导数的应用一——单调性精品PPT课件
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高中数学第3章导数应用1.1导数与函数的单调性课件
数学D 选修2-2
第三章 导数应用
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
[规范解答] (1)f′(x)＝6x2－12x.
令f′(x)＞0，即6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2，
令f′(x)＜0，即6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
所以，该函数的递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，递减
数学D 选修2-2
第三章 导数应用
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
课堂互动讲义
数学D 选修2-2
第三章 导数应用
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
利用导数判断或证明函数的单调性
证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1]上为减函数．
[思路导引]
求f′x
―→
推导在0，1] 上f′x≤0
―→
得结论
[边听边记] 证明：∵f′(x)＝1－x12＝x2x－2 1，
答案： A
数学D 选修2-2
第三章 导数应用
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
2．若三次函数f(x)＝ax3－x在区间(－∞，＋∞)内是减函
数，则( )
A．a≤0
B．a≤1
C．a＝2
D．a＝13
解析： ∵f′(x)＝3ax2－1，若f(x)在(－∞，＋∞)上是减
函数，∴f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3ax2－1≤0恒
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
(1)判断函数单调性时，f′(x)＞0 能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞， ＋∞)上增加，但f′(x)≥0，∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必 要条件．当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数 ，不具单调性．所以f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件 ．
导数应用—单调性课件
边际分析
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
导数计算方法
通过求极限或使用导数基 本公式来计算导数。
单调性的定义与分类
单调性定义
函数在其定义域内，对于任意两点x1和x2，当x1<x2时，若函数值f(x1)≤f(x2) ，则称函数在此区间内单调递增；反之，若f(x1)≥f(x2)，则称函数在此区间内 单调递减。
单调性分类
根据单调性的定义，可以将单调性分为递增和递减两类。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
导数与单调性的关系
单调递增的导数条件
当函数的导数大于0时，函数在此区 间内单调递增。
单调递减的导数条件
单调性与导数的关系总结
导数的符号决定了函数的单调性，通 过判断导数的符号可以判断函数的单 调性。
当函数的导数小于0时，函数在此区 间内单调递减。
02
导数在研究函数单调性中的应用
导数在判断函数单调性中的应用
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
导数计算方法
通过求极限或使用导数基 本公式来计算导数。
单调性的定义与分类
单调性定义
函数在其定义域内，对于任意两点x1和x2，当x1<x2时，若函数值f(x1)≤f(x2) ，则称函数在此区间内单调递增；反之，若f(x1)≥f(x2)，则称函数在此区间内 单调递减。
单调性分类
根据单调性的定义，可以将单调性分为递增和递减两类。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
导数与单调性的关系
单调递增的导数条件
当函数的导数大于0时，函数在此区 间内单调递增。
单调递减的导数条件
单调性与导数的关系总结
导数的符号决定了函数的单调性，通 过判断导数的符号可以判断函数的单 调性。
当函数的导数小于0时，函数在此区 间内单调递减。
02
导数在研究函数单调性中的应用
导数在判断函数单调性中的应用
导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1
![导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1](https://img.taocdn.com/s1/m/1c72ddc005087632311212d6.png)
课后作业
P78习题3.3第1、2题
思考题: 函数f(x)=2x3－6x2+7 能不能画
出该函数的草图？
小结:
1.学习函数导数与单调性的关系．首先要确定函 数的定义域，再通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间，或证明函数的单调性． ２.利用导数的符号来判断函数的单调区间，是导 数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用，它 充分体现了数形结合的思想． ３.掌握研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。
导数在研究函数中的应用
—单调性
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
一般地， 设函数y＝f（x）在区间上可导，
例2、确定函数f(x)=sinx在x∈（０,２π） 上的单调减区间 解: f’(x)=cosx 令f’(x)＜０由cosx ＜０, 又x∈（０ , ２π） ∴x∈（ π／2, 3π／2） 所以函数f(x)单调减区间 是（ π／2 , 3π／2）
例３、若函数f(x)=ax3-x2+x-5(a≠0) 在Ｒ上单调递增,求a取值范围.
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
bபைடு நூலகம்
x
思考:上述结论的逆命题正确吗? 观察三次函数y=x3的图象； 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内 可导,则函数在该区间 如果f(x)为增函数, 则 f′(x) ≥0. 如果f(x)为减函数, 则 f′(x) ≤0. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性ppt课件
证明
y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，由于ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，由于ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
12345
4 B.m>3
C.m≤43
4
D.m<3 ，3)内可导，其图像如下图，记y＝f(x)的导
函数为y＝f′(x)，那么不等式f′(x)≤0的解集是 答案 解析
√－1 3
12345
3.假设函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是添加的，那么m的 取值范围答是案 解析
√
No
Image
∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是添加的，
答案
如下图，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0) 内导数的绝对值较大，图像“峻峭〞， 在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值 较小，图像“平缓〞.
梳理
普通地，假设一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“峻峭 〞(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓〞一些.
第四章 §1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
学习目的 1.了解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判别(证明)函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超越三次多项式函数的单调 区间.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思索
察看以下各图，完成表格内容
y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，由于ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，由于ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
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4 B.m>3
C.m≤43
4
D.m<3 ，3)内可导，其图像如下图，记y＝f(x)的导
函数为y＝f′(x)，那么不等式f′(x)≤0的解集是 答案 解析
√－1 3
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3.假设函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是添加的，那么m的 取值范围答是案 解析
√
No
Image
∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是添加的，
答案
如下图，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0) 内导数的绝对值较大，图像“峻峭〞， 在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值 较小，图像“平缓〞.
梳理
普通地，假设一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“峻峭 〞(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓〞一些.
第四章 §1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
学习目的 1.了解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判别(证明)函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超越三次多项式函数的单调 区间.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思索
察看以下各图，完成表格内容
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
导数的应用----单调性、极值精华课件
典型例题 4
设 t0, 点 P(t, 0) 是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一 个公共点, 两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a, b, c; (2)若函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减, 求 t 的取值范 围. 解: (1)∵函数 f(x) 的图象过点 P(t, 0), ∴ f(t)=0t3+at=0. ∵t0, ∴a=-t2. 又∵函数 g(x) 的图象也过点 P(t, 0), ∴ g(t)=0bt2+c=0. ∴c=ab. ∵两函数的图象在点 P 处有相同的切线, ∴ f(t)=g(t). 而 f(x)=3x2+a, g(x)=2bx, ∴3t2+a=2bt. 将 a=-t2 代入上式得 b=t. ∴c=ab=-t3. 综上所述, a=-t2, b=t, c=-t3. (2)方法一 y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3. y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当 y=(3x+t)(x-t)<0 时, y=f(x)-g(x)为减函数.
6.设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求 f(x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大 值, 最小的一个是最小值.
如果应用导数解决实际问题, 最关键的是要建立恰当的数学 模型(函数关系), 然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.
三、知识要点
1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)<0, 则 y=f(x) 为 减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0). 注 当 f (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正 (或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f(0)=0, f(x)>0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数.
导数的应用一单调性课件
•导数的应用一单调性
1．在某个区间(a，b)上，若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间上 单调递增；若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间上单调递减；若 f′(x) ＝0 恒成立，则 f(x)在这个区间上为常数函数；若 f′(x)的符号不 确定，则 f(x)不是单调函数．
•导数的应用一单调性
请注意！ 利用导数求单调性是高考的重要热点： 1．若 f(x)在区间(a，b)上为减函数不能得出在(a，b)上有
f′(x)<0； 2．划分单调区间一定要先求函数定义域； 3．单调区间一般不能并起来.
•导数的应用一单调性
•导数的应用一单调性
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内 可导 ，若 f′(x) > 0，则 f(x) 为增函数；若 f′(x) < 0，则 f(x)为减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的 定义域 ； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x) > 0(或 f′(x) < 0)，解出相应的 x 的范围； ④当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当f′(x)<0时， f(x)在相应区间上是减函数．
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x f′(x) f(x)
(－∞，0) 0 (0，ln2)
＋
0
－
极大值
ln2 (ln2，＋∞)
0
＋
极小值
由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln2)，递增区间为(－ ∞，0)，(ln2，＋∞)．
•导数的应用一单调性
例 2 (2011·北京)已知函数 f(x)＝ 间．
1．在某个区间(a，b)上，若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间上 单调递增；若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间上单调递减；若 f′(x) ＝0 恒成立，则 f(x)在这个区间上为常数函数；若 f′(x)的符号不 确定，则 f(x)不是单调函数．
•导数的应用一单调性
请注意！ 利用导数求单调性是高考的重要热点： 1．若 f(x)在区间(a，b)上为减函数不能得出在(a，b)上有
f′(x)<0； 2．划分单调区间一定要先求函数定义域； 3．单调区间一般不能并起来.
•导数的应用一单调性
•导数的应用一单调性
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内 可导 ，若 f′(x) > 0，则 f(x) 为增函数；若 f′(x) < 0，则 f(x)为减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的 定义域 ； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x) > 0(或 f′(x) < 0)，解出相应的 x 的范围； ④当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当f′(x)<0时， f(x)在相应区间上是减函数．
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x f′(x) f(x)
(－∞，0) 0 (0，ln2)
＋
0
－
极大值
ln2 (ln2，＋∞)
0
＋
极小值
由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln2)，递增区间为(－ ∞，0)，(ln2，＋∞)．
•导数的应用一单调性
例 2 (2011·北京)已知函数 f(x)＝ 间．
函数的单调性与导数PPT教学课件
A1型最密堆积（配位数为12）（例如铜）
2.离子晶体属非等径圆球的密堆积方式：
大球先按一 定的方式做 等径圆球密 堆积
小球再填充 到大球所形 成的空隙中
配位数：一个原子或离子周围所邻接的原子 或离子数目。
NaCl：Cl－ 离 子密先堆以积，AN1a型＋ 离紧 子再填充到空 隙中。
ZnS： S2－离子 先以A1型紧密 堆积，Zn2＋ 离 子再填充到空 隙中。
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
1. 等径圆球的密堆积
把乒乓球装入盒中，盒中 的乒乓球怎样排列才能使 装入的乒乓球数目最多？
《导数的单调性》课件
什么是导数
导数是用来描述函数局部变化率的工具，可以理解为函数的瞬时变化率。导数具有重要的几何和物理意 义，广泛应用于各个学科领域。
定义
导数是函数变化率的极限，可以通过求函数在 某一点的斜率来定义。
用途
导数可以用于求函数的最值、判断函数的增减 性、确定函数的拐点等问题。
导数的单调性
单调性是指函数图像上各点的函数值顺序排列的性质。导数的单调性定理给出了导数与函数单调性的重 要联系。
解决问题的实际应用
通过导数的单调性，我们可以 解决各种实际问题，如优化、 经济分析等。
练习题
通过练习，我们可以提高对导 数的单调性的理解和应用能力， 巩固所学知识。
参考资料
1 数学分析教材
教材可以提供基础知识和示例，帮助我们理解导数的单调性的概念和应用。
2 网络资源
网络上有丰富的学习资源，例如教学视频、在线课程等，可以帮助我们更深入地学习导 数的单调性。
1
单调性的概念
如果函数在一个区间内的导数始终大
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数单调性定理
2
于等于零（或始终小于等于零），则 函数在该区间上是递增的（或递减
如果函数在一个区间内的导数大于零
的）。
（或小于零），则函数在该区间上是
递增的（或递减的）。
3
证明
导数单调性定理可以通过数学推导和 几何直观理解来证明。
导数的单调性的应用
求极值和最值
《导数的单调性》PPT课件
# 导数的单调性 ## 什么是导数 - 导数是用来描述函数局部变化率的工具，可以理解为函数的瞬时变化率。 - 导数具有重要的几何和物理意义，广泛应用于各个学科领域。 ## 导数的单调性 - 单调性是指函数图像上各点的函数值顺序排列的性质。 - 导数单调性定理给出了导数与函数单调性的重要联系。 - 导数的单调性可以用于求极值、确定函数增减区间和凸凹性。 ## 导数的单调性的应用 - 通过导数的单调性可以求得函数的极值和最值。 - 导数的单调性可以帮助我们确定函数的增减区间。 - 利用导数的单调性可以确定函数的凸凹性质。 ## 总结 - 导数的单调性在数学分析中具有重要的地位。 - 导数的单调性可以应用于解决实际问题。 - 通过练习，我们可以提高对导数的单调性的理解和应用能力。
函数的单调性与导数-图课件
函数的单调性与导数-图 课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
《导数单调性》课件
ห้องสมุดไป่ตู้
例题解析
1 求导函数
对给定的函数进行求导运算，得到函数的导函数。
2 计算导函数的零点
求得导函数的零点，即求得函数的极值点。
3 根据导数符号判定函数单调性及极值
通过观察导函数的符号来确定函数的单调性和极值。
《导数单调性》PPT课件
探索《导数单调性》的奥秘，学会如何使用导数确定函数的单调性和极值， 以及如何利用导数求解最优值。
什么是导数单调性
导数为正表示函数上升，导数为负表示函数下降，导数不变表示函数单调。
显式函数导数单调性
1 导数的符号决定函数单调性
通过导数的符号来判断函数的单调性，正表示上升，负表示下降。
2 根据导数变化判断函数极值
观察导数的变化，找出极值点，进一步确定函数的单调性。
隐式函数导数单调性
1 求偏导数，判断符号确定函数单调性
对隐函数进行偏导数运算，根据求得的偏导数的符号确定函数的单调性。
利用导数求解最优值
1 寻找函数的极值
通过求导数来寻找函数的极大值和极小值。
2 求解方程解析式
用导数解方程来求解函数的最优值的具体数值。
例题解析
1 求导函数
对给定的函数进行求导运算，得到函数的导函数。
2 计算导函数的零点
求得导函数的零点，即求得函数的极值点。
3 根据导数符号判定函数单调性及极值
通过观察导函数的符号来确定函数的单调性和极值。
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探索《导数单调性》的奥秘，学会如何使用导数确定函数的单调性和极值， 以及如何利用导数求解最优值。
什么是导数单调性
导数为正表示函数上升，导数为负表示函数下降，导数不变表示函数单调。
显式函数导数单调性
1 导数的符号决定函数单调性
通过导数的符号来判断函数的单调性，正表示上升，负表示下降。
2 根据导数变化判断函数极值
观察导数的变化，找出极值点，进一步确定函数的单调性。
隐式函数导数单调性
1 求偏导数，判断符号确定函数单调性
对隐函数进行偏导数运算，根据求得的偏导数的符号确定函数的单调性。
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1 寻找函数的极值
通过求导数来寻找函数的极大值和极小值。
2 求解方程解析式
用导数解方程来求解函数的最优值的具体数值。
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若 f(x)在(2,3)上不单调，则有223a<≠23a0<，3，
可得
9 3<a<2.
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5．已知 f(x)＝sinx＋2x，x∈R，且 f(1－a)＋f(2a)<0，则 a 的取值范围是________．
答案 (－∞，－1) 解析 由 f(x)＝sinx＋2x，x∈R，得 f′(x)＝cosx＋2>0，∴f(x) 在(－∞，＋∞)上递增且是奇函数，由 f(1－a)＋f(2a)<0，即 f(2a)<f(a－1)，∴2a<a－1.∴a<－1.
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(2)f(x)的定义域为{x|x≤1}， f′(x)＝1－ 11－x.令 f′(x)＝0，得 x＝0. 当 0<x<1 时，f′(x)<0.当 x<0 时，f′(x)>0. ∴f(x)的增区间为(－∞，0)，减区间为(0,1)． (3)f(x)的单调增区间为(0，1e)，单调递减区间为(1e，1)和(1， ＋∞)．
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1．(课本习题改编)函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调减区 间为________．
答案 (－1,1) 解析 由 f(x)＝x3－15x2－33x＋6，得 f′(x)＝3x2－30x－33， 令 f′(x)<0，即 3(x－11)(x＋1)<0，求得－1<x<11，所以函数 f(x) 的单调减区间为(－1,11)．
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第 2 课时 导数的应用(一)——单调性
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2014•考纲下载
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系． 2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于 研究函数的单调性．每年高考都从不同角度考查这一知识点，往 往与不等式结合考查．
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6．若 f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则
b 的取值范围是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1)
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答案 C 解析 由原函数单调性可以得到导函数的正负情况，从左到 右依次是：正→负→正，只有 C 符合题意，选 C.
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4．已知函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若 f(x)在(2,3)上单调，则实数 a 的取值范围是________； (2)若 f(x)在(2,3)上不单调，则实数 a 的取值范围是________． 答案 (1)(－∞，3]∪[92，＋∞) (2)(3，92) 解析 (2)由 f(x)＝x3－ax2，得 f′(x)＝3x2－2ax＝3x(x－23a)，
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函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内 可导 ，若 f′(x) > 0，则 f(x) 为增函数；若 f′(x) < 0，则 f(x)为减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的 定义域 ； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x) > 0(或 f′(x) < 0)，解出相应的 x 的范围； ④当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当f′(x)<0时， f(x)在相应区间上是减函数．
例 1 (1)求函数 f(x)＝xx2－＋11的单调区间． (2)求函数 f(x)＝x＋2 1－x的单调区间． (3)求函数 f(x)＝xl1nx的单调区间．
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【解析】 (1)f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠1}，
f′(x)＝2xx－x1－－1x2 2＋1＝x2－x－2x1－2 1
＝[x－1－
2][x－1＋ x－12
2] .
由 f′(x)>0，解得 x>1＋ 2或 x<1－ 2.
由 f′(x)<0，解得 1－ 2<x<1 或 1<x<1＋ 2.
∴f(x)的单调递增区间是(－∞，1－ 2)，(1＋ 2，＋∞)，
f(x)的单调递减区间是(1－ 2，1)，(1,1＋ 2)．
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请注意！
利用导数求单调性是高考的重要热点： 1．若 f(x)在区间(a，b)上为减函数不能得出在(a，b)上有 f′(x)<0； 2．划分单调区间一定要先求函数定义域； 3．单调区间一般不能并起来.
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答案 C 解析 f′(x)＝－x＋x＋b 2≤0 在(－1，＋∞)上恒成立，即 b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又 x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1， ∴b≤－1，故选 C.
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2．(2012·辽宁)函数 y＝12x2－lnx 的单调减区间为(
)
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
答案 B
解析 函数 y＝12x2－lnx 的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝ x－1xx＋1，令 y′≤0，则可得 0<x≤1，故选 B.
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3．(2012·重庆)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 f(x)在 x＝－2 处取得极小值，则函数 y＝xf′(x)的图像可 能是( )
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