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(完整版)向量共线、定比分点公式及数量积(补课)向量共线、定比分点公式及数量积一、 平面向量共线定理、定比分点1。
平面向量共线定理设),(11y x a =，),(22y x b =( b0）,则b a //⇔01221=-y x y x注:不能写成b a //⇔2211x y x y =，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式已知),(111y x P ,),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ= 则OP =λ+111OP +λ+λ12OP 坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，（λ≠－1）,即,1(21λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P 为内分点；λ ＜0时，P 为外分点.二、平面向量的数量积1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ,则数量 ｜a ||b |cos叫a 与b 的数量积，记作ab ，即a b = ｜a |｜b |cos ，(0)θπ≤≤并规定0与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a 的长度与b 在a 方向上投影 |b ｜cos的乘积。
b 在a 方向上的投影：OP aba b ⋅=θ=cos 3．两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量 （1)-｜a |｜b |≤｜ab | ≤ |a ｜｜b ｜,当a 与b 同向时，a b = ｜a ||b ｜;当a 与b 反向时，a b = -｜a |｜b |；（2)ab a b = 0（两向量垂直的判定）;（3）cos =||||b a b a ⋅，|a |cos =||b ba ⋅，|b ｜cos=||a ba ⋅（投影式）. 4。
平面向量数量积的运算律（1)交换律:a b =b a (2） 数乘结合律:（λa )b =λ(a b ） = a (λb ）（3）分配律：（b a + ）c = a c + b c 5。
数学向量共线公式
数学向量共线公式指的是如何判断两个或多个向量是否共线。
共线的向量指其方向相同或相反，但长度可能不同。
判断两个向量是否共线，可以用以下公式：
设向量AB和向量CD，若它们共线，则有：
AB = kCD (k为任意实数)
即向量AB与向量CD的比值是一个实数。
如果有多个向量需要判断是否共线，则可以用向量叉乘的方式，即对这些向量做向量积，若得到的结果为零向量，则说明这些向量共线。
需要注意的是，当k为负数时，向量AB与向量CD的方向相反；当k为0时，向量AB与向量CD重合；当k为正数时，向量AB与向量CD同向。
- 1 -。
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。
若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。
定比分点向量公式定比分点向量公式是一种在几何学中使用的数学工具，用于计算两个给定向量之间的夹角和距离。
它是一种应用于平面几何的技术，能够以有效的方式测量两个向量之间的距离或角度。
定比分点向量公式已经用于许多不同的几何计算任务，如求解直线的斜率、计算所有的三角形面积、计算多边形的周长和面积以及计算多边形内部的面积等。
它也用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。
定比分点向量公式的定义定比分点向量公式的定义为：给定两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，则它们的定比分点向量公式为：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这里的“Vec”表示向量，a1和b1表示向量a的第一个分量，a2和b2表示向量b的第二个分量。
定比分点向量公式的作用定比分点向量公式的作用是根据两个给定向量确定它们之间的夹角和距离。
因此，该公式能够有效地求解平面几何中的距离和角度，也可以用于空间几何中的计算。
定比分点向量公式的用法要使用定比分点向量公式，首先要给定两个向量a和b，然后将它们表示为a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的形式。
接下来，就可以将它们代入定比分点向量公式中：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这样就可以得到两个向量之间的夹角和距离。
定比分点向量公式的应用定比分点向量公式可以用于许多不同的几何计算任务。
它可以帮助我们计算直线的斜率、三角形的面积、多边形的周长和面积以及多边形内部的面积。
此外，它还可以用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。
定比分点向量公式的优点定比分点向量公式的优点在于，它可以帮助我们有效地计算几何中的距离和角度，而无需考虑具体的坐标系。
此外，它还可以节省大量时间，因为它可以在非常短的时间内完成计算任务。
最后，它还可以帮助我们更好地理解几何中的各种概念，因为它可以清楚地描述几何中的距离和角度。
向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则AB+BC=AC 。
a+b=(x+x' ，y+y')。
a+0=0+a=a 。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a ；结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 。
2、向量的减法如果a、b 是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a且I X al = I XI ?l a I。
当入〉0时，Xa与a同方向；当XV 0时，Xa与a反方向；当X =0时，X a=0方向任意。
当a=0时，对于任意实数人都有X a=0注：按定义知，如果X a=0那么X =0或a=0。
实数X叫做向量a的系数，乘数向量Xa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当I XI > 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上伸长为原来的I XI倍；当I XI V 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上缩短为原来的I XI倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：( X a)?b= X (a?b)=(a?。
X b)向量对于数的分配律(第一分配律)：(X + 11 )a= X a+ !i a. 数对于向量的分配律(第二分配律)：X(a+b)= X a+X b.数乘向量的消去律：① 如果实数入工且X a=X，那么a=b。
② 如果a^0且X a= 1，!那么X =14、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定O w〈a,b〉<n定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
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高考数学必背：平面向量公式汇总
编者按：高考前的第一轮复习正在火热进行中，同学们要利用这些复习的时间强化学习，为大家整理了高考数学必背：平面向量公式汇总，在高三数学第一轮复习时，给您最及时的帮助!
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
1。
平面向量的所有公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos 〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
平面向量定比分点公式
平面向量定比分点公式是数学中常用的一个公式，用来求解平面向量在一定的比例下分点的坐标。
如果有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，以及一定比例的数 m:n，则该公式可以求出以 A 点为起点，以B 点为终点的向量中点 P 的坐标。
具体来说，设 P 的坐标为 (x, y)，则有以下公式：
x = (mx2 + nx1) / (m + n)
y = (my2 + ny1) / (m + n)
其中，m:n 表示向量 AP:PB 的比例，x1、y1 分别表示点 A 的横纵坐标，x2、y2 分别表示点 B 的横纵坐标，m 和 n 是任意实数，但不同时为 0。
需要注意的是，如果 m + n = 0，则公式无法计算，因为此时分点 P 会落在无穷远处。
因此，在应用该公式时，需要确保 m + n 不为 0，或者特别处理这种情况。
定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设a OP =1，b OP =2，若21PP P P λ=，则λλλ+++=111。
特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有2121+=。
用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。
下面举几例说明。
一、求定比λ的值：例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分的比λ。
解：设),(y x P ，则由λ=，得)11,131()1,3(1)1,2(11),(λλλλλλλ+-++=-+++=y x ， 又∵P 点在直线l 上， ∴51)31(411-++=+-λλλλ， ∴31=λ。
例2：如图所示，在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且k =，E 为AD 上的一点，且l =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段所成的比λ。
解：∵λ=，∴λλλ+++=111， 又l =，∴l ll +++=111，而kkk +==1， ∴llk l k ++++=1)1)(1(，∵B 、E 、F 共线，∴设t =，而tt t λλλ+++=11 ∴tt l l k l k λλλ+++=++++111)1)(1(FEDCBA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+llt k l k t11)1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。
二、求直线上点的坐标例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且5-=，求C 点的坐标。
分析：先求出C 点分的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。
解：∵5-=，∴5==λ，利用定比分点的坐标公式有)4,23()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。
∴C 点的坐标为)4,23(。
例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且31=，3=，求点C ，D 的坐标。
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的定比分点公式运用设有向量AB表示一条线段，点C为分割点，将AB分成的两个线段分别为AC和CB。
那么根据向量的定比分点公式，我们可以得到以下关系式：AC=λABCB=(1-λ)AB其中，λ是一个标量，表示分割点C到点A的距离与线段AB的长度之比。
下面我们将介绍向量的定比分点公式的几种具体运用。
1.证明三点共线：给定三个点A、B、C，要证明它们共线，可以使用向量的定比分点公式。
假设分割点C在点A和点B之间，那么根据向量的定比分点公式，可以得到AC=λAB，CB=(1-λ)AB。
若AC与CB的坐标相同，则说明三点共线。
2.点的坐标求解：已知线段AB的坐标，要求分割点C的坐标。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，即(x_C-x_A,y_C-y_A)=λ(x_B-x_A,y_B-y_A)。
令点C的坐标为(x_C,y_C)，代入这个关系式可以求解出点C的坐标。
3. 矢量平均值：给定一组n维向量，要求它们的平均值。
可以使用向量的定比分点公式求解。
假设向量集合为{v_1, v_2, ..., v_n}，则平均向量v_avg可以表示为v_avg = λ_1*v_1 + λ_2*v_2 + ... +λ_n*v_n。
其中，λ_1 + λ_2 + ... + λ_n = 1，且λ_i >= 0。
这样可以求得平均向量v_avg的坐标。
4.线段的等分点：已知线段AB的长度，要求线段上的一个点C，使得AC与AB的长度比为m:n。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，其中λ=(m/(m+n))。
将AB的长度乘以λ，得到AC的长度，即可得到分割点C的坐标。
5.找出一些点到线段的最近点：假设有线段AB和点P，要求点P到线段AB上的最近点Q的坐标。
根据向量的定比分点公式，可以得到向量AQ=λAB，其中λ表示AQ与AB的长度之比。
我们可以通过遍历0≤λ≤1的所有值，计算出对应的点Q的坐标，再选择距离最近的点作为最近点Q的坐标。
线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律一、知识要点1. 分比的概念及分比与分点的关系, 分点坐标公式, 特殊分点(中点、△重心)坐标公式, 求的三种方法.2. 向量的夹角, 向量的数量积, 投影, 向量垂直的充要条件, 数量积的性质及运算率, 向量模的崭新求法. 二、题型 (一)选择题1. 设点在有向线段 的延长线上， 分 所成的比为，则（ ）A ．B ．C ．D ．2. 在ΔABC 中,若( +) · (－)=0,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3. 若·+= 0, 则ΔABC 为 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形 4. 已知点、，点分线段成两部分，其中，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 5. 若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·＝（ ）．A ．23B ．3C ．32D ．216. 若点分的比和点分的比恰好互为倒数，则点分的比为（ ）A ．1B ．2或C ．2或D ．不确定7. 已知点关于点的对称点是 ，则点 到原点的距离是〔 〕 A ．B ．C ．4D ．8. 下列各式中正确的是 （ ）（1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |=|a |·|b |, (3) (a ·b )· c =a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对.9. 若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°10. 设、是非零向量，（+）2＝2+2是⊥的（ ）．A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C. 充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件11. 已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，012. 设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 （ ） ①(a b )c －(ca )b =0 ②|a | －|b |< |a －b | ③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直 ④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |2 其中真命题是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④(二)填空题: 13. 已知、、三点共线，且，，若点的横坐标为6，则点的纵坐标为___________．14. 已知e 是单位向量,求满足a ∥e 且a ·e =－18的向量a =__________.15. 设a =(m+1)i －3j, b =i +(m －1)j , (a +b ) ⊥(a －b ), 则m=________.16. a 与d =b －2||)(a b a a ⋅⋅关系为________. (三)解答题:17. 设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.18. 非零向量，满足（+）⊥（2-），（-2）⊥（2＋），求、的夹角.19. 已知：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10), 若AP =AB +λ·AC (λ∈R), 试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上?点P 在第三象限内?20. 己知向量a,b 均为非零向量,当|a +t b |取最小值时, ①求t 的值；②求证：b 与a +t b 垂直21. 已知：=(cos α,sin α), =(cos β,sin β), +=(54,53) 求: (1) (cos(α-β),sin(α-β)); (2)tan 2βα+22.若直线与连接、两点的线段有交点，求实数的取值范围．参考答案一选择题: ACABB ADCAC DD二填空题13. －9; 14. －18→e; 15. －2; 16. 垂直三、解答题:17. 解: ∵0))(72(2121<++e teee t，故071522<++tt，解之217-<<-t．另有λλtt==7,2，解之14,214-=-=λt，∴)21,214()214,7(--⋃--∈t．18. 解: 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅--=⋅+-→→→→→→→→3||2||2||||22222babababa，解得⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=⋅-=→→→→→→babbaa4||25||22,故||||=－10·,cosθ=||||→→→→⋅⋅baba=－1010,而θ∈[00, 1800]故θ=arccos(－1010) 19. 解: 设P(x, y)则=(x －2, y －3),=(3, 1), =(5, 7)x －2=3+5λ, y －3=1+7λ x=5+5λ, y=4+7λλ=21时, 点P 在第一三象限的平分线上;λ<－1时, 点P 在第三象限.20. 分析：因为|a+tb|为实数，且|a +t b |2=（a +t b ）2展开以后成为关于t 的二次函数. 解: ①22222)(2||)(||a t b a t b tb a tb a +⋅+=+=+，∴当22||||2)(2b b a b b a t ⋅-=⋅-=时，|a+tb|取得最小值.②当2||b b a t ⋅-=时，b ·（a+tb ）b ·a+tb ·b =b ·a+t|b|2=a ·b 0||||22=⋅-b b b a .∴b ⊥（a +t b ）.21. 解：(1)依题意，可得：①2+②2得2+2cos(α-β)=-1 ∴cos(α-β)=-21， 从而sin(α-β)=±23 ∴(cos(α-β),sin(α-β))=(-21,±23)(2)由①得：2cos 2βα+·cos2βα-=54③ 由②得：2sin2βα+ ·cos2βα-=53④ ③④得：tan 2βα+=4322．解：当直线过 点时，有 ，∴ .当直线过 点时，有 ，∴ .当直线与线段的交点在 、 之间时，设这个交点 分 的比为，它的坐标为，则 ， .而直线过 点，则 ，整理，得 .由 ，得 ，解得 或 .故所求实数 的取值范围为 或 。
高中数学平面向量公式知识点大全高中数学平面向量公式知识点大全高中数学平面向量公式知识点大全平面向量公式知识点定比分点定比分点公式(向量P1P=λ#8226;向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ#8226;向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则ab的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
ab的重要条件是 xy#39;-x#39;y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 a#8226;b=0。
a⊥b的充要条件是 xx#39;+yy#39;=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x#39;，y#39;)。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x#39;，y+y#39;)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x#39;,y#39;) 则a-b=(x-x#39;,y-y#39;).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣#8226;∣a∣。
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
平面向量定比分点公式
平面向量定比分点公式是指，对于平面上任意两点A(x,y)、
B(x,y)，以及实数k，若C(x,y)为向量AC:AB=k:1的分点，则有如下公式：
x=(kx+x)/(k+1)，y=(ky+y)/(k+1)
其中，x和y分别为点C的横纵坐标，k为实数。
该公式可以用于计算向量分点的坐标，从而方便地进行向量运算和几何证明。
此外，该公式还可以推广到三维空间中的向量定比分点，即对于空间中任意两点A(x,y,z)、B(x,y,z)，以及实数k和l，若C(x,y,z)为向量AC:kAB:lAB的分点，则有如下公式：
x=(kx+lx)/(k+l)，y=(ky+ly)/(k+l)，z=(kz+lz)/(k+l) 该公式同样可以用于计算向量分点的坐标，并在三维空间几何中得到广泛的应用。
- 1 -。
旬量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC 。
a+b=（x+x' , y+y'）。
a+0=0+a=a 。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a ；结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）。
2、向量的减法如果a 、b 是互为相反的向量，那么a=-b , b=-a , a+b=O. 0的反向量为0 AB-AC=CB.即共同起点，指向被减”a=（x,y ） b=（x',y'）贝U a-b=（x-x',y-y'）.3、数乘向量实数入和向量a 的乘积是一个向量，记作 入a 且I X al = I XI ?1 a I 。
当入＞0时，Xa 与a 同方向； 当XV 0时，Xa 与a 反方向； 当X =0时，X a=0方向任意。
当a=0时，对于任意实数 人都有X a=0 注：按定义知，如果 X a=0那么X =0或 a=0。
实数X 叫做向量a 的系数， 线段伸长或压缩。
当I XI ＞ 1时， 上伸长为原来的I 当I XI V 1时， 上缩短为原来的I数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（X a ）?b= X （a?b ）=（a2 X b ）向量对于数的分配律（第一分配律）：（X + 11 ）a= X a+ 11 a.数对于向量的分配律（第二分配律）： X （a+b ）= X a+ X b.数乘向量的消去律：① 如果实数XM 且X a=X ，那么a=b 。
② 如果a^O 且 X a= 1，那么 X =1乘数向量 入a 的几何意义就是将表示向量a 的有向 表示向量 XI 倍；表示向量XI 倍。
a 的有向线段在原方向（入＞0）或反方向（入V0） a 的有向线段在原方向（入＞0）或反方向（入V0）4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b 。
作OA=a,OB=b,则角AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a,b 〉并规定0W 〈 a,b 〉<n定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作 a?b 。
向量共线、定比分点公式及数量积
一、 平面向量共线定理、定比分点
1. 平面向量共线定理
设),(11y x a =，),(22y x b =（ b ≠0），则b a //⇔01221=-y x y x 注：不能写成b a //⇔2
2
11x y x y =
，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式
已知),(111y x P ，),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ= 则OP =
λ+111OP +λ
+λ
12OP 坐标公式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ
+λ+=1121
21y y y x x x ，（λ≠－1），即,1(21
λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P 为
内分点；λ ＜0时，P 为外分点.
二、平面向量的数量积
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量 |a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = |a ||b |cos θ，(0)θπ≤≤并规定0与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于
a 的长度与
b 在a 方向上投影 |b |
c os θ的乘积. b
在a 方向上的投影：OP a
b
a b ⋅=θ=cos
3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量
（1）-|a ||b |≤|a ⋅b | ≤ |a ||b |，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a
与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；
（2）a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0（两向量垂直的判定）； （3）cos θ =
||||b a b a ⋅，|a |cos θ =||b b a ⋅，|b |cos θ =|
|a b
a ⋅（投影式）.
4.平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a ⋅b =b ⋅a （2） 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )
（3）分配律：(b a + )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 5.平面向量数量积的坐标表示
（1）已知两个向量),(11y x a =，),(22y x b =,则a ⋅b 2121y y x x +=.
y
P 2
P P 1
O x
a
b θ
θ
a
b
o
P P
o
（2）设),(y x a =，则22||y x a +=
.
（3）平面内两点间的距离公式
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，
那么2
21221)()(||y y x x a -+-=.
（4）向量垂直的判定 ：两个非零向量),(11y x a =),(22y x b =
b a ⊥⇔02121=+y y x x .
（5）两向量夹角的余弦 cos θ =
|
|||b a b
a ⋅⋅2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++=
（πθ≤≤0） 平面向量共线定理、定比分点
1、 a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )
A ．3a ＋b
B ．3a －b
C ．－a ＋3b
D ．a ＋3
2、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( )
A ．)2,1(=a 与)1,2(=b
B ．)2,1(-=a 与=b 0
C ．)2,1(=a 与)4,2(--=b
D ．)1,0(=a 与)1,0(-=b 3、已知)3,2(-A ,)2,3(-=AB ,则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )
A ．)5,5(-
B ,)0,0(M B ．)5,5(-B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,27M
C ．()
1,1B ,)0,0(M D ．()1,1B ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛-4,27M 4、已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4 b －2 a 平行，则实数x 的值是 ( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
5、在ABC ∆中，=b ,=c ,若点D 满足DC BD 2=,则=( )
A ．c b 3132+
B ．b c 3235-
C ．c b 3
132- D ．c b 3231+
6、已知向量a 与向量b 不共线，实数y x,满足)2(y x -a +4b =5a +()y x 2-b ， 则=+y x ________ ；
7、已知ABC ∆三顶点)4,5(),3,2(),2,1(C B A -，则其重心坐标为_____________； 8、如右图所示，在ABC ∆中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD
＝，则点C 的坐标为____________.
9、已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时，k b a +与b a 3-平行，此时它们方向如何?
10、(1) 已知点)4,3(),2,1(--B A ,点P 在直线AB 上，且3
1
=
,求点P 的坐标；
(2)已知点)8,6(),4,2(--B A ,点P 在直线AB =求点P 的坐标.
平面向量的数量积
1、已知等边ABC ∆的边长为6，则⋅与()
CA BC AB ⋅+的值分别为( )
A ．18-和36
B ．18-和36-
C ．18和36-
D ．18-和36 2、已知2=b ，6-=⋅b a ，则a 在向量b 方向上的投影为( )
A ．3-
B ．12-
C ．3
D ．无法确定 3、已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 4、已知向量等于则垂直与若a ,b a ),n ,(b ),n ,(a 11-==（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
5、已知),(b ),,(a 1623-==，而)b a ()b a (λ-⊥+λ，则λ等于（ ）
A ．1或2
B ．2或－1
2
C ． 2
D ．以上都不对
6、若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180
, 且 b 3=则b 等于( ).
A. (3,6)-
B. (3,6)-
C. (6,3)-
D. (6,3)-
7、已知2,2,1-=⋅==b a b a ，则a 与b 的夹角为_________； 8、已知)4,3(=a ，且10=⋅b a ，求b 在a 的投影_________.
9、已知3||,4||==b a ，的夹角为与b a 4
π
，求||b 2a +，||4b -3a .
10、已知,|b |,|a |12==a 与b 的夹角为3
π
,若向量+a 2k b 与b a +垂直, 求k .
11、已知1||,3||==b a ，b a 与的夹角为6
π
，求b -a b a 与+的夹角的余弦值.
12、已知向量4||,3||==b a ，且4)2()(≥-⋅+b a b a ，求a 与b 夹角θ的取值范围.
13、ABC ∆中，c b a ===,,，4||,2||,3||===c b a ，求d c c b b a ⋅+⋅+⋅
14、已知向量)2,3(),2,1(-==b a ，向量=c k b a +，b a d 3-=
（1）当k 为何值时，有d c ⊥；（2）若的夹角为钝角时与 d c ，求k 的取值范围.。
