2015年高考文数真题试卷(湖北卷)

2015年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣12．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（3分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx=x﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 B．∃x∉（0，+∞），lnx=x﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关5．（3分）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6] 7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）A．p1＜p2＜B．C．p2＜D．9．（3分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e210．（3分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30二、填空题11．（3分）已知向量⊥，||=3，则•= ．12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为．13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x2的零点个数为．14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a= ．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a= 时，g（a）的值最小．三、解答题18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．19．（12分）设等差数列{an }的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{an }，{bn}的通项公式（2）当d＞1时，记cn =，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

准考证号⎨ ⎨ ⎩绝密★ 启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)4. 已知变量x 和 y 满足关系 y = - 0.1x + 1 ，变量 y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ）A ． x 与 y 负相关， x 与 z 负相关B ． x 与 y 正相关， x 与 z 正相关C ． x 与 y 正相关， x 与 z 负相关D ． x 与 y 负相关， x 与 z 正相关5. l ， l 表示空间中的两条直线，若 p ： l ， l 是异面直线；q ： l ， l 不相交，则第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.把答案填在题中的横线上.11. 已知向量OA ⊥ AB ，| OA |= 3 ，则OA γ OB =.⎧x + y ≤4, 数学（文科）12121212．若变量 x , y 满足约束条件⎪x - y ≤2, （ ）⎪3x - y ≥0,则3x + y 的最大值是 . 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分,考试时间 120分钟. 注意事项：1. 答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置.A ．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B ．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件C ．p 是 q 的充分必要条件D ．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件x 2 - 5x + 6 ⎩ 13. 函数 f (x ) = 2sin x s in(x + π) - x 2的零点个数为 .214. 某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3, 0.9] 内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a = ； 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂6．函数 f (x ) = + lg x - 3的定义域为（ ）（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为.黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.A ． (2, 3)B ． (2, 4] 3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.C ． (2, 3) Y (3, 4]⎧ 1, D ． (-1, 3) Y (3, 6]x > 0,4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在7．设 x ∈ R ，定义符号函数sgn x = ⎪0, x = 0, 则（）答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.A. | x | = x | sgn x | C ． | x | =| x | sgn x⎪-1, x < 0, B. | x | = x s gn | x | D ． | x | = x sgn x15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一ft 顶 D 在西偏北30ο 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此ft 顶在西偏北75ο 的方向上，仰 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）8．在区间[0, 1] 上随机取两个数 x ， y ， 记 p 为事件“ x + y ≤ 1” 的概率， p 为事角为30ο ，则此ft 的高度CD = m .1 22一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有件“ xy ≤ 1” 的概率，则 （ ）2一项是符合题目要求的. 1． i 为虚数单位， i 607 =（）A. p < p < 1 1 2 2B. p < 1< p1 2 2A ． -iB ． iC ． -1D ．1C. p < 1 < pD. 1< p < p 2 2 1 2 212．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为9．将离心率为e 1 的双曲线C 1 的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠ b ) 同时增加m (m > 0) 个单位长度，得到离心率为e 2 的双曲线C 2 ，则 （ ）16. 如图，已知圆C 与 x 轴相切于点T (1, 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A ，B （B 在 A 的上方），且 AB = 2 .（）A ．134 石B ．169 石C ．338 石D ．1 365 石A. 对任意的a ， b ， e 1 > e 2 C ．对任意的a ， b ， e 1 < e 2B. 当a > b 时， e 1 > e 2 ；当a < b 时， e 1 < e 2D ．当a > b 时， e 1 < e 2 ；当a < b 时， e 1 > e 2（Ⅰ）圆C 的标准方程为；3．命题“ ∃ x 0 ∈(0, +∞) ， ln x 0 = x 0 - 1”的否定是（）10．已知集合 A = {(x , y ) x 2 + y 2≤1, x , y ∈ Z }， B = {(x , y ) | x | ≤2 , | y | ≤2, x , y ∈ Z } ，定义 （Ⅱ）圆C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为.A ． ∃ x ∈(0, +∞) ， ln x ≠ x - 1B ． ∃ x ∉(0, +∞) ， ln x = x - 1 集合 A ⊕ B = {(x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) (x 1 , y 1 ) ∈ A , (x 2 , y 2 ) ∈ B }，则 A ⊕ B 中元素的个数为17. a 为实数，函数 f (x ) =| x 2- ax | 在区间[0, 1] 上的最大值记为 g (a ) .当a = 时，C ． ∀ x ∈(0, +∞) ， ln x ≠ x - 1D ． ∀ x ∉(0, +∞) ， ln x = x -1A ．77B ．49C ．45D ．30g (a ) 的值最小.数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）数学试卷 第 3 页（共 6 页）4- | x | -------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------在此卷上答题无效姓名（）三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分 12 分）某同学用“五点法”画函数 f (x ) = A sin(ω x + ϕ) (ω > 0, | ϕ |< π) 在某一个周期内的图220．（本小题满分 13 分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马 P - ABCD 中，侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD ，且 PD = CD ，点 E 是 PC 的中点，连接 DE ， BD ， BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥ 平面PBC .试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马 P - ABCD 的体积为V ，四面体 EBCD 的体积为V ，求V 1的值. 22．（本小题满分 14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示，O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN = ON = 1 ，MN = 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线l 1 : x - 2 y = 0 和l 2 : x + 2 y = 0 分别交于 P , Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在， 122求出该最小值；若不存在，说明理由.（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f (x ) 的解析式；（Ⅱ）将 y = f (x ) 图象上所有点向左平行移动 π个单位长度，得到 y = g (x ) 的图象，求6y = g (x ) 的图象离原点 O 最近的对称中心.19．（本小题满分 12 分）设等差数列{a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列{b n } 的公比为 q ，已知b 1 = a 1 ， b 2 = 2 ， q = d ， S 10 = 100 .（Ⅰ）求数列{a n } ，{b n } 的通项公式；21．（本小题满分 14 分）设函数 f (x ) ，g (x ) 的定义域均为R ，且 f (x ) 是奇函数，g (x ) 是偶函数， f (x ) + g (x )= e x ，其中 e 为自然对数的底数.（Ⅱ）当d > 1 时，记c n = an b n，求数列{c n } 的前 n 项和T n .（Ⅰ）求 f (x ) ， g (x ) 的解析式，并证明：当 x ＞0 时， f (x )＞0 ， g (x )＞1 ；（Ⅱ）设a ≤0 ， b ≥1，证明：当 x ＞0 时， ag (x ) + (1 - a )＜ f (x )＜bg (x ) + (1 - b ) .x数学试卷 第 4 页（共 6 页） 数学试卷 第 5 页（共 6 页） 数学试卷 第 6 页（共 6 页）V ω x + ϕπ 2π3π 22πxπ 35π 6A sin(ω x + ϕ)5-5。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，607i=（ ）A ．iB ．-iC ．1D ．-12.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石3.命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ）A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是（ ） A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5. 12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线，q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6.函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-7.设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（ ）A ．{||sgn |}x x x =B ．{|sgn ||}x x =C ．{||sgn x x x =D ．{|sgn x x x = 8.在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2P 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） A ．1212p p <<B ．2112p p <<C ．2112p p <<D ．1212p p <<9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长b ()a b ≠同时增加m (0)m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的a ，b ，12e e <B ．当a b > 时，12e e <；当a b <时，12e e >C ．对任意的a ，b ，12e e >D ．当a b > 时，12e e >；当a b <时，12e e <10.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+≤∈，{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

6072．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内×4．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l26．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=的定义域为（），7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（），而左边，而左边，而左边=xsgnx=，显然正确；8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）”==；；9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时=∴﹣，10．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元二、填空题11．（3分）（2015•湖北）已知向量，||=3，则=9．，所以=0﹣，即212．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为10．得13．（3分）（2015•湖北）函数的零点个数为2．14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=3．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为6000．15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．h=，h=100．16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为﹣1﹣．）由题意，圆的半径为=））1+）﹣﹣）．17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=2﹣2时，g（a）的值最小．2﹣2时，=∵=﹣，[）；，故答案为：三、解答题18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）π（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．2））图象上所有点向左平移（）﹣]2x+）=k﹣，．（﹣19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．，写出、，由题意可得，或；=•••∴+3+5+7+•∴+++﹣﹣20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．====．CD==21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．时，＞，（=）＞×==时，＞，故，故＜22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．其方程为．=k（，，）|PQ|==|PQ|d=|m||x|m|||=| =||=8|时，＜（时，∴1+。

2015年高考语文真题试卷（湖北卷）一.语文基础知识1.(2015·湖北）下列各组词语中，划线字的注音全都正确的一组是（）A. 缜（shèn）密感喟（kuì）紫蔷微（wēi）暗香盈（yínɡ）袖B. 镶（xiānɡ）嵌驰骋（chěnɡ）栀（zhī）子花逸兴遄（chuán）飞C. 热忱（chén）别（bié）扭康乃馨（xīn）积微成著（zhù）D. 菜肴（yáo）酣（hān）畅蒲（pú）公英春风佛（fó）面【答案】B【考点】多音字的分辨，习惯性误读字【解析】【分析】本题选B答案．A项中，“缜（shèn）密”应为“缜（zhěn）密”，声母虫和小没有分清．C 项中，“别（bié）扭”应为“别（biè）扭”．D项中，“春风拂（fó）面”应为“春风拂（fú）面”。

复习时要注意平时的认读习惯，关注多音字。

对于一些特殊的读音的字可以采取强记的方法。

【点评】本题考查的都是平时生活中常见的字音，没有生偏字，没有难为学生，本题采用直接判断读音的形式，难度不大，也在平时的训练范围内，16个词语中的三个错误设置比较容易发现，只要平时复习中稍加注意都不会出错。

本题引导学生关注日常生活中的常用字的读音，克服地方口音造成的困难，养成准确识读的习惯。

2.(2015·湖北）下列各组词语中，没有错别字的一组是（）A. 商埠绰约扣人心弦扶老携幼B. 博奕翘楚以逸待劳固若金汤C. 笃信聪慧日臻成熟灸手可热D. 溃乏矫情所向披靡汗流浃背【答案】A【考点】同音字的分辨，形似字的分辨【解析】【分析】本题选A项，B项中，“博奕”错误，本意是下棋的意思。

所以应为“博弈”。

C项中，“灸手可热”错误，应为“炙手可热”。

炙手可热，成语，手一挨近就感觉热，比喻气焰很盛，权势很大。

没有区分“灸”和“炙”这两个形似字。

数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i = （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页）数学试卷 第6页（共36页）三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选【提示】根据函数成立的条件进行求解即可3 / 124心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B⊕中元素的个数为45故选C.第Ⅱ卷5 / 126【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当2tan30100︒=7 / 12812a aa =-)1；当29 / 121011 / 1212。

第1页，总11页2015年高考文数真题试卷（湖北卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.i 为虚数单位，i 607=（ ） A.-i B.i C.-1 D.12.(2015·湖北）命题“，∃x 0∈(0,+∞),Inx 0=x 0−1”的否定是（ ） A.∃x 0(0,+∞),Inx 0≠x 0−1 B.∃x 0∉(0,+∞),Inx 0=x 0−1 C.∀x ∈(0,+∞),Inx ≠x −1? D.∀x ∉(0,+∞),Inx =x −13.l 1,l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1,l 2是异面直线；q ：l 1,l 2不相交，则（ ） A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4.函数f (x )=√4−|x |+1g x 2−5x+6x−3的定义域为（ ）A.(2,3)B.(2,4)C.(2,3)∪(3,4]D.(−1,3)∪(3,6]5.设x ∈R ,定义符号函数sgnx ={1,x >00,x =0−1,x <0,则（ ）A.|x |=x |sgnx |B.|x |=xsgn |x |C.|x |=|x |sgnxD.|x |=xsgnx答案第2页，总11页…………外…………○………※※请※※…………内…………○………6.在区间的概率，p 2为事件“x +y ≤12”的概率，则（ ）A.matℎ><12B.p 1<12<p 2C.p 2<12<p 1? D.12<p 2<P 17.已知集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1,x,y ∈Z}，B ={(x,y)||x |≤2,|y |≤2,x,y ∈Z}，定义集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A,(x 2y 2)∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（ ）A.77B.49C.45D.30第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.(2015·湖北）已知向量OA →⊥AB →,|OA →|=3，则OA →·OB →= ．9.·.若变量x,y 满足约束条件{x +y ≤4x −y ≤23x −y ≥0,则3x +y 的最大值是 ．10.(2015·湖北）函数f (x )=2sinxsin (x +π2)−x 2的零点个数为 .11.·某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a = ；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .第3页，总11页…………装…………○…………订…○…………线…………○…校:___________姓名：___________班级：___________考号____…………装…………○…………订…○…………线…………○…12.(2015·湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD = m.13.(2015·湖北）a 为实数，函数f (x )=|x 2−ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a ). 当a = 时，g (a )的值最小.14.(2015·湖北）如图，已知圆c 与x 轴相切于点T (1,0) ， 与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB |=2（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 .三、解答题（题型注释）15.设等差数列{a π}的公差为d ，前n 项和为s π，等比数列{b π}的公比为q ．已知b 1=a 1，b 2=2，q =d ， s 10=100．（Ⅰ）求数列{a π}，{b π}的通项公式；（Ⅱ）当d >1时，记c π=aπb π，求数列{c π}的前n 项和T π．16.(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD,且PD=CD,点E 是BC 的中点，连接DE,BD,BE答案第4页，总11页…………○…………线…………○答※※题※※…………○…………线…………○(I)证明：DE ⊥底面PBC ，试判断四面体EBCD 是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P −ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V1V 2的值．17.(2015·湖北）设函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (x )+g (x )=e z ，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求f (x )，g (x )的解析式，并证明：当x >0时，f (x )>0，f (x )>1； （Ⅱ）设a ≤0，b ≥1，证明：当x >0时，ag (x )+(1−a )<f (x )x<bg (x )+(1−b ).第5页，总11页装…………○…………订………○…………线……名：___________班级：___________考号：_______装…………○…………订………○…………线……参数答案1.A【解析】1.因为i 607=(i 2)308·i =−i ,所以应选A.【考点精析】解答此题的关键在于理解复数的定义的相关知识，掌握形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部，以及对复数的乘法与除法的理解，了解设则；．2.C【解析】2.由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x ∉(0,+∞),Inx =x −1，故应选C.【考点精析】本题主要考查了全称命题和特称命题的相关知识点，需要掌握全称命题：，，它的否定：，;全称命题的否定是特称命题；特称命题：，，它的否定：，;特称命题的否定是全称命题才能正确解答此题． 3.A【解析】3.若p ：l 1,l 2是异面直线，由异面直线的定义知，l 1,l 2不相交，所以命题q:l 1,l 2不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q:l 1,l 2不相交,则l 1,l 2可能平行，也可能异面，所以不能推出l 1,l 2是异面直线，既p 不是q 的必要条件，故应选A.【考点精析】认真审题，首先需要了解异面直线(不同在任何一个平面内，没有公共点)． 4.C【解析】4.由函数y =f (x )的表达式可知，函数f (x )的定义或应满足条件：4−|x |≥0,x 2−5x+6x−3>0，解之得−2≤x ≤2,x >2,x ≠3,JI 既函数f (x )的定义或为(2,3)∪(3,4]，故应选C.答案第6页，总11页○…………外…………○…………装………………线…………○※※请※※不※※要※※在※※○…………内…………○…………装………………线…………○【考点精析】利用函数的定义域及其求法和函数的值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法． 5.D【解析】5.对于选项A ，右边=x|sgnx|={x,x ≠00,x =0 ,而左边=|x |={x,x ≥0−x,x <0,显然不正确；对于选择B ，右边=xsgn|x|={x,x ≠00,x =0，而左边=|x |={x,x ≥0−x,x <0，显然不正确；对于选项C ，右边 =|x|sgnx ={x,x >00,x =0x,x <0 ，而左边=|x |={x,x ≥0−x,x <0，显然不正确；对于选项D ，右边=xsgnx ={x,x >00,x =0−x,x <0，而左边=|x |={x,x ≥0−x,x <0，显然正确；故应选D. 6.B 【解析】6.由题意知，事件“≤12”的概率为p 1=12×12×121×1=18,事件“xy≤12”的概率p 2=s 0s ,其中s 0=12×1+∫11212xdx =121+1n 2,s =1×1=1,所以p 2=s 0s=12(1+1n2)1+1=12(1+1n2)>12,故应选B.第7页，总11页………外…………○………装…………○……学校:_______姓名：___________班级：__………内…………○………装…………○……7.C【解析】7.由题意知，A ={(x,y)|x 2+y 2≤1,x,y ∈Z}={(1,0),(−1,0),(0,1),(0,−1),B ={(x,y)||x |≤2,|y |≤2,x,y ∈Z},所以由新定义集合A ⊕B 可知，x 1=⊃±1,y 1=0或x 1=0,y 1=±1.当，x 1+x 2=−3,−2,−1,0,1,2,3,y 1+y 2=−2,−1,0,1,2,所以此时A ⊕B 中元素的个数有;7×5=35个；当x 1=0,y 1=±1时，x 1+x 2=−2,−1,0,1,2,y 1+y 2=−3,−2,−1,0,1,2,3,这种情形下和第一种情况下除y 1+y 2的值取−3或3外均相同，既此时有5×2=10，由分类计数原理知，A ⊕B 中元素的个数为35+10=45个，故应选C.【考点精析】解答此题的关键在于理解二元一次不等式（组）所表示的平面区域的相关知识，掌握不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部． 8.9【解析】8.因为向量OA →⊥AB →,所以OA →·AB →=0,既OA →·(OB →−OA →)=0,所以OA →·OB →−OA →2=0，既OA →·OB →=OA →2=9，故应填9.【考点精析】利用空间向量的数量积运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等于的长度与在的方向上的投影的乘积．9.10【解析】9.首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得：目标函数z =3x +y 过点B (3,1)取得最大值，既z max =3×3+1=10,故应填10.10.2答案第8页，总11页……………○……订…………○…………线…………○※※请※内※※答※※题※※……………○……订…………○…………线…………○【解析】10.函数f (x )=2sinxsin (x +π2)−x 2的零点个数等价于方程2sinxsin (x +π2)−x 2=0的根的个数，既函数g (x )=2sinxsin (x +π2)=2sinxsin =sin2x 与ℎ(x )=x 2的图像交点个数。

2015年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣12．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（3分）（2015•湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx|B．|x|=xsgn|x|C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）A．p1＜p2＜B． C．p2＜D．9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e210．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30二、填空题11．（3分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为．13．（3分）（2015•湖北）函数的零点个数为．14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g （a）．当a=时，g（a）的值最小．三、解答题18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：π2πwx+φxAsin（wx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.为虚数单位，A．B．C．D．1【答案】.【解析】试题分析：因为，所以应选.考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【答案】.考点：1、简单的随机抽样；3.命题“，”的否定是A．，B．，C．，D．，【答案】.【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故应选.考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是A．与负相关，与负相关B．与正相关，与正相关C．与正相关，与负相关D．与负相关，与正相关【答案】.【解析】试题分析：因为变量和满足关系，其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设，则将代入即可得到：(0.11)0.1()z k x b kx k b =-++=-++，所以，所以与负相关，综上可知，应选. 考点：1、线性回归方程；5.表示空间中的两条直线，若p ：是异面直线；q ：不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】.考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为A ．B ．C ．D ．【答案】. 【解析】试题分析：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得，即函数的定义域为，故应选.考点：1、函数的定义域求法； 7.设，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ． B ．C ．D ．【答案】.考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“” 的概率，则A ．B ．C ．D ．【答案】. 【解析】试题分析：由题意知，事件“”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“”的概率，其中11021111(1ln 2)222S dx x=⨯+=+⎰，，所以021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S +===+>⨯，故应选.考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位 长度，得到离心率为的双曲线，则 A ．对任意的， B ．当时，；当时， C ．对任意的， D ．当时，；当时，【答案】.考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】. 【解析】试题分析：由题意知，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，所以由新定义集合可知，或.当时，123,2,1,0,1,2,3x x +=---，，所以此时中元素的个数有：个；当时，，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，即此时有，由分类计数原理知，中元素的个数为个，故应选. 考点：1、分类计数原理；2、新定义；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上） 11.已知向量，，则_________． 【答案】.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则的最大值是_________．【答案】. 【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数过点取得最大值，即，故应填.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】. 【解析】试题分析：函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数等价于方程2π2sin sin()02x x x +-=的根的个数，即函数π()2sin sin()2sinxcosx sin 2x 2g x x x =+==与的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________m.【答案】.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；16.如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且.（Ⅰ）圆的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半 径.又因为，所以，即，所以圆的标准方程为， 令得：.设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：d =.即圆在点处的切线方程为，于是令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为，故应填和. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；17.a 为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小. 【答案】.②：：⎪⎩⎪⎨⎧-<<-=≤<-==)2220(1)1()1222(4)2()(2a a f a a a f a g ， ③：： ④：：，综上，当时，取到最小值考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数的解 析式；（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求 的图象离原点最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：且函数表达式为；（Ⅱ）离原点最近的对称中心为. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知表格中的数据可得方程组5325362A ππωϕππωϕ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解之可得函数的表达式，进而可补全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并结合函数图像平移的性质可得，函数的表达式，进而求出其图像的对称中心坐标，取出其距离原点最近的对称中心即可.试题解析：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：，，，解得. 数据补全如下表：且函数表达式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为的对称中心为，. 令，解得，.即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为.考点：1、函数的图像及其性质；2、三角函数的图像及其性质； 19.（本小题满分12分）设等差数列的公差为d ，前n 项和为，等比数列的公比为q ．已知，，， ．（Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）当时，记，求数列的前n 项和． 【答案】（Ⅰ）或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可列出方程组，解之得即可得出所求的结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，于是，易发现：的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论. 试题解析：（Ⅰ）由题意有， 即，解得或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩故或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩.（Ⅱ）由，知，，故，于是2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得 221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-， 故.考点：1、等差数列；2、等比数列；3、错位相减法；20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的 中点，连接.（Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．【答案】（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面.平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（Ⅱ） 【解析】试题分析：（Ⅰ）由侧棱底面易知，；而底面为长方形，有，由线面垂直的判定定理知平面，进而由线面垂直的性质定理可得；在中，易得，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由平面，平面，进一步可得四面体的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出，即可得出所求结果.试题解析：（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面.平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在△中，因为，点是的中点，所以，于是12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面垂直的性质定理；3、简单几何体的体积； 21.（本小题满分14分）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数， ，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，； （Ⅱ）设，，证明：当时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ），.证明：当时，，，故又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>，即（Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当时，等价于⑦等价于⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将等式中用来替换，并结合已知是奇函数，是偶函数可得于是联立方程组即可求出的表达式；当时，由指数与指数函数的性质知，，进而可得到然后再由基本不等式即可得出（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.于是要证明()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-，即证，也就是证明，即证于是构造函数()()()(1)h x f x cxg x c x =---，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.试题解析：（Ⅰ）由,的奇偶性及,①得： ② 联立①②解得，.当时，，，故 ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即 ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当时，等价于， ⑦ 等价于 ⑧设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x gx c g x c x f x c '=----(1)[()1]().c gx c x f x=---当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.考点：1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2、函数的基本性质；22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）知，||||||||||MN NO OM MN NO-≤≤+，即，这表明椭圆的长半轴长为，短半轴长为，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）首先讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，易知直线的方程为或，即可求出的面积的值；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程222(14)84160k x kmx m+++-=，然后根据题意直线总与椭圆有且只有一个公共点知，即可得到.再分别联立直线与直线和可解得点和点的坐标，并根据原点到直线的距离公式可求得，于是的面积可表示为消去参数可得222241281441OPQkmSk k∆+==--，于是分两种情况进行讨论：①当时；②当时，分别求出的面积的最小值，并比较即可求出的面积取得最小值.试题解析：（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO≤+=+=，当在x轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO≥-=-=，当重合，即轴时，等号成立. 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.（2）当直线的斜率存在时，设直线， 由 消去，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以 2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即. ①又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当时，2224128()8(1)1414OPQk S k k ∆+==-+--.因，则，，所以 228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8. 综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交综合问题；。

2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A .【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石【答案】B .【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力.3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题.【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l表示空间中的两条直线，若p：12,l l是异面直线；q：12,l l不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A.【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.6.函数256()4||lg3x xf x xx-+=-+-的定义域为（）A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)(3,4] D．(1,3)(3,6]-【答案】C.【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x∈R，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（）A．|||sgn|x x x=B．||sgn||x x x=C．||||sgnx x x=D．||sgnx x x=【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题.【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力.9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） A ．77 B ．49 C ．45 D ．30 【答案】C.【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题.【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)AB=.T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y-+-=；（Ⅱ）12--.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2()||f x x ax=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a. 当a=_________时，()g a的值最小. 【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a的表达式和分段函数在区间上的最值求法.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A xωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2 π 3π22π x π12 π3 7π12 5π6 13π12sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面A B C D ，所以P D B C ⊥. 由底面A B C D 为长方形，有B C C D ⊥，而P D C D D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.VV =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y+=（Ⅱ）当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题.【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）语文本试题卷共8页，六大题23小题。

全卷满分150分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的、号填写在试题卷和答题卡上，并将号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、语文基础知识（共15分，共5小题，每小题3分）1．下列各组词语中，加点字的注音全都正确的一组是A．缜．（shèn）密感喟．（kuì）紫蔷薇．（wēi）暗香盈．（yínɡ）袖B．镶．（xiānɡ）嵌驰骋．（chěnɡ）栀．（zhī）子花逸兴遄．（chuán）飞C．热忱．（chén）别．（bié）扭康乃馨．（xīn）积微成著．（zhù）D．菜肴．（yáo）酣．（hān）畅蒲．（pú）公英春风拂．（fó）面2．下列各组词语中，没有错别字的一组是A．商埠绰约扣人心弦扶老携幼B．博奕翘楚以逸待劳固若金汤C．笃信聪慧日臻成熟灸手可热D．溃乏矫情所向披靡汗流浃背3．依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是研究伊始，该团队选取了华北、西北地区生产的几十种马铃薯进行分析，从营养成分、、硬度等方面多次试验，确定了适合加工马铃薯面条的两个品种。

随后，又从诸多面粉种类中试验选取了的小麦粉加以调试。

A. 鉴别色泽终于适量B. 鉴别色彩终于适当C. 甄别色泽最终适当D. 甄别色彩最终适量4．下列各项中，没有语病的一项是A．2015年3月1日正式实施了《省全民阅读促进办法》，是我国首部关于全民阅读的地方政府规章，普通人的阅读权益因此获得了法律保障。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】i607 = i4⨯151+3 = i3 =-i ，故选 A.【提示】直接利用虚数单位i 的运算性质得出答案.【考点】虚数单位i 的运算性质.2.【答案】B【解析】这批米内夹谷约为1534 ⨯ 28254≈ 169 石，故选B.【提示】根据254 粒内夹谷28 粒，可得比例，即可得出结论.【考点】利用数学知识解决实际问题.3.【答案】C【解析】特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是“：∀x ∈(0,+∞)，ln x ≠x -1”，故选C.【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【考点】含有量词的命题的否定.4.【答案】A【解析】显然x 与y 负相关，又y 与z 正相关，所以根据“正负得负”的传递性，得x 与z 负相关.故选A.【提示】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y 与z 正相关，设y =k z，k >0，得到x 与z 的相关性.【考点】线性回归方程.5.【答案】A【解析】由l1，l2 是异面直线，可得l1，l2 不相交，所以p ⇒q ；由l1，l2 不相交，可得l1，l2 是异面直线或l1∥l2 ，所以q ⇒p .所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件，故选A.【提示】根据充分条件和必要条件的定义结合空间直线的位置关系，进行判断即可.【考点】充分条件和必要条件的判断，空间直线的位置关系.6.【答案】C⎩【解析】依题意，有 4 - x ≥ 0 ，解得-4 ≤ x ≤ 4 ①；且 x 2 - 5x + 6x - 3> 0 ，解得 x > 2 且 x ≠ 3 ②；由①②求交集得，函数的定义域为(2,3) U (3,4]，故选C. 【提示】根据函数成立的条件进行求解即可. 【考点】函数的定义域. 7.【答案】D【解析】当 x > 0 时， x sgn x = x = x ；当 x = 0 时， x sgn x = 0 = x ； 当 x < 0 时， x sgn x = -x = x ； 综上， x = x sgn x ，故选 D.【提示】去掉绝对值符号，逐个比较即可. 【考点】函数表达式的比较. 8.【答案】B【解析】在直角坐标系中，依次作出不等式⎧0 ≤ x ≤ 1， x + y ≤ 1，xy ≤ 1的可行域如下图所示：⎨0 ≤ y ≤ 122依题意， p =S ∆ABO， p = S 曲边多边形OEGFC，而 1 =S ∆OEC，所以 p< 1 < p，故选B.S 四边形OCDES 四边形OCDE2 S 四边形OCDE 1 22【提示】分别求出事件“ x + y ≤ 1 ”和事件“ xy ≤ 1”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求2 2出概率，比较大小. 【考点】几何概型. 9.【答案】D12【解析】e 1 = ，e 2 = ，不妨令e 1< e 2 ，化简得 b < b + m a a + m (m > 0) ，得b m <a m ，得b < a .所以当b > a 时，有 b > b +，即e > e ；当b < a 时，有 b < b + m，即e < e ，故选（D ）.a a + m 1 2 a a + m 1 2【提示】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论. 【考点】双曲线的性质. 10.【答案】C【解析】如图，集合 A 表示如下图所示的所有红心圆点，集合 B 表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点，集合 A ⊕ B 显然是集合{( x , y ) | x ≤ 3, y ≤ 3, x , y ∈ Z } 中除去四个点{(-3，- 3)，(-3，3)，(3，- 3)，(3,3)} 之 外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合 A ⊕ B 表示如下图所示的所有红心圆点+ 所有绿心圆点所有黄心圆点，共 45 个，故 A ⊕ B 中元素的个数为 45 故选 C.【提示】由题意可得：A ={(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1,0)，(-1,0)}B = {(0,0)，(0,1)，(0, 2)，(0，-1)，(0，- 2)，(1，0)，(1,1)，(1, 2)，(1，-1)，(1，- 2), (2,0)，(2,1)，(2,2)，(2，-1)，(2，- 2)，(-1，- 2)，(-1, -1)，(-1,0)，(-1，1)，(-1，2) (-2，- 2)，(-2，-1)，(-2,0)，(-2,1)} 根据定义可求b 21 + a2 1+ (a + m )2(b + m )2【考点】集合的基本定义及运算.第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】9【解析】由OA ⊥AB ，得OA AB = 0 .所以2=OA + 0 = 32 = 9 .【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【考点】平面向量的数量积运算，向量模的求法.12.【答案】10【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3,1)，(1,3)，( -1,-3)，平行移动直线y =-3x ，求可知当直线过点(3,1) 时3x +y 取最大值10.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值.【考点】简单线性规划.13.【答案】2【解析】f (x)= 2sin x sin⎛x +π⎫-x2 = 2sin x cos x -x2 = sin 2x -x2 ，令f (x)= 0 ，则sin2 x =x2 ，则函数2 ⎪⎝⎭f (x)的零点个数即为函数y = sin 2x 与函数y =x2 图像的交点个数，作出函数图像知，两函数图像的交点有2 个，即函数f (x)的零点个数为2 .OA OB =O A (OA +AB )=OA 2 +OA AB614.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）6000【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知， (1.5 + 2.5 + a + 2.0 + 0.8 + 0.2)⨯ 0.1=1，解得a = 3 . （Ⅱ）消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为10000⨯(3 + 2.0 + 0.8 + 0.2)⨯ 0.1 = 6000 .【提示】将函数进行化简，由 f (x ) = 0 ，转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 【考点】函数和方程之间的关系.【提示】（Ⅰ）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为 1，算出a 的值.（Ⅱ）先求出消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的频率，再求频数.【考点】频率分布直方图15.【答案】100【解析】依题意， 在 ∆ABC 中， AB = 600 ， ∠BAC = 30︒ ， ∠ACB = 75︒ - 30︒ = 45︒ ， 由正弦定理得BC sin ∠BAC AB sin ∠ACB ，即 BC = sin 30︒ 600sin 45︒，所以 BC = 300 .在△BCD 中， ∠CBD = 30︒ ，CD = BC tan ∠CBD = 300 2 gtan 30︒ = 100 .【提示】设此山高（h m ），在△BCD 中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在△ABC 中利用正弦定理求得 62 =AB 22 2 2 min h .【考点】正弦、余弦定理.16.【答案】（Ⅰ） (x -1)2+ ( y -2)2 = 2（Ⅱ）①②③⎛ ⎫2【解析】（Ⅰ）由题意设圆心C (1, r )（ r 为圆C 的半径），则r 2 = ⎝ ⎪ +12= 2 ，解得 r = 2 ⎭ 2 ，所以圆C的方程为(x -1)2+ ( y - 2 )2= 2 . （Ⅱ）令 x = 0 ，得 y = ±1，所以点B (0, +1) ，又点C (1, 2 )，所以直线 BC 的斜率为k BC = -1，所以 圆C 在点 B 处的切线方程为 y -( + 1) = x - 0 ，即 y = x + ( +1) ，令 y = 0 ，得切线在 x 轴上的截距为- -1 .【提示】（Ⅰ）确定圆心与半径，即可求出圆C 的标准方程.（Ⅱ）求出圆C 在点 B 处切线方程，令 y = 0 可得圆C 在点C 处切线在 x 轴上的截距. 【考点】圆的标准方程，圆的切线方程.17. 【答案】a = 2 - 2【解析】①当a ≤ 0 时， f ( x ) = x 2 - ax 在[0,1] 上是增函数，所以g (a ) = f (1) =1- a ，此时 g (a ) =1； ②当0 < a < 2 时，作出函数 f ( x ) = x 2- ax 的大致图像如下：由图易知， f ( x ) = x 2- ax 在⎡0, a ⎤ 上是增函数，在 ⎡ a , a ⎤ 上是减函数，在[a ,1] 上是增函数，此时，只需比⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦2 22 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 2 min min 较 f ⎛ a ⎫与f (1) 的大小即可. ⎝ ⎭⎛ a ⎫⎛ a ⎫2a a 2 由 f 2 ⎪ = f (1) ，得 2⎪ - a g 2 = 1- a ，得 = 1 - a 4 ，解得 a = 2 2- 2或 a = 2 （舍去） , 且当 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭0 < a < 2 2 - 时， f ⎛ a ⎫ < f (1) ；当2 ⎝ ⎭ - 2 < a < 2 时， f ⎛ a ⎫> f (1) ⎝ ⎭（ i ）当0 < a < 2 - 2 时， f ⎛ a ⎫ < f (1) ，所以 g (a ) = f (1) =1- a ，此时3 - 2 ⎝ ⎭< g (a ) <1；（ ii ）当a = 2 - 2 时， f⎛ a ⎫ = f (1) ，所以 g (a ) = f ⎛ a ⎫ = f (1) = 3 - 2 ；⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ a ⎫ ⎛ a ⎫ a 2（ iii ）当2 - 2 < a < 2 时， f 2 ⎪ > f (1) ，所以 g (a ) = f 2⎪ = ，此时3 - 2 4 < g (a ) < 4 ；⎝ ⎭ ⎝ ⎭③当a ≥ 2 时， f ( x ) = x 2 - ax 在[0,1] 上是增函数，所以g (a ) = f (1) = a -1，此时 g (a ) =1.综上，当a = 2 - 2 时，g (a ) = 3 - 2 2 .【提示】通过分a ≤ 0 ，0＜a ≤ 2 的单调性即得结论. 【考点】函数的最值.- 2 ，a > 2 - 2 三种情况去函数 （f x ）表达式中绝对值符号，利用函数三、解答题18. 【答案】（Ⅰ）见解析.⎛- π ⎫（Ⅱ）离原点 O 最近的对称中心为 12 , 0⎪ . ⎝ ⎭【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 A = 5, ω = 2, ϕ = - π，数据补全如下表：6ωx + ϕπ 2π 3π 22πx π 12π 37π 125π 613 π 12A sin(ωx +ϕ)50 -5且函数表达式为 f (x ) = 5sin ⎛2x - π ⎫ . 6 ⎪ ⎝ ⎭2 2 2 22 2 2 2 29 ( ) ⎩ 1 ⎩ 1 ⎧ f (x ) = ⎛ π ⎫⎛ π ⎫ π ⎛ π ⎫ （Ⅱ）由（Ⅰ）知 5sin 2 x - 6 ⎪ ，因此 g (x ) = 5sin[2 x + 6 ⎪ - 6] = 5sin 2x + 6 ⎪ .⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因为曲线 y = sin x 的对称中心为(k π, 0) ，k ∈Z ，令2x + π = k π ，解得 x = k π - π， k ∈Z ，即 y = g (x ) 图 6 2 12⎛ k π - π ，0⎫ k ⎛ - π ⎫像的对称中心为 2 12 ⎪ ， ∈Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 12 , 0⎪ . ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】（Ⅰ）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；（Ⅱ）由函数 y = A sin(ωx +ϕ) 的图像变换可得 g (x ) ，解得其对称中心即可得解. 【考点】函数 y = A sin(ωx +ϕ) 的图像变换.19. 【答案】⎧a = 1 (2n + 79) ⎧⎪a n = 2n -1 ⎪ n9（Ⅰ） ⎨ ⎪⎩b n= 2 n -1或⎨ ⎪b ⎪⎩ n = 2 n -1 9 （Ⅱ）T n = 6 - 2n + 3 2n -1⎧10a 1 + 45d = 100⎧2a 1 + 9d = 20【解析】（Ⅰ）由题意有， ⎨ad = 2，即⎨ad = 2a = 9⎧a = 1 (2n + 79) ⎧a 1 = 1 ⎪ ⎧⎪a n = 2n -1 ⎪ n 9解得⎨d = 2 ，或⎨d = 2 ，故⎨n -1，或⎨ ⎩ ⎪⎩ 9 ⎪⎩b n= 2 ⎪b = 9 ⎪⎩n（Ⅱ）由d > 1 ，知a n = 2n -1 ，b n= 2n -1 ，故c = 2n -1 ，于是2n -1T = 1+ 3+ 5 + 7 +9 + ⋅⋅⋅ + 2n -1 ，① n2 22 23 242n -1 1 T = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + ⋅⋅⋅ +2n -1 ，② 2 n2 22 23 24 252n ① - ②可得 1 T = 2 + 1 + 1 ⋅⋅⋅ + 1- 2n -1 = 3 - 2n + 3 ，故T = 6 - 2n + 3 . 2 n 2 222n -2 2n 2n n2n -1【提示】（Ⅰ）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可.（Ⅱ）当d > 1 时，由（Ⅰ）知c= 2n -1 ，写出T ， 1T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即可.n2n -1 n 2 n ⎛ 2 ⎫n -1 9 ⎪ ⎝ ⎭ 1 nCD = D 3 = 2CD PD = 4.CD PD CE DE CE DE【考点】数列的通项及求和，错位相减法. 20.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） V 1= 4V 2【解析】（Ⅰ）因为 PD ⊥ 底面 ABCD ，所以 PD ⊥ BC ，由底面 ABCD 为长方形，有 BC ⊥ CD ，而 PD ，所以 BC ⊥ 平面 PCD ， DE ⊂ 平面PCD ， 所以 BC ⊥ DE ，又因为 PD = CD ，点 E 是PC 的中点， 所以 DE ⊥ PC ，而 PC BC = C ，故 DE ⊥平面PBC . 由 BC ⊥ 平面 PCD ， DE ⊥平面 PBC ，可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体 EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB .（Ⅱ）由已知得 PD 是阳马P - ABCD 的高，所以V = 1 S PD = 1BC CD PD ； 13 ABCD 3由（Ⅰ）知， DE 是鳖臑D - BCE 的高， BC ⊥ CE ，所以V = 1 S DE = 1BC CE DE . 2 3 ∆BCE 6在Rt △ PDC 中，因为 PD = CD ，点 E 是 PC 的中点，所以 DE = CE = 1 BC2CD ， 2于是 V 1 = V 2 1 BC 6【提示】（Ⅰ）证明 BC ⊥ 平面 PCD ，DE ⊥ 平面 PBC ，可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形，即可 得出结论.（Ⅱ）由已知，是棱锥 P ﹣ABCD 的高，所以V = 1 S PD = 1BC CD PD ，由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D ﹣BCE 1 3 ABCD 3的高，BC ⊥ CE ，所以V = 1 S DE = 1BC CE DE ，即可求 V 1 的值. 2 3 ∆BCE 6 V【考点】线面垂直的判定与性质，体积的计算 21.【答案】（Ⅰ） f (x ) = 1 (e x - e - x ) ， g (x ) = 1(e x + e - x ) ，证明见解析.2 2 （Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由 f (x ) ， g (x ) 的奇偶性及 f (x ) + g (x ) = e x ①，得- f (x ) + g (x ) = e - x②，联立①②解得 f (x ) = 1 (e x -e - x ) ， g (x ) = 1 (e x + e - x) .2 2当 x > 0 时， e x >1， 0 < e - x <1，故 f (x ) > 0 ③2+ = x x 2 2 2又由基本不等式，有g (x ) = 1(e x + e - x ) >=1 ，即 g (x ) >1④ 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f '(x ) = 1 (e x - 1 )' = 1 (e x + e ) = 1 (e x+e -x ) = g ( x ) ，⑤2 e x 2 e 2 x 2g '(x ) =1 (e x + 1 )' = 1 (e x - e ) = 1 (e x- e - x ) = f (x ) ，⑥ 2e x 2 e 2 x 2 当 x > 0 时，f (x )> ag (x ) + (1- a ) 等价于 f (x ) > axg (x ) + (1- a )x ，⑦ xf (x )< bg (x ) + (1- b ) 等价于 f (x ) < bxg (x ) + (1- b )x ，⑧ x设函数h (x ) = f (x ) - cxg (x ) - (1- c )x ，由⑤⑥，有h '(x ) = g (x ) - cg (x ) - cxf (x ) - (1- c ) = (1- c )[g (x ) -1] - cxf (x ).当 x > 0 时，（Ⅰ）若c ≤ 0 ，由③④，得 h '(x ) > 0 ，故 h (x ) 在[0,+∞) 上为增函数，从而h (x ) > h (0) = 0 ，即 f (x ) > cxg (x ) + (1-c )x ，故⑦成立.（ Ⅱ ）若 c ≥ 1 ，由③④ ，得 h '(x )< 0，故 h (x ) 在 [0,+∞) 上为减函数，从而 h ( x )<h ( 0=) ，即f ( x )< cxg ( x )+ (1- c ，故⑧成立.综合⑦⑧，得ag (x ) + (1- a ) < f (x )< bg (x ) + (1 - b ) . x【提示】（Ⅰ）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得 f (x )，g (x ) 的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得 f (x ) > 0，g (x ) >1.（Ⅱ）当 x > 0 时， f (x ) > ag (x ) +1 - a ⇔ axg (x ) + (1 -a )x ， f (x )<bg (x ) +1 -b ⇔bxg (x ) +(1 -b )x ，设函 x x 数 h (x ) = f (x )﹣cxg (x ) - (1- c )x ，通过导数判断单调性，即可得证. 【考点】函数的奇偶性的运用，不等式的证明以及导数的运用2 22.【答案】（Ⅰ）椭圆 C 的方程为 x + y= 16 4（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）因为| OM | ≤| MN | +| NO |= 3 +1= 4 ，当 M ，N 在 x 轴上时，等号成立；同理| OM | ≥| MN | -| NO |= 3 -1= 2，当 D , O 重合，即 MN ⊥ x 轴时，等号成立，所以椭圆 C 的中心为原点O ，长半轴长为4 ，短半轴长为 2 ，其方程为 x y 1.16 4（Ⅱ）1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x = 4 或 x = -4 ，都有 S = 1⨯ 4 ⨯ 4 = 8 ，2）当直线l 的斜率存在时，设直线l : y = kx + m(k ≠ ± 1)， 2∆OPQ 2111 / 11 1+ k 2 d = 1 | m || x - x |= 1 | m | 2m 2m 2 P Q 2 1- 2k 1+ 2k + 2m 2 1- 4k 22m 2 1 - 4k 2 4k 2 + 1 4k 2 -1⎩d = ⎧ y = kx + m , 由⎨x 2 + 4 y 2 = 16, ，消去 y ，可得(1+ 4k 2 )x 2 + 8kmx + 4m 2 -16 = 0 . 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以∆ = 64k 2 m 2 - 4(1+ 4k 2 )(4m 2 -16) = 0 ，即 m 2 =16k 2 + 4①又由⎧ y = kx + m , ，可得 P ⎛ 2m ， m ⎫；同理可得Q ⎛ -2m ， m ⎫ . ⎨x - 2 y = 0, 1- 2k 1- 2k ⎪ 1+ 2k 1+ 2k ⎪ ⎩ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭| m | 由原点O 到直线 PQ 的距离为 和| PQ |= | x - x |，可得 1+ k 2 P QS = 1 | PQ | = ② ∆OPQ 2 将①代入②得， S △OPQ = = 8 ， 21 4k2 +1 2 当 k > 4 时， S △OPQ = 8( 4k 2 -1) = 8(1 + 4k 2 - ) > 8 ； 1当0 ≤ k 2 < 1 时， S = 8( 4 △OPQ 4k 2 +1 2 ) = 8(-1+ 2 ) . 1 - 4k 因0 ≤ k 2 < 1 ，则0 <1- 4k 2 ≤1， 4 2 1 - 4k 2 1 - 4k ≥ 2 ，所以 S ∆OPQ = 8(-1+ 2 1- 4k 2 ) ≥ 8 ，当且仅当k = 0 时取等号. 所以当k = 0 时， S △OPQ 的最小值为 8.综合 1）2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值 8.【提示】（Ⅰ）根据条件求出 a ，b 即可求椭圆C 的方程.（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【考点】椭圆方程的求解，直线和圆锥曲线的位置关系.2。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i= （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()4||lg 3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） A ．77B ．49C ．45D ．30第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m .16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅰ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选所示：S S1S【提示】由题意可得：()()()()(){}0001011,01,0A -=-，，，，，，，()()()()()()()(){()()0,00,10,201021,11,21112,B =----，，，，，，，1，0，，，，，，()()()()()()()()()()2,02,12,22122-1-21,11,01112-------，，，，，，，，，，，，，，()()()()}22212,02,1------，，，，，根据定义可求【考点】集合的基本定义及运算.第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】9【解析】由OA AB ⊥，得0OA AB = .所以()2OA OB OA OA AB OA OA AB=+=+22039OA =+==.【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【考点】平面向量的数量积运算，向量模的求法. 12.【答案】10【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当直线过点(3,1)时3x y +取最大值10.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值.【考点】简单线性规划.13.【答案】2【解析】()2222sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，令()0f x =，则2sin2x x =，则函数()f x 的零点个数即为函数sin 2y x =与函数2y x =图像的交点个数，作出函数图像知，两函数图像的交点有2个，即函数()f x 的零点个数为2.【提示】将函数进行化简，由()0f x =，转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 【考点】函数和方程之间的关系. 14.【答案】（Ⅰ）3 （Ⅱ）6000【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，解得3a =. （Ⅱ）消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为()100003 2.00.80.20.16000⨯+++⨯=.【提示】（Ⅰ）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a 的值.（Ⅱ）先求出消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的频率，再求频数.【考点】频率分布直方图 15.【答案】1006【解析】依题意，在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即600sin30sin 45BC =︒︒，所以3002BC =.在BCD △中，30CBD ∠=︒，tan 3002tan301006CD BC CBD =∠=︒=.【提示】设此山高h m （），在BCD △中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC △中利用正弦定理求得h .【考点】正弦、余弦定理.16.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-= （Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）由题意设圆心()1,C r （r 为圆C 的半径），则222122AB r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得2r =，所以圆C 的方程为()()22122x y -+-=.（Ⅱ）令0x =，得21y =±，所以点()0,21B +，又点()1,2C ，所以直线BC 的斜率为1BCk =-，所以圆C 在点B 处的切线方程为()210y x -+=-，即()21y x =++，令0y =，得切线在x 轴上的截距为21--.【提示】（Ⅰ）确定圆心与半径，即可求出圆C 的标准方程.a ⎡⎤a ⎡⎤12a a a =-()12a f ⎫<⎪⎭；当(12a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ()1a f ⎛⎫= ⎪129()9n - 1299n -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 112n n --，于是PD BC ⊥，PD CD D =，所以，又因为PD CD =PC 的中点，PC BC C =，故平面PBC .DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD ∠是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD ==； 是鳖臑D BCE -1136BCE S DE BC CE DE ∆=. 22DE CE CD ==，2 4.BC CD PD CD PDCE DE BC CE DE == 证明BC ⊥平面PCD DE ，角三角形，即可得出结论.由已知，是棱锥P ABCD ﹣的高，所以13ABCD PD BC CD PD =，由（Ⅰ）16BCE DE BC CE DE =，即可求)x -，证明见解析.1122|||||||221212P Q m m d m x x m k k =-=+-+将①代入②得，222241281441OPQk m S k k +==--△， 2224128()8(1)84141OPQ k S k k +==+>--△；2412k +【提示】（Ⅰ）根据条件求出a b ，即可求椭圆C 的方程.（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【考点】椭圆方程的求解，直线和圆锥曲线的位置关系.。

2015年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣12．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（3分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx=x﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 B．∃x∉（0，+∞），lnx=x﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关5．（3分）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6] 7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）A．p1＜p2＜B．C．p2＜D．9．（3分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e210．（3分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30二、填空题11．（3分）已知向量⊥，||=3，则•= ．12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为．13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x2的零点个数为．14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a= ．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a= 时，g（a）的值最小．三、解答题18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．19．（12分）设等差数列{an }的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2015年普通高等学校招生全国统一考试语文试题（湖北卷，含解析）本试题卷共8页，六大题23小题。

全卷满分150分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、语文基础知识（共15分，共5小题，每小题3分）1．下列各组词语中，加点字的注音全都正确的一组是A．缜．（shèn）密感喟．（kuì）紫蔷薇．（wēi）暗香盈．（yínɡ）袖B．镶．（xiānɡ）嵌驰骋．（chěnɡ）栀．（zhī）子花逸兴遄．（chuán）飞C．热忱．（chén）别．（bié）扭康乃馨．（xīn）积微成著．（zhù）D．菜肴．（yáo）酣．（hān）畅蒲．（pú）公英春风拂．（fó）面【答案】B【考点定位】识记现代汉语普通话常用字的字音。

能力层级为识记A。

2．下列各组词语中，没有错别字的一组是A．商埠绰约扣人心弦扶老携幼B．博奕翘楚以逸待劳固若金汤C．笃信聪慧日臻成熟灸手可热D．溃乏矫情所向披靡汗流浃背【答案】A【解析】试题分析：本题选A项。

B项中，“博奕”错误，本意是下棋的意思。

所以应为“博弈”。

C项中，“灸手可热”错误，应为“炙手可热”。

D项中，“溃乏”错误，应该是“匮乏”。

【考点定位】识记并正确书写现代常用规范汉字。

能力层级为识记A。

3．依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是研究伊始，该团队选取了华北、西北地区生产的几十种马铃薯进行分析，从营养成分、、硬度等方面多次试验，确定了适合加工马铃薯面条的两个品种。