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习题11-11.答案：略.2.答案：略.3. 答案(1)．发散,(2) 收敛,(3) 收敛, (4) 收敛．4.答案（1）发散（2）发散（3）收敛 (4）发散（5）发散 （6）收敛（7）发散 （8）发散5.证略.习题 11-21． (1)收敛(2)收敛（3）发散 （4）收敛 （5）发散 （6）收敛 （7）收敛（8）当1≤a 时，发散；当1>a 时收敛2．（1）收敛（2）收敛（3）发散 （4）收敛（5）收敛（6）收敛（7）发散 （8）收敛3． (1) 收敛(2) 收敛(3) 收敛（4）当1<a b ，收敛；当1>a b ，发散；1=ab ，即a b =时，可能收敛也可能发散.4. (1)．绝对收敛;(2)．条件收敛;(3) 绝对收敛;(4)．条件收敛;(5)绝对收敛．(6)发散．（7）绝对收敛.(8) 条件收敛;．5． [1,1)-.6．当1p ≤时，原级数条件收敛, 当1p >时，原级数绝对收敛.习题11.3一、(1）22<≤-x （2）0≠x （3）2121≤≤-x （4）2121<<-x （5）e x e <<-（6）2=x （7）02≤≤-x （8）02≤<-x （9）) , (∞+∞-二、（1）.()()2111x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1||<x . （2）.)1ln()1(11x n x n n n +=-∑∞=-).11(≤<-x （3）.1221(1)2arctan ln(1)(21)n n n x x x x n n -∞=-=-+-∑(||1).x <（4）.3)1(1)(x x x s -+=).1||(<x 三、（1）92 ;（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛311ln 31s .23ln = （3）2711 ;（4）12. 习题11-41.（1）x 2sin ),(,)!2(2)2()1(121∞+-∞∈-=∑∞=-x n x n n n （2）]1,1(,)1()1()1ln()1(111-∈+-+=++∑∞=++x x n n x x x n n n（3）=+21x x ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11222)!()!2(2)1(n n n x n n x ，)1,1(-∈x（4）)3,3(,3)1()(21211-∈-=-ℵ=-∑x x x f n n n n 2.（1）=3x 2220)1()!)(2)(1(2)!2(3)1()1(231++∞=-++⋅-+-+∑n n n n x n n n n x ，]2,0[∈x （2）=x lg ∑∞=+∈-+-01]2,0(,)1(11)1(10ln 1n n n x x n 3. =x cos ∑∞=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛π+++⎪⎭⎫ ⎝⎛π+-01223)!12(33)!2(1)1(21n n n n x n x n ，),(∞+-∞∈x 4.（1）1101111()(1)()(1),(13)1223n n n n n f x x x x x ∞++==-=----<<++∑ (2）21(1)21ln(23)ln 22ln3[()](3),(15)92n n n n n x x x x n ∞=-+-=+++-<≤∑习 题 11-5答案:1. ︒9sin 000646.0157080.0-≈,156434.0≈其误差不超过.105-2. .9926.22405≈3 .⎰10sin dx x x !551!3311⋅+⋅-≈.9461.0≈ 4．据欧拉公式有i e π=-1 .习题11-61．答案:略2. (1) ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞). (2) }sin 2cos 21cos ]2sin 2)1(1{[41)(1x n n n x n n n n x f n n πππππ-++--+-=∑∞= (x ≠2k , 212+≠k x , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 3．（1）．()∑∞=+--+=12114cos 1422cos n n n nx x ππ，()ππ≤≤-x 。
高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______题 号 选择题 填空题 计算题 证明题 其它题型总 分题 分 30 30 10 10 10 核分人 得 分 复查人一、选择题（共 30 小题，30 分）1、 设级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11sin 213n n e n （1）与级数∑∞=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+1212111n n （2） 其敛散情况是（A ）（1）收敛（2）发散; （B ）（1）发散（2）收敛；（C ）（1）发散（2）发散; （D ）（1）收敛（2）收敛。
2、设级数1011n n n !()=∞∑与级数321n nn n n!()=∞∑，其敛散性的判定结果是（A ）（1）（2）都收敛 （B ）（1）发散，（2）收敛 （C ）（1）（2）都发散 （D ）（1）收敛，（2）发散 答：（ ） 3、1<q 是级数∑∞=1n n nq 绝对收敛的（A ）充分必要条件； （B ）充分但非必要条件； （C ）必要但非充分条件； （D ）既非充分又非必要条件答（ ） 4、 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1c o s 11n n n α （0>α）（A ）发散； （B ）条件收敛；（C ）绝对收敛； （D ）敛散性与 α有关。
答（ ） 5、 设级数∑∞=11sin n nn （1） 与 级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-121cos 1n n n （2） 其敛散情况是（A ） （1）（2）都收敛； （B ） （1）收敛，（2）发散； （C ） （1）发散，（2）收敛； （D ） （1）（2）都发散。
答（ ）6、 在指定区间内不一致收敛的函数项级数是 （A ）()∑∞=+-121n nxn , +∞<<∞-x ; （B ）()∑∞=+1221n nx x , +∞<<∞-x ;（C ）∑∞=122n nnx, 210<<x ; （D ）()()∑∞=13arcsin n nnx , 11<<-x ; 答（ ）7、下列级数中，绝对收敛的是（A ）()--=∞∑1311nn n n （B ）()-+-=∞∑11111n n n ln()（C ）()-+-=∞∑11121n n n n （D ）()--=∞∑11121n n n答：（ ）8、若幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径为R,那么(A)R a a n n n =+∞→1lim, (B) R a an n n =+∞→1lim ,(C)R a n n =∞→lim , (D)nn n a a 1lim+∞→不一定存在 .答( )9、 设级数 ∑∞=1!2n n n n n （1） 与级数∑∞=1!3n n n nn （2）则（A ）级数（1）（2）都收敛； （B ）级数（1）（2）都发散；（C ）级数（1）收敛，级数（2）发散； （D ）级数（1）发散，级数（2）收敛。
高等数学测试（第十一章）一. 选择题（每题3分，共30分） 1.下列级数收敛的是（ ）A.135(21)25(31)n n n ∞=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-∑ B. 212n n n ∞=+∑ C. 1πsin n n ∞=∑D. n ∞= 2.下列级数条件收敛的是（ ）A.15(1)4nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑B. 1(1)n n ∞=-∑C.13(1)5n n n ∞=-∑D. 1(1)n n ∞=-∑3.设a为常数，则级数21sin n a n ∞=⎛ ⎝∑（ ）A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与a 无关4．下列命题正确的是 ( ) A.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必发散 B.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散 C.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必收敛 D.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必收敛5.若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（ ）A. 1n n u ∞=∑收敛 B. 1(1)nn n u ∞=-∑收敛 C. 11n n n u u ∞+=∑收敛 D. 112n n n u u ∞+=+∑收敛 6.设0n u >，若1nn u∞=∑发散，1(1)nnn u∞=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）A. 211n n u∞-=∑收敛，21nn u∞=∑发散 B.211n n u∞-=∑发散，21nn u∞=∑收敛C.2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 D. 2121()n n n u u ∞-=-∑收敛7.设10(1,2,)n u n n ≤≤=，则下列级数中一定收敛的是（ ）A. 1n n u ∞=∑ B. 1(1)n n n u ∞=-∑C.n ∞=D. 21(1)n n n u ∞=-∑8.若幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 处收敛,则该级数在点3=x 处 （ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 一定发散D. 可能收敛也可能发散 9. 设幂级数∑∞=+0)1(n n nx a在2-=x 处条件收敛，则它在2=x 处（ ）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不确定 10. 级数13nn n a ∞=∑收敛，则级数1(1)2n nn n a ∞=-∑（ ） A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不确定二. 填空题（每题4分，共20分）11.级数0(ln3)2n nn ∞=∑的和为___________. 12.若lim n n u →∞=∞，则1111n n n u u ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ .13.幂级数1(1)nn n x∞=+∑的和函数为________________.14.函数112x +展开式为x 的幂级数为________________. 15.幂级数2024n nn x n ∞=+∑收敛区间为________.三.计算题（每题10分，共50分）16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间. 17. 求幂级数21(2)4nn n x n ∞=-∑的收敛域. （不考虑端点情况）18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间.答案：一.选择题1—5 A B C B D 6—10 D D D A C二. 填空题11. 3ln 22-. 12. 11u . 13. ()2212x x x --. 14. ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--0212121n n n n x x . 15. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 三.计算题16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间（不考虑端点情况）. 【解析】因为()()()()()()()()22221221411n 22lim !!2!1!12lim lim x x n x n n x n n u u l n n n n nn n =++=++==∞→+∞→+∞→. 当142<=x l ，即21<x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=绝对收敛； 当142>=x l ，即21>x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=发散； 故级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间为2121<<-x .17. 求幂级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域. 【解析】令2x t -=级数化为214n n n t n ∞=∑，这是缺项幂级数，讨论正项级数21||4nnn t n ∞=∑， 而222112||41lim lim (1)4||4n n n n n n n nu t n l t u n t +++→∞→∞==⨯=+，当211,4l t =<即||2t <时级数214nn n t n ∞=∑绝对收敛；当211,4l t =>即||2t >时级数214nn n t n ∞=∑发散；当211,4l t ==即2t =±时级数化为11n n∞=∑是发散的；故级数214n n n t n ∞=∑收敛域为(2,2)-，由2x t -=得级数21(2)4nnn x n ∞=-∑收敛域为(0,4). 18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式.【解析】()()()()()()∑∑∞=∞=<<--=-=+='='0202211,1111arctan n n nn nn x x x x x x f .则()()()()()1,121111200200020<+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=+∞=∞=∞=∑⎰∑⎰∑⎰x x n dt t dt t dt t f x f n n nx nn n xn n n x. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.【解析】令2x t -=，则2x t =+，11111111()(2)(5)3256151125f x t tt t t t ⎛⎫==-=- ⎪++++⎝⎭++； 又因01()1nn x x ∞==-+∑，所以001()(1)(22)2212n n n n n n t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 001()(1)(55)5515n n n n n n t t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 故0011()(1)(1)62155n nn n n n n n t t f x ∞∞===---∑∑ 11011(1)(22)3235n n n n n t t ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑ 11011(1)(2)(04)3235n n n n n x x ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑. 20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间. 【解析】令t x =-2，则()3ln 29393t t t ex f ⋅=⋅==+.而()+∞∞-∈=∑∞=,,!0x n x e n nx.所以()()()()()()()()()+∞∞-∈-=-=+∞∞-∈===∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=,,2!3ln 92!3ln 9,,!3ln 9!3ln 930x x n x n t t n n t x f n n n n n n n n n n nx.。
第十一章 无穷级数练习题比较判别法的应用：1、讨论p —级数)0(131211>+++++p n p p p 的收敛性。
2、证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的。
3、判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性。
4、设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n n a 及∑∞=1n n b 均收敛， 证明级数∑∞=1n n c 收敛。
5、设⎰=40tan πxdx a n n ，证明级数∑∞=1n n na )0(>λ收敛。
6、判定下列级数的敛散性: (1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2) .cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π 比值判别法的应用： 7、判别级数∑∞=++1)(n a n nn a n 的敛散性。
8、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性。
9、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n 的敛散性。
10、级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n n n 收敛。
你认为他的说法对吗?11、判别下列级数的收敛性： (1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n n n 。
(3) ().21211∑∞=⋅-n n n 12、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n n n n 的散敛性。
13、判别级数)0(!1>∑∞=a n a n n n n的收敛性。
14、判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-的散敛性。
15、判别级数∑∞=---1)1(2n n n 的收敛性： 16、判别级数∑∞=-+12)1(2n n n的收敛性。
17、试确定级数∑∞=1ln n n n 的敛散性。
交错级数判别法的应用：1、判断级数∑∞=--11)1(n n n 的收敛性。
第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。
ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。
x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。
用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。
d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。
αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。
011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。
dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。
高等数学同济第五版第11章答案习题11?11.写出以下系列的前五个术语？(1)? 1.N21? nn？11? n1？11? 21? 31? 41?5.2222221? 11? 21? 31? 41? 5n？11? n1？n3456？1.251026371? nn？11? 3.（2n？1）2？4.2n解决方案解决方案(2)n?1解?n?1?1?3(2n?1)2?42n1?3(2n?1)2?42n?11?31?3?51?3?5?71?3?5?7?9?? .22?42?4?62?4?6?82?4?6?8?101315105945??.28483843840解?n?1??(3)?n?1?(?1)n?15n(?1)n?15n?解决方案N1.11111? 2.3.4.5.55555? 解决方案N1.（？1）n？15n？11111. 5251256253125(4)? N嗯？1n！1.2.3.4.5.1.2.3.4.5.nn12345n？1.解决方案解决方案N12624120. n14272563125nn？12? 写出以下系列的一般术语？(1)113151 7.解决方案的一般术语是un？1.2n？1(2)? 213456 2345解决方案的一般术语是un？（？1）n？1n？1.Nxxxx2（3）22?42?4?62?4?6?8解一般项为un?(4)nx22n！。
a2a3a4a53579n?1解一般项为un?(?1)an?1.2n?13?根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性?(1) （n？1？n）？n?1解因为sn？(2?1)? (3?2)? (4?3) （n？1？n）？（n？1？1）？？（n？？）？那么级数散度呢？(2)11111?33?55?7(2n?1)(2n?1)1111???????1?33?55?7(2n?1)(2n?1)111111111 111(?)?(?)?(?)(?)21323525722n?12n?1111111111(?)21335572n?12n?11 11(1?)?(n??)?22n?122?3?n??sinsin?666解因为sn所以级数收敛?(3)sin?6?sin解sn?sin?12sin?6?sin(2sin2?3?n??sinsin666?12?12sin?6?2sin?12sin2??n??2si nsin)6126?12sin?12[(cos?12?cos3?3?5?2n?12n?1)?(cos?cos)(cos??cos?)]121212 1212?12sin?12(cos?12?cos2n?1?).12因为limcosn??2n?1?不存在?所以limsn不存在?因而该级数发散?N12n8283n8(?1); 23n9994？确定下列序列的收敛性？(1)?? 这是等比级数吗？常见的比率是q？？(2)? 13111; 693n88？那么| Q |？？1.那么这个系列会聚了吗？99.这个系列有分歧吗？这是因为这样的级数收敛吗？那么阶段的数量是？？11111? 3() n3693nn？1.还有收敛？矛盾(3)? 1313? 3131n3；1n？1n解决方案因为通用术语UN？3.3.1.0（n？所以由级数收敛的必要条件可知?此级数发散?332333n（4）？2.3.N2222解这是一个等比级数?公比q?(5)(?)?(?3?1?所以此级数发散?21213111111?)?(?)(?)????.223223332n3n?11解因为?n和?n都是收敛的等比级数?所以级数N12n？13?? （n？11111111？n）？(?)? (2?2)? (3?3) （n？n）N3232323是否收敛？习题11?21.用比较收敛法或极限形式比较收敛法确定下列级数的收敛性？(1)113151?????（2n？1）1？112n？1.因为Lim？？还有连续剧？发散那么给定的序列会出现分歧？12n？？N1nn（2）1？1.21? 31? N1.221? 321? 氮气？1.n1？N11解决方案，因为UN？？那么级数发散度呢n1？n2n？n2nn？1.因此，给定的序列发散？(3)1112?53?6(n?1)(n?4)1?(n?1)(n?4)n21?lim2?1?而级数?2收敛?解因为lim1n??n??n?5n?4n?1n2n故所给级数收敛?(4)sin?2?sin?22?sin?23sin?2n罪2n？？画罪因为LiMn？？12n12n序列收敛了吗？？N2n？1n2？那么给定的级数收敛了吗？(5)? 1（a？0）？n1？一1.解决原因00a11n1an1alimlimla1n12nn1aan1a111.什么时候开始？1小时系列？N收敛？什么时候？A.1小时系列？N散度？n?1an?1a1当a?1时收敛?当0?a?1时发散?nn?11?a所以级数?2?用比值审敛法判定下列级数的收敛性?332333n（1）1?22?223?23n?2n解级数的一般项为un?limn??3n?因为nn?2un?1un?lim3n?1n?2n3n3??lim1?n?1n2n?12n??(n?1)?2n??3所以级数发散?n2（2）？Nn?13un?1un(n?1)23n1n?121?lim??lim?()??1?n?123n3n??3n??n?解因为limn??所以级数收敛?2n？N(3)? Nn?1nun?1un2n?1?(n?1)!(n?1)n?1nnnn2?2lim()??1?nn?1en??2?n!?解因为limnlimn所以级数收敛?(3) 恩坦恩？1.2n？1.解因为limn??un?1un(n?1)tan?limn??2n?2?limn?1?2n?2?1?1?2n？？丹恩？122n？那么级数收敛呢？3?用根值审敛法判定下列级数的收敛性?(1) （n？1nn）？2n？1n溶液，因为limn？？联合国？画n1？？1.那么级数收敛呢？2n？12(2)? 1.n[ln（n？1）]n？1n？因为limn？？联合国？lim1？0 1? 那么级数收敛呢？n??ln(n?1)。
第十一章第一节曲线积分习题 一、填空题：1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ，则Ｌ的质量Ｍ=_______________；2、⎰Lds =_______________；3、对________的曲线积分与曲线的方向无关;4、⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求α________β。
5、计算下列求弧长的曲线积分:1、⎰+L y x ds e 22,其中Ｌ为圆周222a y x =+，直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；2、⎰Γyzds x2,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ，这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0，0,0)，(0,0，2),(1,0,2）,(1,3,2）;3、⎰+L ds y x )(22，其中Ｌ为曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ；4、计算⎰Lds y ，其中Ｌ为双纽线 )0()()(222222>-=+a y x a y x 。
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为t a x cos =,t a y sin =，kt z =，其中π20≤≤t ，它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求：1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ;2、它的重心 。
答案一、1、⎰Lds y x ),(ρ; 2、L 的弧长； 3、弧长； 4、〈. 二、1、2)42(-+a eaπ;2、9；3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a .三、)43(32222222k a k a a I z ππ++=；2222436k a ak x π+=； 2222436k a ak y ππ+-=; 22222243)2(3k a k a k z πππ++=。
第二节对坐标的曲线积分习题一、填空题：1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关；2、设0),(),(≠+⎰dy y x Q dx y x P L,则 =++⎰⎰-LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点，上限β对应于L 的____点;4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________。
第十一章-无穷级数练习题（一）. 基本概念1.设∑∞=1n n U 为正项级数，下列四个命题（1）若,0lim =∞→n n U 则∑∞=1n n U 收敛；（2）若∑∞=1n n U 收敛，则∑∞=+1100n n U 收敛；（3）若,1lim 1>+∞→nn n U U 则∑∞=1n n U 发散； （4）若∑∞=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→nn n U U ．中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);C ．(3)与(4);D ．(4)与(1)．2.下列级数中，收敛的是（ ）． A ．∑∞=11n n ； B ．∑∞=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． +⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+43243434343． 3.在下列级数中，发散的是（ ）． A ．∑∞=-11)1(n n n ；B ．∑∞=+11n n n； C ．∑∞=131n nn;D ． +-+-44332243434343．4.条件（ ）满足时，任意项级数1nn u∞=∑一定收敛.A. 级数1||n n u ∞=∑收敛；B. 极限lim 0n n u →∞=；C ． 极限1lim1n n nu r u +→∞=<；D. 部分和数列1n n k k S u ==∑有界.5.下列级数中条件收敛的是（ ）．A . ∑∞=11cos n n ; B. ∑∞=11n n ;C. ∑∞=-11)1(n n n ; D. ∑∞=-11)1(n n n n ．6.下列级数中绝对收敛的是（ ）．A . ∑∞=-11)1(n n n ; B. ∑∞=-121)1(n n n ; C. ∑∞=+-11)1(n n n n ; D. ∑∞=11sin n n ． （二）. 求等比级数的和或和函数。
提示：注意首项 7.幂级数 1021+∞=∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数 ∑∞=-04)1(n n nnx 在)4,4(-上的和函数=)(x s ．9.无穷级数125()3n n ∞=∑的和S = .（三）. 判定正项级数的敛散性。
习题十一1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L P x y x =⎰其中P (x ,y )在L 上连续． 证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d bLaP x y x P x,x=⎰⎰，其中P (x ,y )在L 上连续．证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bL a P x y x P x x=⎰⎰3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d L xy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧； (4)()()22d d Lx y x x y yx y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧； (6)()322d 3d ++-⎰x x zy x y z Γ，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d L x y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d L x xy x y xy y-+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩ L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t tRt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()032210314127334292d 87d 1874874t t t t t tt tt ⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()122421123541222d 224d 1415x x x x x x x xxx x x x--⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰4．计算()()d d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x =2t 2+t +1,y =t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x y y y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且L 1：1x y y =⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ 从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x y x y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ 5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分：(1)d Lxyz z⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；(2)()()()222222d d d Lyz x z x y x y z-+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 2sin 22sin 2x t y t z t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2222sin cos d 42sin 2d 1621cos 4d 1622π16xyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x t y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y zy z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰7．应用格林公式计算下列积分：(1)()()d d 24356+-++-⎰x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x yx y x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线()2223330x y a a +=>；(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)()()22d d sin Lx yx y x y --+⎰，L 是圆周22y x x =-上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)()()d d e sin e cos xx Lx yy my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax上半部分的路线（a 为正数）．图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Q x ∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2e xPx x x x y y ∂=+-∂， 2cos 2sin 2e xQx x x x y x ∂=+-∂．从而P Q y x ∂∂=∂∂，由格林公式得． ()()222d d cos 2sin e sin 2e d d 0++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x x LD x yxy x xy x y x x y Q P x y x y(3)如图11-5所示，记OA ，AB ，BO 围成的区域为D ．（其中BO =-L ）图11-5P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2 262cos Pxy y x y ∂=-∂，262cos Q xy y x x ∂=-∂ 由格林公式有：d d d d 0L OA AB D Q P P x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π21220012202d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰LOA AB OA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy y y y y(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d ++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO D Q P P x Q y x y x y而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x ，即，0∂∂-=∂∂Q P x y于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264L LBA OB P x Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x xy x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x Py m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m aP x Q y P x Q y m a xm m m a xm a8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x =a cos 3t ，y =a sin 3t ； (2)双纽线r 2=a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2=2ax ． 解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y xa a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰；(2)()()()()3,423221,2d d 663x yxy y x y xy +--⎰；(3)()()1,221,1d d x y x x y -⎰沿在右半平面的路径；(4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径；证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x ∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y ∂=-∂，2123Q xy yx ∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x yxyy x y xy y xy y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Q y x ∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q =P Q y x ∂∂=∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,8101,0801529x y=+⎡=+⎣=⎰⎰⎰10．验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x ,y )的全微分，并求这样的一个函数u (x ,y )：(1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ． 2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x yx y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Q x y x ∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x yx y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy y x ，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyy y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos Px y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Q y x x yx ∂=-∂， 有P Q y x ∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰11．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G因此22d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦ 知()()221ln ,2u x y x y =+．12．设在半平面x >0中有力()3kF xi yj r =-+构成力场，其中k为常数，r =，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为．33d d L k k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-，3kyQ r =-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且 53(0)P kxy Q x y r x ∂∂==>∂∂因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x yx y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x yx y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分： (1)22d d x y z x y∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x ,y ,z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0,y =0,z =0,x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面22z x y =+与平面z =h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向； (6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x yy xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：222z R x y =---，下侧，Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．()()()()()()()()()()22222222π42222002π222222222002π35422222222200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yR x y r r rR r R r R R r r R R R r R R r R r R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=----=---=-⋅-⎡⎤+--⎣⎦⎡⎤=----+---⎣⎦=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：21x y =-(y ,z )∈D yz，故23202d d 1d d d 1d 31d yzD x y z y y zz y yy y∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：21y x =-(x ,z )∈D xz， 故23202d d 1d d d 1d 31d xzD y z x x z xz x xx x∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：120120d d d d d d 231d 61d π643π2z x y x y z y z xx x x x∑++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为1cos 3α=，1cos 3β-=，1cos 3γ=，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()123441100d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()22200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yyxz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量3d d d d d d d 432d d d π2π33k y z y z xP Q x y z x y x y z ∑ΩΩΦ=+∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（由高斯公式）16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立体的表面的外侧；(2)333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧； (3)()()2232d d d d d d 2xz y z z x x yxy z xy y z ∑++-+⎰⎰，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2，0z ≤的表面外侧；(4)d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ是界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2=9的整个表面的外侧；解：(1)由高斯公式()()22204d d d d d d d 2222d 6d 6d d d 3aaax y z y z x z x yvx y z vx y z x v x x y za ∑ΩΩΩ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性(2)由高斯公式：()3332222ππ405d d d d d d d 3d 3d d sin d 12π5ax y z y z x z x yP Q R v x y z v x y z r ra ∑ΩΩθϕϕ++∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)由高斯公式得 ()()()2232222π2π222024π05d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5aaxz y z z x x yxy z xy y z P Q R v x y z v z x y r r rr ra ∑ΩΩθϕϕϕϕ++-+∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)由高斯公式得： 2d d d d d d d 3d 3π3381πx y z y z x z x yP Q R v x y z v∑ΩΩ++∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x zΓ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2，x +y +z =0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y zyz x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2=2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰y x x y z zΓ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为（是一个边长为2的正六边形）；Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d23292x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=++===-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑18．把对坐标的曲线积分()()d d,,LP x Q yx y x y+⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)．解：(1)L的方向余弦πcos cos cos42αβ===，故()()d d,,dLP x Q yx y x yP x Qs++=⎰⎰(2)曲线y =x 2上点(x ,y )处的切向量T ={1,2x }．其方向余弦为cos α=，cos β=故()()d d ,,d 2,,LP x Q yx y x y P x xQ x y x y s++=⎰⎰(3)上半圆周上任一点处的切向量为⎧⎨⎩其方向余弦为cos α=cos 1x β=-故()()()()()d d ,,d ,,1LLP x Q yx y x y s Q x y x y x +⎤=+-⎦⎰⎰ 19．设Γ为曲线x =t ，y =t 2，z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分d d d P x Q y R z Γ++⎰化成对弧长的曲线积分．解：由x =t ，y =t 2，z =t 3得d x =d t ，d y =2t d t =2x d t ，d z =3t 2dt =3y d t ，d s t =．故d cos d d cos d d cos d x s y s z s αβγ======因而d d d P x Q x R x s ΓΓ++=⎰⎰20．把对坐标的曲面积分 ()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，，单位向量为n 0={35，25，}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos5β=，cos γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R sP Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1}其方向余弦：cos α=cos β=cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
第十一章 习题课一、判断题（每题3分）1.设区域Ω是一个单连通区域，函数()(),,,P x y Q x y 在Ω内具有一阶连续偏导，若在Ω内存在函数(),u x y ，使得du Pdx Qdy =+，则曲线积分L Pdx Qdy +⎰在Ω内与路径无关的. （ ）2.设区域G 是一个单连通区域，函数()(),,,P x y Q x y 在G 内具有一阶连续偏导，则曲线积分LPdx Qdy +⎰在G 内与路径无关的充分必要条件是：在G 内存在函数(),u x y ，使得du Pdx Qdy =+.（ ）3.函数),(),,(y x Q y x P 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 dy y x Q dx Ly x P ),(),(+⎰在G 内与路径无关⇔xy P ∂∂=∂∂Q在G内恒成立（ )4.设L 为xoy 平面内直线x a =上的一段，则(,)0LP x y dx =⎰.（ ）5.设L 为圆周221x y +=按逆时针转一周,则0Lxdy ydx +=⎰ .( )6．若c 为221xy +=正向一周，则220cxdx ydyx y+=+⎰. （ ）7．设L 是任意一条光滑的闭曲线，则220Lxydx x dy +=⎰. （ ）8.若C 是以()()0,0,1,1O A 为端点的直线段，则曲线积分()0Cy x dx -=⎰.（ ）二、选择题（每题3分）1. L 为圆周221x y +=，计算对弧长的曲线积分22x y Leds +=⎰（ C ）.（A ）0 （B ）e π （C ）2e π （D ）3e π2.设L 是抛物线2x y = 上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧，则对弧长的曲线积分(,)L P x y ds =⎰（ C ）（A ）⎰402),(dx x x P ; （B ）⎰202),(dx x x P ;（C ）⎰+202241),(dx x x x P ; （D ）⎰022),(dx x x P . 3. 设积分弧段L 为圆周229x y +=的上半圆，则曲线积分22()Lx y ds +=⎰（ C ）. （A ）3π （B ）6π （C ）27π （D ）54π4. 若C 为221x y +=正向一周，则22cx y ds +=⎰（ C ）.（A ）0 （B ）π （C ）2π （D ）3π 5. 设C 为椭圆22154x y +=，其周长为a则有22(45)Cx y ds +=⎰（ D ）. （A ）0 （B ）5a （C ）15a （D ）20a 6.若L 为xoy 平面内直线x a =上从点(,1)a 到(,3)a 的一段弧，则Lxydx =⎰（ C ）.（A ）2a （B ）3a （C ）0 (D) 27.设L 是抛物线2x y = 上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧，则对坐标的曲线积分=⎰dx y x P L ),(（ B ） （A ）⎰42),(dx x x P ; （B ）⎰22),(dx x x P ;（C ）⎰+202241),(dx x x x P ; （D ）⎰22),(dx x x P .8.平面区域D 的边界曲线为L ，下列曲线积分中，表示区域D 的面积的积分是（ A ）.（A ）12Lxdy ydx -⎰;（B ）12Lydx xdy -⎰;（C ）Lxdy ydx -⎰;（D ）Lydx xdy -⎰.9.设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则LPdx Qdy +=⎰( D ).（A)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Qy P )(（B)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Py Q )(（C) ⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y Q x P )( （D)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Px Q )(10、下列曲线积分与路径无关的是（ C ）. （A ）()()2531Lx y dx y x dy -+++⎰;（B ）()()2cos 2sin 12sin Lx y x xy x dx y x dy ++-⎰;（C ）4sin sin3cos 3cos3cos2L x y xdx y xdy -⎰;（D ）()()222sin Lx y dx x y dy --+⎰. 11.下列表达式中肯定不是某个二元函数的全微分的是（ C ）（A ）xdy ydx +; （B ）ydy xdx +; （C ）xdy ydx - ; （D ）ydy xdx -.12.若曲面∑：2222a z y x =++，则S d z y x ⎰⎰++∑)(222＝ （ C ）（A ）4a p ; （B ）42a p ;（C ）44a p ; （D ）46a p .13. 如果∑代表球面,1222=++z y x 则dS z y x ⎰⎰∑++222=（ D ）（A ）π2； ； （B ）π34； （C ）π3; （D ）π4.14. 设曲面∑为()22210x y z z ++≥=，则dS ∑=⎰⎰（ D ）.（A ）43π； （B ）23π； （C ） 4π； （D ） 2π.15.设∑为球面2222a z y x =++在h z ≥部分,0h a <<,则zdS ∑=⎰⎰（ D ）（A）2220a h d πθ-⎰⎰;（B）20d πθ⎰;（C）20d ardr πθ⎰;（D）20d ardrπθ⎰16.设曲面∑是上半球面：)0(2222≥=++z R z y x ，曲面1∑是曲面∑在第一卦限的部分，则有（ C ） （A ）14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰; （B ）14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰;（C ）14zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰; （D ）14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰.17.设曲面积分()()22xy dxdy y z xdydz ∑-+-⎰⎰沿空间闭区域Ω的整个边界曲面∑的外侧进行，使用高斯公式对其变形后应为（ A ）. （A ）()y z dxdydz Ω-⎰⎰⎰;（B ）()1x dxdydz Ω+⎰⎰⎰;（C ）()2x y z dxdydz Ω+-⎰⎰⎰;（D ）()2x y dxdydz Ω-⎰⎰⎰.三、解答题（每题8分） 1计算曲线积分Lydx xdy +⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.解：Lydx xdy +⎰=()20sin sin cos cos R t R t R t R t dt π⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦⎰=22cos 20R tdt π=⎰2．计算曲线积分Lydx xdy +⎰，其中L是为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到4π的一段弧.解：Lydx xdy+⎰()224400sin sin cos cos cos22R R t R t R t R t dt R tdt ππ=⋅-+⋅==⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 3.计算曲线积分()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是从点（1,1）到（4,2）的直线段.解：L 的方程为211(1)41y x --=--，即32x y =-， y 从1变到2.化为对y 的定积分计算，有原式=21[(32)3(32)1]y y y y dy -+⋅+-+⋅⎰=21(104)11y dy -=⎰.4.计算3223x dx zy dy x ydz Γ+-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB .解：直线段AB 的方程是321x y z==化为参数方程得3,2,,x t y t z t ===t 从1变到0.所以3223x dx zy dy x ydz Γ+-⎰03221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt =⋅+⋅-⋅⎰03187874t dt ==-⎰5．计算曲线积分Lxdy ydx -⎰，其中L 为单位圆221x y +=，积分沿逆时针方向 解：2212.LI xdy ydx ππ=-=⋅⋅=⎰6.求曲线积分⎰-+++-L dy x y dx y x )635()42(，其中：L 为三顶点分别为)2,3(),0,3(),0,0(B A O 的三角形的正向边界.解：(,)24,(,)536P x y x y Q x y y x =-+=+-4Q Px y ∂∂-=∂∂由格林公式，得(24)(536)412LDx y dx y x dy dxdy -+++-==⎰⎰⎰7. 计算曲线积分⎰+++=Ldy y x dx y x I 222)()(，其中L 是以点)4,2(),1,2(),0,0(B A O 为顶点的三角形的正向.解：222(,),(,)()P x y x y Q x y x y =+=+2Q Px x y ∂∂-=∂∂记以点(0,0),(2,1),O AB 为顶点的三角形所围的区域为1:02,22D x x y x≤≤≤≤22222102()()22x LxDx y dx x y dy xdxdy dx xdy +++==⎰⎰⎰⎰⎰[]2222102238x x xy dx x dx ===⎰⎰8.利用格林公式计算22()(sin )Lx y dx x y dy --+⎰其中L 是圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1(的一段弧.解：2(,)P x y x y =-2(,)(sin )Q x y x y =-+1Q P x y ∂∂=-=∂∂故曲线与路径无关22()(sin )Lx y dx x y dy--+⎰112200sin 27(1sin )46x dx y dy =-+=-⎰⎰ 9．设()x f 连续可导，且()210-=f ，求()x f ，使得积分()()Bx Ae f x ydx f x dy -⎡⎤+-⎣⎦⎰ 与路径无关，并求当(0,0),(1,1)A B ==时的积分值. 提示:利用Q Px y ∂∂=∂∂.解：(,)()(,)()x P x y e f x yQ x y f x -⎡⎤=+=-⎣⎦由Q P x y ∂∂=∂∂，得'()()xf x e f x --=+，即'()()x f x f x e -+=-()()()xxf x e C dx e C x --=-=-⎰又因()102f =-所以12C =-. 故1()()2xf x e x -=-+(1,1)110(0,0)1133()()2222xx e x ydx x e dy e dy e ----++==⎰⎰10.设G 为一不含原点的区域，L 为G 中的任意一曲线，证明：积分Lcos sin x x e ydx e ydy -⎰与积分路径无关.证明：cos , sin x x P e y Q e y ==-sin x P Qe y y x∂∂==-∂∂ 故原积分与路径L 无关.11.设G 为一不含原点的区域，L 为G 中的任意一曲线，证明：积分Ldx +⎰与积分路径无关.证明：P Q == 33222222(), ()P Qxy x y xy x y y x--∂∂=-+=-+∂∂ 设G 为一不含原点的区域，则原线积分在G 中与路径无关.L 为不过原点的任意一曲线，则L G ∈, 故原积分与路径L 无关. 12．L 为G 中的任意一曲线，证明： 积分2222(2)(2)Lx xy y dx x xy y dy +-+--⎰与积分路径无关. 证明：22222, 2P x xy y Q x xy y =+-=--22=P Q x y y x ∂∂=-∂∂故原积分与路径L 无关.13. 已知曲线积分ydy x f ydx e x f Lxcos )(sin ])([+-⎰与路径无关，其中)(x f 一阶连续可导且e f =)1(，求)(x f . 解：(,)[()]sin ,(,)()cos x P x y f x e y Q x y f x y=-=由Q Px y ∂∂=∂∂，得''[()]cos ()cos ()()x xf x e y f x y f x f x e -=⇒-=-()()dxdxx x x f x e C e e dx Ce xe -⎰⎰⇒=+-=-⎰又因(1)f e =所以2C =故()(2)xf x e x =-14.设)(x f 可微，1)0(=f 且曲线积分2[2()]()x Lf x e ydx f x dy ++⎰与路径无关, 求)(x f .解：2(,)[2()],(,)()xP x y f x e y Q x y f x =+= 由Q P x y∂∂=∂∂，得2()2()x f x f x e '=+2222()()()dxdxx x f x e C e e dx e C x -⎰⎰⇒=+=+⎰又因(0)1f =所以1C =, 故2()(1)xf x e x =+15.已知曲线积分[()]sin ()cos xLf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，其中)(x f 一阶连续可导且0)0(=f ，求)(x f 解 ：(,)[()]sin x P x y f x e y =-，(,)()cos Q x y f x y =-，由Q Px y ∂∂=∂∂，得''[()]cos ()cos ()()x xf x e y f x y f x f x e -=-⇒+=1()()2dxdx x x x f x e C e e dx Ce e --⎰⎰⇒=+=+⎰ 又因(0)0f =所以12C =-故()2x xe ef x --=16.计算曲线积分L xdx ydy +⎰，其中L 是从点()0,0到()1,1的直线段. 解： :(:01)L y x x =→121Lxdx ydy xdx +==⎰⎰17.验证：()21ydx xdy y -在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个(),u x y .证明:2211,,,x Q PP Q y y x y y∂∂==-=-=∂∂ ()21ydx xdy y -是全微分； (),xu x y y =.18.验证：()()22x y dx x y dy +++在整个xOy 平面内是某一函数 (),u x y 的全微分，并求这样的一个(),u x y .证明：2,2,2,Q P P x y Q x y x y∂∂=+=+==∂∂()()22x y dx x y dy+++是全微分；()()()()()(),220,000,2222.22x y yx x y u x y x y dx x y dy xdx x y dy xy =+++=++=++⎰⎰⎰19.验证：()222xydx x y dy ++在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个(),u x y . 证明:22,2,2,2,P QP xy Q x y x x y x∂∂==+==∂∂()222xydx x y dy ++是全微分；()()()(),2220,0,22x y u x y xydx x y dy x y y =++=+⎰20.验证：在整个xoy 平面内，22xy dx x ydy +是某个函数(),u x y 的全微分，并求出一个这样的函数(),u x y .证明：()()2222222211222x y xy dx x ydy y d x x d y d ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭()221,2u x y x y =21.计算曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是平面0,0,0,x y z ===,,x a y a z a ===所围成的立方体的表面的外侧.解：()26VI x y z dv zdv Ω=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=4063aa adx dy zdz a =⎰⎰⎰22.利用高斯公式求曲面积分⎰⎰∑++=dxdy z dzdx xz xdydz I 22，其中∑是由抛物面22y x z +=和平面1=z 所围成的区域的边界曲面的外侧. 解:22I xdydz xz dzdx z dxdy∑=++⎰⎰10(12)(12)zD z dxdydz z dz dxdy Ω=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰112(12)(2)z zdz z z dz ππ=+⋅=+⎰⎰76π=23.利用高斯公式计算()()y z xdydz x y dxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体221x y +≤的整个表面的外侧.解: (),0,P y z x Q R x y =-==-()()()P Q R y z xdydz x y dxdy dxdydz x y z∑Ω∂∂∂-+-=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰2130009()(sin )2y z dxdydz d d z dz ππθρρθρΩ=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰24.利用高斯公式计算yzdydx dzdx y xzdydz +-⎰⎰∑24其中∑是平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ======所围成的立方体的全表面的外侧. 解：24,,P xz Q y R yz ==-= 4,2,P Q Rz y y x y z∂∂∂==-=∂∂∂ 由高斯公式得24xzdydz y dzdx yzdydx ∑-+⎰⎰ (4)z y dxdydz Ω=-⎰⎰⎰1111112000000(4)2dx dy z y dz dx z yz dy ⎡⎤=-=-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 12110003(2)222y dx y dy y ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰25.利用高斯公式计算xdydz ydzdx zdydx ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222az y x=++的外侧.解 ：3343343Vxdydz ydzdx zdydx dV a a ππ∑++==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰26.利用高斯公式计算曲面积分2,I ydydz xdzdx z dxdy ∑=-+⎰⎰ 其中∑是锥面z =介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.解：补平面221:z 3,(9)x y ∑=+≤取上侧 1I ∑Ω∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2zdv 9xyD dxdy Ω=-⎰⎰⎰⎰⎰3302z d 81z ππ=-⎰812π=-27.利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是由圆柱面222(0)x y a a +=>、平面0z =和3z =所围成立体的表面的外侧. 解： 由高斯公式知239xdydz ydzdx zdxdy dxdydz a π∑Ω++==⎰⎰⎰⎰⎰ 28.计算曲面积分()()()222y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰,其中∑为锥面z =()01z ≤≤的表面下侧.提示:使用高斯公式.解：补平面 221:0(1)z x y ∑=+≤ 取上侧 1+00VI dV ∑==⎰⎰⎰⎰⎰上()22121x y I xy dxdy∑+≤-⎰⎰⎰⎰上＝－＝－2212222001114cos 42244x y x dxdy d r rdr πππθθ+≤=-=-=-⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰29.计算曲面积分24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰，其中∑是平面0,0,0,x y z ===1, 1.1x y z ===所围成的立方体的全表面的外侧.解：()43VVI z y dxdydz zdxdydz =-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝111000332dx dy zdz =⎰⎰⎰30.利用高斯公式计算曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰， 其中∑为平面0,0,0,,,x y z x a y a z a ======所围成的立体的表面的外侧.解：()2226VVI x y z dxdydz zdxdydz=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰44000663.2a a aa dx dy zdz a ==⋅=⎰⎰⎰。
