高中数学_3.3.2 利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思

3.3.2 函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 极值点与极值的概念 思考 观察函数f (x )＝13x 3－2x 的图象．f ′(－2)的值是多少？在x ＝－2左、右两侧的f ′(x )有什么变化？ f ′(2)的值是多少，在x ＝2左、右两侧的f ′(x )又有什么变化？答案 f ′(－2)＝0，在x ＝－2的左侧f ′(x )>0，在x ＝－2的右侧f ′(x )<0；f ′(2)＝0，在x ＝2的左侧f ′(x )<0，在x ＝2的右侧f ′(x )>0.梳理 (1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则把点a叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．( × ) 2．极大值一定比极小值大．( × ) 3．函数f (x )＝1x有极值．( × )4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．( √ )类型一 极值与极值点的判断与求解 命题角度1 知图判断函数的极值例1 已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 由导函数的图象可知：当x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x ＝0处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，在x ＝4处取得极大值，故选C. 反思与感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x 轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．跟踪训练1 如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是( )①f (x )在(－3，－1)上为增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 B解析 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x ＝－1是f (x )的极小值点；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；x ＝2是f (x )的极大值点，故②③正确，④错误．命题角度2 求函数的极值或极值点 例2 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1； (2)f (x )＝x 2－2ln x .考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)函数f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x ＋2)(x －1)，解方程6(x ＋2)(x －1)＝0，得x 1＝－2，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )取极大值21； 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.(2)函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2x＝x ＋x －x ，解方程x ＋x －x＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练2 已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题解(1)f′(x)＝e x(ax＋b)＋a e x－2x－4＝e x(ax＋a＋b)－2x－4，f′(0)＝a＋b－4＝4，①又f(0)＝b＝4，②由①②可得a＝b＝4.(2)f(x)＝e x(4x＋4)－x2－4x，则f′(x)＝e x(4x＋8)－2x－4＝4e x(x＋2)－2(x＋2)＝(x＋2)(4e x－2)．解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．类型二 已知函数极值求参数例3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________.(2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值，∴a ＝2，b ＝9. (2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1.反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练3 已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)考点 根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案 D解析若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值．若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D. 类型三函数极值的综合应用例4 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示．因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m >0，g＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－16，6827.1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 2．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (x )( )A ．有极大值2，极小值－2B ．有极大值－2，极小值2C ．无极大值，但有极小值－2D ．有极大值2，无极小值 考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 B解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，因为f (x )＝x ＋1x ，所以f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝1－1x2＝0，得x ＝±1.当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <0或0<x <1时，f ′(x )<0.所以当x ＝－1时函数有极大值－2；当x ＝1时函数有极小值2.3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，且f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．5B ．3C ．4D ．2考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，则f ′(－3)＝3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，所以a ＝5.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )A．－1<a<2 B．－3<a<6 C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6 考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，则Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.5．求函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)的极值．考点函数的极值与导数的关系题点含参数的函数求极值问题解f′(x)＝1－ae x，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上是单调递减的，在(ln a，＋∞)上是单调递增的，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．一、选择题1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 函数极值的应用 题点 极值存在性问题 答案 B解析 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )A ．0,1，－1B ．－33C.33D.33，－33考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 C解析 由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－33舍去.当x >33时，f ′(x )>0；当0<x <33时，f ′(x )<0. 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值，从而f (x )的极小值点为x ＝33，无极大值点． 3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－15.令f ′(x )>0，解得x >3或x <2，所以函数的一个单调递增区间是(3，＋∞)．4．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3) 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 D解析 当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)．5．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为( ) A ．(3，－3)B ．(－4,11)C ．(3，－3)或(－4,11)D ．不存在考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax －b ， ∵当x ＝1时，f (x )有极值10，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－2a －b ＝0，f ＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，验证知当a ＝3，b ＝－3时，在x ＝1处无极值， ∴a ＝－4，b ＝11.6．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 考点 函数极值的应用题点 极值存在性问题 答案 D解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a 3. 由题意知，2a3∈(0,1)， 即0<2a3<1， 解得0<a <32.7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q .由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.8．已知a ∈R ，且函数y ＝e x＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a <－1eD ．a >－1e考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 因为y ＝e x＋ax ，所以y ′＝e x＋a .令y ′＝0，即e x ＋a ＝0，则e x＝－a ，即x ＝ln(－a )， 又因为x ＞0，所以－a ＞1，即a ＜－1. 二、填空题9．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________． 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x＝0， 得x ＝－1，∴y ＝－1e，∴函数y ＝x e x在极值点处的切线方程为y ＝－1e.10.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋2，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________． 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 2解析 由图象可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故当x ＝0时，函数f (x )取极小值f (0)＝2.11．若直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是________．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 答案 (－2,2)解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，所以当－2<a <2时恰有三个相异的公共点． 三、解答题12．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数解 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，所以f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.依题意得f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知，f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x >0)，故f ′(x )＝－23x －13x ＋1＝－x －x －3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0， 即527＋a <0或a －1>0， ∴a <－527或a >1，∴当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 由题意知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1的图象上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k 1＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知，0<a <12，故选B.15．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)． 令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，又f (1)＝1， 所以f (x )的极小值为1，无极大值． (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x >0)， 所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )>0，得x >2，令k ′(x )<0，得0<x <2，所以k (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 要使函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧k ，k，k，所以2－2ln2<a ≤3－2ln3.。

导数在研究函数中的应用教学设计【教学过程】xoy2、求函数xx x x f --=ln 621)(2的极值归纳思路要点：求极值的关键是_____________________；注意哪些问题____________________。

3、已知函数cx bx ax x f ++=23)(在点0x 处取得极大值5,其导函数的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：（1）x 的值； （2）a,b,c 的值； （3）在平面直角坐标系内画出函数)(x f 的图象.反思：1、作图的关键是抓住函数的__________________________________________________;2、函数)(x f y =图象与x 轴的交点个数是_____；方程0)(=x f 的解的个数是_____；函数)(x f 的零点个数是_____。

根据老师展示的答案，纠正自己解题过程中的不足，明确求极值的关键及注意事项。

个别学生回答解题思路及答案，其他学生纠正自己出现的问题让学生能够明确求极值的关键及注意事项。

识图、读图，并通过题后反思引入新课。

本专题是高考的热点并且知识点较多，所以学生容易在知识点掌握不全和理解不清的情况下会出现一些错误。

学生因为个体的差异，对知识的掌握和理解有不同的反映。

本节课是在学生学习了用导数求函数的极值、最值的基础上进一步解决函数零点与不等式问题，因为学生都有一定的基础，在课题的引入、复习和练习中鼓励学生参与，一学生分析解决问题为主，教师引导为辅。

要让学生亲自体验自己学到的知识学有所用，增强学生的学习主动性和有效提高学习效果。

本节课设计的知识都是课标要求的基本内容，没有做很大的拓展和扩充，另外本节课从学生已有的知识开始层层进行知识冲突，更利于学生理解和学习，所以绝大多数学生掌握了用研究函数极值的方法探究函数图象，进而判断函数零点的方法和将证明不等式问题、比较大小问题转化成求函数最值问题的方法；从课后检测来看，学生们对于知识的应用有了很好的提升。

1.3.2 函数的极值与导数一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3 情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题a o ht（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a附近的图象有什么特点？（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？<二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？充要条件：f(x 0)=0且点x 0的左右附近的导数值符号要相反4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题：（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？（2）极大值一定大于极小值吗？5、随堂练习:1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=()'f x 的图象?<三>、讲解例题例4 求函数()31443f x x x =-+的极值教师分析:①求f /(x),解出f /(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x 0附近f /(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导解:∵()31443f x x x =-+∴()'f x =x 2-4=(x-2)(x+2)令()'f x =0,解得x=2,或x=-2.下面分两种情况讨论:x(1)当()'f x ＞0,即x ＞2,或x ＜-2时;(2) 当()'f x ＜0,即-2＜x ＜2时.当x 变化时, ()'f x ,f(x)的变化情况如下表: x(-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) ()'f x +0 _ 0 + f(x)单调递增 283 单调递减 43- 单调递增 因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=3;当x=2时,f(x)有极 小值,且极小值为f(2)= 43- 函数()31443f x x x =-+的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:1求()'f x ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时: (1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值.(2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值 <四>、课堂练习1、求函数f(x)=3x -x 3的极值2、思考：已知函数f （x ）=ax 3+bx 2-2x 在x=-2，x=1处取得极值, 求函数f （x ）的解析式及单调区间。

教学反思
本节课有了利用导数判断函数的单调性作铺垫，借助函数图像的直观性探索归纳出导数极值的定义，利用定义求极值。

在教学中，发现学生对复杂函数的求导的准确率较低，说明学生对求导公式的运用不够熟练，在平时要多加练习强调。

本节课的难点的函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件，虽然在教学中占用了较长的时间解释，但是学生理解程度的并不理想，还需在课后多加跟踪训练。

通过课后教学测试反馈的主要问题是求极值过程的书写格式不规范，为了打下牢固的基础，减少失误，我要求学生采用列表的方式，通过几道题的练习，学生逐渐接受了这种方式，也发现了这种方式的简便性。

通过这节课，让我对以下几点思考有了更加深刻的感受：1.不论哪一个成绩段的学生，基础都是最重要的。

尤其在新课讲授的第一课时中，要对基础知识重点讲解。

2.“好好备课，慢慢讲课。

”把课堂尽量还给学生，尽可能多的给学生“想”和“说”的时间。

3.对于解决问题的方法要师生共同总结，从中体会收获学习成果的喜悦，教师要对方法结论中容易出现问题的地方重点强调。

但不能墨守成规，要充分理解，灵活应用。

1/ 1。

函数极值与导数的教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用本节是整个中学数学对函数研究的进一步深化。

在此之前学生已经掌握了导数的基本概念，初步具备了运用导数研究函数的能力，这为《函数的最值与导数》奠定了坚实的基础，具有承上启下的作用。

本节课用导数的方法来研究函数的性质，是对函数研究的深化与提升。

同时本节教材是贯彻实施素质教育，充分体现新课标精神，培养学生探究能力很好的教学载体，有利于培养学生用观察、比较、分析、归纳等方法解决一些实际问题。

2.教学目标：(1) 知识与能力：①掌握函数极值的定义,了解可导函数极值点的必要条件和充分条件；②掌握利用导数求不超过三次多项式函数极值的一般方法；③通过对比原函数的增减和导函数的正负，利用函数的图像，给函数的极值以直观的验证。

（2）过程与方法：培养学生观察,分析,探究,归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系.3.教学重、难点本着新课程标准的教学理念和考试大纲的要求，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：教学重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.教学难点：1、 0x 为函数极值点与)(0x f =0的逻辑关系2、将知识和方法内化为技能。

二、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力,让学生体会导数的工具作用。

三、教法、学法分析（一）教法分析根据本节课的特点，为了提高教学效率，让学生在轻松的环境下获得直观的感受，使数学的课堂富有趣味性，采用师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。

由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.（二）学法分析1. 采用体验学习及问题探究的学习方式，通过学生亲历教师预设的各种问题情境，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养的独立探究能力和态度。

3.3.2函数的极值与导数 戴东群 [教材分析]： 《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。 [学情分析]： 学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。 [教学目标]： 知识与技能： • 了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平； • 掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；

• 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 过程与方法： • 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 情感态度与价值观： • 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性； • 培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神； • 激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。 [教学重点和教学难点]： 教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

[教法学法分析]： 教法分析和教学用具： 师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥. 利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率. 学法分析 通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。 教学过程 教学内容 设计意图 一、自主学习： 课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。通过检查学案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。 培养学生的自主学习能力， 为学生的终身学习奠定基础。 二、成果展示： 对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组内达成共识。以小组为单位进行汇报展示。 培养学生互相合作的精神，提高学生语言表达的能力， 增强学生学习的自信心。 三、合作探究： 对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力。 分组讨论—小组汇报—教师点拨。 分组讨论—小组汇报—教师点拨。 学生展示： 展示北京奥运会奖牌榜：北京奥运会中国跳水队获得全部8枚金牌中的7枚。 用高台跳水的例子研究： (1)当ta时h(t)的单调性是 ___________ (3)当t=_______时运动员距 水面高度最大，h(t)在此点的 导数是_______ (4)导数的符号有什么变化规律？ 用几何画板制作动画演示在t=a附近： 1、函数值的比较：h(t)-h(a)的正负号； 2、动点切线斜率（即导数）的发展变化. 如图，函数y=)(xf在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=)(xf在这些点的导数值是________,在这些点附近，y=)(xf的导数的符号有什么规律？ 定义：在x=d附近，)(xf先减后增，)('xf先___后___，)('xf连续变化，于是有)('df=0．)(df比在点x=d附近其它点的函数值都小。我们把点d叫做函数y=)(xf的__________,)(df叫做函数的___________. 在x=e附近，)(xf先增后减，)('xf先___后___，)('xf连续变化，于是有)('ef=0．)(ef比在点x=e附近其它点的函数值都大。我们把点e叫做函数y=)(xf的__________,)(ef叫做函数的___________. 极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________。 激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神.引起学生兴趣，激起学生的求知欲。

《函数的极值与导数》的教学设计【教学目标】知识目标：1、了解函数极大值、极小值的概念；2、能够运用求极大值、极小值的方法求函数的极值；3、掌握求可导函数极值的步骤。

能力目标：培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力，培养学生自主探究的能力，深化研究函数性质的思想方法；情感、态度与价值观：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

[教学重点]能够运用求极大值、极小值的方法求函数的极值。

[教学难点] 理解函数极大值、极小值的概念。

[教学方法] 情景教学法、合作探究法、讨论法、启发式教学法、讲授法等相结合。

[设计思路] 通过正、余弦函数的图像及实例引入并归纳周期函数的定义及最小正周期的定义通过一些判断正误的题目对定义的内涵和外延加以理解。

由周期的定义得出正、余弦函数的周期及正弦型函数和余弦型函数的周期公式，然后利用公式解决问题。

教学过程中通过问题设置层层递进，循序渐进，通过讨论，发挥学生主体作用，在此基础上提高学生的理解能力和分析解决问题的能力。

[教学过程]本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用举例1（四）归纳总结（五）反馈练习（六）布置作业，六个教学环节构成。

（一）复习引入1、复习：函数的极值与导数的正负有什么关系？2、利用函数的导数求函数单调性的步骤是什么？（二）新课探究通过设计几个小问题，数学结合，自然引入极值的概念。

利用函数极值定义并结合函数图像分析探究以下几个问题:1、函数极值考察的是整体性质还是局部性质？2、函数会不会有多个极小或极大值点？3、极小值一定比极大值小吗？4、导数为零的点一定是极值点吗？5、怎样确定函数的极小值点、极大值点？6、怎样求函数的极值呢?《函数的极值与导数》学情分析在前面的学习中，学生已经有了一定的知识准备。

不过鉴于我校学生的水平普遍偏低，理解和应用知识的能力稍显不足，所以在教学中，有必要从基础入手，层层深入，努力提升认识水平，力争让尽可能多的学生达到知识的融会贯通。

3.3.2 函数的极值与导数教学目标重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.知识点：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤. 教具准备：多媒体课件课堂模式：设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。

一. 引入新课师：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？生：在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．如果0)(/=x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是常函数．【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系. 二．探究新知师：观察表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象，回答以下问题（1）当a t =时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数)(t h 在a t =处的导数是多少呢？（2）在点a t =附近的图象有什么特点？ （3）点a t =附近的导数符号有什么变化规律？师生共同归纳: 函数)(t h 在a t =点处0)(/=a h ,在a t =的附近,当a t <时,函数()h t 单调aoht递增, 0)(/>t h ;当a t>时,函数()h t 单调递减, 0)(/<t h ,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, )(/t h 先正后负,且)(/t h 连续变化,于是0)(/=a h .【设计意图】用高台跳水的例子发展学生的数学应用意识，发挥学生的主体作用.用信息技术辅助教学，突破难点.【设计说明】对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力.师：对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？观察下图所表示的)(x f y =的图象，回答以下问题：（1）函数)(x f y =在b a ,点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2）函数)(x f y =在b a ,点的导数值是多少?（3）在b a ,点附近,)(x f y =的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?如图，函数)(x f y =在h g f e d c b a ,,,,,,,等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？)(x f y =在这些点的导数值是________,在这些点附近，)(x f y =的导数的符号有什么规律？【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，引导学生创新与实践.培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神. 理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法.【设计说明】两种情况分析一种，另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳.帮助学生进一步了解极值点和极值的含义，增强学习的信心，让学生体验成功的喜悦.通过思考与讨论，进一步了解极值点和极值的含义，知道极值刻画函数的局部性质,培养学生合作交流的精神. 三. 理解新知师生共归纳：极值的定义：在a x =附近，)(x f 先减后增，)('x f 先___后___，)('x f 连续变化，于是有0)('=a f ．)(a f 比在点a x =附近其它点的函数值都小.我们把点a 叫做函数)(x f y =的__________,)(a f 叫做函数的___________.在b x =附近，)(x f 先增后减，)('x f 先___后___，)('x f 连续变化，于是有0)('=b f ．)(b f 比在点b x =附近其它点的函数值都大.我们把点b 叫做函数)(x f y =的__________,)(b f 叫做函数的___________.极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________. 负、正、极小值点、正、负、极大值点、极大值、极值点、极值【设计意图】根据探究，总结极小值点、极小值、极大值点、极大值、极值点、极值的定义,培养学生的归纳能力.练习1：师：判断正误：点0=x 是函数3x y =的极值点. 画函数图像，观察得出结论：函数3x y =在0=x 处导数为0，但在该点两侧都单调递增，无极值，故导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.【设计意图】通过一道判断题，分解难点.培养学生的观察、概括及表达能力，帮助学生进一步了解极值点和极值的含义.师：通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点0x 取得极值的充要条件吗？ 充要条件：0)('0=x f 且点0x 的左右附近的导数值符号要相反练习2：下图是导函数)('x f y =的图象，试找出函数)(x f y =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点，极大值一定大于极小值吗？不一定，极值是函数的局部性概念练习3:如图是函数)(x f y =的图象,试找出函数)(x f y =的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数)(/x f y =的图象呢?【设计意图】通过练习，进一步突出重点，使学生从感性认识升华到理性认识.通过练习1突出判断极值点的条件，从而突破难点.练习2帮助学生理解极值是函数的局部性质.练习3给的图像是原函数和导函数的图像，进一步让学生区分如何用原函数和导函数的图像判断函数的极大值与极小值.从而突出重点、突破难点. 四．运用新知 例1、求函数4431)(3+-=x x x f 的极值 教师分析:①求)(/x f ,解出0)(/=x f ,找函数极值点②由函数单调性确定在极值点0x 附近)(/x f 的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导.解:∵4431)(3+-=x x x f ∴4)(2/-=x x f 令0)(/=x f ,解得2,2-==x x 或. 下面分两种情况讨论:(1) 当0)(/>x f 时,即2,2-<>x x 或; (2) 当0)(/<x f 时,即22<<-x .当x 变化时, )(/x f ,)(x f 的变化情况如下表:因此,当2-=x 时, )(x f 有极大值,且极大值为 ;当2=x 时, )(x f 有极小值,且极小值为思考：根据上表，你能画出该函数的大致图象吗？ 函数4431)(3+-=x x x f 的图像如图所示归纳：求函数)(x f y =极值的方法是: 求)(/x f ,解方程0)(/=x f ,解得0x x =(1) 如果在附近的左边0)(/>x f ,右边0)(/<x f ,那么)(0x f 是极大值. (2) 如果在附近的左边0)(/<x f ,右边0)(/>x f 那么)(0x f 是极小值 讨论：求极值的步骤(1)求导 (2)求极值点 (3)讨论单调性 (4)列表 (5)写出极值.328)2(=-f 34)2(-=f 0xx【设计说明】例题由老师板书，体现示范功能,为解此类问题提供经验.表格的使用，可使极值点两侧的增减性一目了然.图象是函数性质的直观载体，根据极值自己作图可为我们的结论提供直观验证，进一步培养学生数形结合的能力.【设计意图】通过典型例题巩固学生对新知识的理解,通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度.作图时先作出两个极值点，再根据单调性作图.通过作图，使学生掌握数形结合思想及作图的一般步骤.练习．求下列函数的极值.(1)x x y 273-= (2) 求()1132+-=x y 解：(1) ()()()333273'27'23-+=-=-=x x x x x y令0'=y ，解得31-=x ，32=x . 当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表.∴当-3x =时，y 有极大值，且54y =极大值. 当3x =时，y 有极小值，且-54y =极小值 (2)解：()2222)1()1(616'-+=-=x x x x x y , 令0'=y 解得11-=x ，02=x ，3=x当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表∴当0=x 时，y 有极小值且0y =极小值【设计意图】练习源于例题，让学生板演，关注学生的数学表达，学生提供的反馈素材，应及时校正.照顾学有余力的学生，灵活运用所学知识，培养其逆向思维和化归转化的数学思想和方法.【设计说明】通过练习、巩固提高.例2. 设()cx bx ax x f ++=23，在1x =和1x -=处有极值，且()11-=f ,求c b a ,,的值，并求出相应的极值.解：c bx ax x f ++=23)(2/，∵1x ±=是函数的极值点，则1,1-是方程0)(/=x f 的根，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-a c a b 313211⇒⎩⎨⎧-==a c b 30，又1)1(-=f ，则有1-=++c b a ，由上述三个方程可知23,0,21-===c b a ，函数的表达式为x x x f 2321)(3-=，∴2323)(2/-=x x f ，令0)(/=x f ，得1x ±=，当x 变化时，)(/x f ,)(x f 的变化情况表：由上表可知因此,当1-=x 时, )(x f 有极大值,且极大值为 ;当1=x 时, )(x f 有极小值,且极小值为 练习.已知()()0223≠++=a bx ax x f 在1=x 处取得极值2-，求b a ,的值.五.课堂小结 1.函数极值的定义2.求函数()x f y =极值的方法是:求)(/x f ,解方程0)(/=x f ,解得0x x =(1)如果在附近的左边0)(/>x f ,右边()0f x '<,那么)(0x f 是极大值. (2)如果在附近的左边0)(/<x f ,右边0)(/>x f 那么)(0x f 是极小值. 3.一个点为函数的极值点的充要条件.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是1)1(=-f 1)1(-=f 0x 0x极值点，要看这点两侧的导数是否异号.【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构.六. 布置作业（配套作业）。

《3.3.2利用导数研究函数的极值》教学案教学目标：1、能够区分极值与最值两个不同的概念；2、掌握求可导函数的极值与最值的步骤.教学重、难点：利用导数研究函数的极值与最值教学过程：【知识要点梳理】 一.函数的极值 1.函数极值定义一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点.如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0).就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y极小值=f (x 0)，x 0是极小值点.极大值与极小值统称为极值 2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.3. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值二. 函数的最大值与最小值 1. 函数的最大值与最小值：在闭区间[]b a ,上图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 2.利用导数求函数的最值步骤: 设函数)(x f 在在(a ，b )内可导，在闭区间[]b a ,上图像连续不断，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【疑难点、易错点剖析】1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.此外请注意以下几点：(ⅰ)极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(ⅱ)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.(V )可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y =x 3在x =0处导数为0，但x =0不是极值点.(Vi )函数在一点x 0处有极值，不一定在该点可导.如函数y =|x | 在x =0有极小值，但在x =0处不可导即导数不存在.2.对于函数的最值问题，应注意以下几点：(1)在闭区间[]b a ,上图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． (2)在开区间(,)a b 内图像连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； (3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．(4)函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的图像连续不断，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数1,10()0,0x x x f x x ⎧--≤≠⎪=⎨=⎪⎩但在[]1,1-上有最大值，最小值，(最大值是0，最小值是-2)，但其图像却不是连续不断的(如右图).(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.(6)若函数f (x )只有一个极值，则必为最值.若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上递增，则min ()()f x f a =，max ()()f x f b =；若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上递减，则min ()()f x f b =，max ()()f x f a =.三.例题解析 例 已知函数31()4 4.3f x x x =-+ (1)求函数的极值；(2)求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值. 解：2212(1)'()4,40,2, 2.f x x x x x =--==-=解方程得当x 变化时，f ’(x )，f (x )变化状态如下表：从上表看出，当x =-2时，函数有极大值，且311(-2)2424933f =⨯-⨯+（）（）--=.而当x =2时，函数有极小值，且311(2)2424133f =⨯-⨯+=-.函数31()443f x x x =-+的图象如图所示.3312(-3)-34-347311(4)44449.33f f =⨯-⨯+==⨯-⨯+=（）（）（），与极值点的函数值比较，得已知函数在区间[-3，4]上的最大值是193，最小值是11.3-【直击考点】考点一 求含字母参数的函数的极值1.(06安徽卷)设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数.(Ⅰ)求b 、c 的值.(Ⅱ)求()g x 的单调区间与极值.思路分析：先求出'()f x ，再利用奇函数定义即可求出b ，c 的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：(Ⅰ)∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++.从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；(Ⅱ)由(Ⅰ)知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，令2()36g x x '=-=0，解得x =2()360,g x x x x '=->><解得2()360,g x x x '=-<<<解得由此可知，函数()g x的单调递增区间是(,-∞和)+∞；单调递减区间是(； 进而得()g x在x =()g x在x =极小值，极小值为-.锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范.考点二 求函数的最值2.已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=(1)若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； (2)若)(x f 在(—∞，—2]和[2，+∞)上都是递增的，求a 的取值范围.思路分析：(1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解.(2)当函数f (x )在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有'()0f x ≥，从而得到关于a 的不等式.解: (Ⅰ)由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f由0)1(=-'f 得21=a ，此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x =－1 ， 当[2,2]x -在变化时，'(),()f x f x 的变化如下表4509()(),()(1),(2)0,(2)0,3272f x f f x f f f ==-=-=-==极小极大又所以f (x )在[－2，2]上的最大值为,29最小值为.2750- (2)解法一: 423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{084.048≥+≥-a a ∴－2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[－2，2]. 解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得:1,212)3a x x x =<所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知，当x ≤－2或x ≥2时， )(x f '≥0， 从而x 1≥－2， x 2≤2，即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤+6122.6122a a a a 解不等式组得: －2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[－2，2].锦囊妙计：(1)极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论.(2)在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x )恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x )不恒为0，则由'()0('()0f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定.考点三 利用导数解决函数的综合问题3.(06年深圳市模拟)已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切，记()()()F x f x g x =.(Ⅰ)求实数b 的值及函数()F x 的极值；(Ⅱ)若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.思路分析:首先由()f x x b =+是23)(2++=x x x g 的切线，利用导数的几何意义求出b ，再由导数与单调性，极值的关系作出函数()y F x y k ==　与　的图像，利用数形结合的思想求解.解：(1)依题意，令.1,321),()(-=+='='x x x g x f 故得∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的切点为).0,1(-，将切点坐标代入函数()f x x b =+可得 1=b .或:依题意得方程)()(x g x f =，即0222=-++b x x 有唯一实数解， 故0)2(422=--=∆b ，即1=b∴254)23)(1()(232+++=+++=x x x x x x x F ，故)35)(1(3583)(22++=++='x x x x x F ，令0)(='x F ，解得1-=x ，或35-=x .列表如下 :从上表可知)(x F 在35-=x 处取得极大值274，在1-=x 处取得极小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数)(x F y =大致图象如下图所示.作函数k y =的 图象，当)(x F y =的图象与函数k y =的图象有三个交点时， 关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根.结合图形可知：)274,0(∈k .。