任意函数卷积政正弦函数

正弦函数的性质和计算正弦函数是基本的三角函数之一，在数学和物理学中具有重要的应用。

本文将重点介绍正弦函数的性质和计算方法。

一、正弦函数的定义和图像特点正弦函数可以用以下函数表示：y = sin(x)其中，x 表示自变量，y 表示因变量。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，呈现周期性变化。

具体而言，正弦函数的图像在区间[-π/2, π/2] 上是递增的，而在区间[π/2, 3π/2] 上是递减的。

它的最大值为1，最小值为-1，且在x = kπ (k 为整数) 处取得这些特殊值。

二、正弦函数的性质1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。

这意味着正弦函数的图像每隔2π重复一次。

2. 奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即 sin(-x) = -sin(x)。

这意味着正弦函数的图像关于原点对称。

3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x) = sin(x)。

这意味着正弦函数的图像关于直线x = π/2 对称。

4. 临界点：正弦函数在一些特殊点上取得极值。

具体而言，当 x =kπ/2 (k 为整数) 时，正弦函数取得最大值 1 或最小值 -1。

三、正弦函数的计算方法1. 角度值和弧度值的转换：在计算正弦函数时，有时会遇到角度值和弧度值之间的转换。

通常使用以下公式：弧度= (π/180) * 角度角度= (180/π) * 弧度2. 倍角、半角和和差公式：正弦函数的计算可以利用倍角、半角和和差公式简化。

具体公式如下：（1）倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)（2）半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cos(x))/2]（3）和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)3. 特殊角度值的正弦值：一些特殊角度值的正弦值是常见的，可以通过记忆或计算得到。

例如：sin(0°) = 0，sin(30°) = 1/2，sin(45°) = √2/2，sin(60°) = √3/2，sin(90°) = 1四、正弦函数的应用正弦函数在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 音波和振动：正弦函数可以描述声音和振动的变化规律。

正弦函数图像和性质正弦函数是一种常见的函数，在数学研究中，它被广泛用于表达定义在实数集的函数的图像。

正弦函数可以通过其一般形式 y=sin x，其中x表示自变量，y表示函数值，也可以表示为极坐标形式 r=sin，其中θ表示极坐标参数，r表示正弦函数值，它也可以表示为复平面形式 z=sin(x+iy)，其中x表示实部，y表示虚部，z表示正弦函数结果，作为函数，正弦函数可以描述定义在实数集内的曲线。

二、正弦函数图像正弦函数y=sin x的图像如下所示：图1弦函数y=sin x的图像可以看出，正弦函数的图像是一条以原点（0，0）为中心的周期性图像，它以（π，0）和（-π，0）为极点，它形似一个波浪，起伏不定，一个完整的周期长度为2π，其中π约等于3.1415926。

复平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像如下所示：图2平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像正弦函数的复平面图像的特点是：它形似旋转的空心圆，有一定的中心对称性，其图像可以看作是一个以原点为中心的旋转空心螺旋。

三、正弦函数的性质1、正弦函数的单调性在正弦函数曲线的一个周期内，函数值先递增，再递减，由此可以认为正弦函数是单调递减函数。

2、正弦函数的对称性正弦函数是对称函数，在一个周期内，函数值和其对称轴处的函数值相等，即sin(x) = sin(- x)，此外，在正弦函数曲线中，（π，0）和（-π，0）是函数的极值点，即sin(π) = sin(-π) = 0，此外，正弦函数也具有垂直对称性，可以表示为y=sin x的对称轴是x 轴，函数值的对称轴是y轴。

3、正弦函数的周期性正弦函数是一个周期函数，一个完整的周期长度为2π，由此，可以认为，当x在2π的整数倍的范围内，sin x的函数值和x在（0，2π）范围内的函数值是相同的。

4、正弦函数的极限性正弦函数的极限性可以用数学归纳法推导出来，即当x趋于正无穷大或负无穷大时，正弦函数的函数趋于1或-1，具体表示为lim x →∞sin x = 1；lim x→-∞sin x = -1。

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入 1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作()x f y =，D x ∈。

（2）三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值；根据上面规定，则,OM x MP y ==,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin 1y yy MP r α====； cos 1x xx OM r α====； tan y MP AT AT x OM OAα====；这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、讲授新课【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数图象？2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像（1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像【方案1】——几何描点法步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤2：描点——平移定点，即描点()x x sin ,； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。

任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数是任意角三角函数中两个最基本的函数。

它们的定义可以通过单位圆来得出，并且它们之间存在着重要的诱导公式。

首先，我们来看正弦函数的定义。

对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。

那么，我们定义正弦函数sin(θ) 为点P 的纵坐标值。

也就是说，sin(θ) = y / r，其中 y 是点 P 的纵坐标，r 是单位圆的半径。

接下来，我们来看余弦函数的定义。

与正弦函数类似，对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。

那么，我们定义余弦函数cos(θ) 为点 P 的横坐标值。

也就是说，cos(θ) = x / r，其中x 是点 P 的横坐标，r 是单位圆的半径。

正弦函数和余弦函数的定义可以用下图来表示：```θr * cos(θ) ， r----------------，--------------------r * sin(θ)```在上图中，θ 是角度，r 是单位圆的半径，P 是对应的点。

点 P 的横坐标为r * cos(θ)，纵坐标为r * sin(θ)。

接下来我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。

诱导公式是指，如果我们知道一个角度的正弦值或余弦值，我们可以通过其他角度的正弦函数和余弦函数来计算。

首先，我们来看正弦函数的诱导公式。

对于任意角度θ，我们可以通过一个有用的等式来计算sin(θ)。

这个等式叫做“和差化积公式”或者“诱导公式”。

根据这个公式，我们有 sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)。

如果我们令a = θ 和b = 90°，那么我们可以得到sin(θ +90°) = sin(θ) * cos(90°) + cos(θ) * sin(90°)。

根据单位圆上的图像，我们知道cos(90°)=0，sin(90°)=1，所以这个等式简化为sin(θ + 90°) = cos(θ)。

正弦函数、余弦函数、及函数y=Asin(ωx+)的图象和性质[本周教学重点]会用“五点作图法”画出正弦函数、余弦函数及y=Asin(ωx+)的图象；掌握正弦函数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间、最小正周期；清楚y=sinx与y=Asin(ωx+)图象间的变换过程，了解振幅、频率、相位、初相的定义.[本周教学难点]准确理解周期函数的定义，灵活应用正弦函数、余弦函数的性质，求解以三角式确定的函数的性质.[内容]一、三角函数的图象和性质sinx=cosx=tanx=cotx=定义域x∈R x∈R{x|x≠kπ+,k∈Z}{x|x≠kπ,k∈Z}值域[-1，1] [-1，1] (-∞，+∞) (-∞，+∞)图象奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性单调增区间[2kπ-,2kπ+]k∈Z单调增区间[2kπ-π,2kπ]k∈Z单调减区间[2kπ,2kπ+π]k∈Z单调增区间(kπ-,kπ+), k∈Z单调减区间(kπ,kπ+π)k∈Z单调减区间[2kπ+,2kπ+]k∈Z周期性T=2π T=2π T=π T=π对称性对称中心:(kπ,0) k∈Z对称轴:x=kπ+,k∈Z对称中心:(kπ+,0)k∈Z对称轴:x=kπ, k∈Z对称中心:(,0) 对称中心: (,0)最值x=2kπ+时，y取最大值1；x=2kπ+π时，y取最小值-1；k∈Z x=2kπ时，y取最大值1；x=2kπ+π时，y取最小值-1；k∈Z无无二、函数y=Asin(ωx+)的图象和性质(A>0, ω>0)1．图象函数y=Asin(ωx+)(A>0, ω>0)x∈R的图象可由y=sinx图象按下列顺序变换得到:①相位变换:把y=sinx图象上所有点向左(>0)或向右(<0)平行移动||个单位．②周期变换:把所有各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）③振幅变换:把所有各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍（横坐标不变）；研究正弦函数的目的，是为了揭示各种正弦函数图象的内在联系，但在作y=Asin(ωx+)的简图时，仍常常用“五点法”，这五点的取法是:设x=ωx+，由x取0，，π，π，2π来求出对应的x的值．2．性质①定义域:x∈R,值域:y∈[-A,A].②奇偶性:=kπ+时为偶函数；=kπ时为奇函数，k∈Z.③单调性:单调增区间:[] k∈Z单调减区间:[] k∈Z④周期性:T=⑤对称性:对称中心(,0)k∈Z对称轴x=k∈Z⑥最值:x=时，y取最大值Ax=时，y取最小值-A．(k∈Z)[例题分析与解答]例1．求函数的定义域.分析与解答:要使函数运算有意义，必有在数轴上标出不等式组中各不等式的解集.显然不等式解集的交集合也具有周期性.原函数的定义域，(k∈Z).说明:利用正、余弦函数图象及周期性，是求解不等式sin(ωx+)≥m或sin(ωx+)<m以及n≤sin(ωx+)≤m的常见方法（其中|m|≤1, |n|≤1).例2．求下列函数的值域.①②x∈R③y=sinx+cosx+2sinxcosx x∈R分析与解答:三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域.(1)由x∈[0,π]，∴.由正弦函数图象可知，，即时，y max=2, , 即x=π时，y min=-1. 所以函数值域为[-1，2].(2) x∈R，去分母，3y+ysinx=2-cosx, 移项整理ysinx+cosx=2-3y, 由辅助角公式得∴,∵x∈R,,∴, 即.平方整理得:8y2-12y+3≤0, 解出，所以函数值域为.（3）由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx∴2sinxcosx=(sinx+cosx)2-1y=sinx+cosx+2sinxcosx=(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)-1令∵x∈R,∴. 则y=t2+t-1,当时，，当时，.所以函数值域为. 例3．已知方程.（1）若方程在[0，π]上有实根，求实数m的取值范围；（2）若方程在[0，π]上有两个相异实根，求实数m的取值范围.分析与解答:求解三角方程是个较困难的问题，但仅考察三角方程在所给区间上解的个数，就可以联系函数的图象求解.（1）由∴整理为若要方程在[0，π]上有实根，等价于以[0，π]为定义域而求解函数值y的取值范围.由x∈[0，π], ∴, 当即x=0时，m有最大值1.当，即时，m有最小值-2.∴m∈[-2,1].（2）由，若在[0，π]上有两个相异实根，即函数在[0，π]上与函数y=m的图象有两个不同的交点，如图.当-2<m≤-1时，方程有两个相异实根.例4．已知函数，x∈R.（1）当x取何值时，y取得最大值并求最大值；（2）求函数的最小正周期、单调递增区间；（3）求函数图象的对称中心坐标，对称轴方程.要使函数成为偶函数，向左平移最少单位是多少；（4）求函数在上的图象与的围成的封闭图形的面积；（5）函数图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移、伸缩变换而得到.分析与解答:先将函数化为y=Asin(ωx+)+C的形式，根据其图象及性质求解各个问题.（1）当，即时(k∈Z) ，.（2）最小正周期.由，单调增区间是.（3）函数图象的对称中心，是图象与平衡位置所在直线y=1的交点；函数图象的对称轴，是经过图象上表示最大、最小值的点且与x轴垂直的直线.如图.令y=1,∴,, ，对称中心坐标为，当y取得最大，最小值时，，∴，∴，为对称轴方程.当k=0时，是y轴右侧离y轴最近的对称轴，所以将原函数图象向左平移最少为时，图象满足关于y轴对称，成为偶函数.（4）如图，在矩形ABFE中，M是图象的一个对称中心，所以A点与F点间的图象将矩形ABFE的面积平分，同理，F、D间的图象将矩形EFCD的面积平分，故函数在上图象与围成封闭图形面积是矩形ABCD面积的，所求面积为.（5）先将y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象；将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象；再将图象上每个点的纵坐标变为原来的倍，而横坐标不变，得到函数的图象；最后将的图象向上平移1个单位，得到函数+1的图象.课外练习1．下列函数中不是周期函数的是（）.A、y=|sinx|B、y=sin|x|C、y=|cosx|D、y=cos|x|2．函数的单调增区间是（）.A、B、C、D、（以上k∈Z）.3．y=Asin(ωx+)+m的最大值是4，最小值是0，最小正周期为是图象对称轴，则下面满足条件的解析式是（）.A、B、C、D、4．函数为奇函数的充要条件是（）.A、B、=kπC、D、（以上k∈Z）.5．函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (其中a≠0, b≠0, ω>0)，若f(x)的最大值是4，最小正周期T=π，且.（1）求ω,a,b的值；（2）求f(x)最小值及此时x的取值.参考答案:1.B2.B3.D4.C5. (1)(其中),, ∴ω=2.由，∴a2+b2=9,, ∴(2)当时，即时，y min=-2.。

一、当一个函数x （t ）与δ函数卷积的结果是什么，请用数学法和物理概念分别加以说明。

答：（1）数学法：()()()()()()()x t t x t d x t t d x t δτδττδττ+∞+∞-∞-∞*=-=-=⎰⎰，所以当一个函数x （t ）与δ函数卷积后得到的还是函数本身。

（2）物理意义卷积实际上是一个反褶、平移、相乘、求和的过程，其物理意义是根据 t 值的不同，()t δτ- 将在 t 轴上移动到不同的位置，在移动过程中，对()x τ和()t δτ-的重叠部分进行相乘，因为 δ函数只有在=t τ时值为1，其他时刻为0，所以乘积的结果就为=t τ时刻()x τ的值，最后将这些()x τ的值叠加，就得到整个τ区间上()x τ的值，结果就是原函数()x τ。

二、利用卷积意义求正弦信号与衰减震荡函数的卷积 1、流程图2、程序代码%利用卷积定义求正弦函数和衰减震荡函数的卷积%韩宝安10011311477 2012年4月18日clc;%清空clear all;%清除所有变量close all;%关闭所有窗口N=input('将输入信号划分成N份:');%定义划分份数Nt1=linspace(0,50*pi,N);%定义t1A=1;%定义输入信号幅值f=1;%定义输入信号频率x=A*sin(2*pi*f*t1);%定义输入信号xt2=0:0.01:2*pi;%定义t2B=1;%定义衰减震荡函数幅值h=B*exp(-t2/3).*sin(3*t2);%定义衰减震荡函数hsubplot(2,1,1);%两行一列第一幅图plot(t1,x);%输出t1-x图像xlabel('t1','fontsize',13);%x轴为t1，字号13ylabel('x','fontsize',13);%y轴为x，字号13title('x=sin(2*pi*t1)');%显示标题subplot(2,1,2);%两行一列第二幅图plot(t2,h);%输出t2-h图像xlabel('t2','fontsize',13);%x轴为t2，字号13ylabel('h','fontsize',13);%y轴为h，字号13title('h=exp(-t2/3).*sin(3*t2)');%显示标题Y=zeros(1,length(t2));%定义初始Yfor ind=1:1:N%定义ind从1开始一直循环到Nif ind==1hnew=h;%ind=1时，h函数没有移动，新的hnew=helseif ind>1hnew=[zeros(1,1),hnew];%从ind=2开始，ind每增加1，hnew往右移动一次Y=[Y,zeros(1,1)];%为保证Y长度和hnew一样，也需在Y后面补0 endY=Y+x(ind)*hnew;%叠加过程endfigure;%在另一窗口显示图像subplot(2,1,1);%两行一列第一幅图plot(52*pi/length(Y)*(1:length(Y)),Y);%输出Y图像xlabel('t','fontsize',13);%x轴为t，字号13ylabel('Y','fontsize',13);%y轴为Y，字号13title('定义法求卷积');%显示标题standard=conv(x,h);%使用conv函数求卷积subplot(2,1,2);%两行一列第二幅图plot(52*pi/length(Y)*(1:length(Y)),standard);%conv函数图像，以和Y图像对比xlabel('t','fontsize',13);%x轴为t，字号13ylabel('standard','fontsize',13);%y轴为standard，字号13title('标准卷积图形');%显示标题3、程序运行结果当将信号划分成5000等份时，如下图1，得到输入信号和衰减震荡波形如图2，最后结果如图3，可见此程序能够实现与conv函数相同的功能。