高数(同济第六版)第十一章总结

则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
函数
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)

2 a cos t(a cos t) a sin t a sin t
0
a2
dt
2
dt 2
统一变量化成定积分
0
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
16
例7 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
解:
P ex cos y 2 Q ex cos y
y
x
I
LOA
OA
y
(Q P )d (ex sin y 2 y)d x
其中L 为折线 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2).
yB
解： P ex , y
Q e y x
(e y ex ) d
A
0
x
L
D
1
dx
2x (e y ex )d y
OB : y 2x
0
0
1 (e2x 1 2xex )d x 1 e2 7
0
2
10
例3 计算 I ( y2 xe2 y )dx (x2e2 y x2 )dy, L
0
0
此题的特点： P 2x y Q x2
P 2x Q
y
x
23
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 ,
函数
在D 内
具有一阶连续偏导数,
则以下四个条件等价:
(1) 在 D 内每一点都有
P Q . y x
(2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
L Pdx Qd y 0.
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x, 得 2 dxdy L xdy ydx

同济高数第十一章
• 函数与极限 • 导数与微分 • 导数的应用 • 不定积分 概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它是 一种特殊的映射关系，将一个集 合的元素按照某种规则映射到另 一个集合的元素。
函数的表示方法
函数的表示方法有多种，包括解 析法、表格法和图象法等，其中 解析法是用数学表达式来表示函 数关系。
函数的单调性与极值
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调递 增，则该函数在该区间内的导数大于等 于零；如果函数在某个区间内单调递减 ，则该函数在该区间内的导数小于等于 零。
VS
函数的极值
函数的极值是指函数在某个点的值大于或 小于其邻近点的值。如果函数在某个点的 左侧导数大于零，右侧导数小于零，则该 点为函数的极大值；如果函数在某个点的 左侧导数小于零，右侧导数大于零，则该 点为函数的极小值。
03
导数的应用
中值定理与洛必达法则
中值定理
中值定理是导数应用中的一个重要定理，它指出如果函数在闭区间上连续，开区间上可导，则在开区 间内至少存在一点，使得该点的导数等于函数在区间端点处的函数值之差除以区间的长度。这个定理 在研究函数的性质和解决某些问题时非常有用。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的一种重要方法，特别是处理分式函数的极限问题。如果一个分式函数的极限为 零，并且分子和分母的导数都存在且分母的导数不为零，则可以将分子和分母分别求导后再求极限， 这个法则称为洛必达法则。
导数的计算
总结词
导数的计算是理解导数概念和运用其解决问题的基础。
详细描述
通过求导公式、链式法则、乘积法则和商的求导法则等，可以计算给定函数的导数。掌握导数的计算方法对于理 解函数的性质、研究函数的极值和优化问题等具有重要意义。

思考题
收敛, 收敛? 设正项级数∑ un 收敛, 能否推得 ∑ un 收敛?
2 n =1 n =1 ∞ ∞
反之是否成立? 反之是否成立?
思考题解答
收敛， 收敛, 由正项级数 ∑ un 收敛，可以推得 ∑ un 收敛
2 ∞ ∞ n =1 n =1
n→ ∞
( 2) lim un = lim = 0,
它是收敛的。 ∴ 它是收敛的。
1 n n→ ∞
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定 理 若
∞ ∞
∑u
n=1
n
收 ,则 敛
∑u 收敛.
n=1 n
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 且 v n ≤ un , ∴ ∑ v n收敛 , 显然 v n ≥ 0,
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l un l ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2
且 sn = u1 + u2 + L + un ≤ v1 + v2 + L + vn ≤ σ ,
n =1
n=1
∞
n=1
即部分和数列有界

f(x,y)ds bf(x,(x)) 12(x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧 L :r r ()( ),
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d
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（二）、 对坐标的曲线积分
总复习
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )

转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
2、性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d zd x R d x d y
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3、计算法
定理: 设光滑曲面 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y
R(x,y,z)是 上的连续函数, 则
Q [(t),(t), (t)](t)
R [( t),( t), ( t)] (t)dt
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4、两类曲线积分的联系
LPdxQdy L P c o Q sc od s
PdxQdy R d zP c o Q s c o R s co d s s
Q(x,y,z)dzdxD zxQ(x,y(z,x),z)dzdx
(右正左负)
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4、两类曲面积分的联系

4
sin t ,
1
sin 3t , sin 5t , sin 7 t , 4 3 4 5 4 7
1
1
4 u sin t
4 1 u (sin t sin 3t ) 3
4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f ( t ) A0 An sin( nt n )
n1 n1

谐波分析
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 : 任意两个不同函数在 [ , ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
试求其Fourier级数的和函数
3 s( x )在 x , ,10各点处的值 2
解
s( x )是以2为周期的函数
f ( x )在整个数轴上连续 ，
其Fourier级数处处收敛于f ( x )本身
s( ) 0
3 s( ) s( 2 ) s( ) 2 4 2 2
n1
1 bn f ( x ) sin nxdx 傅里叶系数
( n 1,2,3,)
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 n f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,)

1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n

1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;

大一高数第十一章知识点总结第十一章是大一高数的最后一章，也是整个课程的重点和难点之一。

本章主要涉及到了一元函数积分的概念、性质和计算方法。

在学习这个章节时，我们需要掌握一些基本概念和定理，以及一些常用的积分求解方法。

下面就让我们来一起总结一下这些知识点。

一、不定积分的概念和性质不定积分是积分学中最基本的概念之一。

它表示一个函数的原函数。

如果函数f(x)是函数F(x)的导函数，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。

不定积分的计算可以用积分表或者运用常用的积分公式来完成。

在计算时，我们需要注意不定积分具有线性性质和可加性，以及积分与导数的基本关系。

二、定积分的概念和性质定积分是积分学中另一个重要的概念。

它表示了函数在一个闭区间上的平均值。

定积分的计算方法有很多，包括用定积分的性质来计算、用微元法进行计算、利用换元法进行计算等。

在计算定积分时，我们需要掌握换元法和分部积分法，并且需要注意定积分与不定积分的基本关系。

三、变限积分和定积分的换元法当我们计算某些复杂函数的不定积分或定积分时，可以利用换元法来简化计算过程。

换元法可以将原来的积分问题转化成一个更易处理的积分问题。

在应用换元法时，我们需要注意选择合适的换元变量和变限积分的变量范围，从而得到正确的结果。

四、微积分基本定理微积分基本定理是微积分中最重要的定理之一。

它建立了不定积分和定积分之间的关系。

根据微积分的基本定理，我们可以通过计算一个函数的原函数来求解相应的定积分。

同时，基本定理还提供了一种方法来计算带有变限积分的定积分。

五、换元法的应用换元法是微积分中一种非常常用的积分计算方法。

在具体应用中，我们可以通过选取不同的变量进行变量替换，将原来的积分问题简化为更易于计算的问题。

换元法的应用范围非常广泛，包括三角换元法、指数换元法、对数换元法等。

在使用换元法时，我们需要仔细观察被积函数的性质，选择合适的换元方式。

六、分部积分法的应用分部积分法也是微积分中的一种常用的积分计算方法。

(
P x
Q y
R z
)dv
1
3
1
xdydz ydzdx zdxdy
1
3
3
dv
3
3
4 3
3
4
11
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1 3
3
dv
V
28
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y

2 0
1
B(1,1)
= 0.
在 AB 上, x = 1, y 从 0 变到1 ,
A(1,0)
∫AB 2xydx + x dy = ∫0 (2y⋅ 0 +1)dy = 1.
2
1
∴原式= 0+ 1= 1. +
问题：被积函数相同，起点和终点也相同， 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同. 路径不同而积分结果相同
类似地
n
∫
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A( x, y, z)dr
Γ
A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k
5.性质 性质
(1) ∫ [αF ( x, y) + β F2 ( x, y)]dr 1
L
= α∫ F ( x, y)dr + β ∫ F2 ( x, y)dr . 1
+
Q[ϕ ( t ),ψ ( t )]
β
ψ ′( t ) ϕ ′2 (t ) + ψ ′2 (t )
} ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt
= ∫ { P [ϕ ( t ),ψ ( t )]ϕ ′( t ) + Q [ϕ ( t ),ψ ( t )]ψ ′( t )}d t
α
即 ∫ Pdx + Qdy =∫ (P cosα + Qcos β )ds
2 2
0 π
B(−a,0)
A(a,0)
4 3 = a ∫ (1 − cos θ )d(cosθ ) = − a . 0 3

制定任务清单
将需要掌握的知识点细化成具体的任务，每天按照任务清单进行复习， 确保每个任务都能得到落实。
有效利用时间，提高复习效率
集中注意力
在复习过程中，要尽量避免分散注意力，保持专注，提高复习效 率。
采用科学的学习方法
针对不同的知识点，采用不同的学习方法，如归纳总结、对比分析、 练习巩固等，以提高学习效果。
积分计算错误
积分计算中常见的错误包括积分公式选择不当、 积分上下限处理不当等。
概念理解不清导致错误剖析
函数概念理解不清
如对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念理解不透彻， 导致在解题过程中出现错误。
极限概念理解不清
如对极限的定义、性质等理解不透彻，导致在求极限时出现错误。
积分概念理解不清
如对定积分、不定积分的概念、性质等理解不透彻，导致在积分计 算中出现错误。
反思与总结
针对自我评价中发现的问题，进行深入的反思和总结，制定相应的学习计划和 复习策略，以便更好地备战考试。
06 备考建议与时间规划
制定合理的备考计划
确定复习目标
明确自己在高数同济六版课件D11中的薄弱环节，以及需要重点掌 握的知识点。
制定时间表
根据自己的时间安排，合理分配每个知识点的复习时间，确保有充 足的时间进行总复习。
解，形成完整的知识体系。
提高综合运用能力
02
能够综合运用所学知识解决问题，提高解题的准确性和速度。
为考试做好准备
03
针对考试要求和题型，进行有针对性的复习和准备，提高应试
能力。
掌握基本要求
准确理解概念
注重计算方法和技巧
对高数中的概念要准确理解，避免似 是而非、一知半解的情况。
掌握常见的计算方法和技巧，提高计 算效率和准确性。

的导函数连续且不同时为零,则

1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算
设平面曲线 L 关于 x 轴对称，且位于上半 平面的部分曲线为 L0，则 如果被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数， 则 f ( x, y)ds 0 ； 如果被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数， 则 f ( x, y)ds 2 f ( x, y)ds ； 平面曲线 L 关于 y 轴对称时有类似的结论。
3.1 格林公式
有界闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围成，函数P( x, y)、 L 是区域 D 的 Q( x, y)在区域 D 内的一阶偏导数连续， 正向边界曲线，则 Q P Pdx Qdy ( )d
L D
x
y
注：

L
xdy ydx 2 A (其中A为区域D的面积)


Γ0
2 .1 对坐标的曲线积分的定义
定义：函数 P( x, y) 在 L 上对坐标x 的曲线积分 n P( x, y)dx lim P(i ,i )xi

L
0
i 1

函数 Q( x, y) 在 L 上对坐标 y 的曲线积分

L
Q( x, y)dy lim Q(i ,i )yi
上
上
5.1 对坐标的曲面积分
定义：函数 R( x, y, z) 在有向曲面 上对坐标 x, y 的曲面积分。记作：


R( x, y, z )dxdy lim R(i ,i , i )(Si ) xy
0
i 1n同理，可定义：P ( x, y, z )dydz lim P(i ,i , i )(Si ) yz

第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）1、 体现的是“对弧长”的积分，∫f(x,y)ds L[其中L 为光滑连续的一段或分段曲线]，依然用黎曼积分法得出。

2、 积分算法的主线是将对弧长s 的积分化成对t ，x 或其他一个变量的积分：①有参数方程 x =φ(t)y =ϕ(t)ds =√φ′2(t )+ϕ′2(t)dx (a ≤t ≤b )则化为∫f(x,y)ds L =∫f(φ(t),ϕ(t))√φ′2(t )+ϕ′2(t)dt ba 极坐标形式中ds =√r 2(θ)+r ′2(θ)dθ②有显方程y=f(x)，则有ds =√1+f ′2(x)dx第二节 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）1、有F (ξ,η)=P (ξ,η)i +Q(ξ,η)j , dr =dxi +dyj ，则有积分∫Fdr =L ∫Pdx L+ Qdy （有向量的存在，则必然有方向问题）2、对第二类曲线积分的算法，中心也是要把对x ，y 的积分化为t ，x 等一个变量的积分3、两类积分的关系：某点处的方向向量e l =（cosα，cosβ）则有∫Pdx L + Qdy =∫(Pcosα+Qcosβ)ds L第三节 格林公式1、 描述的是曲线积分与二重积分的关系（有图示）:12“正向规定”，围成的复连通区域为D②格林公式的形式：∮Pdx L 1+L 2+ Qdy =∬(∂Q ∂y −∂P∂x )dxdy D③Green 公式成立所满足的条件：区域D 由分段光滑的曲线围成；P 、Q 在D 上有一阶连续偏导2、平面积分与路径无关：∮Pdx L+ Qdy =0，则 ①∂Q ∂y =∂P ∂x ②必有某个函数μ(x,y)使得dμ=Pdx +Qdy。

第十一章 级 数§1 常数项级数1. 根据定义判断级数的敛散性，若级数收敛，求出级数的和. （1）1n ∞=∑解：11nn k S ===∑，故lim 1]n n n S →∞→∞==∞故级数发散。

（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑ 解：111111111111()()(1)(21)(21)2212122121221nnn n k k k S k k k k k k n =====-=-=--+-+-++∑∑∑，故111lim lim(1)2212n n n S n →∞→∞=-=+，故级数收敛。

（3）111(1)2n n n -∞-=-∑解： 11111()(1)2121()12321()2nk n n n k k S --=---⎡⎤===--⎢⎥⎣⎦--∑， 故212lim lim1()323n n n n S →∞→∞⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦，故级数收敛。

（4）111(1)5n nn -∞=+-∑ 解：11111111()1()1(1)1(1)11111155[1()][1()]55555456511()55n nk k n n nn n n k k kk k k S --===---+--==+=+=-+-----∑∑∑故11115lim lim [1()][1()]456512n n n n n S →∞→∞=-+--=，故级数收敛。

2．判断下列级数的敛散性： （1）114(1)5nn n n ∞-=-∑解：该级数为公比45-的等比级数，又415-<，故级数收敛。

（2）151()23n n n ∞=+∑ 解：因为1115151()2323n n n n n n n ∞∞∞===+=+∑∑∑，又1151,23n n n n ∞∞==∑∑是公比绝对值小于1的等比级数收敛，故151()23n n n ∞=+∑收敛。

（3）111(1)nn n∞=+∑ 解：因为11lim01(1)n n en→∞=≠+，所以级数发散。

⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼗⼀章答案[1]习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +?，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第⼀象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ，其中Γ为折线ABCD ，这⾥A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ?，其中L 为摆线的⼀拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有⼀段铁丝成半圆形y =，其上任⼀点处的线密度的⼤⼩等于该点的纵坐标，求其质量。

解曲线L 的参数⽅程为()cos ,sin 0x a y a π==≤≤ds ad ??==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a π===?? 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的⼀段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+?，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针⽅向绕⾏）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-?，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的⼀段直线；（4）dx dy ydz Γ-+?，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这⾥A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧。