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十字相乘法“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。
它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解：因为 2 -53 ╳ 5所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0所以 x1=5/2 x2=-5/3用十字相乘法解一些比较难的题目：例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y解: 因为 2 -9y7 ╳ -2y所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳ -1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y – 1）5 ╳ 4y - 3=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7 y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-32 -7y5 ╳ 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 32 x -7y 15 x +4y ╳ -3=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]=（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=01 -b2 ╳ +bx²- 3ax +（2a+b）（a-b）=01 -（2a+b）1 ╳ -（a-b）[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0所以 x1=2a+b x2=a-b两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式交点式．利用配方法，把二次函数的一般式变形为：Y=a[(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2]应用平方差公式对右端进行因式分解，得Y=a[x+b/2a+√b2-4ac/2a][x+b/2a-√b2-4ac/2a]=a[x-(-b-√b2-4ac)/2a][x-(-b+√b2-4ac)/2a]因为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax2+bx+c= 0的两个根因x1，x2恰为此函数图象与x轴两交点（x1，0），（x2，0）的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式．在解决二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
十字相乘法因式分解十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式2ax bx c ++,若可以分解,则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式,它的系数可以写成12a a 12c c ,十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数,其实就是分解系数a ,b ,c ,使得:12a a a =,12c c c =,1221a c a c b +=,2()()()x a b x ab x a x b +++=++.这个方法的要领可以概括成16个字“头尾分解,交叉相乘,求和凑中,试验筛选”． 若24b ac -不是一个平方数,那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解． 注意:十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解,有些多项式为了能用十字相乘法分解,一般需经过下面两个步骤:⑴将多项式按某一个字母降幂排列,将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式． ⑵若系数为分数,设法提出一个为分数的公因数,使括号内的多项式成为整系数,再利用十字相乘法分解．【例1】分解因式256x x ++1123256(2)(3)x x x x ∴++=++【例2】分解因式210173x x -+2531-- 210173(23)(51)x x x x ∴-+=-- 【例3】分解因式2216312m mn n --11621- 2216312(2)(16)m mn n m n m n ∴--=-+【例4】分解因式()2233kx k x k +-+-1k 13k -()2233(1)(3)kx k x k x kx k ∴+-+-=++-十字相乘法因式分解练习100题(1) 22321845m mn n --(2) 22784830x xy y +-(3) 245428y y --+(4) 2295835x xy y -++ (5) 284236x x --+ (6) 22108272a ab b +-(7) 22186939m mn n --(8) 2232526m mn n ---(9) 22169318x xy y +-(10) 239272a a +-(11) 22186954x xy y --(12) 2288012a a -- (13) 28307x x -+ (14) 22161612m mn n +- (15) 214644x x +- (16) 22334542m mn n +- (17) 22555832a ab b --(18) 22323x x -- (19) 222575126x x --(20) 2242740a ab b --(21) 2232428m mn n +-(22) 22348192x x --(23) 22411514x x ++(24) 2201060x x --(25) 2248448a a --(26) 22965233x xy y --(27) 2812x x --(28) 214143204x x ++(29) 2107214n n -+- (30) 22101545m mn n +- (31) 2551424n n +- (32) 22275427m mn n --- (33) 2309824x x -+ (34) 22268872m mn n -+- (35) 22204642x xy y --(36) 21314x x +- (37) 23215050x x -++(38) 232860b b --+(39) 2218633x x -+(40) 260464b b ++(41) 219698144x x --(42) 22122214a ab b --+(43) 2232328a ab b -+-(44) 2163670x x --+(45) 26040195x x --(46) 21538361x x --+(47) 22123420a ab b ++ (48) 2830x x -++(49) 22183934x xy y --+(50) 22396112a ab b ++ (51) 224512970x xy y +-(52) 22919712a ab b ++ (53) 221510988x xy y -++(54) 2221527m mn n --- (55) 22209157m mn n ---(56) 2262727m mn n -+-(57) 222011575x xy y ++(58) 2229480b b -++(59) 2238434a ab b +-(60) 2192300x -(61) 2701715x x --(62) 296990x x ++(63) 22182296a ab b --+(64) 2244315x xy y -+(65) 22997655x xy y --(66) 242135132x x +- (67) 251015x x --+ (68) 22122210x xy y ---(69) 22681072a ab b +- (70) 22138966m mn n -+-(71) 222868x x -- (72) 2218184x xy y -+(73) 2260733x x ++(74) 22381957a ab b +-(75) 244939x x --(76) 23635100n n +-(77) 22084612x x +-(78) 2480256x x ---(79) 227714445x xy y +-(80) 224495a ab b --(81) 243406x x -+(82) 22186939x xy y --(83) 2284448m mn n ++ (84) 2155550a a -+ (85) 220150130x x -+- (86) 212121304x x -+-(87) 265487a a ++ (88) 236222a a --- (89) 2210448m mn n --+(90) 223411642a ab b -+- (91) 242220n n +-(92) 226636a ab b --+(93) 22145230m mn n ++(94) 2905214b b +-(95) 228015670x xy y ++(96) 2169036x x +-(97) 26135x x +-(98) 2135512y y -+(99) 2210176a ab b -++(100) 22787130x x --+十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(23)(1615)m n m n-+ (2)6(135)()x y x y-+ (3)2(14)(21)y y-+-(4)(95)(7)x y x y-+-(5)2(6)(43)x x-+-(6)2(54)(9)a b a b-+ (7)3(313)(2)m n m n-+ (8)2(23)(8)m n m n -++ (9)(163)(6)x y x y-+(10)(34)(1318)a a-+ (11)3(29)(32)x y x y-+(12)4(71)(3)a a+-(13)(41)(27)x x--(14)4(2)(23)m n m n-+ (15)2(711)(2)x x-+ (16)3(2)(117)m n m n+-(17)(52)(1116)a b a b+-(18)(17)(19)x x+-(19)3(1514)(53)x x-+(20)(8)(45)a b a b-+(21)4(87)()m n m n-+ (22)2(1312)(98)x x-+ (23)(314)(81)x x++ (24)10(23)(2)x x+-(25)12(21)(4)a a+-(26)(121)(83)x y x y-+ (27)(28)(29)x x+-(28)(217)(712)x x++ (29)2(7)(51)n n---(30)5(23)(3)m n m n-+ (31)(54)(116)n n+-(32)27()()m n m n-++ (33)2(154)(3)x x--(34)2(1318)(2)m n m n ---(35)2(107)(3)x y x y+-(36)(14)(1)x x+-(37)2(5)(165)x x--+(38)4(45)(23)b b--+ (39)(73)(311)x x--(40)2(32)(101)b b++(41)2(149)(78)x x+-(42)2(37)(2)a b a b-+-(43)8(2)(2)a b a b---(44)2(27)(45)x x-+-(45)5(23)(613)x x+-(46)(319)(519)x x-+-(47)2(65)(2)a b a b++ (48)(815)(2)x x-+-(49)(32)(617)x y x y--+(50)(133)(34)a b a b++ (51)(157)(310)x y x y-+(52)(7)(1312)a b a b++ (53)(8)(151)x y x y--+ (54)(3)(29)m n m n-++ (55)(43)(519)m n m n -++ (56)3(23)(3)m n m n---(57)5(5)(43)x y x y++(58)2(118)(5)b b-+-(59)2()(1917)a b a b+-(60)12(45)(45)x x+-(61)(145)(53)x x+-(62)3(6)(35)x x++(63)2(3)(916)a b a b-+-(64)(4)(115)x y x y--(65)(91)(115)x y x y-+ (66)3(1411)(4)x x-+ (67)5(3)(1)x x-+-(68)2(65)()x y x y-++(69)(47)(173)a b a b+-(70)(131)(6)m n m n---(71)2(111)(4)x x+-(72)2(32)(3)x y x y--(73)(133)(201)x x++(74)19(23)()a b a b+-(75)(13)(43)x x-+ (76)(45)(920)n n-+ (77)2(132)(83)x x-+ (78)4(16)(4)x x-++ (79)(715)(113)x y x y+-(80)(115)(4)a b a b-+ (81)(14)(29)x x--(82)3(313)(2)x y x y-+(83)4(23)(4)m n m n++(84)5(35)(2)a a--(85)10(213)(1)x x---(86)(419)(316)x x---(87)(51)(137)a a++(88)2(91)(21)a a-++ (89)2(512)(2)m n m n -+-(90)2(3)(177)a b a b---(91)2(32)(75)n n-+(92)6(3)(2)a b a b-+-(93)2(3)(75)m n m n++(94)2(97)(51)b b+-(95)2(107)(45)x y x y++(96)2(83)(6)x x-+(97)(15)(9)x x+-(98)(133)(4)y y--(99)(2)(103)a b a b--+(100)(910)(313)x x--+第11页共11页。
十字相乘公式法
（最新版）
目录
1.十字相乘公式法的概念
2.十字相乘公式法的应用
3.十字相乘公式法的优点
4.十字相乘公式法的局限性
正文
十字相乘公式法是一种常用的数学计算方法，主要应用于解决乘法运算，尤其是在涉及到两位数相乘时，该方法可以极大地提高计算效率。
首先，我们来了解一下十字相乘公式法的概念。
十字相乘公式法，顾名思义，就是将两个两位数通过十字交叉的方式进行相乘。
例如，我们要计算 23 乘以 45，我们可以将 23 写在上方，45 写在下方，然后通过
十字交叉的方式，将 23 和 45 的每一位相乘，最后将结果相加，就可以得到最终的乘积。
其次，十字相乘公式法广泛应用于各种乘法运算中。
无论是在学校的数学课程中，还是在实际的生活工作中，都可以看到它的身影。
尤其是在涉及到大量的乘法运算时，使用十字相乘公式法可以大大节省时间和精力。
然而，十字相乘公式法也有其优点和局限性。
首先，它的优点在于简单易懂，操作方便。
只需要通过简单的十字交叉，就可以得到乘积，无需进行复杂的计算。
其次，它的局限性在于，只适用于两位数的乘法运算。
对于更大的数字，使用十字相乘公式法会显得非常繁琐，效率也会大大降低。
总的来说，十字相乘公式法是一种简单有效的乘法运算方法，尤其在解决两位数的乘法运算时，可以大大提高计算效率。
十字相乘法技巧
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。
对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那
么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数为1时，可表达为
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。
完整版)十字相乘法在进行因式分解时，首先要考虑能否提取公因式，然后再考虑运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法。
对于还能继续分解的多项式因式，仍然要用这一步骤反复进行。
以上步骤可以用口诀来概括：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”。
二次三项式是指多项式ax+bx+c，其中a为二次项，b为一次项，c为常数项。
例如，x-2x-3和x+5x+6都是关于x的二次三项式。
在多项式x-6xy+8y中，如果把x看作常数，它就是关于y的二次三项式；如果把y看作常数，它就是关于x 的二次三项式。
同样地，在多项式2ab-7ab+3中，如果把ab 看作一个整体，它就是关于ab的二次三项式。
还有多项式(x+y)+7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式。
十字相乘法是一种分解二次三项式的方法。
对于二次项系数为1的二次三项式x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
例如，对于7x+(-8x)，我们可以得到原式=(x+7)(x-8)。
另外，对于x^2-10x+16，我们可以将其分解为(x-2)(x-8)。
对于二次项系数不是1的二次三项式ax^2+bx+c=a1x^2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，它的特征是“拆两头，凑中间”。
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同。
例如，对于-2x+(-8x)，我们可以得到原式=-10x，而对于2x^2-11x-6，我们可以将其分解为(2x+1)(x-6)。
因式分解中的十字相乘法《因式分解中的十字相乘法》嘿，你知道吗？在数学这个神奇的世界里，有一个特别有趣又超级有用的方法，那就是十字相乘法。
我呀，今天就想和你唠唠这个十字相乘法。
我先给你举个简单的例子吧。
就像有个二次三项式，比如说x²+5x + 6。
这时候十字相乘法就像一个超级侦探，来把它分解因式啦。
我们要把二次项系数和常数项分别拆成两个数相乘呢。
对于x²的系数1，那就是1×1啦。
对于常数项6呢，我们可以拆成2×3。
然后我们就像搭十字一样，把这些数字摆好。
1和2写在一边，1和3写在另一边，交叉相乘再相加，1×3 + 1×2刚好等于一次项系数5呢。
这样，这个式子就可以分解成(x + 2)(x+ 3)啦。
哇，是不是很神奇呢？我记得我刚开始学这个十字相乘法的时候，那可真是一头雾水啊。
我就想，这都是啥呀，为啥要这么拆数字呢？我就跑去问我的数学老师。
老师就笑着说：“你看啊，这就像是搭积木，每一块积木都有它合适的位置。
二次三项式就像一个待组装的大积木，你得找到合适的小积木块才能把它搭好呀。
”我当时似懂非懂的，不过老师这么一说，我就觉得好像这个方法也没那么难嘛。
有一次，我和我的同桌一起做数学作业。
碰到了一个比较难的二次三项式，好像是2x² - 7x + 3。
我就开始苦思冥想，按照十字相乘法的规则来拆数字。
我先把2x²拆成2x 和x，对于常数项3呢，我拆成- 1和- 3。
我试着搭十字，交叉相乘再相加，结果不对呢。
我就有点沮丧，哎呀，这可怎么办呀。
这时候我的同桌凑过来说：“你看，你把3拆成- 1和- 3不对呢。
你可以把2x²拆成2x和x不变，把3拆成- 1和- 3的话，那交叉相乘再相加就不是- 7x啦。
你应该把3拆成- 1和- 3，2x乘以- 1加上x乘以- 3就等于- 7x啦。
”我一听，眼睛一亮，原来是这样啊。
我就按照同桌说的方法做，果然就把这个式子分解成(2x - 1)(x - 3)啦。
