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三角函数线

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三角函数线

三角函数线

三角函数线
三角函数线是正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线和余割线的总称（有时还包括正矢线、余矢线等，是三角函数的几何表示。

如图：
设任意角a的顶点在原点O（单位圆的圆心），始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂线，，垂足为点M；过点A（1,0）作单位圆的切线，设它与角a的终边（当a位于第一、第四象限时）或其反向延长线（当a位于第二、第三象限是）相交于点T，于是有sin a=y=MP，cos a=x=OM，tan a=y/x=PM/OM=AT/OA=AT.
我们规定与坐标轴同向时，方向为正方向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，他们统称三角函数线。

（1）三角函数线的意义是可以表示三角函数的值，其长度等于三角
函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负。

（2）因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段，所以作角的三角函数线时，一定要先做单位圆。

（3）有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面。

人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件

人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件

x OA
作三角函数线的步骤: 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
(1)以圆点为圆心画出单位圆，作出角的终边;
(2) 设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则：
有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线;
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线,
与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则：
α的
y
终边 P
MO
A(1,0)
x
T
(Ⅱ)
AT y tan, 有向线段AT叫角α的正切线
x
特别注意：正切线必须是： 以A为始点、T为终点
y
T
M
A(1,0)
O
x
α的 P
可以看出：正切线在第一三象限为正，第二四终边象限(Ⅲ为)负.
y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
1
Ax
y=－1
T
4
题型四：利用三角函数线解三角不等式 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
例
写出满足条件
1 2
≤cosα＜
3 2
的角α的集合.
|2k
6
＜α≤
2k 2 ，或
3
2k 4 ≤α＜ 2k 11 ，k Z
3
6
x1 x 3
2
2
2
y
3
1
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6
(2k
6
,2k
不查表，比较大小。
（２）cos 2

高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)

高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)

高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，ta nα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。

关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。

三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x 轴上，向右为正，向左为负。

（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。

特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。

（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。

当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。

（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。

一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。

诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。

即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

单位圆中的三角函数线

单位圆中的三角函数线

单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N.以A为原点建立y'轴与y轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T')，则有向线段0M、0N、AT(或AT')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；
余弦线在x轴上；
正切线在过单位圆与x轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
第1 页共1 页。

三角函数线

三角函数线

P
T

O
M
A
S OPA SOPA S OAT 1 1 1 2 MP OA 1 AT OA 2 2 2 sin tan
4、比较sin11550与sin(-16540)的大小。
sin11550=sin750 sin(-16540)=sin1460
思考：
• 为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否 给线段OM、MP、AT规定一个适当的方向， 使它们的取值与点P的坐标一致？
当角α的终边不在坐标轴上时，以O为始点、 M为终点，规定：
• 当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正，且有 正值x； • 当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负，且有 负值x。 • 这样，无论哪一种情况都有

75
P1 P2 M2 O M1

146
sin11550 >sin(-16540)
小结
• 1、 sin y MP
• 2、 • 3、
cos x OM
y tan AT x
• 4、有向线段：既有长度又有方向的线段
• 作业布置：课堂作业P10作业二
1、做出下列各角的三角函数线
• （1） 3
P T
O
M
A
2 • （2） 3
T
M
O
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
• 2、你能从单位圆中的三角函数线出发 得出三角函数的哪些性质吗?
y x
yx
O
3、已知 0， ，在单位圆中作出角 2
的正弦线、正切线，并证明： sin tan
• 当线段AT与y轴同向时，AT的方向为正，且有正 y • 值 ；

04任意角的三角函数线

04任意角的三角函数线

O
x
PT α的终边
应用举例:
例1.如图,α、β的终边分别与单位圆交于 点P、Q,过A(1,0)作切线AT交OP于T,交OQ的 反向延长线于T/,P、Q在x轴上的射影为M、N 指出α、β的三角函数线。 y
Q βP T α
NO M A x
T/
Hale Waihona Puke 例题2己知sin 1 ,求角的集合
2
练习
1) cos 3
y
α的终边
T
P
α
x
O
M A(1,0)
有向线段MP称为角的正弦线，即：sin MP 有向线段MP称为角的余弦线，即：cos OM 有向线段AT称为角的正切线，即：tan AT
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
x cos OM
P T tan AT
α的终边
α的终边 P
M
y
sin MP
α
x cos OM
作业：
1 P17 2,3
O
A(1,0) tan AT
T
M
P α的终边
y
T
sin MP
α
x cos OM
O
A(1,0)
tan AT
α的终边 P
M
M
P α的终边
三角函数线
y
α
x
O A(1,0)
y α的终边 PT
α x sin MP
O M A(1,0)
T
y
T
α
x
O A(1,0)
cos OM
y
tan AT
α
M A(1,0)
同向时,数量为正;反向时,数量为负.

三角函数线

yr
-+
-o + x
tan y
yx
-+ +o - x
y
sin 全为+ tano cosx
心得:角定象限,象限定符号
记法： 一全正 二正弦
三正切 四余弦
练习
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( D)
A.sin α=0
B.sin α=1
C.sin α=-1
D.sin α=± 1
2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是( B)
知识 回顾
你记住了吗？
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α
的弧 0
度数
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
练习：求值
cos


11 3


sin


71 6


tan

19 3

解：cos


11 3


sin


71 6


tan

19 3


cos

4


3


sin

12

三角函数线


作业：
1 P17 2,3
练习
3 cos 2
拓展：三角函数的面积法定义
2002年，由中科院院士张 景中提出。他把边长为1， 夹角为 的菱形的面积定 义为 sin ，由此研 究正弦的性质，到处理余 弦，用面积的方法证明大 量几何问题，把三角学和 几何学打成一片。
小结：
1.有向线段的定义
2. 三角函数线 3. 三角函数线的应用
T/
例2：用三角函数线证明：
(1) sin cos 1
2 2
( 2) | sin | | cos | 1
你还能得到类似的其它结果吗？
例3. 已知α∈(0， )，试证明 2
sinα<α<tanα .
y N O P T x M A
α
例题4
1 己 知sin , 求 角的 集 合 2
α的终边 P
M
y α
三角 函 数 线 yα
的终边
P O y
T
T
x
A(1,0) T
α
O
M A(1,0)
x
sin MP
y
x
A(1,0)
cos OM
tan AT
M A(1,0)
M
α
O
α O
P
α的终边
x P
T
α终边
应用举例:
例1.如图,α、β的终边分别与单位圆交于 点P、Q,过A(1,0)作切线AT交OP于T,交OQ的 反向延长线于T/,P、Q在x轴上的射影为M、N 指出α、β的三角函数线。 y P T Q β α NO M A x
任意角的三角函数的单位圆定义：
sin y cos x y t an

第4节 三角函数线

y
tan y AT
T
x
AM
O Ax
P T
思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如
何？
y
P
P
O
x
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终 边在y轴上时，角α的正切线不存在.
思考：对于不等式 sin a < a < tan a（其中α为锐角），
你能用数形结合思想证明吗？
tan y AT
x
y
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x， y），则 tan y 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？ x
y
tan y AT
x
TP
A
A MO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x， y），则 tan y 是正数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？ x
y T
M O A(1,0) x
P
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P
（x，y），则 sin y ，cos x 都是正数，你能分别用一条
有向线段表示角α的正弦值和余弦值吗？ y
| MP | y sin
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
正弦线和余弦线
问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，
y），则 sin y ， cos x 都是负数，此时角α的正弦值
和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin | OM | x cos
M
Ox

高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)_知识点总结

高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）_知识点总结高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。

关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。

三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT 方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。

（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。

特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。

（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。

当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。

（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。

一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。

诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。

即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

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三角函数线是通过平面直角坐标系中的单位圆来定义的。对于任意第一象限角α，其终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，得到正弦线MP，表示sinα；同时，从原点O到点M的线段OM表示cosα。再过点A(1,0)作单位圆的切线，与α的终边或其反向延长线交于点T，得到正切线AT，表示tanα。这些线段的长度等于对应的三角函数值的绝对值，而方向则代表其正负。通过这种方法，我们可以直观地看到角α的正弦、余弦和正切值。此外，三角函数线还可用于比较不同角度的三角函数值大小，以及解三角函数的不等式（组n5、cos3和cos5、tan3和tan5之间的大小关系。在解不等式时，我们可以根据三角函数线的范围来确定满足条件的角α的集合。