何?解:如图所示,当4<a <n 寸,角a 的正弦线为 MP ,余弦线为0M , 正切线为 AT ,显然在长度上, AT>MP>OM ;当n<加3^时,角a 的正弦线为M ' P ',余弦线为0M ',正切 线为AT ',显然在长度上,AT ' >M ' P ' >0M '.题型三、利用三角函数线解不等式【例3】利用三角函数线,求满足下列条件的a 的范围.1 …、 V 3⑴sin a < - 2; (2)cos a 2 .1[解](1)如图①,过点 0,— 2作x 轴的平行线交单位圆于 P , P '两点,贝U sin AOP = sinZxOP ' =- 1 ,/xOP = p, AOP ' = 7n ,2, 6 67 n11 n故“的范围是a 石+ 2kn «v +2k n k(Zn n 故a 的范围是a - n+ 2k n<<n+ 2k n,k 已【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法ZXOP = n ZxOPn 6,利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求点,一般来说,对于 sin x >b , cos x > a(或sin x w b , cos x w a),只需作直线 y = b , x = a 与单位圆相交,x > c(或tan x w c),则取点(1 , c),连接该点和原点即得角的终边所在的位置,并反向延长,结合图像可得.【对点训练】利用三角函数线求满足 tan a J 的角a 的范围.解:如图,过点A(1,0)作单位圆0的切线,在切线上沿 y 轴正方向取 一点T ,使AT = 33,过点0, T 作直线,则当角a 的终边落在阴影区域内 (包含所作直线,不包含 y 轴)时,tan aa ^3由三角函数线可知,在[0 ° 360 °内,tan aa 普,V 3有 30°w a <90°或 210°w a <270° 故满足 tan a>^r ,有 k180° + 30°w a <k 180° + 90° k€Z. 3【练习反馈】1 •已知角a 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段,贝U a 的终边在()A •第一象限的角平分线上B •第四象限的角平分线上C •第二、四象限的角平分线上D •第一、三象限的角平分线上解析:选C 由条件知sin a=- cos a, a 的终边应在第二、四象限的角平分线上.7 n2.如果MP 和OM 分别是角a=—的正弦线和余弦线,那么下列结论中正确的是( )A • MP<OM<0B • OM>0>MP 解析: 选D 一…为…rr 可知:MP>0, OM<0,r 1C • OM<MP<0D • MP>0>OM像,故 OM<O<MP.连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x 的范围;对于tan3. ____________________________________________________ 若角a 的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为 ____________________________________________________________ .解析:若角a 的余弦线长度为0,贝U a 的终边落在y 轴上,所以它的正弦线的长度为 1.答案:14 .用三角函数线比较 sin 1与cos 1的大小,结果是解析:如图,sin 1 = MP , cos 1= OM. 显然 MP>OM ,即 sin 1>cos 1. 答案:sin 1>cos 115 .在单位圆中画出满足 sin a= 1的角a 的终边.OQ 即为角a 的终边.解:所给函数是正弦函数,1故作直线y = 2交单位圆于点P , Q ,连接OP , OQ ,则射线OP ,。