2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第6课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．如果a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是( ) A ．l ⊂α B ．l ⊄α C ．l ∩α＝A D ．l ∩α＝B解析：选A.∵a ⊂α，l ∩a ＝A ，∴A ∈α，A ∈l ，同理B ∈α，B ∈l ，∴l ⊂α. 2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直解析：选A.直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．3．对于直线m 、n 和平面α，下列命题中的真命题是( ) A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线， 那么n 与α相交C ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m 与n 相交解析：选C.对于选项A ，n 可以与平面α 相交，对于选项B ，n 可以与平面α平行，故选项A 、B 均错；由于m ⊂α，n ∥α，则m 、n 无公共点．又m 、n 共面，所以m ∥n ，选项C 正确，选项D 错．4. 如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M解析：选D.∵AB ⊂γ，M ∈AB ，∴M ∈γ. 又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上． 同理可知，点C 也在γ与β的交线上．5．在四面体SABC 中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选C.取SB 的中点G ，则GE ＝GF ＝a2，且GF ∥SA ，则∠GFE 即为异面直线SA 与EF 所成的角(或其补角)．由于FC＝32a＝SF，故EF⊥SC，且EF＝22a，则GF2＋GE2＝EF2，故∠EFG＝45°.二、填空题6．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定__________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或47．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________个．解析：∵a⊥b，b⊥c，∴a与c可以相交，平行，异面，故①错．∵a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面，相交，平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面，相交，平行，故③错．同理④错，故真命题的个数为0.答案：08．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．解析：B1C与AD1异面，连接B1C，BC1(图略)，则BC1∥AD1，且BC1⊥B1C，所以AD1与B1C所成的角为90°.答案：1三、解答题9. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．解：如图所示．PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．10．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明：(1)假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B 、C 、A 、D ∈α.所以四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾．所以BC 与AD 是异面直线．(2)如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ， 因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则EFGH 为平行四边形． 又EG 、FH 是平行四边形EFGH 的对角线， 所以EG 与HF 相交．[能力提升]一、选择题1. 如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：选A.连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1. ∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1.又M ∈平面AB 1D 1， ∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线． 2．(2012·高考重庆卷)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A.在如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他棱的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，显然A ，B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. 二、填空题 3．(2012·高考大纲全国卷)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为__________．解析：连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ，∴cos ∠D 1FD ＝⎝⎛⎭⎫52a 2＋⎝⎛⎭⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35.答案：354.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD 三、解答题5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明：(1)连接EF、CD1、A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．6. (选做题)如图所示，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，P A＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A-EBC的体积．解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(2) 取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角．∵∠BAC＝60°，P A＝AB＝AC＝2，P A⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，∴异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.(3)∵E 是PC 的中点，∴E 到平面ABC 的距离为12P A ＝1，V A -EBC ＝V E -ABC ＝13×(12×2×2×32)×1＝33.。

[基础达标]一、选择题1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 2．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C.点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .3．(2014·河南焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2 解析：选D.如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1. 又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y ＝2.4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 解析：选A.设C (x ，y )， 则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．设动点P 在直线x －1＝0上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：选B.设Q (x ，y )，P (1，a )，a ∈R ，则有OP →·OQ →＝0，且|OP →|＝|OQ →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1＋a 2，x ＋ay ＝0， 消去a ，得x 2＋y 2＝1＋x 2y 2＝x 2＋y 2y2.∵x 2＋y 2≠0，∴y ＝±1.即动点Q 的轨迹为两条平行直线y ＝±1. 二、填空题6．(2014·广东阳江质检)已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )，满足P A →·PB →＝x 2－6，则动点P 的轨迹是________．解析：∵动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，∴(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，∴动点P 的轨迹方程是y 2＝x ，轨迹为抛物线．答案：抛物线7．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足 AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)．由EP →∥OA →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x.由AE →⊥AF →⇒y 2＝4x (x ≠0)．答案：y 2＝4x (x ≠0)8．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是______________．解析：依题意有|QP |＝|QF |，则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1三、解答题9．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，求动点C 的轨迹方程．解：∵AB ＝32＋42＝5，∴AB 边上高h ＝205＝4.故C 的轨迹是与直线AB 距离等于4的两条平行线．∵k AB ＝43，AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0.由|c －4|5＝4，得c ＝24或c＝－16，故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.10．(2014·宜昌市一中高三考前模拟)如图所示，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CN 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若过定点F (0,2)的直线交曲线E 于不同的两点G ，H (点G 在点F ，H 之间)，且满足 FG →＝λFH →，求λ的取值范围．解：(1)∵AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0.所以NP 为AM 的垂直平分线．所以|NA |＝|NM |. 又∵|CN |＋|NM |＝22，∴|CN |＋|AN |＝22>2.所以动点N 的轨迹是以点C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆． 且椭圆长轴长为2a ＝22，焦距2c ＝2. ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝1.所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1.得(12＋k 2)x 2＋4kx ＋3＝0.由Δ>0得k 2>32. 设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k12＋k 2，x 1x 2＝312＋k 2.又∵FG →＝λFH →，∴(x 1，y 1－2)＝λ(x 2，y 2－2)， ∴x 1＝λx 2，∴x 1＋x 2＝(1＋λ)x 2，x 1x 2＝λx 22. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋λ2＝x 22＝x 1x 2λ， ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k 12＋k 22(1＋λ)2＝312＋k 2λ，整理得163⎝⎛⎭⎫12k 2＋1＝(1＋λ)2λ.∵k 2>32，∴4<1632k 2＋3<163.∴4<λ＋1λ＋2<163，解得13<λ<3.又∵0<λ<1，∴13<λ<1.又当直线GH 斜率不存在，方程为x ＝0，FG →＝13FH →，λ＝13.∴13≤λ<1，即所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1. [能力提升]一、选择题1．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是( )A ．(x ＋1)2－y 2＝65B ．(x －1)2－y 2＝65C ．(x ＋1)2＋y 2＝65D ．(x －1)2＋y 2＝65解析：选A.设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，⎩⎨⎧2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25， 即(3x －2y ＋3)213－(2x －3y ＋2)213＝25.化简得(x ＋1)2－y 2＝65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程．2．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选B.设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2，故所求的轨迹是双曲线．二、填空题3．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程为______________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 的轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，AB 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)4．(2014·四川成都质检)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y2. 又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1. 答案：x 24a 2＋y 24b 2＝1三、解答题 5．(2013·高考辽宁卷)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .6．(选做题)(2014·湖北恩施质检)在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，|OM →|＝5，ON →＝255OM →.过点M 作MM 1⊥y 轴于点M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，OT →＝M 1M →＋N 1N →.记点T 的轨迹为曲线C ，点A (5,0)、B (1,0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q (点Q 在A 与P 之间)．(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |，并说明理由．解：(1)设点T 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x ′，y ′)，则M 1的坐标为(0，y ′)，ON →＝255OM →＝255(x ′，y ′)，于是点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫255x ′，255y ′，N 1的坐标为⎝⎛⎭⎫255x ′，0， 所以M 1M →＝(x ′，0)，N 1N →＝⎝⎛⎭⎫0，255y ′.由OT →＝M 1M →＋N 1N →，有(x ，y )＝(x ′，0)＋⎝⎛⎭⎫0，255y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝255y ′.由此得x ′＝x ，y ′＝52y . 由|OM →|＝5，得x ′2＋y ′2＝5，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫52y 2＝5，得x 25＋y 24＝1，即所求的方程表示的曲线C 是椭圆． (2)点A (5,0)在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，所以直线l 的斜率存在，并设为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －5)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝k (x －5)，得(5k 2＋4)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0.依题意知Δ＝20(16－80k 2)>0，得－55<k <55.当－55<k <55时，设交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为R (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝50k 25k 2＋4，x 0＝x 1＋x 22＝25k 25k 2＋4.∴y 0＝k (x 0－5)＝k ⎝⎛⎭⎫25k 25k 2＋4－5＝－20k5k 2＋4.又|BP |＝|BQ |⇔BR ⊥l ⇔k ·k BR ＝－1，k ·k BR ＝k ·20k 5k 2＋41－25k 25k 2＋4＝20k 24－20k2＝－1⇔20k 2＝20k 2－4，而20k 2＝20k 2－4不成立，所以不存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |.。

[基础达标]一、选择题1．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D.∵l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，∴l 2的斜率为2.又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理即得：y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，∴P 点坐标为(0,3)．2．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 B.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0<k <12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 3．已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由k 1＝k 2,1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B.由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．5．(2014·武汉市部分学校高三联考)已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10C ．9D ．8解析：选B.由已知两直线互相垂直可得：2×1＋(－1)×a ＝0，解得a ＝2.所以线段AB 的中点为P (0,5)，且AB 为Rt △AOB 的斜边．因为直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB 的一半，且|PO |＝5，故|AB |＝2|PO |＝10.故选B.二、填空题6．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且2lg(sin B )＝lg(sin A )＋lg(sin C )，则两条直线l 1：x sin 2A ＋y sin A ＝a 与l 2：x sin 2B ＋y sin C ＝c 的位置关系是________． 解析：已知2lg(sin B )＝lg(sin A )＋lg(sin C )，可得sin 2B ＝sin A sin C ，故sin 2A sin 2B ＝sin A sin C .又sin A sin C ＝a c，所以两直线重合． 答案：重合7．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，∴θ＝k π(k ∈Z )，∴当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.答案：k π(k ∈Z )8．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， ∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)， 即3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝0三、解答题9．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即a b＝1－a . 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 10．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在上述直线上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277b ＝－87. ∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎫277，－87. [能力提升]一、选择题1．直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．x ＋3y －8＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C.设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.2．在直角坐标系中，A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：选A.如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4,2)，C (－2,0)，由对称性知，D ，M ，N ，C 共线，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|PN |＝|DM |＋|MN |＋|NC |＝|CD |＝40＝210，即为光线所经过的路程．二、填空题3．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,24．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是________． 解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2|＝|2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2|， 于是当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1时，d 取得最大值2＋ 2. 答案：2＋ 2三、解答题5．过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4. ∵|AB |＝2，∴ ⎝⎛⎭⎫53k ＋42＋⎝⎛⎭⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17. 因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.6．(选做题)A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0,400)，点B (a,100)．过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300，由勾股定理得BC ＝400，∴B (400,100)．点A (0,400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)，由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400. 令y ＝0，得x ＝320，即点P (320,0)．故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。

[基础达标]一、选择题 1．(2014·武汉市部分学校高三联考)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为( )A.13 B.14 C.16D.112解析：选C.(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ，若其为纯虚数，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝0，2mn ≠0，所以m ＝n ≠0.投掷两颗骰子的所有结果有36种，而满足m ＝n ≠0的结果有6种，故复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为P ＝636＝16.故选C.2．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25B.35C.23D.67解析：选B.因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.3．(2014·武汉市调研测试)已知等比数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝－2a n (n ∈N *)．若从数列{a n }的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是( )A.310B.25C.35D.710解析：选B.依题意可知a n ＝2·(－2)n －1，由计算可知，前10项中，不小于8的只有8，32，128，512，4个数，故所求概率是410＝25.4．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16解析：选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412＝13.5．(2014·北京西城区质检)将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是( )A.221B.463C.121D.263解析：选B.将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则有C 17＋C 27＋C 37＋C 47＋C 57＋C 67＝27－2＝126(种)．因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以要使两组中各数之和相等，则有各组数之和为14.则有7＋6＋1＝5＋4＋3＋2；7＋5＋2＝6＋4＋3＋1；7＋4＋3＝6＋5＋2＋1；7＋4＋2＋1＝6＋5＋3；5＋4＋3＋2＝7＋6＋1；6＋4＋3＋1＝7＋5＋2；6＋5＋2＋1＝7＋4＋3；6＋5＋3＝7＋4＋2＋1共8种，所以两组中各数之和相等的概率是8126＝463.二、填空题 6．(2013·高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．解析：甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为46＝23.答案：237．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.解析：由题意知n >4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1，4和2，3，所以P ＝2C 2n＝114，即n 2－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8. 答案：8 8．(2014·浙江省名校联盟)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：518三、解答题 9．(2014·河南洛阳质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率．解：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．∴P (A )＝412＝13.10．(2012·高考山东卷)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1，2，3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1，2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.[能力提升]一、选择题 1．(2013·高考安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：选D.由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙、丁、戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.2．(2014·黄冈市高三年级质量检测)将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.12B.23C.34D.56解析：选D.记将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n 的结果为(m ，n )，其取值情况共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)等36种情况；若函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数，等价于导数y ′＝2mx 2－n 在[1，＋∞)上大于或等于0恒成立．即x 2≥n2m 在[1，＋∞)上恒成立．即n 2m ≤1.满足n2m ≤1的共有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共30种情况；故所求概率为P ＝3036＝56.故选D.二、填空题 3．(2012·高考重庆卷)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析：法一：6节课的全排列为A 66种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33)种，由古典概型概率公式得P (A )＝A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33A 66＝15. 法二：6节课的全排列为A 66种，先排三节艺术课有A 33种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A 34种不同方法，故由古典概型概率公式得P (A )＝A 33A 34A 66＝15.答案：154. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．解析：基本事件的总数是4×4＝16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34. 答案：34三、解答题 5．(2012·高考江西卷) 如图，从A 1(1，0，0)，A 2(2，0，0)，B 1(0，1，0)，B 2(0，2，0)，C 1(0，0，1)，C 2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.6．(选做题)(2014·江西九江调研)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A ＝“恰有一个红球”，事件B ＝“第3个是红球”．求：(1)不放回时，事件A ，B 的概率； (2)每次取后放回时，A ，B 的概率．解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共有6×5×4＝120(个)．又事件A 中含有基本事件3×2×4×3＝72(个)(第1个是红球，则第2、3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球跟第1个是红球的取法一样多)，∴P (A )＝72120＝35.第3次抽取红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总球数的13，在每一次取到都是随机的等可能事件，∴P (B )＝13.(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中任取一个，有取法63＝216(种)，事件A 包含基本事件3×2×4×4＝96(种)．∴P (A )＝96216＝49.第三次取到红球包括B 1＝{红，黄，红}，B 2＝{黄，黄，红}，B 3＝{黄，红，红}，B 4＝{红，红，红}四种互斥的情形，P (B 1)＝2×4×2216＝227，P (B 2)＝4×4×2216＝427，P (B 3)＝4×2×2216＝227，P (B 4)＝2×2×2216＝127， ∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3)＋P (B 4) ＝227＋427＋227＋127＝13.。

[基础达标]一、选择题1．(2014·福建宁德质检)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a的值为( )A.2B.10 C ．4 D.34解析：选C.因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.2．(2014·辽宁六校联考)已知点P (2，5)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线上的一点，E ，F 分别是双曲线的左，右焦点，若EP →·FP →＝0，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 24－y 25＝1D.x 25－y 24＝1 解析：选C.由条件易得b a ＝52，且(2＋c ，5)·(2－c ，5)＝0，联立求得a 2＝4，b 2＝5.3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率等于( )A.52B.102C.152D. 5 解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧ |AF 1|－|AF 2|＝2a |AF 1|＝3|AF 2|⇒⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＝3a|AF 2|＝a，由∠F 1AF 2＝90°，得|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，得e ＝102. 4．(2014·山西阳泉调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0 D.3x ±y ＝0解析：选C.易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b ，而b2c＝14，所以b ＝12c ，a ＝c 2－b 2＝32c ，∴b a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是x ±3y ＝0.5．(2014·恩施市高三上学期期末质量检测)如图，已知双曲线的中心在坐标原点O ，左焦点为F ，C 是双曲线虚轴的下顶点，双曲线的一条渐近线OD 与直线FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则∠ODF 的余弦值是( )A.77B.577C.714D.5714解析：选C.因为双曲线的离心率e ＝ca＝2，则c ＝2a .由c 2＝a 2＋b 2，得b ＝3a .所以tan∠DOF ＝b a ＝3，tan ∠DFO ＝b c ＝32.故tan ∠ODF ＝tan(π－∠DOF －∠DFO )＝－tan(∠DOF ＋∠DFO )＝－3＋321－3×32＝3 3.所以cos ∠ODF ＝714.二、填空题6．(2013·高考天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y23＝17．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3,0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．解析：可求得a ＝3，c ＝5.焦点的位置在x 轴上，所得的方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y216＝18．(2014·浙江杭州调研)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|P A 1→|是|F 1F 2→|和|A 1F 2→|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意可知|P A 1→|2＝|F 1F 2→|×|A 1F 2→|，即⎝⎛⎭⎫b 2a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，化简可得a 2＝b 2，则e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 2.答案： 2 三、解答题9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0. 解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.[能力提升]一、选择题1．(2014·黄冈市高三质量检测)设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且点F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0 解析：选D.由题意，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2(2c )2－(2a )2＝4b ，所以由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝4b －2c ＝2a .则2b －a ＝c ，平方得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，化简得b a ＝43，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选D.2．(2014·山西阳泉高三诊断)已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意知a ＝1，b ＝1，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，在△PF 1F 2中，由余弦定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60° ＝|F 1F 2|2＝8，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝8，①由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，②①－②得|PF 1||PF 2|＝4. 二、填空题3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )， P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2 ＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 答案：－24．(2013·高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点．若在C上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上．∵PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝2c ，且∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .又点P 在双曲线右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a .∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题5．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23 x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得 x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．6．(选做题)直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43， 所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中， 得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2. 化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.。

[基础达标]一、选择题 1．(2014·河北邢台质检)抛物线y 2＝4x 上与焦点的距离等于5的点的横坐标是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选C.利用抛物线的定义可知，抛物线y 2＝4x 上与焦点的距离等于5，则x ＋1＝5，所以点的横坐标为4.2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)， 则p2＝2，所以p ＝22， 所以抛物线方程为y 2＝±42x . 3．(2014·河南郑州市质量预测)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D.抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16. 4．(2014·福建省质量检查)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：选C.设点P 的坐标为(x P ，y P )，则|PF |＝x P ＋32.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM ＝∠APF ＝60°，所以|PF |＝2|MF |，即x P ＋32＝2⎝⎛⎭⎫x P －32，解得x P ＝92，所以|PF |＝6. 5．(2014·武汉市部分学校高三联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选D.抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为x ＝my ＋1，设A ，B 的坐标为(x 1，y 2)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－2的距离之和为x 1＋x 2＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.所以x 1＋x 2＋4＝4m 2＋6≥6>5.即A ，B 到直线x ＝－2的距离之和为大于5.所以过焦点使得到直线x ＝－2的距离之和等于5的直线不存在．故选D.二、填空题6．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝47．(2014·武汉市部分学校高三起点调研测试)已知△F AB ，点F 的坐标为(1,0)，点A ，B 分别在图中抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝4的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△F AB 的周长的取值范围是________．解析：抛物线的准线方程为直线x ＝－1.设点B (x ，y )(1<x <3)．由抛物线的定义得|AF |＋|AB |＝x ＋1，故△F AB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝x ＋1＋2＝x ＋3∈(4,6)．即△F AB 的周长的取值范围是(4,6)． 答案：(4,6) 8．(2012·高考安徽卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32，∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x ，联立方程组，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.[能力提升]1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32，∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.2.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C.分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，G ，过点F 作FH ⊥AE ，垂足为H ，设EC 与x 轴交于点M ，如图所示．由抛物线的定义，可知|BF |＝|BG |，|AF |＝|AE |.在Rt △BCG 中，sin ∠GCB ＝|BG ||BC |＝|BF ||BC |＝12，故∠GCB ＝∠ECA ＝30°.又CE ⊥AE ，所以∠CAE ＝60°.在Rt △AFH 中，cos ∠F AH ＝|AH ||AF |，即cos 60°＝|AH |3，解得|AH |＝32.故|EH |＝|AE |－|AH |＝3－32＝32.因为AE ⊥EC ，FH ⊥AE ，所以四边形MFHE 是矩形．故|MF |＝|EH |＝32，而|MF |＝p ，所以p ＝32.故抛物线的方程为y 2＝3x .3．(2014·河南开封模拟)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则抛物线的焦点坐标是________，梯形PQRF 的面积是________．解析：把P (1,2)代入y ＝ax 2，得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝⎛⎭⎫0，18.又R ⎝⎛⎭⎫0，－18，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178，所以梯形的面积为12×⎝⎛⎭⎫14＋178×1＝1916. 答案：⎝⎛⎭⎫0，18 19164．(2014·湖北省七市高三联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2,0)的直线交抛物线于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点．则：(1)y 1y 2＝________；(2)△ABF 面积的最小值是________．解析：(1)不妨设点A 在x 轴上方，当直线AB 的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时点A (2,22)，B (2，－22)，故y 1y 2＝－8；当直线AB 的斜率存在时，设为k ，故直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋4)x ＋4k 2＝0，由根与系数的关系得x 1x 2＝4，所以y 1y 2＝(2x 1)·(－2x 2)＝－4x 1x 2＝－8；综上，y 1y 2＝－8.(2)△ABF 面积为S ＝12×1×|y 1－y 2|.当直线AB 的斜率不存在时，S ＝12×1×|22－(－22)|＝22；当直线AB 的斜率存在时，△ABF 面积为S ＝12×1×|y 1－y 2|＝12y 21＋y 22－2y 1y 2 ＝12 4x 1＋4x 2－2×2x 1×()－2x 2 ＝12 16k 2＋32>1232＝22， 综上，△ABF 面积的最小值是2 2. 答案：(1)－8 (2)2 2 三、解答题5．已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1,0)．∴S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12×1×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，∴12 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.6．(选做题)(华约自主招生试题)点A 在直线y ＝kx 上，点B 在y ＝－kx 上，其中k >0，|OA |·|OB |＝k 2＋1且A 、B 在y 轴同侧．(1)求AB 中点M 的轨迹C ；(2)曲线C 与抛物线x 2＝2py (p >0)相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则y 1＝kx 1，y 2＝－kx 2.由|OA |·|OB |＝k 2＋1得，x 21＋(kx 1)2·x 22＋(－kx 2)2＝k 2＋1，化简得x 1x 2＝1.因为点M 为线段AB 的中点，所以x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝k (x 1－x 2)2，所以x 20－y 20k 2＝(x 1＋x 2)24－(x 1－x 2)24＝x 1x 2＝1.故点M 的轨迹方程为x 2－y 2k 2＝1，点M 的轨迹C 是焦点为(±k 2＋1，0)，实轴长为2的双曲线．(2)证明：将x 2＝2py (p >0)与x 2－y 2k2＝1联立，消去x 得y 2－2pk 2y ＋k 2＝0.①因为曲线C 与抛物线相切，所以Δ＝4p 2k 4－4k 2＝0. 又因为p 、k >0，所以pk ＝1.结合①解得y ＝k ，x ＝±2，因此两切点分别在定直线 x ＝2，x ＝－2上，两切点为D (2，k )，E (－2，k )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，则y ′＝x p ，于是抛物线在点D (2，k )处的切线方程为y ＝2p (x －2)＋k ，即y ＝2p x －1p ，在点E (－2，k )处的切线方程为y ＝－2p (x ＋2)＋k ，即y ＝－2px －1p.。

[基础达标]一、选择题 1．(2014·四川成都调研)抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54)B ．(1，1)C ．(32，94)D ．(2，4)解析：选B.设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任意一点， 则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝（x －1）2＋35，∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1，1)．2．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2，4)解析：选C.依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3，2)．3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝⎛⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 4．(2014·辽宁大连质检)已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：选C.由题意知，F (4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.二、填空题5．若一条双曲线的焦距是8，经过其一个焦点的直线被双曲线截得的最短弦长是4，则此双曲线的离心率为________．解析：此题有两种情况：(1)当直线被双曲线的一支所截时，截得的最短弦长是通径(即过焦点且和对称轴垂直的弦)，通径长等于2b 2a ，故2b 2a ＝4，即b 2＝2a ，而由已知得c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝16，16＝a 2＋2a ，解得a ＝17－1，此时e ＝417－1＝17＋14；(2)当直线被双曲线的两支所截时，截得的最短弦长是两顶点连线的线段长，即2a ＝4，此时a ＝2，e ＝c a ＝42＝2.答案：17＋14或2 6．(2014·浙江省名校联考)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的一点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时，点P 到双曲线C 的渐近线的距离为________．解析：由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|PM →|的最小值可以转化为求|OP →|的最小值，当|OP →|取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以所求的距离d ＝125.答案：125三、解答题7．(2014·河南省三市调研)已知圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 及上顶点B .过椭圆外一点M (m ，0)(m >a )作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C 、D两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．解：(1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过点F 、B ， ∴F (2，0)，B (0，2)， ∴c ＝2，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝6，∴椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意知直线l 的方程为y ＝－33(x －m )，m >6， 由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1y ＝－33（x －m ），消去y 得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0，解得－23<m <2 3. ∵m >6，∴6<m <2 3.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62，∴y 1y 2＝⎣⎡⎦⎤－33（x 1－m ）·⎣⎡⎦⎤－33（x 2－m ） ＝13x 1x 2－m 3(x 1＋x 2)＋m 23. ∵FC →＝(x 1－2，y 1)，FD →＝(x 2－2，y 2)， ∴FC →·FD →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝43x 1x 2－m ＋63(x 1＋x 2)＋m 23＋4 ＝2m （m －3）3. ∵点F 在圆E 的内部， ∴FC →·FD →<0， 即2m （m －3）3<0，解得0<m <3. 又6<m <23， ∴6<m <3.即m 的取值范围是(6，3)． 8.已知直线y ＝x －1被抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)截得的弦长为26，点P 是抛物线C 上横坐标大于2的动点，点B ，C 在y 轴上，圆(x －1)2＋y 2＝1内切于△PBC .(1)求抛物线C 的方程；(2)求△PBC 面积的最小值，并确定取到最小值时点P 的位置．解：(1)设直线与抛物线两个交点的坐标分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1，得到x 2－2(1＋p )x ＋1＝0，Δ＝4(p 2＋2p )，所以|P 1P 2|＝2|x 2－x 1|＝22（p 2＋2p ）＝26，解得p ＝1，p ＝－3(舍去)，故所求抛物线方程为y 2＝2x . (2)设P (x 0，y 0)(x 0＞2)、B (0，b )、C (0，c )，不妨设b ＞c ，l PB ：y －b ＝y 0－bx 0x ，(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0.又圆心(1，0)到PB 的距离为1，即|y 0－b ＋x 0b |（y 0－b ）2＋x 20＝1，(x 0＞2)，化简得(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0， 同理，(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0.所以b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个根，b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2.则(b －c )2＝4x 20＋4y 20－8x 0（x 0－2）2.因为P (x 0，y 0)是抛物线上的点，所以y 20＝2x 0. 则(b －c )2＝4x 20（x 0－2）2⇒b －c ＝2x 0x 0－2. 故S △PBC ＝12(b －c )x 0＝x 0x 0－2·x 0＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥4＋4＝8.当(x 0－2)2＝4时，上式取等号，此时，x 0＝4，y 0＝±2 2.因此，△PBC 面积的最小值为8，取到最小值时点P 的坐标为(4，±22)．9．(2014·武汉市高三训练)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，以右焦点F 2为圆心，长半轴为半径的圆与直线x －3y ＋3＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m ，0)使PM ＝PN ？若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c .以右焦点F 2为圆心，长半轴为半径的圆与直线x －3y ＋3＝0相切， 则有|c ＋3|2＝a ，解得a ＝2，c ＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)F 2(1，0)，直线l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)． 假设存在点P (m ，0)使PM ＝PN ，则(PM →＋PN →)⊥MN →，(PM →＋PN →)·MN →＝0. 即(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0. 化简得k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0. 即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，所以，k 2⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 当k ＝0时，m ＝0.当k ≠0时，m ＝k 23＋4k2＝14＋3k 2<14， 故0<m <14.综上，存在这样的点P ，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，14. [能力提升]1．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．解：(1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3，0)，即点F (3，0)是椭圆C 的一个焦点．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8，所以a ＋3＝8，即a ＝5. 所以b 2＝a 2－32＝16.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)证明：因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225(0≤m ≤5)．所以原点到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2＝1925m 2＋16<1.所以直线l 与圆O 恒相交．L 2＝4(r 2－d 2)＝4(1－1925m 2＋16)．因为0≤m ≤5，所以152≤L ≤465. 2．(2014·武汉市高三调研)过椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B两点，F 1为其左焦点，已知△AF 1B 的周长为8，椭圆的离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P ，Q 且OP →⊥OQ →？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝8，c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1. 故椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝r 2(0<r <1)， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1.消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2.①∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ， ∴x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝0.② 将①代入②，得（1＋k 2）（4t 2－4）1＋4k 2－8k 2t 21＋4k 2＋t 2＝0，即t 2＝45(1＋k 2)． ∵直线PQ 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，∴r ＝|t |1＋k 2＝45（1＋k 2）1＋k 2＝255∈(0，1)，∴存在圆x 2＋y 2＝45满足条件．当直线PQ 的斜率不存在时，也适合x 2＋y 2＝45.综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝45满足条件．3．(2013·高考广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy (c >0)，由点到直线的距离公式，得|0－c －2|1＋1＝322，解得c ＝1(负值舍去)，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，其导数为y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 并整理得到关于y 的方程为y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0.由一元二次方程根与系数的关系得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20. 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1 ＝y 20＋x 20－2y 0＋1.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0－y 0－2＝0， 即x 0＝y 0＋2，所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92，所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.。

[基础达标]一、选择题1．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．23B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D.依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2014·广东省惠州市调研考试)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.mx 2＋ny 2＝1可以变形为x 21m ＋y 21n＝1，m >n >0⇔0<1m <1n .4. 设直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B (如图)，则这个椭圆的离心率e ＝( )A.255B.55 C.32D.12 解析：选A.由已知得，B (0,1)，F (－2,0)，故c ＝2，b ＝1，a ＝b 2＋c 2＝5，e ＝c a ＝255.5．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：选A.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12.又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心、a 为半径作⊙M .若过P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作⊙M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为________．解析：如图，设切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22. 答案：227．(2012·高考四川卷)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．解析：直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大．由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △F AB ＝12×2×3＝3.答案：38．已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．解析：F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.答案：165三、解答题9．已知椭圆的中心在原点且过点P (3,2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程．解：(1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9a 2＋4b 2＝1，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝5.此时所求的椭圆方程是x 245＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9b 2＋4a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝85，b 2＝859. 此时所求的椭圆方程为x 2859＋y 285＝1.故所求的椭圆方程为x 245＋y 25＝1或x 2859＋y 285＝1.10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则 x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.[能力提升]一、选择题1．(2014·黄冈市黄冈中学高三模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M (t,0)为一个切点，则( )A ．t <2B ．t ＝2C ．t >2D ．t 与2的大小关系不确定解析：选B.设圆C 与直线F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2分别相切于点P ，M ，Q ，则由切线的性质可知：|AP |＝|AQ |，|F 2Q |＝|F 2M |，|F 1P |＝|F 1M |.所以|F 2M |＝|F 2Q |＝|AF 2|－|AQ |＝2a －|AF 1|－|AP |＝2a －|F 1M |.所以|MF 1|＋|MF 2|＝2a .所以t ＝a ＝2.故选B.2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1.②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12， ∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.二、填空题3．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，所以22≤c a .又c a <1，所以22≤e <1.答案：⎣⎡⎭⎫22，14. (2014·北京东城区统一检测)如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．解析：如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝ca＝2－1.答案：2－1 三、解答题5．(2014·黑龙江哈尔滨四校统考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．解：(1)由题意，可得2a ＋2c ＝6＋42，即a ＋c ＝3＋22，因为b ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，a －c ＝3－22，解得a ＝3，c ＝22，所以椭圆M 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t x 29＋y 2＝1，消去x 得(m 2＋9)y 2＋2mty ＋t 2－9＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋9，y 1y 2＝t 2－9m 2＋9.(*)因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C (3,0)，所以CA →·CB →＝0. 由CA →＝(x 1－3，y 1)，CB →＝(x 2－3，y 2)得 (x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.将x 1＝my 1＋t ，x 2＝my 2＋t 代入上式，得(m 2＋1)y 1y 2＋m (t －3)(y 1＋y 2)＋(t －3)2＝0，将(*)代入上式，解得t ＝125或t ＝3.6．(选做题)(2014·武汉二中模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e 为35， 且椭圆C 的一个焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (2,0), 点Q 是椭圆上的一点， 当|MQ |最小时， 试求点Q 的坐标；(3)设P (m,0)为椭圆C 长轴(含端点)上的一个动点， 过P 点斜率为k 的直线l 交椭圆与A ，B 两点， 若|P A |2＋|PB |2的值仅依赖于k 而与m 无关， 求k 的值．解：(1)因为依题意a ＝5，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)设Q (x ，y ), －5≤x ≤5，所以|MQ |2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋16－1625x 2＝925x 2－4x ＋20，因为对称轴x ＝509＞5，所以当x ＝5时， |MQ |2达到最小值，所以当|MQ |最小时， Q 的坐标为(5,0)． (3)设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2), P (m,0)(－5≤m ≤5), 直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )x 225＋y 216＝1得x 1＋x 2＝50mk 225k 2＋16，x 1x 2＝25m 2k 2－40025k 2＋16， 所以y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝32mk25k 2＋16，y 1y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝(16m 2－400)k 225k 2＋16.所以|P A |2＋|PB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＋2m 2 ＝(k 2＋1)· (512－800k 2)m 2＋800(16＋25k 2)(25k 2＋16)2，因为|P A |2＋|PB |2的值仅依赖于k 而与m 无关，所以512－800k 2＝0，所以k ＝±45.。

优化方案高考总复习新课标湖北理科时课后达标检测文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688][基础达标]一、选择题1. (2012·高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255 D.35解析：选A.不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)， ∴cos 〈BC1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0，∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( )A.64B.16C.63D.32 解析：选C.建立空间直角坐标系如图所示．设正方体的棱长为1，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ， 则D (0,0,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC1→＝(－1,0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0n ·DB →＝x ＋y ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝1.∴n ＝(－1,1,1)，∴sin θ＝|cos 〈n ，BC 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋13·2＝63. 二、填空题3．(2014·江苏徐州一模)在?ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角，则B ，D 两点间的距离为________．解析：如图所示． ∵AB ＝AC ＝1，∴AD ＝2，BC ＝2，BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)·(BA →＋AC →＋CD →)＝BA →2＋BA →·AC →＋BA →·CD →＋AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＋CD →·BA →＋CD →·AC →＋CD →2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →. ∵AB ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴BA →·AC →＝0，AC →·CD →＝0. 当B ，D 在AC 两侧时，BA →和CD →成60°角； 当B ，D 在AC 同侧时，BA →和CD →成120°角． ∴|BD →|2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2×1×1×cos 60°， 或|BD →|2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2×1×1×cos 120°， ∴|BD →|2＝12＋12＋12＋1＝4，|BD →|＝2， 或|BD →|2＝1＋1＋1－1＝2，|BD →|＝ 2.答案：2或 24．(2014·浙江温州质检)如图(1)，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF ，则二面角A ′-FD -C 的余弦值为________．解析：取线段EF 的中点H ，连接A ′H .∵A ′E ＝A ′F ，H 是EF 的中点，∴A ′H ⊥EF . 又∵平面A ′EF ⊥平面BEF ， ∴A ′H ⊥平面BEF .如图(2)，可建立空间直角坐标系A -xyz ，则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)， 故FA →′＝(－2,2,22)，FD →＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0.取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)，故cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝33，∴二面角的余弦值为33.答案：33三、解答题5．(2013·高考江苏卷) 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值． 解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 6．(2014·宜昌市模拟)如图，在底面是正方形的四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 的中点，G 为AC 上一点．(1)确定点G 在线段AC 上的位置，使FG ∥平面PBD ，并说明理由；(2)当二面角B －PC －D 的大小为2π3时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．解：(1)当G 为EC 中点，即AG ＝34AC 时，FG ∥平面PBD ，理由如下：连接PE (图略)，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG ∥PE ， 而FG ?平面PBD ，PB ?平面PBD ，故FG ∥平面PBD . (2)作BH ⊥PC 于H ，连接DH (图略)．因为 PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，所以PB ＝PD ，又因为BC ＝DC ，PC ＝PC ， 所以△PCB ≌△PCD ， 所以DH ⊥PC ，且DH ⊥BH .所以∠BHD 是二面角B －PC －D 的平面角，即∠BHD ＝2π3.因为PA ⊥面ABCD ，所以∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角．连接EH ，则EH ⊥BD ，∠BHE ＝π3，EH ⊥PC ，所以tan ∠BHE ＝BEEH＝3，BE ＝EC .所以EC EH ＝3，所以sin ∠PCA ＝EH EC ＝33，所以tan ∠PCA ＝22. 所以PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22. [能力提升]1. 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1；(2)求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．解：(1)证明：由正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ?平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ?平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2.易知AB →＝(3，1,0)，AC1→＝(0,2，2)， AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，2.设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD→|n |·|AD →|＝2310×3＝105. 由此即知，直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值为105. 2．(2013·高考湖北卷)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E -l -C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β .解：(1)直线l ∥平面PAC .证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC .又EF ?平面ABC ，且AC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ?平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l ?平面PAC ，EF ?平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC . (2)法一(综合法)：如图(1)，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC .因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC . 已知PC ⊥平面ABC ，而l ?平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ?平面PBC ，所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E -l -C 的平面角，即∠CBF ＝β.由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD . 连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影．故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，所以BD ⊥BF ，所以∠BDF 为锐角．故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF，从而sin αsin β＝BF DF ·CF BF ＝CFDF＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.法二(向量法)：如图(2)，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD .由(1)可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，c ，F (0,0，c )． 于是FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c )，BF →＝(0，－b ，c )， 所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝aa 2＋b 2＋c 2， 从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c2a 2＋b 2＋c2. 取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2. 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎨⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0，取n ＝(0，c ，b )．于是|cos β|＝|m·n||m||n|＝bb 2＋c2， 从而sin β＝1－cos 2β＝c b 2＋c2. 故sin αsin β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2·c b 2＋c 2＝ca 2＋b 2＋c2＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.3. (2014·江西省七校联考)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求二面角F -BE -D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．解：(1)证明：∵DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC .∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，又DE ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面BDE .(2)∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角， 即∠EBD ＝60°.∴EDBD＝ 3.由AD ＝3，得BD ＝32，DE ＝36，AF ＝ 6. 如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)．∴BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3,0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋6z ＝03x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4,2，6)．∵AC ⊥平面BDE ， ∴CA →＝(3，－3,0)为平面BDE 的一个法向量． ∵cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA→|n ||CA →|＝626×32＝1313. 故二面角F -BE -D 的余弦值为1313.(3)依题意，设M (t ，t,0)(t >0)，则AM →＝(t －3，t,0)， ∵AM ∥平面BEF ，∴AM →·n ＝0， 即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时DM →＝23DB →，∴点M 是线段BD 上靠近B 点的三等分点．。

[基础达标]一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切，则圆O 的方程为( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝3C ．x 2＋y 2＝2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.2．(2014·福建三明质量检测)已知点A (1,2)，B (3,2)，以线段AB 为直径作圆C ，则直线l ：x ＋y －3＝0与圆C 的位置关系是( )A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离解析：选B.以线段AB 为直径作圆C ，则圆C 的圆心坐标C (2,2)，半径r ＝12|AB |＝12×(3－1)＝1.点C 到直线l ：x ＋y －3＝0的距离为|2＋2－3|2＝22<1，所以直线与圆相交，并且点C 不在直线l ：x ＋y －3＝0上．3．若圆心在x 轴上、半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y ＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5解析：选B.设圆心为(a,0)(a <0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d ＝|a ＋2×0|12＋22＝1，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.4．(2014·山东聊城调研)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．5．(2012·高考湖北卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A.当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0，故选A.二、填空题 6．(2014·河北石家庄市模拟)过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0.又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：4x －3y ＋1＝0或x ＝2 7．(2014·山东济南调研)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝________.解析：∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即yx ＝±3.答案：3或－ 38．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是________．解析：∵y (y －mx －m )＝0，∴y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然C 2与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点．要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0，消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33.答案：⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，求△AOC 的面积S . 解：(1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，有直线x ＝3， C (2,3)到直线的距离为1，满足条件． 当斜率存在时，设直线为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0，则|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.∴切线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，l AO ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134， ∴S ＝12d |AO |＝12.10．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角． 解：(1)证明：将已知直线l 化为y －1＝m (x －1)． 故直线l 恒过定点P (1,1)． 因为12＋(1－1)2＝1<5， 故点P (1,1)在已知圆C 内，从而直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)圆半径r ＝5，圆心C 到直线l 的距离为d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝32，由点到直线的距离公式得|－m |m 2＋(－1)2＝32， 解得m ＝±3，故直线的斜率为±3，从而直线l 的倾斜角为π3或2π3.[能力提升]一、选择题 1．(2014·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0解析：选C.由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理得y 2＋4x －4y ＋8＝0.2．(2014·吉林长春市调研测试)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22) 解析：选C.当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA→＋OB →|>33|AB →|.又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．二、填空题3．(2014·武汉市部分学校高三联考)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，表示的可行域(如图阴影所示)及圆C ：x 2＋y 2＝14如下图，因为|AB |＝2r 2－d 2，r 是定值，所以当d 取最大值时，|AB |取最小值．显然当点P 的坐标为(1,3)时，d max ＝12＋32＝10，故|AB |的最小值为2()142－()102＝4.答案：4 4．(2012·高考江西卷)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M . ∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝ x 20＋(－x 0＋22)2＝2， 解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案：(2，2) 三、解答题5．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a 的值及切线方程．解：(1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0， 综上，a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0， a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b ， 由于直线过点A ，∴1＋a ＝b ， ∴直线方程为x ＋y ＝1＋a ， 即x ＋y －a －1＝0. 又直线与圆相切，∴d ＝|a ＋1|2＝2，∴a ＝±22－1，∴切线方程为x ＋y ＋22＝0或x ＋y －22＝0.6．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4， ∴圆心为Q (6,0)．过点P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2， 代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0， 整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得，x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4，③而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)． ∴OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0， 故不存在符合题意的常数k .。

[基础达标]一、选择题1．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定解析：选B.∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．∴a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列．2．(2014·山西大同调研)用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．b 不能被3整除D ．a 不能被3整除解析：选B.由反证法的定义可知，否定结论，即“a ，b 中至少有一个能被3整除”的否定是“a ，b 都不能被3整除”．3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：选C.假设P <Q ，要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只需证：2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．4．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：选B.由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc ， ③由②③得⎩⎨⎧ a ＝x 2b，c ＝y 2b ，代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列．5．(2014·宁夏银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．二、填空题6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然6<7，∴a <b . 答案：a <b 7．(2014·福建福州模拟)如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________． 解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．已知a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列结论中一定成立的是________(只填序号)．①ab >ac ；②c (b －a )<0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0.解析：⎩⎨⎧a >0b >c⇒ab >ac (不等式的可乘性)，故①成立， 当b ＝0时③不成立．答案：①三、解答题9．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 证明：∵1b －1a>1，a >0， ∴0<b <1， 要证1＋a >11－b ， 只需证1＋a ·1－b >1， 只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a>1. 这是已知条件，所以原不等式成立．10．△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ；故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立．[能力提升]一、选择题1．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾． 所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A.由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.二、填空题3．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， ∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12，那么他的反设应该是________．答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12” 三、解答题5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－52.求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2.证明：假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪b a ≥2.(1)当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0.由题意，得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |.由已知条件，得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.(2)当⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为直线x ＝－b 2a，知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，f (－1)＝a －b ＋c ＝－52， 或⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋b ＋c ＝－52，f (－1)＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪b a <2.由(1)(2)，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2.6．(选做题)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ， ∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0， 由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴1a≥c . 又∵1a≠c ， ∴1a>c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a， 即－b 2a <1a. 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。

[基础达标]一、选择题1．(2014·安徽合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C.由于f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是( )A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：选B.由空间立体几何的知识可知B 正确．3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选A.选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }为等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确． 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.①②正确；③④⑤⑥错误．5．(2012·高考江西卷)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C.记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.二、填空题6．数列2，5，22，11，…的一个通项公式是________．解析：因为a 1＝3－1，a 2＝3×2－1，a 3＝3×3－1，a 4＝3×4－1，由此猜想a n ＝3n －1.答案：a n ＝3n －17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论．设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，所以T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，所以T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 88．(2014·湖北省七市高三联考)挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式－阿贝尔公式：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝a 1(b 1－b 2)＋L 2(b 2－b 3)＋L 3(b 3－b 4)＋…＋L n －1(b n －1－b n )＋L n b n .则其中：(1)L 3＝________；(2)L n ＝________.解析：(1)由图象(a )(b )可知，a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5＝a 1(b 1－b 2)＋(a 1＋a 2)(b 2－b 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)(b 3－b 4)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(b 4－b 5)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)b 5，所以L 3＝a 1＋a 2＋a 3.(2)归纳推理可知：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝a 1(b 1－b 2)＋(a 1＋a 2)(b 2－b 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)(b 3－b 4)＋…＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )b n ， 所以L n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .答案：(1)a 1＋a 2＋a 3 (2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12，… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高； (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 10．观察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？(2)此表第n 行的各个数之和是多少？(3)2 014是第几行的第几个数？解：(1)∵第n ＋1行的第1个数是2n ，∴第n 行的最后一个数是2n －1.(2)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1＋2n －1)·2n －12＝3·22n －3－2n －2. (3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 014<2 048，∴2 014在第11行，该行第1个数是210＝1 024，由2 014－1 024＋1＝991，知2 014是第11行的第991个数．[能力提升]一、选择题1．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18 B.19C.164D.127解析：选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 2．(2014·山东枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.二、填空题3．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 244．(2014·宜昌市一中高三考前模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成两条长度均为原来13的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为 120°；…；依次规律得到n 级分形图．则(1)n 级分形图中共有________条线段．(2)n 级分形图中所有线段长度之和为________.解析：(1)依题意，记n 级分形图中共有a n 条线段，则有a 1＝3，…，a n －a n －1＝3·2n －1.由累加法得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝3()1＋2＋…＋2n －1＝3·1－2n 1－2＝3(2n －1)． (2)n 级分形图中所有线段的长度和等于3×1＋3×2×13＋…＋3×2n －1×⎝⎛⎭⎫13n －1＝3×1－⎝⎛⎭⎫23n ×31－23＝9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n . 答案：(1)3(2n －1) (2)9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 三、解答题5．(2012·高考福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 6．(选做题)设函数f n (θ)＝sin n θ＋(－1)n cos n θ，0≤θ≤π4，其中n 为正整数． (1)判断函数f 1(θ)，f 3(θ)的单调性，并就f 1(θ)的情形证明你的结论；(2)证明：2f 6(θ)－f 4(θ)＝(cos 4θ－sin 4θ)(cos 2θ－sin 2θ)．解：(1)f 1(θ)，f 3(θ)在⎣⎡⎦⎤0，π4上均为单调递增函数．对于函数f 1(θ)＝sin θ－cos θ，设θ1<θ2，θ1，θ2∈⎣⎡⎦⎤0，π4， 则f 1(θ1)－f 1(θ2)＝(sin θ1－sin θ2)＋(cos θ2－cos θ1)， ∵sin θ1<sin θ2，cos θ2<cos θ1，∴f 1(θ1)－f 1(θ2)<0，∴f 1(θ1)<f 1(θ2)，函数f 1(θ)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增． (2)证明：∵原式左边＝2(sin 6θ＋cos 6θ)－(sin 4θ＋cos 4θ) ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 4θ－sin 2θ·cos 2θ＋cos 4θ)－(sin 4θ＋cos 4θ) ＝sin 4θ－2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ＝(sin 2θ－cos 2θ)2＝cos 22θ. 又∵原式右边＝(cos 2θ－sin 2θ)2＝cos 22θ.∴2f 6(θ)－f 4(θ)＝(cos 4θ－sin 4θ)·(cos 2θ－sin 2θ)．。