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最新北师大版八年级数学下册第四章因式分解ppt全套教学课件教案

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北师大版八年级数学下册第四章因式分解 4.1 因式分解课件 (共23张ppt)

北师大版八年级数学下册第四章因式分解 4.1 因式分解课件 (共23张ppt)
第四章 因式分解
4.1 因式分解
学习目标
1．理解并掌握因式分解的概念；
2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够 运用其解决问题．(难点)
新课导入
问题：某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道 每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说： “总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b) 元．”
④9x2﹣6x+1=3x（3x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ）
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n
5
的值为 2 ．
解析：由题意可得
x2+4mx+5=(x+5)(x+n) =x2+(n+5)x+5n，
5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= 3 ，
(3)(m+4)(m-4)= m_2_-1_6__, (3) m2-16=_(_m_+__4_)(_m_-_4_),
(4)(x-3)2=x2-6x+9 ,
(4) x2-6x+9=__(x_-_3_)_2 __ ,
(5)a(a+1)(a-1)=a3-a__.
(5) a3-a=_a_(_a_+_1_)(_a_-_1_)_.
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
所以，993-99能被100整除.
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
问题探究

《因式分解》公开课教学PPT课件【北师大版八年级数学下册】

《因式分解》公开课教学PPT课件【北师大版八年级数学下册】
ma+mb+mc=(m)( a+b+c)
m2-16 =( m+4 )( m-4 )
y2-6y+9 =( y-3 )2
a3-a =( a )( a+Байду номын сангаас)( a-1 )
新课讲解
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到 a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形 式.
拓展应用
解：根据题意可得，
2 R 2 r 10
2 (R r) 10
R r 10
2
R–r
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为
10
2
米.
课堂小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫做把这个 多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程; 3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式的次
拓展应用
2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004
=2004(2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
拓展应用
假如用一根比地球赤道长10米的铁丝将 地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均 匀的间隙能有多大(赤道看成圆形，设地 球的半径为r，铁丝围成圆形的半径为R)?
数； 5. 必须分解到每个多项式不能再分解为止. 6. 分解因式在实际问题中的应用.

北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件

北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件

合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )

北师大版八年级数学下册课件：4因式分解

北师大版八年级数学下册课件：4因式分解
a3 a =
y2 6y 9 =
跟据上面的算式填空
3x 2 3x = 3x(x-1)
m2 16 = (m+4)(m-4)
ma mb mc = m(a+b+c)
a3 a = a(a+1)(a-1)
y 2 6 y 9 = ( y 3)2
议一议：由_a___(_a___1_)_(_a___1)
二者是互逆的 过程
课堂总结
•本节课你有哪 些收获？
当堂检测
•习题4.1 1、2、4
•练习册P51-52
日日清
•练习册P49-50
(3) (m+4)(m-4)=__m__2___1__6______
(4) ( y 3)2 = _y__2___6__y___9____
(5) a(a+1)(a-1)=__a__3____a_______
根据上面的算式填空
3x2 3x =
m2 16 =
ma mb mc =
因式分解
用简便方法计算：
（1） 736×95+736×5
解 ：736×95+736×5 =736×（95+5） =736×100 =73600
学习目标
•1、理解因式分解的 概念。 •2、认识因式分解与 整式乘法是互逆关系。
自学指导
认真看书P92-93的内容：
1、回忆：什么是整式的乘法运算？
思考：什么是分解因式？
？ 2、分解因式与整式乘法有什么关系
5分钟后比一比谁掌握的好！
想一想：993 99 能被100
整除吗？你是怎么想的？ 看与同学的想法是不是一 样？相互交流一下。
992 99 还能被哪些正整数

北师大版八年级下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解 课件(共19张PPT)

北师大版八年级下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解 课件(共19张PPT)

整式的积
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式分解因式。
生成新知 形成概念 一般地，把一个多项式转化成几个整式
的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解. 温馨提示：
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
当堂达标
一、基础练习 1.选择: (1)下列各式由左到右的变形是因式分解的是 A ( ) A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x 1 2-x-6 C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+ m ) (2)(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的 结果 ( C ) A.m2+4n2 B.-m2+4n2 C.m2-4n2 D.-m2-4n2
知识拓展 达标检测: 提炼升华
1. 19993-1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？
2.若x2+mx-n因式分解后是(x-2)(x-5)，求m、n的
值.
3.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5 解： IR1+IR2+IR3 =I(R1+R2+R3) =2.5×(19.2+32.4+38.4) =2.5×90 =225
分解因式与整式乘法有什么关系?
恒等变形
和 差 化 积 是 分 解 积 化 和 差 是 乘 法

北师大版 八年级下册 4.1因式分解课件 (共20张PPT)

北师大版 八年级下册 4.1因式分解课件 (共20张PPT)
分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右 的变形是 整式乘法 ，从右到左的变是 因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)， 求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不 同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)

【最新】北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》公开课课件2(共18张PPT).ppt


(3) (m+4)(m-4)= m2-16 ; m2-16 =( m+4 )( m-4 )
(4) ( y-3)2= y2-6y+9 . y2-6y+9 =( y-3 )2 (5)a(a+1)(a-1)= a3-a . a3-a =( a )( a+1)( a-1 )
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
解：根据题意可得，
2R 2r10
2(Rr)10
R r 10
2
R–r
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为 1 0 米.
2
本节小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程; 3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
善于辨析：因式分解与整式乘法有 什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
巩固概念

八年级数学下册第四章因式分解1因式分解教学课件新版北师大版

(2)a2 b2 1 (a b)(a b) 1
(3)x2 x x2 (1 1 ) x
(4)m2 2mn n2 (m n)2
左右两边的变形分别是什么运算？ 互逆过程
分解因式
（多项式）
整式乘法
（整式乘积）
学以致用 下列变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
(1)a(x y) ax ay 整式乘法
你能把 a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3 a a a2 a a(a2 1) a(a 1)(a 1)
整式的乘积
合作探究 做一做：观察下面的拼图过程，写出相应的关系式
ma mb mc x2 2x 1
m(a b c)
(右两边各有什么特点？
（1）
C.4b2 a2
D.4b2 a2
分析（：2b a)(a 2b) =(a+2b)(a 2b) =a2 2b2
a2 4b2 .
感悟与收获
1.知识方面： ①因式分解的定义 ②因式分解与整式乘法的关系 2.方法方面： ①类比的方法，逆向思维的方法 ②利用因式分解可以简化运算.
a3- a = a(a+1)(a-1)
（ 2 ） ma +mb+mc = m(a+b+c)
（ 3 ） x²+2x+1 = (x+1)²
把一个 多项式 化成几个 整式的积 的形式，这种变
形叫做因式分解.
因式分解也可称为分解因式.
例题讲解 例 判断下列变形是因式分解吗？说说你的理由.
(1)(x 5)(x 5) x2 25
第四章 因式分解
4.1因式分解
复习回顾
用简便方法计算.
(1)736 95 736 5 =736 （95+5）

第4章因式分解(教案)2023-2024学年八年级下册数学(教案)(北师大版)

-重点二：提取公因式法。通过实例讲解，让学生熟练掌握提取公因式的方法，并能运用该方法进行因式分解。
-重点三：平方差公式与完全平方公式。使学生掌握平方差公式（a² - b² = (a + b)(a - b)）和完全平方公式（a² + 2ab + b² = (a + b)²），并能应用于因式分解。
-重点四：交叉相乘法分解因式。让学生掌握交叉相乘法分解因式的步骤，并能够正确运用。
然而，我也注意到，在实践活动和小组讨论中，部分学生显得比较被动，参与度不高。为了提高这部分学生的积极性，我计划在接下来的教学中，针对他们的实际水平，设计一些更具挑战性和趣味性的任务，激发他们的学习兴趣。
另外，在课堂总结环节，我发现部分学生对于因式分解在实际问题中的应用仍然存在困惑。为了解决这个问题，我打算在下一节课中，增加一些与生活实际相关的例子，让学生更加直观地感受到因式分解在实际生活中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的过程。它在数学运算中非常重要，可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。多项式x² + 3x + 2可以因式分解为(x + 1)(x + 2)，这个案例展示了因式分解在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学难点
-难点一：理解因式分解的概念，尤其是分解过程中保持等价关系的理解。
-难点二：正确识别多项式中的公因式，尤其是含有多个项的复杂多项式。
-难点三：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用，尤其是变式题目的处理。
-难点四：在交叉相乘法分解因式时，正确判断乘积的符号，避免常见错误。

【最新北师大版精选】北师大初中数学八下《4.1因式分解》PPT课件 (6).ppt

a 22a 22
⑵ 2x2y2 x4 y4 解：原式 (x4 y4 2x2 y2 )
(x2 y2 )2 (x y)2 (x y)2
总结
当多项式形式上是二项式时，应考虑用 平方差公式，当多项式形式上是三项式 时，应考虑用完全平方公式。
9x2-y2= ( 3x ) 2 - y 2 =( 3x+y )( 3x-y ) ．
依据是：a2-b2=(a+b)(a-b) ． 形象地表示为: 2－ 2＝( ＋ )( － )
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个平方的“项”
3、有这两平方“项”底数的2倍或-2
解：原式 (m n) (m n)(m n) (m n)
2m 2n
4mn
(x y)2
⑵ x2
解：原式
130(xx y)9
(
x

3
4 )2
25
2
(2a b)2 8ab
⑶ (x y)2 10(x y) 25
解：原式 (x y 5)2 ⑷ (2a b)2 8ab
3、两个多项式的各项都相同时，则这两个 多项式也相等。如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
公式法的概念
如果把乘法公式反过来，那么就可以 用来把某些多项式分解因式，这种分 解因式的方法叫做运用公式法。
平方差公式 a2 b2 a ba b
完全平方公式 a b2 a2 2ab b2
的值。
2
2
解： 1 x2 xy 1 y 2
2
2
1 ( x2 2xy y 2 ) 2
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(1) 3x2-3x=__3_x_(_x_-_1_) _,
(2) m(a+b+c) = ma_+_m_b_+__m,c (2)ma+mb+mc=_m__(a_+_b_+__c)___,
(3)(m+4)(m-4)= m_2_-1_6__, (3) m2-16=_(_m_+__4_)(_m_-_4_),
典例精析 例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为 a（x﹣2）（x+3），求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3） =ax2+ax-6a， ∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为 互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开， 再与多项式的各项系数对应比较即可.
所以，993-99能被100整除.
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
问题探究
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式 表示这块草坪的面积吗？
方法一：m(a+b+c)
a
b
c
方法二：ma+mb+mc
m
整式乘法
m(a+b+c)=ma+mb+mc
?
做一做
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=___x_2-_y_2_ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
复习引入
问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7.
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多 项式可以分解成几个整式的积吗？
可以.
讲授新课
一 因式分解的概念 探究引入 问题：993-99能被100整除吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法, 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆 过程.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即
因式分解 x2-1
整式乘法
(x+1)(x-1)
x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n
5
的值为 2 ．
解析：由题意可得
x2+4mx+5=(x+5)(x+n) =x2+(n+5)x+5n，
5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= 3 ，
2
m+n=1+ 3 = 5 .
22
4. 20042+2004能被2005整除吗?
×
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
√
D. ax+by+c=x(a+b)+c
×
E. 2a3b=a2•2ab
×
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式.
做一做
计算下列各式:
根据左面算式填空:
(1) 3x(x-1)= 3x2 - 3_x_,
D.2x
+1=x(2+
1 x
)
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有_③__⑥___ .
①24x2y=4x•6xy
②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③
x2+2x﹣3x（3x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ）
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
(4)(x-3)2=x2-6x+9 ,
(4) x2-6x+9=__(x_-_3_)_2 __ ,
(5)a(a+1)(a-1)=a3-a__.
(5) a3-a=_a_(_a_+_1_)(_a_-_1_)_.
二 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n，
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. ∴mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为 (x+1）(x+9).求a+b的值.
周国年作品，请勿dao用！
第四章
北师大版八年级数学下册
ppt课件+word教案+word习题
因式分解
4.1 因式分解
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 课后作业
教学目标
1.掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因 式分解；（重点） 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别. （难点）
导入新课
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
总结归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005，
∴ 20042+2004能被2005整除.
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值.
解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， ∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b). 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b，
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是
（C ）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a
B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区 别和联系？ 联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是整式的乘法，右边一栏是把多项 式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.