初三数学圆周角知识点

初三圆周角知识点圆周角作为初三数学中的一个比较重要的考点，也是几何中一个重要的知识点，涉及到初中数学中的多个章节。

下面我们就来详细的讲解一下初三圆周角知识点。

一、什么是圆周角？圆周角是指圆心所对的圆弧所对应的角度。

也就是说，如果将一个圆分为360份，那么每份所对应的角度就是1度。

而当我们在圆中选择任意一份时，所对应的圆弧就是圆周角。

二、圆周角的度数计算公式在初中数学中，圆周角的度数计算公式是一个非常重要的公式，其公式为：L/πD×360°。

其中，L是圆弧的长度，π是一个常数，约等于3.14，D是圆的直径长度。

根据这个公式，我们可以非常轻松的求出圆的周长以及圆周角的度数。

例如，如果一个圆的直径长度为10cm，那么其周长就是10×π=31.4cm。

而如果我们想求出圆中一个角度为60度的角所对应的圆弧长度，那么其计算公式就是60/360×31.4≈5.24cm。

三、圆周角所对的圆弧长度和面积的关系圆周角所对应的圆弧长度和面积之间存在一定的关系，这也是初中数学中的一个重要知识点。

例如，对于一个180度的圆周角，其所对应的圆弧长度就是圆的半周长，而圆的面积就是圆的半周长平方再乘上π。

相信大家经过一些简单的计算后，应该会认为这个结论非常的显然。

四、圆周角的应用在初中数学中，圆周角具有非常重要的应用价值，其主要表现在以下几个方面：1、圆周角可以应用到圆弧的长度和圆的面积的计算中去。

2、圆周角可以应用到各种圆的运动轨迹中去。

例如，球在空中的运动轨迹就是一个圆周，而球飞行的方向就是圆周角。

3、圆周角可以应用到各种几何问题中去。

例如，对于一个中心角为45度的四边形，如果我们想知道其面积，那么我们需要将其分成四个相等的部分，再按照圆周角所对应的圆弧面积来计算即可。

综上所述，圆周角是初中数学中的一个非常重要的知识点，具有广泛的应用价值。

在学习圆周角的过程中，我们不仅要掌握其计算公式和应用技巧，还需要将其应用到实际问题中去，才能真正的理解和掌握该知识点。

九年级圆周角知识点圆周角是指以圆心为顶点，两边分别为弧所对应的角。

在九年级数学学习中，圆周角是一个重要的概念，掌握圆周角的知识对于理解和解决相关问题至关重要。

本文将详细介绍九年级圆周角的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用。

1. 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点，两边分别为弧所对应的角。

圆周角的度数等于所对应的弧度数，并且圆周角满足角度的加法定理，即两个相邻的圆周角的度数之和等于360度（或2π弧度）。

2. 圆周角的性质- 如果两个角的顶点在同一个圆上，并且两个角的两边分别与同一个弧相交，则这两个角互为圆周角，它们的度数相等。

- 如果两个角的顶点在同一个圆上，并且两个角的一边分别与同一个弦相交，则这两个角互为补角，它们的度数之和等于180度。

- 如果两个角的顶点在同一个圆上，并且两个角的一个角是直角，则另一个角也是直角。

3. 判断圆周角的大小对于给定的圆周角，可以通过以下方法来判断它的大小：- 将角的度数与360度（或2π弧度）进行比较，如果小于360度（或2π弧度），则圆周角是锐角；如果等于360度（或2π弧度），则圆周角是整圆角；如果大于360度（或2π弧度），则圆周角是钝角。

4. 圆周角的应用圆周角的概念在解决与圆相关的问题中发挥着重要作用，例如：- 弧长与角度之间的关系：圆周角的度数与所对应的弧长之间存在着等量关系，即弧长等于圆周角的弧度数乘以半径长度；- 扇形面积的计算：扇形是由圆心、两个半径所组成的图形，扇形的面积等于所对应的圆周角所占据的圆的面积的比例乘以整个圆的面积；- 弧度制的应用：弧度制是一种角度度量单位，它与度数之间存在着特定的换算关系，在解决复杂问题时非常有用。

总结：九年级的圆周角知识点对于数学学习至关重要，通过理解圆周角的定义、性质和判断方法，我们可以更好地解决与圆相关的问题，并灵活运用到实际生活中。

在学习过程中，我们还要注意弧长和扇形面积的计算，以及掌握弧度制的应用。

九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。

二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。

2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。

3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。

4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。

5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。

6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。

2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。

3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。

4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。

四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。

2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。

3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。

这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。

圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。

2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。

（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。

知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。

（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。

因为一条弦所对的弧有两段。

2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。

推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。

（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。

（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。

数学知识点：圆周角定理_知识点总结在数学的奇妙世界中，圆周角定理是一个非常重要的知识点。

它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开解决许多与圆相关问题的大门。

圆周角的定义首先要搞清楚。

圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

简单来说，就是一个角的两边与圆有交点，同时角的顶点也在圆上。

圆周角定理表述为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

这看似简单的一句话，却蕴含着丰富的数学内涵。

为了更好地理解这个定理，我们来看几个例子。

假设有一个圆，圆心为 O ，弧 AB 所对的圆心角为∠AOB ，所对的圆周角为∠ACB 。

根据圆周角定理，∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。

那为什么会有这样的定理呢？我们可以通过一些推理来证明它。

首先，当圆心 O 在圆周角∠ACB 的一边上时，比如圆心 O 在边 CB 上，此时∠AOB 是圆心角，因为 OA ＝ OC ，所以∠A ＝∠C ，从而得出∠AOB ＝ 2∠ACB ，即∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。

当圆心 O 在圆周角∠ACB 的内部时，连接 AO 并延长交圆于点 D ，那么∠AOB 被分成了∠AOD 和∠DOB 。

因为∠AOD 对应的圆周角是∠ACD ，∠DOB 对应的圆周角是∠DBC ，且∠ACB ＝∠ACD ＋∠DBC ，所以∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。

当圆心 O 在圆周角∠ACB 的外部时，连接 AO 并交圆于点 E ，同样可以通过类似的方法证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。

圆周角定理有很多重要的推论。

比如，同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

这些推论在解决实际问题中非常有用。

比如说，在一个圆中，如果知道了一条弦是直径，那么马上就能得出它所对的圆周角是直角，这在求解三角形的边长、角度等问题时常常能提供关键的线索。

再比如，在一个复杂的几何图形中，如果有多个同弧或等弧所对的圆周角，那么就可以利用它们相等的关系来进行等量代换，从而简化问题的求解过程。

九年级圆周角定理知识点圆周角是在数学几何中的一个重要概念，它与圆形的内角和外角有着密切的关系。

在九年级的几何学学习中，圆周角定理是一个不可或缺的内容。

在本文中，将详细介绍九年级圆周角定理的知识点。

1. 圆周角的定义在一个圆上，连接圆心和圆上两点，所对的角被称为圆周角。

圆周角的尺寸是以弧度为单位进行度量的。

一个完整的圆周角等于360°或2π弧度。

这意味着一个圆周角的度数恰好等于所对弧的弧度数。

2. 圆周角定理圆周角定理是指，在同一个圆中，对应于相同弧的圆周角相等。

换句话说，如果两个圆周角对应于同一个圆上的相同弧，那么这两个角的大小是相等的。

圆周角定理可以用数学表达式来表示：∠AOC = ∠ABC其中∠AOC和∠ABC分别表示对应于相同弧AC的两个圆周角的度数。

3. 圆周角的相关性质除了圆周角定理，还有一些与圆周角相关的性质需要了解。

（1）圆周角定理的逆定理：如果两个角对应于同一个圆上的不同弧，那么这两个角的度数是不等的。

（2）圆周角等于直径角：一个圆上的直径所对应的圆周角恰好等于180°或π弧度。

（3）圆周角的其他性质：圆周角与圆上的弧长有关，根据圆周角的度数可以计算对应的弧长。

4. 圆周角定理的应用圆周角定理是解决各种几何问题的重要工具。

通过应用圆周角定理，我们可以求解关于弧长、角度和半径之间的问题。

例如，可以通过已知弧长计算对应的圆周角，或者通过已知角度计算对应的弧长。

在现实生活中，圆周角定理也有一些实际应用。

例如，在建筑工程中，可以利用圆周角定理来测量圆形表面的角度和长度。

在天文学中，圆周角定理也被广泛用于计算天体的运动轨迹和距离。

总结：本文详细介绍了九年级圆周角定理的知识点。

圆周角的定义和圆周角定理是理解和应用圆周角的基础。

此外，我们还学习了圆周角的其他性质和一些实际应用。

通过掌握这些知识，我们能够更好地理解和解决与圆周角相关的几何问题。

九年级数学圆周角和圆心角知识点引言：数学作为一门博大精深的学科，其中的几何知识在我们的日常生活中无处不在。

而在九年级数学学习中，圆周角和圆心角是我们必须理解和掌握的重要概念之一。

本文将深入探讨九年级数学中的圆周角和圆心角知识点，希望能够为同学们的学习提供一些帮助。

一、圆周角圆周角是指一个图形所对的圆的圆周上的一部分，以弧所对的角叫做圆周角。

我们可以通过弧所对的圆心角来计算圆周角的大小。

假设圆的半径为r，圆弧对应的圆心角为θ（弧度制），那么圆周角的度数就是θ的度数。

例如，当θ为π/2时（即90度），圆周角也是90度。

圆周角的度数取决于其对应的圆心角的度数大小，换言之，圆周角可以看作是圆心角对应弧的一种度数表示。

二、圆心角圆心角是指圆周上任意两点连线与定点所夹的角，定点即为圆心。

通过圆心角的大小，我们可以判断出对应弧的长短和角的大小。

圆周上的所有圆心角的和等于360度，这是因为360度对应于一整个圆周。

根据圆心角的大小，我们可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。

如果一个圆心角的度数小于90度，则称之为锐角；如果一个圆心角的度数等于90度，则称之为直角；如果一个圆心角的度数大于90度但小于180度，则称之为钝角。

三、圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角有着密切的联系。

首先，同一个圆弧所对应的圆心角和圆周角的度数相等。

这是因为，圆周角可以看作是圆心角对应的弧的度数表示。

其次，同一个圆的圆周角之和等于360度。

这是由圆心角之和等于360度所决定的。

另外，当两个圆心角的度数相等时，它们所对应的圆周角的度数也是相等的。

四、常见的圆周角和圆心角问题在九年级数学学习中，我们经常会遇到一些与圆周角和圆心角相关的问题。

下面我们来讨论一些常见的问题类型。

问题类型一：已知圆心角的度数，求圆周角的度数。

根据前文的介绍，我们可以直接通过圆心角的度数来确定圆周角的度数。

例如，当圆心角的度数为120度时，对应的圆周角的度数也为120度。

初三圆周角函数知识点归纳总结圆周角函数是初中数学中的重要内容，对于学习三角函数和解题提供了便利。

本文将对初三圆周角函数的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握。

一、正弦函数1. 定义：在单位圆上，从正半轴到与半径夹角为θ的弧段的纵坐标与半径的比值，称为正弦函数，记作sinθ。

2. 基本性质：- 定义域：所有实数；- 值域：[-1, 1]；- 周期性：sin(θ+2π)=sinθ；- 对称性：sin(-θ)=-sinθ。

3. 常用值：- sin(0)=0；- sin(π/6)=1/2；- sin(π/4)=√2/2；- sin(π/3)=√3/2；- sin(π/2)=1。

二、余弦函数1. 定义：在单位圆上，从正半轴到与半径夹角为θ的弧段的横坐标与半径的比值，称为余弦函数，记作cosθ。

2. 基本性质：- 定义域：所有实数；- 值域：[-1, 1]；- 周期性：cos(θ+2π)=cosθ；- 对称性：cos(-θ)=cosθ。

3. 常用值：- cos(0)=1；- cos(π/6)=√3/2；- cos(π/4)=√2/2；- cos(π/3)=1/2；- cos(π/2)=0。

三、正切函数1. 定义：在单位圆上，从正半轴到与半径夹角为θ的弧段的纵坐标与横坐标的比值，称为正切函数，记作tanθ。

2. 基本性质：- 定义域：所有实数，除去所有余弦函数为0的点（即θ=π/2+kπ，k为整数）；- 值域：全体实数；- 周期性：tan(θ+π)=tanθ。

3. 常用值：- tan(0)=0；- tan(π/4)=1；- tan(π/6)=√3/3；- tan(π/3)=√3；四、相关性质1. 三角函数的关系：- tanθ=sinθ/cosθ；- sin²θ+cos²θ=1。

2. 三角函数的互化公式：- sin(-θ)=-sinθ；- cos(-θ)=cosθ；- tan(-θ)=-tanθ。

一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的要素：圆心、半径、圆周。

3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。

二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。

2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。

3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。

4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。

三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。

2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。

3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。

4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。

四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。

2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。

五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。

2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。

六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

第五节圆周角知识点梳理【知识点一】圆周角定理1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半【知识点二】圆周角定理的推论推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直径；90o的圆周角所对的弦是直径推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等典例分析【题型一】圆周角的识别【例1】如图，指出图中的圆周角。

A.1个B.2个C.3个D.4个【题型二】利用圆周角定理求交的度数【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD，BC为弦，CD∥AB，∠BOD=50°，求∠CPD的度数。

【题型三】利用圆周角定理及其推论判断角之间的数量关系【例1】如图AB是⊙O的直径,CD 是⊙O的弦AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C,D重合) ,求证: ∠CPD= ∠COB(2)点P'在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CP'D与∠COB有怎样的数量关系?请证明你的结论。

【变式1】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D，使DC=CB,延长DA与⊙O 的另一个交点为E,连结AC,CE.则∠B与∠D 的大小关系怎样?请说明理由.【题型四】利用圆周角定理及其推论证明弧相等【例1】如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作OA,分别交BC,AO于E,F两点,交BA=的延长线于点G，证明: EF FG=【变式1】如图，AB，CD是⊙O的弦，∠A=∠C，求证：AB CD【题型五】利用圆周角定理及其推论证明线段相等【例1】如图,AB是⊙O的直径，D是BC的中点，AC，BD的延长线相交于点E，证明：AE=AB【变式1】如图,AB是⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于点D，求证：AC=DC【题型六】利用圆周角定理及其推论求线段的长度【例1】如图，在⊙O中，AD为直径，OB⊥AD交弦AC于点B，∠A=30°，OB=5，求BC的长。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。

初中数学知识归纳圆的性质与圆周角初中数学知识归纳：圆的性质与圆周角在初中数学中，学习圆的性质与圆周角是非常重要的一部分。

通过理解和掌握这些知识点，我们可以更好地解决与圆相关的问题。

下面，将对圆的性质和圆周角进行归纳总结。

1. 圆的定义与性质圆是由平面上到一个确定点的距离都相等的点的集合。

具体来说，一个圆由圆心和半径组成。

- 圆心：圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。

- 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的长度，通常用字母r表示。

- 直径：直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，它等于半径的两倍。

- 弧：圆上两点之间的部分被称为弧，可以用两点表示或弧上对应的圆心角来表示。

- 弧长：弧长是弧的长度，在数学中通常用字母l表示。

- 圆周：圆周是圆的边界，它是由无数个点组成，也是圆的周长。

2. 圆的周长与面积圆的周长和面积是求解与圆相关问题时常用到的量。

- 周长（C）：圆的周长是指圆周的长度，它可以通过公式C = 2πr计算，其中π是圆周率，约等于3.14。

- 面积（A）：圆的面积是指圆内部的所有点构成的平面区域的大小，它可以通过公式A = πr²计算。

3. 圆周角的性质在圆周上，讨论角度的概念就引出了圆周角。

- 圆周角：圆周角是指以圆心为顶点的角，它的两边分别与圆上的两条弧相交。

圆周角的度数等于所对圆周弧的弧度数。

由于圆周的总度数为360°，所以圆周角的度数也应该是360°。

根据圆周角的位置和大小可以分为以下几种情况：- 中心角：中心角的顶点位于圆心，两条边分别与圆上的两点相交。

中心角的度数等于所对圆弧的度数，利用中心角可知，它所对的圆弧的弧度数也等于它自身的度数。

- 正角：圆周角度数小于180°的称为正角。

- 平角：圆周角度数等于180°的称为平角。

- 余角：与一个圆周角所对圆弧的弧度数之和等于180°的角，称为该圆周角的余角。

4. 圆的相关定理在研究圆的性质时，还会涉及一些与圆有关的定理。

圆周角教学方案要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．小结反思情况反馈○非常满意○满意○一般○差主管签字：日期一、典型例题类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A．45° B．60° C．30° D．55°类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．举一反三：【变式】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B． 4 C． 4D． 8类型三、圆内接四边形4.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°5.如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=°．举一反三：【变式】如图，点C是AB上一点，O是圆心，且∠AOB=120°，则∠ACB=度．二、巩固练习1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°（第1题图）（第2题图）2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠13．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：5：6，则∠D= .9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2 3 ，则BD＝ .11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝ .（第11题图）（第12题图）12．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．14．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．ODA BC（第10题图）。