高数(同济第六版)第十一章总结

则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
函数
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)

同济高数第十一章
• 函数与极限 • 导数与微分 • 导数的应用 • 不定积分 概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它是 一种特殊的映射关系，将一个集 合的元素按照某种规则映射到另 一个集合的元素。
函数的表示方法
函数的表示方法有多种，包括解 析法、表格法和图象法等，其中 解析法是用数学表达式来表示函 数关系。
函数的单调性与极值
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调递 增，则该函数在该区间内的导数大于等 于零；如果函数在某个区间内单调递减 ，则该函数在该区间内的导数小于等于 零。
VS
函数的极值
函数的极值是指函数在某个点的值大于或 小于其邻近点的值。如果函数在某个点的 左侧导数大于零，右侧导数小于零，则该 点为函数的极大值；如果函数在某个点的 左侧导数小于零，右侧导数大于零，则该 点为函数的极小值。
03
导数的应用
中值定理与洛必达法则
中值定理
中值定理是导数应用中的一个重要定理，它指出如果函数在闭区间上连续，开区间上可导，则在开区 间内至少存在一点，使得该点的导数等于函数在区间端点处的函数值之差除以区间的长度。这个定理 在研究函数的性质和解决某些问题时非常有用。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的一种重要方法，特别是处理分式函数的极限问题。如果一个分式函数的极限为 零，并且分子和分母的导数都存在且分母的导数不为零，则可以将分子和分母分别求导后再求极限， 这个法则称为洛必达法则。
导数的计算
总结词
导数的计算是理解导数概念和运用其解决问题的基础。
详细描述
通过求导公式、链式法则、乘积法则和商的求导法则等，可以计算给定函数的导数。掌握导数的计算方法对于理 解函数的性质、研究函数的极值和优化问题等具有重要意义。

思考题
收敛, 收敛? 设正项级数∑ un 收敛, 能否推得 ∑ un 收敛?
2 n =1 n =1 ∞ ∞
反之是否成立? 反之是否成立?
思考题解答
收敛， 收敛, 由正项级数 ∑ un 收敛，可以推得 ∑ un 收敛
2 ∞ ∞ n =1 n =1
n→ ∞
( 2) lim un = lim = 0,
它是收敛的。 ∴ 它是收敛的。
1 n n→ ∞
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定 理 若
∞ ∞
∑u
n=1
n
收 ,则 敛
∑u 收敛.
n=1 n
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 且 v n ≤ un , ∴ ∑ v n收敛 , 显然 v n ≥ 0,
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l un l ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2
且 sn = u1 + u2 + L + un ≤ v1 + v2 + L + vn ≤ σ ,
n =1
n=1
∞
n=1
即部分和数列有界

f(x,y)ds bf(x,(x)) 12(x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧 L :r r ()( ),
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d
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（二）、 对坐标的曲线积分
总复习
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )

转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
2、性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d zd x R d x d y
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3、计算法
定理: 设光滑曲面 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y
R(x,y,z)是 上的连续函数, 则
Q [(t),(t), (t)](t)
R [( t),( t), ( t)] (t)dt
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4、两类曲线积分的联系
LPdxQdy L P c o Q sc od s
PdxQdy R d zP c o Q s c o R s co d s s
Q(x,y,z)dzdxD zxQ(x,y(z,x),z)dzdx
(右正左负)
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4、两类曲面积分的联系

4
sin t ,
1
sin 3t , sin 5t , sin 7 t , 4 3 4 5 4 7
1
1
4 u sin t
4 1 u (sin t sin 3t ) 3
4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f ( t ) A0 An sin( nt n )
n1 n1

谐波分析
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 : 任意两个不同函数在 [ , ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
试求其Fourier级数的和函数
3 s( x )在 x , ,10各点处的值 2
解
s( x )是以2为周期的函数
f ( x )在整个数轴上连续 ，
其Fourier级数处处收敛于f ( x )本身
s( ) 0
3 s( ) s( 2 ) s( ) 2 4 2 2
n1
1 bn f ( x ) sin nxdx 傅里叶系数
( n 1,2,3,)
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 n f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,)

1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n

1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;

大一高数第十一章知识点总结第十一章是大一高数的最后一章，也是整个课程的重点和难点之一。

本章主要涉及到了一元函数积分的概念、性质和计算方法。

在学习这个章节时，我们需要掌握一些基本概念和定理，以及一些常用的积分求解方法。

下面就让我们来一起总结一下这些知识点。

一、不定积分的概念和性质不定积分是积分学中最基本的概念之一。

它表示一个函数的原函数。

如果函数f(x)是函数F(x)的导函数，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。

不定积分的计算可以用积分表或者运用常用的积分公式来完成。

在计算时，我们需要注意不定积分具有线性性质和可加性，以及积分与导数的基本关系。

二、定积分的概念和性质定积分是积分学中另一个重要的概念。

它表示了函数在一个闭区间上的平均值。

定积分的计算方法有很多，包括用定积分的性质来计算、用微元法进行计算、利用换元法进行计算等。

在计算定积分时，我们需要掌握换元法和分部积分法，并且需要注意定积分与不定积分的基本关系。

三、变限积分和定积分的换元法当我们计算某些复杂函数的不定积分或定积分时，可以利用换元法来简化计算过程。

换元法可以将原来的积分问题转化成一个更易处理的积分问题。

在应用换元法时，我们需要注意选择合适的换元变量和变限积分的变量范围，从而得到正确的结果。

四、微积分基本定理微积分基本定理是微积分中最重要的定理之一。

它建立了不定积分和定积分之间的关系。

根据微积分的基本定理，我们可以通过计算一个函数的原函数来求解相应的定积分。

同时，基本定理还提供了一种方法来计算带有变限积分的定积分。

五、换元法的应用换元法是微积分中一种非常常用的积分计算方法。

在具体应用中，我们可以通过选取不同的变量进行变量替换，将原来的积分问题简化为更易于计算的问题。

换元法的应用范围非常广泛，包括三角换元法、指数换元法、对数换元法等。

在使用换元法时，我们需要仔细观察被积函数的性质，选择合适的换元方式。

六、分部积分法的应用分部积分法也是微积分中的一种常用的积分计算方法。

(
P x
Q y
R z
)dv
1
3
1
xdydz ydzdx zdxdy
1
3
3
dv
3
3
4 3
3
4
11
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1 3
3
dv
V
28
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y

2 0
1
B(1,1)
= 0.
在 AB 上, x = 1, y 从 0 变到1 ,
A(1,0)
∫AB 2xydx + x dy = ∫0 (2y⋅ 0 +1)dy = 1.
2
1
∴原式= 0+ 1= 1. +
问题：被积函数相同，起点和终点也相同， 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同. 路径不同而积分结果相同
类似地
n
∫
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A( x, y, z)dr
Γ
A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k
5.性质 性质
(1) ∫ [αF ( x, y) + β F2 ( x, y)]dr 1
L
= α∫ F ( x, y)dr + β ∫ F2 ( x, y)dr . 1
+
Q[ϕ ( t ),ψ ( t )]
β
ψ ′( t ) ϕ ′2 (t ) + ψ ′2 (t )
} ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt
= ∫ { P [ϕ ( t ),ψ ( t )]ϕ ′( t ) + Q [ϕ ( t ),ψ ( t )]ψ ′( t )}d t
α
即 ∫ Pdx + Qdy =∫ (P cosα + Qcos β )ds
2 2
0 π
B(−a,0)
A(a,0)
4 3 = a ∫ (1 − cos θ )d(cosθ ) = − a . 0 3

制定任务清单
将需要掌握的知识点细化成具体的任务，每天按照任务清单进行复习， 确保每个任务都能得到落实。
有效利用时间，提高复习效率
集中注意力
在复习过程中，要尽量避免分散注意力，保持专注，提高复习效 率。
采用科学的学习方法
针对不同的知识点，采用不同的学习方法，如归纳总结、对比分析、 练习巩固等，以提高学习效果。
积分计算错误
积分计算中常见的错误包括积分公式选择不当、 积分上下限处理不当等。
概念理解不清导致错误剖析
函数概念理解不清
如对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念理解不透彻， 导致在解题过程中出现错误。
极限概念理解不清
如对极限的定义、性质等理解不透彻，导致在求极限时出现错误。
积分概念理解不清
如对定积分、不定积分的概念、性质等理解不透彻，导致在积分计 算中出现错误。
反思与总结
针对自我评价中发现的问题，进行深入的反思和总结，制定相应的学习计划和 复习策略，以便更好地备战考试。
06 备考建议与时间规划
制定合理的备考计划
确定复习目标
明确自己在高数同济六版课件D11中的薄弱环节，以及需要重点掌 握的知识点。
制定时间表
根据自己的时间安排，合理分配每个知识点的复习时间，确保有充 足的时间进行总复习。
解，形成完整的知识体系。
提高综合运用能力
02
能够综合运用所学知识解决问题，提高解题的准确性和速度。
为考试做好准备
03
针对考试要求和题型，进行有针对性的复习和准备，提高应试
能力。
掌握基本要求
准确理解概念
注重计算方法和技巧
对高数中的概念要准确理解，避免似 是而非、一知半解的情况。
掌握常见的计算方法和技巧，提高计 算效率和准确性。

的导函数连续且不同时为零,则

1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算
设平面曲线 L 关于 x 轴对称，且位于上半 平面的部分曲线为 L0，则 如果被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数， 则 f ( x, y)ds 0 ； 如果被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数， 则 f ( x, y)ds 2 f ( x, y)ds ； 平面曲线 L 关于 y 轴对称时有类似的结论。
3.1 格林公式
有界闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围成，函数P( x, y)、 L 是区域 D 的 Q( x, y)在区域 D 内的一阶偏导数连续， 正向边界曲线，则 Q P Pdx Qdy ( )d
L D
x
y
注：

L
xdy ydx 2 A (其中A为区域D的面积)


Γ0
2 .1 对坐标的曲线积分的定义
定义：函数 P( x, y) 在 L 上对坐标x 的曲线积分 n P( x, y)dx lim P(i ,i )xi

L
0
i 1

函数 Q( x, y) 在 L 上对坐标 y 的曲线积分

L
Q( x, y)dy lim Q(i ,i )yi
上
上
5.1 对坐标的曲面积分
定义：函数 R( x, y, z) 在有向曲面 上对坐标 x, y 的曲面积分。记作：


R( x, y, z )dxdy lim R(i ,i , i )(Si ) xy
0
i 1n同理，可定义：P ( x, y, z )dydz lim P(i ,i , i )(Si ) yz

第十一章曲线积分与曲面积分引入：在上一章中，我们研究了二元函数在平面有界闭区域上的二重积分和三元函数在空间有界闭区域上的三重积分，我们知道：重积分的计算都可以化成定积分来完成.这一章给大家介绍二元函数在平面曲线上的平面曲线积分、三元函数在空间曲线上的空间曲线积分以及三元函数在空间曲面上的曲面积分，这些积分的计算可由定积分或重积分来完成第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的相关概念 1.引例：曲线形构件的质量假设曲线形细长构件在空间所处的位置在平面内的一段曲线弧上，它的端点为，曲线弧上任一点的线密度为，求曲线形构件的质量 (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段，第个小弧段的质量为，则 (2). 常代变：记小弧段的长度为si，在小弧段上任取一点，则有， (3). 近似和： (4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对弧长的曲线积分 2. 对弧长的曲线积分的定义：设函数在平面上的一条光滑曲线上有界，在上任意插入个点将分成个小弧段，设第个小弧段的长度为si，在其上任取一点，作乘积，有和，，当时，若极限总存在，则称此极限值为函数曲线弧对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即，其中叫做被积函数，叫做积分弧段，叫做弧长微元. 注：1°.若函数在曲线弧上连续，则曲线积分存在2°.第一类曲线积分与积分弧段的方向无关，即事实上：，， . 段的长si与曲线弧的方向无关，恒为正值3°. 定积分不是第一类曲线积分的特例，因为的方向有关4°. 若是闭曲线，则在上的第一类曲线积分为：5°. 若，且积分弧段的长为，则6°. 可推广：三元函数在空间曲线上的第一类曲线积分： 3. 物理意义：可求长的物质曲线的质量，即在引例中，二、对弧长的曲线积分的性质：假设各个曲线积分都存在 1. 线性性质：设、是常数，则2.积分弧段的可加性：若积分弧段可以分成两段光滑曲线弧和，则3.不等式性质：若在上，，则.4. 绝对值不等式性质：三、对弧长的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为：且，则曲线积分存在，、在且注：1°.若曲线弧的方程为，则的方程为：，有 2.若曲线弧的方程为，则的方程为：，有3°.可推广：若空间曲线弧的参数方程为，则例1.计算，其中是抛物线上点与点之间的一段弧，解：由于曲线弧的参数方程为因此例 2. 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度).解：建立坐标系如图，则所求转动惯量，于是取的参数方程为. 例3.计算曲线积分，其中为螺旋线、、于从到的一段弧.解： . 第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的相关概念 1. 引例:变力沿曲线所作的功设一质点受变力的作用,在平面内从点沿光滑曲线弧移动到点其中和在上连续，求移动过程中变力所作的的功. (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段，变力沿第个小弧段所作的功为，则 (2). 常代变：有向小弧段可用有向线段来代替在小弧段上任取一点，则有， (3). 近似和：(4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有抽取这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲线积分 2.对坐标的曲线积分的定义：设函数、在平面内的从点到点的一条有向光滑曲线弧上有界，在上沿的方向任意插入个点将分成个有向小弧段()，，，在其上任取一点，作乘积与和式与，当个小弧段的直径最大值时， (1). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧的曲线积分，记作(2). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧的曲线积分，记作其中、叫做被积函数，叫做积分弧段. 以上两个积分也称为第二类曲线积分，有时也写成注：1°.若、在上都连续，则对坐标的曲线积分、都存在2°.若为空间曲线弧 , 则有3°.对坐标的曲线积分的物理意义：变力沿曲线所做的功二、对坐标的曲线积分的性质 1. 线性性质：设、是常数，则 2.积分曲线的可加性：若有向曲线弧段可以分成两段光滑的有向曲线弧和，则3.方向性：记表示的反向弧，则. 注：定积分是对坐标的曲线积分的特例三、对坐标的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设函数、在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为：当参数单调的由变到时，点从的起点运动到终点.、在或且，则曲线积分存在，且注：1°.与的大小不定，与积分曲线弧的方向有关2°.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有其中参数对应的起点，对应的终点3°.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有其中参数对应的起点，对应的终点4°.可推广：若空间有向曲线弧的参数方程为，则，其中对应的起点，对应的终点. 四、两类曲线积分之间的联系设函数、在有向曲线弧上连续，的参数方程为：，起点终点分别对应参数和，假设.、在，则对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系为：，其中、是曲线弧的切向量的方向余弦. 推导：由对坐标的曲线积分的计算公式，有，又曲线弧的切向量的方向余弦为，，由对弧长的曲线积分的计算公式，有，从而有注：可推广到两类空间曲线积分之间的联系：例1.计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧解法(一)：取为参数，则，，；，, 于是 . 解法(二)：取为参数，则，,于是 . 例2.计算，其中为： (1).半径为、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；(2).从点沿轴到点的直线. 解： (1). 取的参数方程为：，，于是 . (2). 的方程为：，，于是例3.计算，其中为：注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以不同 (1).抛物线上从到的一段弧； (2).抛物线上从到的一段弧； (3).有向折线，这里、、依次是点，，. 解： (1). 的方程为：，，于是(2). 的方程为：，，于是(3). ，，；，, 于是注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以相同. 例4.计算，其中是从点到点的直线段解：直线段，化为常数方程得，，于是第三节格林公式及其应用引入：在一元函数积分学中，我们知道牛顿—莱布尼兹公式分和原函数(不定积分)联系起来，这节课我们来学习联系二元函数分的公式—格林公式，通过它可以把平面有界闭区域D上的二重积分和区域D的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、格林公式 1.单连通区域：若平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都属于，则称D 区域，否则称为复连通区域注：单连通区域就是不含洞或点洞的区域，复连通区域就是含洞或点洞的区域. 2.闭曲线的正向：若观察者沿平面区域的边界曲线的某一方向行走时，区域D在他近处的那部分总在他左侧，则称这一方向为曲线的正向. 3.格林公式：定理：设闭区域D由分段光滑的曲线围成，若函数及在D 偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线注：1°.对于复连通区域，格林公式右端曲线积分应为沿区域的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向2°.若，则有平面闭区域D的面积公式 .这是因为3°.若取负向，则有. 例1.求椭圆所围成图形的面积. 解：由格林公式有 . 例2.设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明证明：令，于是例3.计算，其中是以，，为顶点的三角形闭区域解：令，于是 . 例4. 计算，其中是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，方向为逆时针方向解：记闭曲线所围成的区域为D，当时，有，， . (1).当时，由格林公式得(2).当时，以原点为心、以适当小的作位于D内的圆周.记和所围成的闭区域为对复连通区域应用格林公式，有从而有，，即 ,其中的方向为逆时针方向. 设的参数方程为，参数从到，于是 . 二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2.若函数、在单连通区域互等价： (1).沿区域内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 (2).曲线积分与路径无关，只与位于内的起点和终点有关 (3).在内存在一个函数,它的全微分为，即. (4).对内任意一点 . 注：已知，则可按如下公式求出：或推导：由于与路径无关，取，有取，有例5 在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数. 解：令，，有，从而是某一函数的全微分，且曲线积分与路径无关.取积分路径如图，则 . 例6.验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.解：令，，有，从而在整个平面内是某一函数的全微分求法(一)：由于曲线积分与路径无关.取积分路径如图，则 . 求法(二)：因为满足，从而有，其中是的待，又已知面，故，即，于是， . 第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的相关概念 1.引例：曲面形构件的质量假设曲面形构件在空间所处的位置是一张有界光滑曲面上，其上任一点的面密度为，求这曲面形构件的质量 (1). 大化小：将曲面片任意分成个小曲面块，第个小曲面块，则 (2). 常代变：记小曲面块的面积为，在小曲面块上任取一点，则有， (3). 近似和：(4). 取极限：令为个小曲面块的长度的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对面积的曲面积分 2.光滑曲面：若曲面上各点处都有切平面，且当点在曲面上连续移动时，动，则称为光滑曲面 3.对面积的曲面积分的定义：设函数在空间光滑曲面上有界，把任意分成块小曲面，也记是第块小曲面块的面积，在上任取一点，作乘积，有和式，记为限总存在，则称此极限值为函数在曲面或第一类曲面积分，记作，其中叫做积分曲面注：1°.若在光滑曲面上连续，则曲面积分存在2°.对面积的曲面积分与积分曲面的方向无关，因为总为正数. 3°.对面积的曲面积分的物理意义：物质曲面的质量二、对面积的曲面积分的性质 1.线性性质：设为常数，则 . 2.积分曲面的可加性：若分片光滑曲面分成两片光滑曲面和，则 . 三、对面积的曲面积分的计算定理：设光滑曲面：在面上的投影区域为，且函数在上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则对面积的曲面积分且注：若的方程为，则若的方程为，，则例1.计算，其中是球面被平面截出的顶部.解：的方程为，在面上的投影区域Dxy为圆域：，又，于是，设，则Dxy：，故 . 例2.计算，其中是由平面及界曲面解：设，，，，则，于是，由于在、以及上被积函数，故面上的投影区域为：，在的方程为：，于是且 . 第五节对坐标的曲面积分一、有向曲面的相关概念 1.双侧曲面：在光滑曲面上任取一点，过点的法线有两个方向，选定一个方向为正向，当动点在曲面上连续变动时，法线也连续变动.若动点从出发沿着曲面上任意一条不越过曲面边界的封闭曲线又回到时，法线的正向与出发时的正向相同，则称为双侧曲面，否则称为单侧曲面注：单侧曲面的典型例子：莫比乌斯带 2.有向曲面：称曲面的法向量指向的一侧为曲面取定的侧，称取定侧的曲面为有向曲面. 3.方向不同的曲面在坐标面上的投影面积在有向曲面上任取一小块曲面，在面上的投影区域的面积为上各点处的法向量与z轴的方向余弦不变号.规定在面上的投影注：规定曲面的上侧、前侧、右侧为正侧. 二、对坐标的曲面积分的相关概念 1.引例: 稳定流体通过曲面一侧的流量设稳定流动且不可压缩的流体(假定密度为1)的流速场为，求在单位时是流速场中的一片曲面. 函数、以及在上连续，间内流向指定侧的流体的质量，即流量 (1).简单情形：是以平面区域，面积为，流体在上各点的流速为常向量设为的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为、斜高为的斜柱体①．当时，斜柱体的体积为，从而通过流向流量为②．当时，显然通过流向所指一侧的流量为，即③．当时，有，仍称之为流体通过流向它是流体通过闭区域流向所指一侧的流量因此，无论为何值，流体通过流向所指一侧的流量均为 (2). 一般情形：流体在空间光滑曲面上各点的流速是变化的.①．大化小：将曲面片任意分成个小曲面块，也记第个小曲面块的面积为②．常代变：记小曲面块的面积为，在小曲面块上任取一点，用该点处的流速代替上其它各点处的流速，以曲面在该点处的单位法向代替上其它各点处的单位法向量，从而得到通过流向指定侧的流量为(3). 近似和： (4). 取极限：令为个小曲面块的直径的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲面积分 2. 对坐标的曲面积分的定义：设函数、以及在有向光滑曲面上有界，把任意分成个块小曲面块，也记第个小曲面块的面积为. 在面上的投影为；在面上的投影为；在面上的投影为在小曲面块上任取一点，作乘积、，有和式、、当个块小曲面块的直径最大值时， (1).若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标、z的曲面积分，记作 (2). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标z、的曲面积分，记作(3). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标、的曲面积分，记作其中、以及叫做被积函数，叫做积分曲面. 以上三个积分也称为第二类曲面积分，有时也写成，注：1°.若、以及在有向光滑曲面上连续，则曲面积分、、都存在2°. 对坐标的曲面积分的物理意义：流过有向曲面的流体的流量：三、对坐标的曲面积分的性质 1.对积分曲面的可加性：若有向光滑曲面可以分成两片光滑的有向曲线弧和，则2.积分曲面的方向性：记表示的反向曲面，则 . 四、对坐标的曲面积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设有向光滑曲面：在面上投影区域为，且函数在上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则对坐标的曲面积分在，且，其中由曲面的正侧外法线与z 向余弦的符号决定，时取号，时取号注：若的方程为，，则若的方程为，，则五、两类曲面积分之间的联系：设有向光滑曲面：在面上投影区域为Dxy，且函数在Dxy上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则两类曲面积分之间的联系为：，同理也有，，其中、、为有向曲面上点处法向量的方向余弦，因此两类曲面积分之间的联系为： . 推导：由对坐标的曲面积分的计算公式，有曲面的法向量的方向有向为，，由第一类曲面积分的计算公式，有，从而同理可证，，于是例1.计算曲面积分，其中是长方体 . 解：把有向曲面分为如下六部分：的上侧；的下侧；的前侧；的后侧；的右侧；的左侧先计算：除了、在面上的投影为外，在面上的投影为零，因此，同理可得，，于是 . 例2.计算曲面积分，其中是球面外侧在的部分解：把分成两部分和两部分，其中的上侧；的下侧且和在面上的投影区域都是从而，设，则，于是，令，则，，当时，；时，从而例3.计算曲面积分，其中是旋转抛物面：及之间的部分的下侧解：由两类曲面积分之间的联系，有 . 在曲面上，有，，故又由于在面上的投影区域为，于是，设，则，于是 . 第六节高斯公式引入：前面我们学习了格林公式，知道通过格林公式可以将平面有界闭区域上的二重积分与其边界上的曲线积分联系起来，作为格林公式得推广，下面介绍高斯公式(也叫奥—高公式，全称奥斯特洛夫斯基—高斯公式)，通过高斯公式，可以将空间有界闭区域上的三重积分与其边界闭曲面上的曲面积分联系起来. 一、高斯公式、定理：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，若函数在上具有一阶连续偏导数，则有，或其中是的外侧曲面，是上点处的法向量的方向余弦. 注：若，则闭曲面所围成的闭区域的体积 . 例1.利用高斯公式计算曲面积分，其中为柱面面、所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧. 解：由，，，，由高斯公式得，，设，则，于是 . 例2. 利用高斯公式计算曲面积，其中为锥面介于平面、之间部分的下侧，是上点处的法向量的方向余弦解：设为平面的上侧，则和一起构成一个封闭曲面，围成区域. ，其中，，，有，. ，由高斯公式， .在面上的投影区域为，从而有，由于，再设，则. . 而，于是二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1.空间二维单连通区域 :若空间区域内任一闭曲面所围成的区域全属于，则称为空间二维单连通域空间一维单连通区域 :若空间区域内任一闭曲线总可以张成一片全属于的曲面，为空间一维单连通域注：球面所围区域既是一维也是二维单连通区域；环面所围区域是二维但不是一维单连通区域；两个同心球之间的区域是一维但不是二维单连通区域. 2.闭曲面积分为零的充要条件定理：在空间二维单连通区域由分片光滑的闭曲面所围成，设函数、在空间二位单连通区域内具有一阶连续偏导数，为积分在内恒成立. 第七节斯托克斯公式引入：斯托克斯公式是格林公式另一推广，通过斯托克斯公式，可以将曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、斯托克斯公式定理：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的正侧符合右手规则.若函数、、在连同上具有一阶连续偏导数，则有， . 或也有，. 其中是上点处的法向量的方向余弦例1.利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中为平面标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 解：由，， ,,，,，，设由曲线所围成的曲面为，由斯托克斯公式得，其中、以及Dxy分别为在、以及坐标面上的投影区域例2. 利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中用平面截立方体的表面所得的截痕，若从轴的正向看去，取逆时针方向的上侧被所围成的部分，的单位法向量为，解：取为平面即，由，由斯托克斯公式，有，其在面上的投影为Dxy，其面积为，且又的方程为，于是 . 二、空间曲线积分与路径无关的条件定理：若函数、以及在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题相互等价：(1).沿区域内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 (2).曲线积分与路径无关，只与位于内的起点和终点有关 (3).在内存在一个函数,它的全微分为，即. (4).对内任意一点，，. 例3. 验证曲线积分与路径无关，并求出函数解：，，，所以曲线积分与路径无关，因此。

第十一章 级 数§1 常数项级数1. 根据定义判断级数的敛散性，若级数收敛，求出级数的和. （1）1n ∞=∑解：11nn k S ===∑，故lim 1]n n n S →∞→∞==∞故级数发散。

（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑ 解：111111111111()()(1)(21)(21)2212122121221nnn n k k k S k k k k k k n =====-=-=--+-+-++∑∑∑，故111lim lim(1)2212n n n S n →∞→∞=-=+，故级数收敛。

（3）111(1)2n n n -∞-=-∑解： 11111()(1)2121()12321()2nk n n n k k S --=---⎡⎤===--⎢⎥⎣⎦--∑， 故212lim lim1()323n n n n S →∞→∞⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦，故级数收敛。

（4）111(1)5n nn -∞=+-∑ 解：11111111()1()1(1)1(1)11111155[1()][1()]55555456511()55n nk k n n nn n n k k kk k k S --===---+--==+=+=-+-----∑∑∑故11115lim lim [1()][1()]456512n n n n n S →∞→∞=-+--=，故级数收敛。

2．判断下列级数的敛散性： （1）114(1)5nn n n ∞-=-∑解：该级数为公比45-的等比级数，又415-<，故级数收敛。

（2）151()23n n n ∞=+∑ 解：因为1115151()2323n n n n n n n ∞∞∞===+=+∑∑∑，又1151,23n n n n ∞∞==∑∑是公比绝对值小于1的等比级数收敛，故151()23n n n ∞=+∑收敛。

（3）111(1)nn n∞=+∑ 解：因为11lim01(1)n n en→∞=≠+，所以级数发散。

⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼗⼀章答案[1]习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +?，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第⼀象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ，其中Γ为折线ABCD ，这⾥A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ?，其中L 为摆线的⼀拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有⼀段铁丝成半圆形y =，其上任⼀点处的线密度的⼤⼩等于该点的纵坐标，求其质量。

解曲线L 的参数⽅程为()cos ,sin 0x a y a π==≤≤ds ad ??==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a π===?? 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的⼀段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+?，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针⽅向绕⾏）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-?，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的⼀段直线；（4）dx dy ydz Γ-+?，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这⾥A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧。