湖南省郴州市2020年高二第二学期数学期末质量跟踪监视试题含解析

2023届郴州市嘉禾县数学三下期末学业质量监测试题一、用心思考，认真填写。

1．在括号里填上适当的单位。

课桌面的面积约24（________） 王老师身高1.65（________）一枚邮票的面积是12（_________） 铅笔长16（________）。

2．计算小数加减法时，只要（______）对齐，相同数位也就对齐了，计算方法和整数加减法的计算方法（______）。

3．250×8积的末尾有（__________）个0 4．一个长方形花坛的周长是28米，长是9米，这个长方形花坛的宽是（________）米，面积是（________）平方米。

5．345÷□，如果商是三位数，□里最大能填（ ）；要使□32÷8的商是三位数，□里最小填（ ）．6．10平方分米＝（________）平方厘米；400平方分米＝（________）平方米。

7．育才小学三年级4个班决定举行一次拔河比赛,每2个班赛一场,一共要赛（____）场。

8．在一个长7厘米、宽4厘米的长方形中，剪下一个最大的正方形，这个正方形的周长是（______）。

9．49×28的积是（________）位数。

25×60积的末尾有（________）个0。

10．27＋47是（________）个17加（________）个17，得（________）个17，就是（_______），读作：（________________）。

11．边长6米的正方形，周长是（_____）米，面积是（______）平方米二、仔细推敲，认真辨析。

12．用8个21dm 的小正方形，不管拼成什么图形，它的面积都是28dm 。

（________）13．24时计时法中，5时就是17时。

（____）14．35÷3的商是200多，里可以填6、7、8。

（_______）15．一个三位数与9相乘，积一定是四位数。

（________）16．用6个1平方厘米的正方形拼成的图形，它们的面积都是6平方厘米。

湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1]B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B． C．D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．5408．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A． B． C． D．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．2 D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下命题：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确命题的序号是．（将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a 的取值范围．湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1]B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先观察Venn图，由图可知阴影部分表示的集合为（C R B）∩A，根据集合的运算求解即可．【解答】解：A={x|x2+2x﹣8＜0}=（﹣4，2），∵B={x|x＜1}，∴C R B=[1，+∞），∴（C R B）∩A=[1，2）．故选：C．3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B． C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人【考点】分层抽样方法．【分析】先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率为=，∴专科生被抽的人数是×1500=50，本科生要抽取×3000=100，研究生要抽取×900=30，故选：D．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n ⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．【分析】先求圆心到直线的距离，再求弦心距所在直线与AO的夹角，然后求数量积．【解答】解：圆O：x2+y2=4的圆心是（0，0），由此知圆心到直线的距离是=＜2所以直线与圆相交故AB=2=2=r，所以∠AOB=所以=2×2×cos=2故选A7．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．540【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析有将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．【解答】解：将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种，分成2、2、1时，有=90种，所以共有60+90=150种，故选：A．8．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，求得椭圆的a，b，c，运用向量的夹角公式可得cos＜，＞=，计算即可得到所求异面直线所成的角的余弦值．【解答】解：由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，椭圆+y2=1中a=，b=1．c=，可得B1F2=B2F1==，=+， =+，•=•+•+•+•=﹣1+0+0+••（﹣）=﹣2，即有cos＜，＞===﹣，可得异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为．故选：C．9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，利用积分求出对应区域的面积进行求解即可．【解答】解：∵区间[﹣1，1]上任取两数m和n，∴，对应的区域为正方形，面积S=2×2=4，若方程x2+mx+n=0的两根都是负数，则，即，作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的面积S=∫dm=m3|=，则对应的概率P==，故选：A．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，结合正切函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2﹣，则f′（x）=3x2﹣≥﹣，即tanα≥﹣，则0≤α＜或π≤α＜π，故角α的取值范围是[0，）∪[π，π），故选：D11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：∵倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，∴直线的斜率k=tan=，设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，则k==•∵M（4，2）是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4，∵直线l的斜率为，∴=•，即=，则b2=a2，c2=a2+b2=（1+）a2，∴e2=1+==（）2．则e=故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的综合．【分析】由f′（x）＜，构造辅助函数g（x）=f（x）﹣x，求导，利用导数判断函数单调递减，根据f（2）=1，求得g（2）=，根据f（x2）＜+，将其转换成g（x2）＜g （2），根据函数单调性即可求得不等的解集．【解答】解：f′（x）＜（x∈R），f′（x）﹣＜0，设g（x）=f（x）﹣x，g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）是R上的减函数，g（2）=g（2）﹣=，∴f（x2）＜+，g（x2）=f（x2）﹣＜=g（2），∴x2＞2，解得：x＞或x＜﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由题意作图辅助，从而可判断四边形为直角梯形，从而求其面积．【解答】解：由题意作图如右图，∵﹣==，∴BC∥AD且|BC|=|AD|，又∵|AB|=|AD|，且∠BAD=60°，∴|AE|=|AB|=|AD|，∴|BC|=|DE|，∴BCDE是平行四边形，∴CD∥BE，∴DC⊥AD，∵|CD|=，∴|AB|=|AD|=2，∴S==，故答案为：．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的表面积S=4π×22=16π，故答案为：16π．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下命题：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确命题的序号是①②④⑤．（将所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由三角函数的最大值相等列式判断①；利用辅助角公式化简代值判断②；求出得值判断③；求导后利用函数的图象平移判断④；由函数图象平移周期不变判断⑤【解答】解：①f（x）=asinx+bcosx=，∵对任意的x∈R，有f（x）≤f（），∴，则2a2+2b2=（a+b）2，∴（a﹣b）2=0，则a=b，故①正确；②∵f（x）=asinx+bcosx=a（sinx+cosx）=，∴f（x+）=，∴f（x+）为偶函数，故②正确；③∵=≠0，故③错误；④y=f′（x）=acosx﹣asinx==，而f（x+）==，故④正确；⑤由f（x）的周期为2π，而f（x）=是把向左平移个单位得到的，∴|P2P4|=2π，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可求最小正周期，由2k，k∈Z 可解得单调递增区间．（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，可得sin（2C﹣）=1，解得C的范围利用正弦函数的图象和性质即可求得C的值，由sinB=2sinA，利用正弦定理，余弦定理即可解得a，b，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣1，…∴最小正周期T=，．由2k，k∈Z 得k，k∈Z，∴f（x）的最小正周期为π，单调递增区间为[k，k]（k∈Z）．…（2）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴﹣，∴2C﹣=，∴C=，…∵sinB=2sinA，由正弦定理，得，①由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．∴S△ABC==．…18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，可得a n+1=a n•a1=3a n，利用等比数列的通项公式可得a n．可得b n，即可得出{b n}的前n项和为B n．（II）c n=（2n﹣1）•3n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得S n．d n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）∵对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，∴a n+1=a n•a1=3a n，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3，∴a n=3n．∴b n=n﹣1+log3a n=n﹣1+n=2n﹣1，∴{b n}的前n项和为B n==n2．（II）c n=a n•b n，=（2n﹣1）•3n．∴数列{c n}的前n项和为S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，∴3S n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）•3n+1+3．d n===，当n=1时，d1=；当n≥2时，T n=+++…++=﹣﹣．当n=1时也成立，∴T n=﹣﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥PC．（Ⅱ）设M（a，b，c），由=λ可得点M的坐标为M（λ，0，﹣λ），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出结果．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OC，∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，∴△ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），=（0，﹣2，0），=（﹣，0，），∴=0，∴CB⊥CP．（Ⅱ）解：假设存在符合要求的点M，令=λ（0≤λ≤1），则=λ=λ（，0，﹣），可得M（λ，0，﹣λ），∴=（λ，1，﹣λ），=（λ，﹣1，﹣λ），设平面MAD的法向量为=（x，y，z），则，令z=λ，得=（λ﹣1，0，λ），显然平面PAD的一个法向量为=（，0，0），∵二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为，∴|=，∴λ=或λ=﹣1（舍去）∴线段PC上存在点M， =时，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）求导数可得，f′（x）=∵x=1是函数f（x）的极大值点，∴0＜a＜1∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；（2）∵恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）=∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0∴b≤a﹣lna，∴ab≤a2﹣a2lna令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减∴h（x）max=h（）=，∴ab≤即ab的最大值为．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设椭圆的标准方程为：，根据条件列方程组解出a，b即可；（II）（1）把x=﹣代入椭圆方程解出A，B坐标，根据三角形的边长即可求出∠AQB；（2）设AB斜率为k，联立方程组求出A，B坐标的关系，通过计算=0得出，则当△QAB为等腰直角三角形时，取AB中点N，则QN⊥AB，计算QN的斜率判断是否为﹣即可得出结论．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为：，（a＞b＞0）．抛物线y=x2的焦点为（0，1），∴，解得a2=4，∴椭圆Γ的标准方程为+y2=1．（II）Q（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=﹣．则直线l与x轴交于M（﹣，0）．联立方程组，解得或．不妨设A在第二象限，则A（﹣，），B（﹣，﹣）．∴|QM|=|AM|=．∴∠AQM=45°，∴∠AQB=2∠AQM=90°．（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y=k（x+）（k≠0）．联立方程组，消元得（25+100k2）x2+240k2x+144k2﹣100=0．∴x1+x2=，x1x2=．y1y2=k2（x1+）（x2+）=﹣•+．∵=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），∴=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=﹣+4+﹣•+=0．∴QA⊥QB，即△QAB是直角三角形．假设存在直线l使得△QAB是等腰直角三角形，则|QA|=|QB|．取AB的中点N，连结QN，则QN⊥AB．又x N=（x1+x2）=﹣=﹣，y N=k（x N+）=．∴k QN=，∴k QN•k AB=≠﹣1．∴QN与AB不垂直，矛盾．∴直线l与x轴不垂直，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域，求导，假设存在实数a，使f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右单调性是否相同，即可判断x=1是不是极值点；（Ⅱ）先求出f（x）的导数，将问题转化成，a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，构造辅助函数，利用函数的求得φ（x）=2﹣2（x﹣1）2的最小值，即可求得a的取值范围．（Ⅲ）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[，e]，上存在一点x0，使得G（x0）＜0，即函数G（x）在[，e]，上的最小值小于零．对G（x）求导．求出G（x）的最小值，即可a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=，假设存在实数a，使得f（x）下x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，此时，f（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴x=1不是f（x）的极值点，故不存在实数a，使得f（x）=1处取极值．（Ⅱ）f′（x）==（x＞0），问题等价于，存在x∈[2，3]，使得f′（x）≥0，即a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，∴φ（x）=2﹣2（x﹣1）2，在[2，3]上递减，∴φmin=φ（3）=﹣6，∴a＞﹣6；（Ⅲ）记F（x）=x﹣lnx，∴F′（x）=（x＞0），∴当0＜x＜1，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；∴F（x）≥F（1）=1＞0，即x＞lnx，（x＞0），由f（x0）≤g（x0）得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，∴a≥，记G（x）=，x∈[，e]，G′（x）==，x∈[，e]，∴2﹣2lnx=2（1﹣lnx）≥0，∴x﹣2lnx+2＞0，∴x∈（，e）时，G′（x）＜0，G（x）递减，x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）递增，∴a≥G（x）min=G（1）=﹣1，故实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．8月1日。

2023年郴州市初中学业水平考试数学（试题卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效；4．在草稿纸、试题卷上答题无效；5．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回．本试卷共8页，有三道大题，共26小题，满分130分，考试时间120分钟．一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.2-的倒数是（）A.2B.12-C.2-D.122.下列图形中，能由图形a 通过平移得到的是（）A . B. C. D.3.下列运算正确的是（）A.437a a a ⋅=B.()325a a =C.2232a a -=D.()222a b a b -=-4.下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A. B. C. D.5.下列问题适合全面调查．．．．的是（）A.调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B.了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C.了解郴江河的水质情况D.神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6.一元一次不等式组3010x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.7.小王从A 地开车去B 地，两地相距240km ．原计划平均速度为x km/h ，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A.24024010.5x x -= B.24024011.5x x -= C.24024011.5x x -= D. 1.5240x x +=8.第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午900：开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s 与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A.途中修车花了30minB.修车之前的平均速度是500m /nmi C.车修好后的平均速度是80m /minD.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9.=___．10.在一次函数()23y k x =-+中，y 随x 的增大而增大，则k 的值可以是___________（任写一个符合条．．．．．件的数．．．即可）．11.在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是___________．12.抛物线26y x x c =-+与x 轴只有一个交点，则c =________．13.为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分．14.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°，AC =6，BC =8，D 是AB 的中点，则CD =_______．15.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55︒，为了监控整个展区，最少．．需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．16.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3cm AB =，=60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转，得到AB C ''△，若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上，则点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．三、解答题（17~19题每题6分，20~23题每题8分，24~25题每题10分，26题12分，共82分）17.计算：()10130202322π-⎛⎫︒+-+- ⎪⎝⎭．18.先化简，再求值：22311213x x x x x x x+-⋅+-++，其中1x =．19.某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A 、B 、C 、D 、E 五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C 所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D 地研学的学生人数．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC 的垂直平分线MN （保留作图痕迹）；（2）若直线MN 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，求证：四边形AFCE 是菱形21.某次军事演习中，一艘船以40km/h 的速度向正东航行，在出发地A 测得小岛C 在它的北偏东60︒方向，2小时后到达B 处，测得小岛C 在它的北偏西45︒方向，求该船在航行过程中与小岛C 的最近距离（参考1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1km ）．22.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过．．．．前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？23.如图，在O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点．在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使BCD A ∠=∠．（1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）若120ACD ∠=︒，23CD =π的式子表示）．24.在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A （固定）中放置一个物体，在右边托盘B （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与点C 的距离x （cm ）（060x <≤），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B 与点C 的距离/cmx 3025201510容器与水的总质量1/gy 1012152030加入的水的质量2/g y 57101525把上表中的x 与1y 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的1y 关于x 的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出2y 关于x 的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y 与x 之间的函数关系，并求1y 关于x 的函数表达式；②求2y 关于x 的函数表达式；③当060x <≤时，1y 随x 的增大而___________（填“增大”或“减小”），2y 随x 的增大而___________（填“增大”或“减小”），2y 的图象可以由1y 的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量2y （g ）满足21945y ≤≤，求托盘B 与点C 的距离x （cm ）的取值范围．25.已知ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE AD =，连接DE 交射线AC 于点F ．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设4AB =，若AEB DEB ∠=∠，求四边形BDFC 的面积．26.已知抛物线24y ax bx =++与x 轴相交于点()1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PA PC的值；（3）如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2023年郴州市初中学业水平考试数学（试题卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效；4．在草稿纸、试题卷上答题无效；5．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回．本试卷共8页，有三道大题，共26小题，满分130分，考试时间120分钟．一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.2-的倒数是（）A.2B.12- C.2- D.12【答案】B【解析】【分析】乘积是1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要用1除以这个数即可．【详解】解：∵12()12-⨯-=∴-2的倒数是1 2-故选B．【点睛】此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数，先把小数化为分数再求解．2.下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断．【详解】解：观察图形可知，B 中图形能由图形a 通过平移得到，A ，C ，D 均不能由图形a 通过平移得到；故选B ．【点睛】本题考查平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．3.下列运算正确的是（）A.437a a a ⋅= B.()325a a = C.2232a a -= D.()222a b a b -=-【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算，即可得出结论．【详解】解：A 、437a a a ⋅=，选项计算正确，符合题意；B 、()326a a =，选项计算错误，不符合题意；C 、22232a a a -=选项计算错误，不符合题意；D 、()2222a b a ab b -=-+，选项计算错误，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．4.下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】A 、直三棱柱的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形均不同，A 错误；B 、圆锥的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形均不同，B 错误；C 、圆柱的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形均不同，C 错误；D 、球的三视图完全相同，都是圆，D 正确；故选D ．【点睛】本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．5.下列问题适合全面调查．．．．的是（）A.调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B.了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C.了解郴江河的水质情况D.神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查【答案】D【解析】【分析】根据全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，A 、B 、C 项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，故不符合要求；D 项关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了全面调查．解题的关键在于熟练掌握全面调查的适用条件．6.一元一次不等式组3010x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可．【详解】解：由30x -≥，得：3x ≤；由10x +>，得：1x >-，∴不等式组的解集为：13x -<≤；数轴上表示如图：故选C ．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键．7.小王从A 地开车去B 地，两地相距240km ．原计划平均速度为x km/h ，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A.24024010.5x x -= B.24024011.5x x -= C.24024011.5x x -= D. 1.5240x x +=【答案】B【解析】【分析】设原计划平均速度为x km/h ，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可．【详解】解：设原计划平均速度为x km/h ，由题意，得：()2402401150%x x -=+，即：24024011.5x x-=；故选B【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．8.第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午900：开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s 与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A.途中修车花了30minB.修车之前的平均速度是500m /nmi C.车修好后的平均速度是80m /minD.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【答案】D【解析】【分析】根据图象信息以及速度=路程÷时间的关系即可解决问题．【详解】解：由图象可知途中修车花了()301020min -=，修车之前的平均速度是6000÷10600(m =/n)mi ，车修好后的平均速度是()132006000-÷()3830900(m -=/n)mi ,∴900600 1.5÷=故A 、B 、C 错误，D 正确．故选∶D ．【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9.=___．【答案】3【解析】【分析】求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的一个立方根，根据立方根的定义计算可得．【详解】解：∵33=27，3=．故答案为3．【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键．10.在一次函数()23y k x =-+中，y 随x 的增大而增大，则k 的值可以是___________（任写一个符合条．．．．．件的数．．．即可）．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】根据一次函数的性质可知“当20k ->时，变量y 的值随x 的值增大而增大”，由此可得出结论．【详解】解：∵一次函数23y k x =-+（）中，y 随x 的值增大而增大，∴20k ->．解得：2k >，故答案为：3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k 的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k 的取值范围是关键．11.在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是___________．【答案】710##0.7【解析】【分析】根据概率公式进行计算即可．【详解】解：由题意，得，随机取出一个球共有10种等可能的结果，其中取出的是红球共有7种等可能的结果，∴710P =；故答案为：710．【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率的计算公式，是解题的关键．12.抛物线26y x x c =-+与x 轴只有一个交点，则c =________．【答案】9【解析】【分析】根据抛物线与x 轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．【详解】解：∵抛物线26y x x c =-+与x 轴只有一个交点，∴224(6)40b ac c ∆=-=--=解得c =9．故答案为：9．【点睛】本题考查二次函数与x 轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x 轴有两个交点，则判别式0∆≥；抛物线与x 轴有一个交点，则判别式Δ0=；抛物线与x 轴没有交点，则判别式Δ0<．13.为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分．【答案】93【解析】【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可．【详解】解：由题意，得：9030%9450%9520%93⨯+⨯+⨯=（分）；∴该参赛队的最终成绩是93分，故答案为：93【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键．14.在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则CD=_______．【答案】5【解析】【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：如图：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴10AB===∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=12×10=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．15.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55︒，为了监控整个展区，最少．．需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．【答案】4【解析】【分析】圆周角定理求出P ∠对应的圆心角的度数，利用360︒÷圆心角的度数即可得解．【详解】解：∵55P ∠=︒，∴P ∠对应的圆心角的度数为110︒，∵360110 3.27︒÷︒≈，∴最少．．需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；故答案为：4【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．16.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3cm AB =，=60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转，得到AB C ''△，若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上，则点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．【解析】【分析】由于AC 旋转到AC '，故C 的运动路径长是CC '的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC '，如图所示．在直角ABC 中，=60B ∠︒，则30C ∠=︒，则()2236cm BC AB ==⨯=．∴)cm AC ===．由旋转性质可知，AB AB '=，又=60B ∠︒，∴ABB ' 是等边三角形．∴60BAB '∠=︒．由旋转性质知，60CAC '∠=︒．故弧CC '的长度为：()602cm 3603AC ππ⨯⨯⨯=⨯；【点睛】本题考查了含30︒角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C 点的运动轨迹．三、解答题（17~19题每题6分，20~23题每题8分，24~25题每题10分，26题12分，共82分）17.计算：()10130202322π-⎛⎫︒+-+- ⎪⎝⎭．【答案】4【解析】【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．【详解】解：原式32123=++2112=-++4=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．18.先化简，再求值：22311213x x x x x x x+-⋅+-++，其中1x =．【答案】11x -，33【解析】【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x 的值代入，根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：22311213x x x x x x x+-⋅+-++()()211331x x x xx x -=-+⋅++()111x x x=+-()111x x x +-=-11x =-，当1x =时，原式3==．【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键．19.某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A 、B 、C 、D 、E 五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C 所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D 地研学的学生人数．【答案】（1）见解析；（2）144︒；（3）300．【解析】【分析】（1）根据选择B 的人数是20人，所占的比例是20%，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择A 的人数，即可补全统计图；（2）利用360︒乘以选择C 的人数所占总人数的比即可得解；（3）利用总人数1200乘以对应的百分比即可求得．【小问1详解】解：2020%100÷=（人）选择A 的人数：100204025510----=（人）补全图形如下：【小问2详解】解：40360144100︒⨯=︒，∴研学活动地点C 所在扇形的圆心角的度数144︒；【小问3详解】251200300100⨯=（人）答：最喜欢去D 地研学的学生人数共有300人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC 的垂直平分线MN （保留作图痕迹）；（2）若直线MN 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，求证：四边形AFCE 是菱形【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；（2）设EF 与AC 交于点O ，证明()ASA AOE COF ≌△△，得到OE OF =，得到四边形AFCE 为平行四边形，根据EFAC ⊥，即可得证．【小问1详解】解：如图所示，MN 即为所求；【小问2详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴CAE ACF ∠=∠，如图：设EF 与AC 交于点O ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO OC =，EF AC ⊥，∵AOE COF ∠=∠，∴()ASA AOE COF ≌△△，∴OE OF =，∴四边形AFCE 为平行四边形，∵EF AC ⊥，∴四边形AFCE 为菱形．【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．21.某次军事演习中，一艘船以40km/h 的速度向正东航行，在出发地A 测得小岛C 在它的北偏东60︒方向，2小时后到达B 处，测得小岛C 在它的北偏西45︒方向，求该船在航行过程中与小岛C 的最近距离（参考1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1km ）．【答案】该船在航行过程中与小岛C 的最近距离29.3km ．【解析】【分析】过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，先在Rt ACH 中，利用三角函数求出CH 与AH 的关系，然后在Rt CHB 中，利用锐角三角函数的定义求出BH 与CH 的关系，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；【详解】解：过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，解∶∵CH AB ⊥，AD AB ⊥，BE AB ⊥，60CAD ∠=︒，45CBE ∠=︒，∴90AHC BHC ∠∠==︒，906030CAH ∠=︒-︒=︒，904545CBH ∠=︒-︒=︒，在Rt ACH 中，tan tan30CAH ∠=︒=CH AH ，即33CH AH =，∴AH =，在Rt CHB 中，tan tan45CBH ∠=︒=CH BH ，即1CH AH =，∴BH CH =，∴AB AH BH =+=)1402CH +=⨯，∴40401.734029.3CH =≈⨯-=（km ），∴该船在航行过程中与小岛C 的最近距离29.3km ．【点睛】本题主要考查了与方位角有关的解直角三角形，作出相应辅助线构造直角三角形是解题的关键．22.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过．．．．前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%（2）5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y 万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【小问1详解】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，由题意，得：()21.612.5x +=，解得：0.2525%x ==（负值已舍掉）；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；【小问2详解】设5月份后10天日均接待游客人数是y 万人，由题意，得：()2.125 2.5125%y +≤+，解得：1y ≤；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．23.如图，在O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点．在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使BCD A ∠=∠．（1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）若120ACD ∠=︒，CD =π的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）2π3-．【解析】【分析】（1）连接OC ，由AB 是直径，得90ACB OCA OCB ∠∠∠=+=︒，再证OCA A BCD ∠∠∠==，从而有90BCD OCB OCD ∠∠∠+==︒，于是即可证明结论成立；（2）由圆周角定理求得260AOC A ∠∠==︒，在Rt OCD 中，解直角三角形得2OC =，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】证明：连接OC ，∵AB 是直径，∴90ACB OCA OCB ∠∠∠=+=︒，∵OA OC =，BCD A ∠=∠，∴OCA A BCD ∠∠∠==，∴90BCD OCB OCD ∠∠∠+==︒，∴OC CD ⊥，∵OC 是O 的半径，∴直线CD 是O 的切线；【小问2详解】解：∵120ACD ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴1209030A BCD ∠∠==︒-︒=︒，∴260AOC A ∠∠==︒，∵在Rt OCD 中，tan AOC ∠=tan 60CD OC=︒，CD =，∴23OC=2OC =，∴160π22π221803ACD BOC S S S ⨯⨯=-=⨯-=-阴扇形 ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键．24.在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A （固定）中放置一个物体，在右边托盘B （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与点C 的距离x （cm ）（060x <≤），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B 与点C 的距离/cmx 3025201510容器与水的总质量1/gy 1012152030加入的水的质量2/g y 57101525把上表中的x 与1y 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的1y 关于x 的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出2y 关于x 的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y 与x 之间的函数关系，并求1y 关于x 的函数表达式；②求2y 关于x 的函数表达式；③当060x <≤时，1y 随x 的增大而___________（填“增大”或“减小”），2y 随x 的增大而___________（填“增大”或“减小”），2y 的图象可以由1y 的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量2y （g ）满足21945y ≤≤，求托盘B 与点C 的距离x （cm ）的取值范围．【答案】（1）作图见解析；（2）①1300y x =；②23005y x =-；③减小，减小，下；（3）2562x ≤≤．【解析】【分析】（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；（2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设(0)k y k x =≠，把(30，10)的坐标代入，得k 300=，再检验其余各个点是否满足即可；②根据25y +可能与x 成反比例，设25(0)m y k x +=≠，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可．（3）利用反比例函数的性质即可解决问题．【小问1详解】解∶函数图象如图所示，【小问2详解】解：①观察图象可知，1y 可能是x 反比例函数，设1(0)k y k x=≠，把(30)10，的坐标代入1k y x =，得k 300=，经检验，其余各个点坐标均满足1300y x =，∴1y 关于x 的函数表达式1300y x =；②观察表格以及①可知，25y +可能与x 成反比例，设25(0)m y k x+=≠，把(30)5，的坐标代入25m y x +=，得m 300=，经检验，其余各个点坐标均满足23005y x+=，∴2y 关于x 的函数表达式23005y x =-；③由图图像可知，当060x <≤时，1y 随x 的增大而减小，2y 随x 的增大而减小，2y 的图象可以由1y 的图象向下平移得到，故答案为：减小，减小，下；【小问3详解】解：当219y =时，300195x =-解得252x =，当245y =时，300455x =-解得6x =，∴托盘B 与点C 的距离x （cm ）的取值范围2562x ≤≤．【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于基础题，中考常考题型．25.已知ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE AD =，连接DE 交射线AC 于点F ．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设4AB =，若AEB DEB ∠=∠，求四边形BDFC 的面积．【答案】（1）12CF BD =，理由见解析（2）①成立，理由见解析②+【解析】【分析】（1）过点D 作∥DG BC ，交AC 于点G ，易得BD CG =，证明DGF ECF ≌，得到12CF FG CG ==，即可得出结论．（2）①过点D 作∥DG BC ，交AC 的延长线于点G ，易得BD CG =，证明DGF ECF ≌，得到。

2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1．已知集合{}{23},0,1,2A xx B =-<<=∣，则A B =（ ） A ．{}1,0,1,2- B ．2,0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C【分析】根据交集的定义即可求. 【详解】A B ={}0,1,2 故选：C.2．已知关于x 的一元二次不等式2320x x -+<的解集为{}x m x n <<∣，则m n +的值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.【详解】依题意可得，,m n 分别是关于x 的一元二次方程2320x x -+=的两根，根据韦达定理可得：3m n +=.故选：A.3．下列函数是偶函数的是（ ） A ．lg y x = B ．2x y = C ．3y x = D ．cos y x =【答案】D【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.【详解】函数lg y x =为非奇非偶函数；函数2x y =为非奇非偶函数； 函数3y x =为奇函数，函数cos y x =为偶函数. 故选：D.4．已知0.4231log 3,2,log 2a b c -===则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值0，1进得判断即可． 【详解】因为22log 3log 21a =>=，0.400221b -<=<=，331log log 102c =<=，所以a b c >>. 故选：A ．5．若,R a b ∈，则“a b <”是“ln ln a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出不等式ln ln a b <的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可. 【详解】由ln ln a b <得0a b <<， 因为若0a b <<，则a b <，反之不成立， 故“a b <”是“0a b <<”的必要不充分条件， 即“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件. 故选：B6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角α的终边过点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A ．B ．12C ．D ．14【答案】A【分析】根据三角函数的定义得1sin ,cos 2y x r r αα====sin22sin cos ααα=解决即可.【详解】由题得，角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角α的终边过点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1r OP ===,所以1sin ,cos 2y x r r αα====所以1sin22sin cos 22ααα⎛==⋅⋅= ⎝⎭故选：A7．2021年10月16日0时23分，长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v 满足公式：ln 1⎛⎫=+ ⎪⎝⎭M v w m ，其中M为火箭推进剂质量，m 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当3M m =时， 5.544=v 千米/秒．在保持w 不变的情况下，若25m =吨，假设要使v 超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M 至少约为（结果精确到1，参考数据：2e 7.389≈，ln 20.693≈）（ ） A ．135吨 B ．160吨 C ．185吨 D ．210吨【答案】B【分析】根据所给条件先求出w ，再由8v =千米/秒列方程求解即可. 【详解】因为当3M m =时， 5.544=v ， 所以 5.544 5.544ln 42ln 2w ==， 由 5.544ln(1)82ln 1ln 225M v w m M +⎛⎫=+=⎪⎝=⎭， 得ln 1225M ⎛⎫+≈ ⎪⎝⎭，所以21e 7.38925M+≈≈， 解得159.725160M =≈（吨）， 即M 至少约为160吨. 故选：B8．已知函数()()221,,R f x x g x x x =-+=-∈，用()M x 表示()(),f x g x 中的较小者，记为()()(){}min ,M x f x g x =，则()M x 的最大值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】D【分析】先把()M x 写成分段函数的形式，再求最大值即可 【详解】令221x x -+>-，即2210x x --<,解得1<<12x -, 所以[)21,,12()121,,1,2x x M x x x ∞∞⎧⎛⎫-∈- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪-+∈--⋃+ ⎥⎪⎝⎦⎩，当1,12x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由y x =-在定义域内单调递减可得11()22M x M ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，当[)1,1,2x -⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦时，由二次函数的性质可得max 11()()22M x M =-=,综上，函数()M x 的最大值为12，故选：D二、多选题9 ） A ．cos150 B ．cos12cos42sin12sin42+ C ．2sin15cos15 D ．22cos 15sin 15-【答案】BD【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案． 【详解】2c 3os150cos(180co 300)s3=-=-=-，故A 错误；()()cos12cos42sin12sin42cos 12cos cos304230︒︒︒︒+====--，故B 正确； 12sin15cos15sin 302︒︒︒==，故C 错误；22cos 15sin 1cos305︒-==D 正确． 故选：BD.10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2R,0x x ∀∈≤”B ．若正数,a b 满足1a b +=，则14ab ≤C ．函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是πD ．半径为1，圆心角为π3的扇形的弧长等于π3【答案】BCD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A ；利用基本不等式可判断B ；利用三角函数的周期公式可判断C ；利用扇形的弧长公式可判断D.【详解】命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2R,0x x ∃∈<”，故A 错误； 2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故B 正确； 函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==，故C 正确；半径为1，圆心角为π3的扇形的弧长为ππ133⨯=，故D 正确.故选：BCD.11．已知函数()()2222,22x x x xf xg x ---+==，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于x 轴对称 B ．函数()f x 在区间()1,1-上单调递增 C ．()()()22f x f x g x = D ．()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦- 【答案】BC【分析】由函数的定义可判断A ；由函数2x y =与2x y -=-都是R 上的增函数可判断B ；计算等式的两边进行验证可判断C 、D.【详解】由函数的定义可知，函数()g x 的图象不关于x 轴对称，故A 错误； 因为函数2xy =与12()2xx y -=-=-都是R 上的增函数，则()222x xf x --=是R 上的增函数，所以函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，故B 正确；22222222(2)22()()222x x x x x xf x f xg x -----+==⋅⋅=，故C 正确；()222222x xg x -+=，()()22222222122x x x x g x f x --⎛-⎫⎛⎫+-=-=⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，故D 错误． 故选：BC.12．已知正实数,,x y z 满足236x y z ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．24xy z <D ．4x y z +>【答案】AD【分析】令236x y z t ===，得出x y z ，，．选项A ，根据换底公式计算即可判断；选项B ，结合作差法和换底公式即可判断；选项C 、D ，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断． 【详解】令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =，3log y t =，6log z t =． 对于A ，231111lg 2lg 3lg 61log 6log log lg lg lg t x y t t t t t z+=+=+===，故A 正确； 对于B ，因为1t >，故lg 0t >，232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >；()3623lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 3363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 错误． 对于C ，()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t t xy t t =⋅=⋅=⋅，()()()2222624lg lg 44log 4lg 6lg 6t t z t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，lg 0t >， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭，（因为lg 2lg3≠所以等号不成立）， 所以()214lg 2lg3lg 6>⋅，则()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⋅，即24xy z >，故C 错误； 对于D ，23lg lg lg 6lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t t x y t t ⋅+=+=+=⋅，64lg 44log lg 6t z t ==，lg 0t >， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭，（因为lg 2lg3≠所以等号不成立）， 所以()214lg 2lg3lg 6>⋅，则()2lg 6lg 4lg 6lg 4lg lg 2lg3lg 6lg 6t t t⋅⋅>=⋅，即4x y z +>，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题13．若幂函数()y f x =的图象经过点(2，则()4f 的值等于_________. 【答案】2【解析】设出幂函数()f x x α=，将点(2代入解析式，求出解析式即可求解. 【详解】设()f x x α=，函数图像经过(2，2α=，解得12α=， 所以12()f x x =， 所以()12442f ==. 故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 14．1323log 3log 28⋅+=__________.【答案】3【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.【详解】解：1323lg 3lg 2log 3log 2823lg 2lg 3⋅+=⋅+=. 故答案为：3.15．若函数()f x 满足：（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <；（2）()()()1212f x x f x f x +=，则()f x =__________.（写出满足这些条件的一个函数即可）【答案】2x （答案不唯一）【分析】由条件（1）可判断函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：1212x x x x a a a +=⋅，（0a >且1a ≠），即可得解. 【详解】由条件（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <，可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，条件（2）符合指数幂的运算性质：1212x x x x a a a +=⋅，（0a >且1a ≠），故可选一个单调递增的指数函数：()2xf x =．故答案为：2x （答案不唯一）．16．已知R t ∈，函数()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()40f x -=恰有2个实数解，则t 的取值范围是__________.【答案】(]()4,14,∞-⋃+【分析】根据分段函数，得函数图象，求得()40f x -=是所有可能的根，结合图象可的方程()40f x -=恰有2个实数解时t 的取值范围.【详解】解：函数()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩，函数图象如下图所示：方程()40f x -=，若40x -=，即34x =；若2340x x +-=，得14x =-，21x =；结合图象可知：当4t ≤-时，方程()40f x -=仅有一个实数解4x =；当41t -<≤时，方程()40f x -=恰有两个实数解4x =-，4x =； 当14t <≤时，方程()40f x -=恰有三个实数解4x =-，1x =，4x =； 当4t >时，方程()40f x -=恰有两个实数解4x =-，1x =；综上，若方程()40f x -=恰有2个实数解，则t 的取值范围是(]()4,14,∞-⋃+. 故答案为：(]()4,14,∞-⋃+.四、解答题17．已知集合{}21,{26}A xa x a B x x =<<+=<<∣∣. (1)当2a =时，求A B ⋂； (2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){25}xx <<∣(2)⎡⎣【分析】（1）由交集的定义求解即可； （2）根据题意列出不等式组求解．【详解】（1）当2a =时，{25}A x x =<<∣ 因为{26}B xx =<<∣ 所以{25}A B xx ⋂=<<∣. （2）22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，21a a ∴<+恒成立，A ∴≠∅，A B ⊆22,?16a a ≥⎧∴⎨+≤⎩，解得：2a ≤≤故实数a 的取值范围为⎡⎣.18．已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()()4g x f x =-，求()g x 的零点. 【答案】(1)()1,1- (2)零点为1517.【分析】（1）根据函数有意义，建立不等式组，求解即可； （2）令()0g x =，得()4f x =，解方程即可．【详解】（1）由题意得1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<.所以()f x 的定义域为()1,1-.（2）令()()()40,4g x f x f x =-=∴= 211log 41611x x x x ++∴=⇒=--，解得()151,117x =∈-， 故()g x 的零点为1517. 19．（1）已知sin 2cos 0αα+=，求22cos sin sin cos αααα-的值；（2）在①sin 2cos 0αα+=，②sin cos αα+=解答.已知α为第四象限的角，__________.4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）16（2）【分析】（1）由题意得tan 2α=-，所求式子弦化切代入计算即可；（2）选择①：由同角的三角函数关系式求得sin ,cos αα，然后利用两角差的正弦计算即可；选择②：利用22(sin cos )2(sin cos )αααα-=-+结合角的范围求得sin cos αα-，然后利用两角差的正弦计算即可.【详解】（1）由sin 2cos 0αα+=，得tan 2α=-， 222cos 11.sin sin cos tan tan 6αααααα∴==-- （2）选择①：sin 2cos 0αα+=，即tan 2α=-，α为第四象限的角，sin 0,cos 0αα∴<>，又22sin cos 1,sin αααα+=∴==sin cos αα∴-=)sin cos 4πααα⎛⎫--= ⎪⎝⎭选择②：sin cos αα+=22sin cos 1αα+=， 229(sin cos )2(sin cos )5αααα∴-=-+=，α为第四象限的角，sin 0,cos 0αα∴<>，sin cos αα∴-=)sin cos 422πααα⎛⎫--=-⎪⎝⎭20．为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展．某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本600万元，每生产x 百件该产品，需另投入成本()p x 万元，且210,060()6400712000,60x x x p x x x x ⎧-<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，假设该产品销售单价为0.7万元/件，且每年生产的产品当年能全部销完．(1)求全年的利润()f x 万元关于年产量x 百件的函数关系式；(2)试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．【分析】（1）根据题意分为060x <<，60x ≥两种情况，求得函数解析式； （2）结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．【详解】（1）（1）当060x <<时，()()22706001080600f x x x x x x =---=-+-当60x ≥时，()64006400706007120001400f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）（2）若060x <<，()()2208060000041f x x x x =-++-=--，则当40x =时，()max ()401000f x f ==（万元） 若()6400640060,14001400214001601240x f x x x x x ⎛⎫≥=-+≤-⋅=-= ⎪⎝⎭（万元）， 当且仅当80x =时“＝”成立．则当80x =时，max ()1240f x =（万元）1000万元1240<万元，故当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．21．已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的[]12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数m 的最大值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2)1724π【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出ω，将点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入新解析式，得5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出ϕ，将点()0,1代入新解析式，即可得出A ，即可得出答案；（2）设()()()h x f x g x =-，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出()h x 在区间[],m m π-上单调递减，由三角函数的单调区间解出()h x 的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.【详解】（1）由图像可知，周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22Tπω∴==， 因为点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图像上， 所以5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又02πϕ<<， 554663πππϕ∴<+<， 则56πϕπ+=，即6πϕ=， 因为点()0,1在函数图像上，所以sin 16A π=，即2A =，故函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由题意可得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 设()()()2sin 22cos 266h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,6412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ []12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x -<-恒成立，即()()12h x h x <恒成立，()h x ∴在区间[],m m π-上单调递减， 令32222122k x k πππππ+≤-≤+，解得719,2424k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因为m m π-<，所以2m π>，则2m ππ-<， 故7241924m m πππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得17224m ππ<≤， 所以m 最大值为1724π. 22．已知函数()()22R 21x x t t f x t ⋅-+=∈+为奇函数.(1)利用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)若正数,a b 满足()()2120f a f b ++-=，求2212a b +++的最小值； (3)解不等式()22220f x x -+->. 【答案】(1)证明见解析； (2)165；(3)((),2,-∞+∞. 【分析】（1）利用函数的奇偶性得出1t =，然后利用函数单调性的定义证明即可；（2）由已知条件求得21a b +=，即()2125a b +++=，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可； （3）令()()g x f x x =+，易知()g x 是奇函数，且在R 上单调递增，又()00g =，不等式()()()22222020f x x g x g -+->⇔->，从而220x ->，求解即可． 【详解】（1）函数()f x 的定义域是R ，由题意得()00f =，解得：1t =，则()2121x f x =-+， ()()22222112021212121x x x x x f x f x -⋅-+=-+-=--=++++，f x 为奇函数，故1t =，任取12,R x x ∈，且12x x <， 则()()12211222221121212121x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()12122121111122222221212121x x x x x x x x +++++---==++++， 因为12,R x x ∈，且12x x <，所以121211220,210,210x x x x ++<-+>+>， 所以()()()()122111122202121x x x x f x f x ++-=<++-，故()()12f x f x <， 所以函数()f x 在R 上单调递增；（2）因为()()()2120,f a f b f x ++-=为奇函数，所以()()()2122f a f b f b +=--=-，又函数()f x 在R 上单调递增，所以正实数,a b 满足21221a b a b +=-⇒+=，所以()2125a b +++=，所以()2412421212512a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()228118512b a a b ⎡⎤++=++⎢⎥++⎣⎦116855⎡⎢≥+=⎢⎣， 当且仅当()()24112b a a b ++=++，即11,42a b 时取等号， 所以2412a b +++的最小值为165. （3）令()()2121x x g x f x x -=+=++， 因为()y f x =和y x =都是奇函数，且在R 上单调递增，所以()g x 是奇函数，且在R 上单调递增.又()00g =，不等式()()()22222020f x x g x g -+->⇔->.从而220x ->，解得x x <故不等式的解集为((),2,-∞+∞.。

郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ）A.5iB.5i -C.45i +D.45i-+1sin170=（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C 的另一交点为2,A APF 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.14 B.13 C.12 D.235.若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c-≤-的解集为（ ）A.(](),45,∞∞-⋃+B.[]4,5C.()[),45,∞∞-⋃+D.(]4,58.设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（ ）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.10.已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]()21,1,1x f x x ∈-=-，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的周期4T =B.5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在[]5,4--上单调递增D.()2f x +是偶函数11.锐角ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（）A.点A的轨迹的离心率e =3c <<C.ABC 的外接圆周长()4π,5πl ∈D.ABC 的面积()3,6ABC S ∈ 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线:220l kx y k -+-=与曲线:C y =k 的取值范围是__________.13.已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+.若()1n nnb n a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)km h =，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.（1）证明：2A B =；（2）求ca的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45 ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .（1）若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18.（本题满分17分）已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =，（1）求抛物线的方程及a 的值；（2）当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB 的面积为1，求点B 的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n ∞→时n S 的极限：1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.（1）证明：1()1k P X k∞===∑；（2）求随机变量X的数学期望()E X；（3）求随机变量X的方差()D X.郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.1nn +14.5:2四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由()sin cos sin 1cos c A B b C A =+，结合正弦定理得()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ 可得sin cos cos sin sin A B A B B -=，所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=或()πA B B -+=（舍去），所以2A B=（2）在锐角ABC 中，02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，即ππ64B <<，cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-.令1cos ,2,2B t y t t t ==-∈，因为122y t t =-在上单调递增，所以y y>=<=，所以ca∈.16.（1）证明： 底面ABCD为正方形，CD AD∴⊥.PA⊥平面,ABCD PA CD∴⊥.PA AD A⋂=CD∴⊥平面PAD.又AE⊂平面,PAD CD AE∴⊥.,PA PD E=为PD的中点，AE PD∴⊥.,CD PD D AE⋂=∴⊥平面PCD.AE⊂平面,AEF∴平面AEF⊥平面PCD.（2）以AB AD AP､､分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，()()0,0,0,2,0,0A B，()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E设(01)PF PCλλ=<<，()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AEλλλλ=+=+=-=，设平面AEF的法向量()111,,m x y z=，则(),12,,m AEmm AFλλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP==，设平面APF的法向量()222,,n x y z=，则,n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得()1,1,0n=-由题意得：cos45m nm n⋅===，即13λ-=，解得23λ=.从而23PFPC=.17.（1）解：函数(),2cos e xf x ax x=+-，则()2sin e xf x a x=--'，对任意的()()0,,0x f x∞∈+'≤恒成立，所以()2e sinxa x g x≤+=，故()e cos1cos0xg x x x x=+≥++>'，所以()min 2()01a g x g ≤==，故实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）证明：由题意知，要证在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上，cos e 1x x -<，令()cos e xh x x =-，则()sin e xh x x =--'，显然在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上()h x '单调减，()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''，所以存在0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()000sin e 0x h x x '=--=，所以当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭，故()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上恒成立.18.解：（1）由题意242pAF =+=，解得4p =，因此抛物线的方程为2:8C y x =点()2,A a 在抛物线上可得216a =，故4a =±（2）设点B 的坐标为()11,,x y OA 边上的高为h ，我们知道AOB 的面积是：112S h =⨯=1h h =⇒==直线OA 的方程是2y x =，利用B 到直线OA 的距离公式可得：化简得：1121x y -=由于点B 在抛物线上，代入条件可得：22111121184y y y y ⋅-=⇒-=可以得到211440y y --=或211440y y -+=，解这个方程可以得到12y ===±12y =代入拋物线方程可以得到：1x ==或1x ==112x =综上所述，点B的坐标有三个可能的值：12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）不存在，理由如下：由（2）知122,2B B +-则12,B B 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 到准线2x =-的距离等于37222+=因为73.52=>所以，以M 为圆心122B B 为半径的圆与准线相离，故不存在点P 满足题设条件.19.（1）证明：可知()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-则15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（2）设1()nn k T k P X k ==⋅=∑0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，0121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则随机变量X 的数学期望55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑【也可利用()()()22D XE XE X =-】而012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 两式相减：012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑从而：21()66k kP X k ∞===∑.那么21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑.。

2023年湖南省郴州市高考数学第三次质检试卷1. 若其中i为虚数单位，则在复平面上所对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.3. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前n项和为( )A. B. C. D.4. 篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为( )A. B. C. D.5. 已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为，AB为圆台的一条母线点B在圆台的上底面圆周上，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面一周爬行到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为( )A. 30B. 40C. 50D. 606. 设，，，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.7.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与C交于A，B两点.若，，则C的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知函数，实数m，n满足不等式，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.9. 给出下列命题，其中正确的是( )A. 对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大B. 若随机变量，，则C. 若，则D. 已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，下列说法正确的是( ) A. 若，则直线AB的倾斜角为B.C. 若抛物线上存在一点，到焦点F的距离等于4，则抛物线的方程为D. 若点F到抛物线准线的距离为2，则的最小值为11. 设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是( )A. 的图象关于点对称B. 在上有且只有5个极值点C. 在上单调递增D. 的取值范围是12. 如图，已知正四棱柱中，，E为的中点，P为棱上的动点，平面过B，E，P三点，则( )A.平面平面B. 平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C. 当P与A重合时，截此四棱柱的外接球所得截面面积为D. 存在点P，使得AD与平面所成角的大小为13.若的展开式中的系数为3，则______ .14. 已知点，若过点的直线m交圆C：于A，B两点，则的最小值为______ .15. 已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为______ .16. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为______ .17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求角的角平分线交AB于点D，且，求的最小值.18. 如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，，是边长为2的正三角形，，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线证明：直线平面若Q在直线l上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.19. “现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案方案一：一次性付全款25万元；方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值精确到百元参考数据：20.已知椭圆方程为，过椭圆的的焦点，分别做x轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.求该椭圆的离心率.若椭圆的顶点恰好是双曲线焦点，椭圆的焦点恰好是双曲线顶点，设椭圆的焦点，，双曲线的焦点，，A为与的一个公共点，记，，求的值.21. chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球的开发主要采用人类反馈强化学习技术，训练分为以下三个阶段.第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取，数据对，帮助数学模型更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成k个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：，其中，且第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.参考数据：，，若已知某单个样本，其真实分布，其预测近似分布，计算该单个样本的交叉熵损失函数Loss值.绝对值误差MAE也是一种比较常见的损失函数，现已知某n阶变量的绝对值误差，，其中，N表示变量的阶.若已知某个样本是一个三阶变量的数阵，其真实分布是，现已知其预测分布为，求证：该变量的绝对值误差MAE为定值.在测试chatGPT时，如果输人问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为现已知输入的问题中出现语法错误的概率为，现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.22. 已知函数，若函数和有公切线，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：其中i为虚数单位，则，故，所以在复平面上所对应的点在第四象限．故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，，所以故选：分别求出集合M，N，进而求本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：，，，故选：先根据导数的几何意义求出，再利用裂项求和法，即可得解．本题考查导数的几何意义，裂项求和法，属基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，则概率为故选：考虑前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况有只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求得答案．本题主要考查概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为圆台上底面半径为5，下底面半径为10，母线长为l，所以，解得，将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O，线段就是蚂蚁经过的最短距离，设，圆心角是，则由题意知①，②，由①②解得，，，，，则故选：根据题意得到圆台的侧面展开图，再确定蚂蚁爬行所经路程的最小值，求解即可．本题考查圆台的结构特征以及立体几何中的距离问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为，，令，则，再令，则，所以当时，即在上单调递增，所以当时，所以，所以，即在上单调递增，所以，即，即，即，因为，所以，所以，所以，即，所以故选：由换底公式得到，，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断b、c，再根据对数函数的性质判断c、a，即可得解．本题主要考查对数值大小的比较，导数的应用，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设，因为，，则，，，所以，，，，可得A在短轴上，在中，，而在中，由余弦定理可得，而，所以，可得，可得离心率，故选：设的值，由题意及椭圆的定义可得其它焦半径的值，在两个三角形中，由角互补可得余弦值之和为0，可得a，c的关系，进而求出离心率．本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：，，函数关于对称，又，，，恒成立，是增函数，，，又是增函数，，，故选：根据条件判断函数关于对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可．本题考查函数的对称性，函数的奇偶性，函数的单调性的应用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：选项A，对于独立性检验的值越大，说明这两事件具有相关性的把握越大，错误；选项B，，，，正确；选项C，，则，，正确；选项D，把代入回归直线方程，得，剔除两个样本点和后，新的平均数，，又新的回归直线的斜率为3，即，则，解得，则新的回归方程为，正确；故选：由独立性检验判断选项A，由正态分布的对称性，判断选项B，由二项分布的方差公式，判断选项C，由回归直线方程的求法，判断选项本题考查回归直线方程，独立性检验，二项分布的方差，正态曲线的性质，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：设，，当直线l的斜率为0时，，则，不符合题意，所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，由得，，则，，所以，对于A：，即，代入，，，解得，所以直线l的斜率，即直线l的倾斜角为或，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：若抛物线上存在一点，到焦点F的距离等于4，即，则，解得，所以抛物线的方程为，故C正确；对于D：若点F到抛物线准线的距离为2，则，所以抛物线方程为，连接PM，过点P作轴于点C，则，若直线的斜率，，若，则，，所以，因为，由题可知，，所以，因为，所以综上，最小值为，故D错误；故选：设直线l的方程为，，与抛物线方程联立，由根与系数关系得出和，选项ABD均可转化为坐标的计算，代入根与系数关系，即可做出判断，C选项可直接由焦半径公式列方程得出p的值，即可做出判断．本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．11.【答案】CD【解析】解：由题设，在上，若，所以在上有5个零点，则，解得，故D正确；在上，，当，极值点个数为6个，故B错误；且故不为0，故A错误；在上，则故递增，即在上递增，故C正确．故选：根据图象平移得，结合零点个数及正弦型函数的性质可得，进而判断极值点个数判断B、D；代入法判断A，整体法判断本题主要考查三角函数的图象变换，考查正弦型函数的性质，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：正四棱柱中，，E为的中点，P为棱上的动点，平面过B，E，P三点，对于A，易证平面，从而平面平面，所以A对；对于B，平面与正四棱柱表面的交线围成的图形可以是五边形，所以B不对；对于C，设外接球的球心为O，O到平面的距离不到平面的距离的一半，而到平面的距离为，所以O到平面的距离为，面正四棱柱的外接球的半径为，由勾股定理小截面圆的半径，，所以C正确；对于D，取的中点T，连接TE，易得，则TE与平面的所成的角就是AD与平面的角设为，，当点T到平面PBE即平面的距离最大时，所成角正弦最大即角最大，，由等体积法，到平面PBE即平面的距离h的最大值，当点P在点A处时的面积最小，点到平面PBE即平面的距离的最大值H，由，所以，而，所以，则的最大值为，所以D不对．故选：证明平面，推出平面平面，判断A；利用平面的基本性质判断B；设外接球的球心为O，O到平面的距离不到平面的距离的一半，推出小截面圆的半径判断取的中点T，连接TE，TE与平面的所成的角就是AD与平面的角设为，由等体积法，到平面PBE即平面的距离h的最大值，当点P在点A处时的面积最小，点到平面PBE即平面的距离的最大值H，求出结果判断本题考查直线与平面所成角，等体积法的应用，平面的基本性质的应用，平面与平面垂直的判断，是难题．13.【答案】【解析】解：由，则其通项为，令，则，或，，所以，由于，所以故答案为：根据二项式展开式通项特征，即可根据得k，r的取值，进而求解．本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图，设H为AB的中点，连接CH，则，的轨迹是以CN为直径的圆，其圆心为，半径，，由圆的性质可得，故答案为：设H为AB的中点，由垂径定理得出点H的轨迹是以CN为直径的圆，圆心为，由向量的运算可得，根据圆的性质得出即可得到答案．本题考查圆的概念，圆的几何性质，数形结合思想，属中档题．15.【答案】【解析】解：如图所示：依题意得，底面ABC的外接圆半径为，点P到平面ABC的距离为，所以，所以，设球的半径为R，所以，则，得，设球的半径为r，则，又，得，所以球的表面积为故答案为：由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解．本题考查球的表面积计算，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，通分得：，即；设，，，函数在单调递增，恒成立，得，即，设，易知函数在上单调递增，在上单调递减，所以故答案为：将函数化简成，构造同构函数，分析单调性，转化为即求解，研究函数单调性即可解决．本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，故，所以，因为，所以，即，故，即，故，，，故，，所以；，的平分线交AB于点D，故，由三角形的面积公式可得，化简得，又，，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为【解析】根据正弦定理得到，化简得到，计算得到，得到答案．根据面积公式得到，变换，展开利用均值不等式计算得到答案．本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题、18.【答案】证明：，F分别是PC，PB的中点，，平面AEF，平面AEF，平面AEF，平面ABC，平面平面，，平面平面ABC，平面平面，，平面ABC，平面平面解：是的中位线，，又，当时，，又因为，故此时，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，令平面PAQ的法向量为，则，，令，则，令平面PQB的法向量为，则，，令，则，因为，，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为【解析】证明线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，结合面面垂直证明线面垂直；根据体积关系求出边长，建系求出法向量，求出二面角即可．本题主要考查直线与平面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．19.【答案】解：若全款购置，则25万元10年后的价值万元，若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为万元，因此，付全款较好．由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，，记，，则①，②，①-②作差可得：，整理得到：万元【解析】分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案．设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，，由错位相减法即可求出本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．20.【答案】解：由题意，，又因为，故，即，解得舍负设椭圆的方程为由题意知双曲线的方程为联立，的方程，解之得不失一般性，可设A在第一象限，所以点，，同理，，，，同理，，因为的离心率为，则，的离心率为，则，又，所以【解析】由题意列式，构造齐次式得，求解即可．联立，的方程点A，再求三边应用余弦定理可得，同理得到，计算可得．本题主要考查椭圆的性质，双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意，该单个样本的交叉嫡损失函数：根据定义，该三阶变量的绝对值误差为记事件A：chatGPT中输入的语法无错误；事件B：chatGPT中输入的语法有错误；事件C：chatGPT的回答被采纳．依题意：，，，，所以【解析】根据交叉嫡损失函数，将数据代入求值即可；根据绝对值误差MAE的定义及公式化简证明；利用条件概率公式及全概率公式求解即可．本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由题意，当时，设，则，，令，得舍负在上单调递减，在上单调递增，根据题意t的取值范围为设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，，，代入，得问题转化为：关于x的方程有解，设，则函数有零点，，当时，，，问题转化为：的最小值小于或等于，设，则当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，由知，故，设，则，故在上单调递增，，当时，，的最小值等价于又函数在上单调递增，【解析】设，用导数法解即可；设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，可得，化简得到，然后将问题转化为关于x的方程有解求解．本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．。

圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF1+S△OPN S △OF 2N 为定值.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y1,Q x2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2x1-x2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A2,3；②该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；③点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1⊥PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合，过点P4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M m,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=m m>2交于点M，若直线MB，MF，MA的斜率k MB，k MF，k MA构成等差数列，求m的值.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x=12，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1，F2，F1F2=2，面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程；(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，△ABF2的周长为8.(1)若△ABF2的面积为1227，求直线AB的方程；(2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.10(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.11(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是4,且过点B0,1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：y=k x+2交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.14(2022届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.15(2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为2,两准线间的距离为26 3.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.16(2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C1:x24+y23=1,椭圆C2:y29+x24=1,A-2,0、B2,0.P为椭圆C2上动点且在第一象限,直线PA、PB分别交椭圆C1于E、F两点,连接EF交x轴于Q点.过B点作BH交椭圆C1于G,且BH⎳PA.(1)证明：k BF⋅k BG为定值；(2)证明直线GF过定点,并求出该定点；(3)若记P、Q两点的横坐标分别为x P、x Q,证明：x P x Q为定值.17(2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考)已知圆O ：x 2+y 2=2,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >2 的离心率为22,P 是C 上的一点,A 是圆O 上的一点,PA 的最大值为6+2.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点,PM 与圆O 相切于点N ,证明：PO 2=PM ⋅PN .18已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为8,离心率e =54.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为A 8,3 ,求直线l 的方程.圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N为定值.【解析】(1)由题意得a =2，设PF 1 ，PF 2 的长分别为m ，n ，m +n =2a =4则cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2-4c 22mn =m +n 2-4c 2-2mn 2mn =2b 2mn-1≥2b 2m +n 22-1=2b 2a2-1，当且仅当m=n 时取等号，从而2b 2a 2-1=12，得b 2a 2=34，∴b 2=3，则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)得F 1-1,0 ，F 21,0 ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线PM 的方程为x =x 0+1y 0y -1，直线PN 的方程为x =x 0-1y 0y +1，由x =x 0+1y 0y -1x 24+y 23=1，得3x 0+1 2y 02+4 y 2-6x 0+1 y 0y -9=0，则y 0y 1=-93x 0+1 2y 02+4=-9y 023x 0+1 2+4y 02=-9y 023x 02+4y 02+6x 0+3=-3y 022x 0+5，∴y 1=-3y 02x 0+5，同理可得y 2=-3y 05-2x 0，所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N =12OF 1 y 0 12OF 1 y 1 +12OF 2y 0 +y 2 12OF 2 y 2 =-y 0y 1+y 0y 2+1=-y 0-3y 02x 0+5+y 0-3y 05-2x 0+1=133.所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N 为定值133.2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由已知得b =1，c =1，所以a =2，椭圆的方程为y 22+x 2=1，当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1⋅x 2=-1k 2+2，∴CD =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+22+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时，AC ⎳BD ，不符合题意，当l 与x 轴不垂直时，设l ：y =kx +t ，则P -tk ,0 ，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1 得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0，∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2，x 1x 2=t 2-22+k 2，又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1)，直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1)，由y =y2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1) 可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1)，即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1)，kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1)，kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ，k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ，k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2，4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k 2-k x 2-x 1 ，即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ，得x =-k t，∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ，∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1，所以OP ⋅OQ=1为定值.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】(1)∵椭圆离心率e =c a =22，∴c 2=12a 2，则b 2=a 2-c 2=12a 2，当C 为椭圆右焦点时，PC =b 2a =12a ；∵S △PAC =2S △POC =2×12c ⋅12a =12ac =24a 2=2，解得：a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1.(2)由题意可设直线AP :y =kx k >0 ，P x 0,kx 0 ，B x 1,y 1 ，则A -x 0,-kx 0 ，C x 0,0 ，∴k AC =kx 0x 0+x0=k2，∴直线AC :y =k2x -x 0 ；由y =k 2x -x 0x24+y22=1得：k 2+2 x 2-2k 2x 0x +k 2x 20-8=0，∴-x 0+x 1=2k 2x 0k 2+2，则x 1=2k 2x 0k 2+2+x 0，∴y 1=k 2x 1-x 0 =k 22k 2x 0k 2+2+x 0-x 0=k 3x 0k 2+2，∴B 2k 2x 0k 2+2+x 0,k 3x 0k 2+2；∴PB =2k 2x 0k 2+2,-2kx 0k 2+2，又PA =-2x 0,-2kx 0 ，∴PA ⋅PB =-2x 0⋅2k 2x 0k 2+2+-2kx 0 ⋅-2kx 0k 2+2=0，则PA ⊥PB ，∴∠APB 为定值90°.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点坐标为x 0,y 0 ，AB :y =32x +m 所以有x 0=x 1+x 22y 0=y 1+y 22，联立x 24+y 29=1y =32x +m，得9x 2+6mx +2m 2-18=0，得Δ=6m 2-4×92m 2-18 >0，得m 2<18，由韦达定理可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以y 1+y 2=32x 1+m +32x 2+m =32x 1+x 2 +2m =m ，所以x 0=-m 3y 0=m 2，化简得：y 0=-32x 0，所以线段AB 的中点在直线y =-32x 上.(2)由题可知PA ，PB 的斜率分别为k PA =y 1-322x 1-2，k PB =y 2-322x 2-2，所以k PA +k PB =y 1-322x 1-2+y 2-322x 2-2=y 1-322 x 2-2 +y 2-322 x 1-2x 1x 2-2x 1+x 1 +2，因为y 1=32x 1+m ,y 2=32x 2+m 得k PA +k PB =3x 1x 2+m -32 x 1+x 1 -22m +6x 1x 2-2x 1+x 1 +2由(1)可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以k PA +k PB =32m 2-189 +m -32 -23m -22m +62m 2-189-2-23m+2=0，又因为P 2,322在直线l 的左上方，所以∠APB 的角平分线与y 轴平行，所以△PAB 的内切圆的圆心在x =2这条直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ,因离心率为32,则c a =32,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线F 1F 2的距离最大,则有S △F 1PF 2max =12⋅2c ⋅b =bc ,于是得bc =3,又a 2=b 2+c 2,联立解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1.(2)由(1)知,点F 23,0 ,当直线斜率存在时,不妨设l :y =k (x -3),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k (x -3)x 2+4y 2=4消去y 并整理得,(1+4k 2)x 2-83k 2x +12k 2-4=0,x 1+x 2=83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k2,假定在x 轴上存在定点Q 满足条件,设点Q (t ,0),则QA ⋅QB=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+k 2(x 1-3)(x 2-3)=(1+k 2)x 1x 2-(3k 2+t )(x 1+x 2)+t 2+3k 2=(1+k 2)⋅12k 2-41+4k 2-(3k 2+t )⋅83k 21+4k 2+t 2+3k2=(4t 2-83t +11)k 2+t 2-41+4k 2,当t 2-4=4t 2-83t +114,即t =938时,QA ⋅QB =t 2-4=-1364,当直线l 斜率不存在时,直线l ：x =-3与椭圆C 交于点A ,B ,由对称性不妨令A 3,12 ,B 3,-12,当点Q 坐标为938,0时,QA =-38,12 ,QB =-38,-12 ,QA ⋅QB =-38,12⋅-38,-12 =-1364,所以存在定点Q 938,0,使得QA ⋅QB 为定值-1364.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 代入圆锥曲线方程作差,得到关于y 1-y 2x 1-x 2,x 1+x 2,y 1+y 2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±bax ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得ba=3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 23,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1 ,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．【解析】(1)由题意可得b =3e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得a =2b =3c =1，故椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)λ+μ为定值-83，理由如下：由(1)可得F 1,0 ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y =k x -1 ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则M 0,-k ，联立方程y =k x -1x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，则Δ=-8k 2 2-44k 2+3 4k 2-12 =144k 2+1 >0,x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3，MP =x 1,y 1+k ,PF =1-x 1,-y 1 ,MQ =x 2,y 2+k ,QF=1-x 2,-y 2 ，∵MP =λPF ，MQ =μQF ，则x 1=λ1-x 1 x 2=μ1-x 2 ，可得λ=x11-x 1μ=x 21-x2，λ+μ=x 11-x 1+x 21-x 2=x 1+x 2 -2x 1x 21-x 1+x 2 +x 1x 2=8k 24k 2+3-24k 2-12 4k 2+31-8k 24k 2+3+4k 2-124k 2+3=-83(定值).2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可知2a =4,a =2，则椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 即x 24+y 2b 2=1，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23，故设P x 0,22x 0 ，∴x 20+22x 0 2=3，解得x 20=2，将P x 0,22x 0 代入x 24+y 2b 2=1得x 024+x 022b 2=1，即24+22b2=1，故b 2=2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P (x 0,y 0),x 0∈[-2,2]，则Q (-x 0,-y 0)，则x 204+y 202=1,∴x 20+2y 20=4，由椭圆方程x 24+y 22=1可得A (-2，0)，∴直线PA 方程为︰y =y 0x 0+2(x +2)，令x =0可得M 0,2y 0x 0+2，直线QA 方程为：y =y 0x 0-2(x +2)，令x =0得N 0,2y 0x 0-2，假设存在定点T ，使得∠MTN =90°，则定点T 必在以MN 为直径的圆上，以MN 为直径的圆为x 2+y -2x 0y 0x 02-42=16y 02x 20-42,即x 2+y 2-4x 0y 0x 20-4y +4y 20x 20-4=0，∵x 20+2y 20=4，即x 20-4=-2y 20,∴x 2+y 2+2x 0y 0y -2=0，令y =0，则x 2-2=0，解得x =±2，∴以MN 为直径的圆过定点(±2,0)，即存在定点T (±2,0)，使得∠MTN =90°．3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22-x 2=1的焦点重合，过点P 4,0 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点.【解析】(1)由双曲线y 22-x 2=1得焦点0,±3 ，得b =3，由题意可得b =3a 2=b 2+c 2e =c a =12 ，解得a =2，c =1，故椭圆C 的方程为；x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =k x -4 ，点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则点E x 2,-y 2 .由y =k x -4x 24+y 23=1，得4k 2+3 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，Δ=32k 2 2-44k 2+3 64k 2-12 >0，解得-12<k <12，从而x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2-124k 2+3，直线AE 的方程为y -y 1=y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 ，令y =0得x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2，又∵y 1=k x 1-4 ，y 2=k x 2-4 ，则x =kx 1x 2-4 +kx 2x 1-4 k x 1-4 +k x 2-4 =2x 1x 2-4x 1+x 2x 1+x 2-8，即x =2⋅64k 2-124k 2+3-4⋅32k 24k 2+332k 24k 2+3-8=1，故直线AE 与x 轴交于定点1,0 .4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1经过点2,-3 ，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2，是否存在x 轴上的定点M m ,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率±b a =±3或±33，即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时，由4a 2-9b 2=1得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时，方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ，假设存在定点M m ,0 满足题意，则MA ⋅MB =0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l :y =k x -2 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0，∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0，整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0，由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时，MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l :x =2，则A 2,3 ，B 2,-3 ，当M -1,0 时，MA =3,3 ，MB =3,-3 ，∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，l :y =0，则A -1,0 ，B 1,0 ，∵M m ,0 ，∴MA =-1-m ,0 ，MB=1-m ,0 ，∴MA ⋅MB=m 2-1=0，解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ，∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2+m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1，即m =-1时，MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P 到定直线x =4的距离，是它与定点F 1,0 的距离的两倍.(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)过F 点作两条互相垂直的直线l 1，l 2(直线l 1不与x 轴垂直).其中，直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，直线l 2交曲线C 于E ，N 两点，直线l 2与直线x =m m >2 交于点M ，若直线MB ，MF ，MA 的斜率k MB ，k MF ，k MA 构成等差数列，求m 的值.【解析】(1)设点P x ,y ，由题，有PFx -4 =12，即x -1 2+y 2x -4=12，解得3x 2+4y 2=12，所以所求P 点轨迹方程为x 24+y 23=1(2)由题，直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y =k x -1 ，与曲线C 联立方程组得y =k x -1x 24+y 23=1，解得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则有x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3依题意有直线l 2的斜率为-1k ，则直线l 2的方程为y =-1k x -1 ，令x =m ，则有M 点的坐标为m ,-m -1k，由题，k MF =m -1k 1-m =-1k ，k MA +k MB =y 1+m -1kx 1-m+y 2+m -1kx 2-m=y 1x 1-m +y 2x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k x 1-1 x 1-m +k x 2-1 x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k ×2x 1x 2-1+m x 1+x 2 +2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2+1k ×m -1 x 1+x 2-2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2=k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2，因为2k MF =k MA +k MB ，所以k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2=-2k解得m -4 k 2+1 =0，则必有m -4=0，所以m =4.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l :x =12，点M 到l 的距离为d ，若点M 满足|MF |=2d ，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)过点F (2,0)且斜率不为0的直线与C 交于P ，Q 两点，设A (-1,0)，证明：以P ，Q 为直径的圆经过点A ．【解析】(1)设点M x ,y ，则d =x -12,MF =(x -2)2+y 2，由MF =2d ，得(x -2)2+y 2=2x -12，两边平方整理得3x 2-y 2=3，则所求曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)设直线m 的方程为x =ty +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程x =ty +2,3x 2-y 2=3，消去x 并整理得3t 2-1 y 2+12ty +9=0,，因为直线m 与C 交于两点，故t ≠±33，此时Δ=(12t )2-43t 2-1 ⋅9=36t 2+1 >0，所以y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，而x 1+x 2=t y 1+y 2 +4,x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4.又AP =x 1+1,y 1 ,AQ=x 2+1,y 2 ，所以AP ⋅AQ=x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+93t 2-1-36t 23t 2-1+9=9-3t 2+1 3t 2-1+9=0.所以AP ⊥AQ ，即以P ，Q 为直径的圆经过点A .7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2 =2，面积为487的正方形ABCD 的顶点都在M 1上.(1)求M 1的方程；(2)已知P 为椭圆M 2:x 22a 2+y 22b 2=1上一点，过点P 作M 1的两条切线l 1和l 2，若l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x ,x ，由x 2a 2+x 2b 2=1，得x 2=a 2b 2a 2+b 2，所以2a 2b 2a 2+b 2×2a 2b 2a 2+b2=487，整理得12a 2+b 2 =7a 2b 2.①又a 2-b 2=F 1F 222=1，②由①②解得a 2=4，b 2=3，故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)由已知及(1)可得M 2:x 28+y 26=1，设点P x 0,y 0 ，则y 20=61-x 208.设过点P 与M 1相切的直线l 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，与x 24+y 23=1联立消去y 整理可得4k 2+3 x 2+8k y 0-kx 0 x +4y 0-kx 0 2-3 =0，令Δ=8k y 0-kx 0 2-4×4k 2+3 ×4y 0-kx 0 2-3 =0，整理可得x 20-4 k 2-2kx 0y 0+y 20-3=0，③根据题意k 1和k 2为方程③的两个不等实根，所以k 1k 2=y 20-3x 20-4=61-x 28 -3x 20-4=-34x 20-4 x 20-4=-34，即k 1k 2为定值-34.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1(-1,0)且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，△ABF 2的周长为8.(1)若△ABF 2的面积为1227，求直线AB 的方程；(2)过A ,B 两点分别作直线x =-4的垂线，垂足分别是E ,F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.【解析】(1)因△ABF 2的周长为8，由椭圆定义得4a =8，即a =2，而半焦距c =1，又a 2=b 2+c 2，则b 2=3，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，依题意，设直线AB 的方程为x =my -1，由x =my -13x 2+4y 2=12消去x 并整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m 3m 2+42+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，因此S △F 2AB =12F 1F 2 ⋅y 1-y 2 =12×2×12m 2+13m 2+4=1227，解得m =±1，所以直线AB 的方程为x -y +1=0或x +y +1=0.(2)由(1)知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则E -4,y 1 ，F -4,y 2 ，设直线EB 与AF 交点为M (x ,y )，则FA =(x 1+4,y 1-y 2),FM =(x +4,y -y 2)，EB =(x 2+4,y 2-y 1),EM =(x +4,y -y 1)，而FA ⎳FM ，EB ⎳EM ，则(x +4)(y 1-y 2)=(y -y 2)(x 1+4)，(x +4)(y 2-y 1)=(y -y 1)(x 2+4)，两式相加得：y (x 1+x 2+8)-y 2(my 1+3)-y 1(my 2+3)=0，而x 1+x 2+8>0，则y (x 1+x 2+8)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ⋅-93m 2+4+3⋅6m3m 2+4=0，因此y =0，两式相减得：2(x +4)(y 1-y 2)=-y 2(x 1+4)+y 1(x 2+4)=-y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)=3(y 1-y 2)，而y 1-y 2≠0，则x =-52，即M -52,0 ，所以直线EB 与AF 交于定点M -52,0 .9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.【解析】(1)由题意得2c =4，得c =2，所以a 2+b 2=4，因为点P 2,33在双曲线上，所以4a 2-13b 2=1，解得a 2=3,b 2=1，所以双曲线方程为x 23-y 2=1，(2)F (-2,0)，设直线l 1方程为y =k 1(x +2)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由y =k 1(x +2)x 23-y 2=1，得(1-3k 12)x 2-12k 12x -12k 12-3=0则x 1+x 2=12k 121-3k 12,x 1x 2=-12k 12-31-3k 12，所以x 1+x 22=6k 121-3k 12，所以AB 的中点M 6k 121-3k 12,2k 11-3k 12，因为k 1⋅k 2=-1，所以用-1k 1代换k 1，得N 6k 12-3,-2k 1k 12-3，当6k 121-3k 12=61-3k 12，即k 1=±1时，直线MN 的方程为x =-3，过点E (-3,0)，当k 1≠±1时，k MN =2k 11-3k 12--2k 1k 12-36k121-3k 12-6k 12-3=-2k 13(k 12-1)，直线MN 的方程为y -2k 11-3k 12=-2k 13(k 12-1)x -6k 121-3k 12，令y =0，得x =3(k 12-1)1-3k 12+6k 121-3k 12=-3，所以直线MN 也过定点E (-3,0)，所以S △OMN S △FMN =12y N-y M OE 12y M-y N FE =OE FE =310(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.【解析】(1)将点A 0,-1 代入x 23+y 2b 2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1又c 2=a 2-b 2=3-1=2,离心率e =c 2a 2=23=63(2)联立y =k x -1x 23+y 2=1,整理得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0设点E ,F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)由韦达定理得：x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ,令x =3,得y =3y 1+3x 1-1,即M 3,3y 1+3x 1-1直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ,令x =3,得y =3y 2+3x 2-1,即N 3,3y 2+3x 2-1MN =3y 2+3x 2-1-3y 1+3x 1-1=3×x 1y 2-x 2y 1+x 1-x 2x 1x 2 =3×k -1 x 1-x2x 1x 2=3×k -1x 1+x 22-4x 1x 2x 1x 22=3×k -1 ×232k 2+1k 2-1 =23×2k 2+1k +1 所以△AMN 的面积S =12×MN ×3=32×MN =33×2k 2+1k +1 =33即2k 2+1k +1 =1⇒2k 2+1=k +1 ,解得k =0或k =2所以k 的值为0或211(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长是4,且过点B 0,1 .(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l ：y =k x +2 交椭圆于P ,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意,得2a =4,b =1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =k (x +2)x 24+y 2=1,得x 2+4k 2(x +2)2-4=0,即(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,则x 1+x 2=-16k 21+4k 2,因为直线y =k x +2 恒过椭圆的左顶点(-2,0),所以x 1=-2,y 1=0,则x 2=-16k 21+4k 2+2=2-8k 21+4k 2,y 2=k (x 2+2)=4k1+4k 2,因为点B 始终在以PQ 为直径的圆内,所以π2<∠PBQ ≤π,即BP ·BQ <0,又BP =-2,-1 ,BQ=(x 2,y 2-1),则BP ·BQ=-2x 2-y 2+1<0,即4-16k 21+4k 2+4k 1+4k 2-1>0,即20k 2-4k -3<0,解得-310<k<12,所以实数k的取值范围为-310<k<12.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=p2,则C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2ac,所以4ac=42,则有ac=2ca=12a2=b2+c2,所以a=2,b=3,所以椭圆C1的方程为x24+y23=1,抛物线C2的方程为y2=8x.(2)依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,由x=ty-43x2+4y2=12,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=24t3t2+4,y1y2=363t2+4.根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).因为k NQ=k EQ,所以y2x2-m=-y1x1-m,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·363t2+4-(m+4)·24t3t2+4=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.。

高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一、二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-.若()a ab ⊥+ ，则m =__________.【答案】3-【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂直的性质建立方程，求解参数即可.【详解】因为向量()1,2a =- ，(),4b m =- ，所以()1,2a b m +=--，因为()a ab ⊥+，所以(1)40m ---=，解得3m =-.故答案为：3-13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos ,19·DB A D DB A D DB A D ==-，所以异面直线1DB 与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x =-，若函数()()()()()2121f x g x a g x a =+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a 的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x =，可得()2g x =或()1g x a =--，函数有三个零点，则需方程()1g x a =--有两个解，则=与1y a =--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x =，可得()()()()21210g x a g x a ⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a -++=，所以()2g x =或()1g x a =--，由()2g x =，又()21xg x =-，可得212x -=，解得21x =-或23x =，方程21x =-无解，方程23x =有一解，故()2g x =有一解，要使函数()()()()()2121f x g x a g x a ⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a =--有两解，即=与1y a =--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a <--<，解得21a -<<-.所以a 的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得2cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则2cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得12m -±=或0m =或2m =或14m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫-⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。

2024届湖南省郴州市桂阳县欧阳海中心校四年级数学第二学期期末检测模拟试题一、认真思考，巧填空。

（每题2分，共22分）1．在下面的里填上“>”“<”或“＝”。

0.07 6.10 6.012．在计算(650－650÷13)×18，要先算（______）法，再算（______）法，最后算（______）。

3．用3个“5”和3个“0”组成的六位数中，一个“零”都不读的最小六位数是（______），只读一个“零”的最大六位数是（______），读出两个“零”的六位数是（______）。

4．（1）飞机模型单价是65 元/ 个，260 元可以买（）个这样的模型。

（2）高速列车的速度是264 千米/ 时，照这样计算，5 小时可以行（）千米。

5．大于1而小于2的一位小数有（______）个。

0.75读作（______）；四万零七十五点六九写作（______）。

6．根据运算定律填空。

125⨯36⨯8＝____×（____×____）98⨯35＝35×100－____×____101⨯76－76＝76×____ 4.89－0.51－1.49＝4.89－（____＋____）7．在横线上填上与小数相邻的两个整数．_____＜5.3＜______._____＜760.08＜_____．8．从如图的交叉点中选一个点，记为C，使三角形ABC成为钝角三角形。

可选的点C的位置共有（______）个。

9．把5，3，0三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的是（______），最小的是（______）．10．将9.1537保留一位小数约是（______），保留两位小数约是（______）。

11．用简便方法计算404×25时，404×25＝400×25＋4×25这里运用了（_____）律，404×25＝101×(4×25)这里运用了（______）律。

2019-2020学年湖南省郴州市高三（下）第二次质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限3.函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是A. B.C. D.4.已知数列为等差数列，且，则的值为A. B. C. D.5.达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：，，其中根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于A. B. C. D.6.如图，是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则A.B. 4C. 2D.7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射“和“御“两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种A. 408B. 120C. 156D. 2408.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为A. B.C. D.9.下列结论中正确的个数是已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；若直线l上有两个不同的点到平面的距离相等，则；在中，““是“”的必要不充分条件；若，，，则ab的最大值为2．A. 1B. 2C. 3D. 010.已知函数则的值等于A. 2018B. 1009C. 1010D. 202011.设双曲线C：的左右焦点分别为，，点已知动点P 在双曲线C的右支上，且点P，E，不共线．若的周长的最小值为4b，则双曲线C 的离心率e的取值范围是A. B. C. D.12.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中，项的系数是______．14.已知数列的前n项和为，且满足，则______．15.直线与抛物线交于A、B两点，若，则弦AB的中点到直线的距离等于______．16.平行四边形ABCD中，，，，E为边CD上一点不与C、D重合将平行四边形ABCD沿BE折起，使五点A，B，C，D，E均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．Ⅰ求C；Ⅱ若，的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由．18.已知，点A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线BP交E于另一点Q，为等腰直角三角形，且：：2．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，总使得为锐角，求直线l斜率的取值范围．19.如图4，在四棱锥中，平面平面ABC，，，，．Ⅰ求证：平面ACE；Ⅱ若锐二面角的余弦值为，求直线CE与平面ABC所成的角．20.为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．Ⅰ经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望；Ⅱ若经过n轮投篮，用表示经过第i轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．求，，规定，经过计算机计算可估计得，请根据中，，值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式．21.设函数，，其中，e是自然对数的底数．Ⅰ若在上存在两个极值点，求a的取值范围；Ⅱ若，，函数与函数的图象交于，，且AB线段的中点为，证明：．22.在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为．Ⅰ写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；Ⅱ若射线与曲线C交于OA两点，射线与曲线C交于O、B两点，求面积的取值范围．23.设函数．若，求实数a的取值范围；证明：，恒成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，则，故选：B．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：D解析：解：，复数对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：由图象可知，故排除AD；又当时，，故此时的值不可能恒小于0，即选项C错误．故选：B．首先观察函数图象可知，由此可排除AD选项，而选项C显然不符合图象，由此可得出正确选项．本题考查由函数图象确定函数解析式，考查读图识图能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：数列为等差数列，且，，则，故选：B．由题意利用等差数列的性质先求出的值，再利用诱导公式、特殊角的三角函数值，得出结论．本题主要考查等差数列的性质，诱导公式、特殊角的三角函数值，属于基础题．5.答案：A解析：解：，，其中．设．则，由题意必为锐角，可得，设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．设可得，可求的值，进而得出结论．本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：如图：，D是半圆弧的两个三等分点，，且，且，；四边形AODC为平行四边形；；．故选：B．根据条件可得出，以及，；即可求得结论．本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7.答案：A解析：解：根据题意，将6门课程全排列，有种情况，其中“乐”排在第一节的排法有种，“射“和“御“两门课程相邻的排法有种，“乐”排在第一节并且“射“和“御“两门课程相邻的排法有种，则有种符合题意的排课顺序；故选：A．根据题意，由间接法分析：先计算6门课程任意排的排法数目，进而计算“乐”排在第一节、“射“和“御“两门课程相邻以及“乐”排在第一节并且“射“和“御“两门课程相邻的排法数目，据此分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用排除法分析，属于基础题．8.答案：C解析：解：根据题意，定义在R上的奇函数满足，则有，即函数的图象关于直线对称，又由在区间上是减函数，则在区间上为增函数，则，又由，则，，，，则，则有；故选：C．根据题意，分析可得，即函数的图象关于直线对称，进而可得在区间上为增函数，分析a、b、c的值，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.答案：B解析：解：由等差数列的通项公式的函数特征知正确；若线段AB的中点O在平面内时，点A、B到平面的距离相等．但此时直线AB与平面相交，不能得到，故不正确；在中，得，反之也成立，即是的充要条件，所以不正确；由知，，，，，，则ab的最大值为所以正确；正确命题的个数为2个．故选：B．逐项判断．由等差数列的函数特征易得；利用正弦定理易得；根据点到平面距离的性质结合举反例加以说明，可得的正误．根据三角函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；先平方再利用基本不等式即可；本题考查了基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．直线与平面平行的判断方法．属于中档题．10.答案：C解析：解：函数的周期，，，，，，，，，，，．故选：C．利用二倍角余弦公式将三角函数的平方降幂，利用两角和的正弦函数公式化简三角函数，利用周期公式求出函数的周期，求出一个周期内包含的函数值的和，再求出所有函数值的和即可得解．本题考查三角函数的二倍角公式、两角和的正弦函数公式、三角函数的周期公式，考查了计算能力和函数思想，属于中档题．11.答案：A解析：解：的周长为，当P，E，共线时，此时周长最小，，，．故选：A．当P，E，共线时，此时的周长的最小，即可得到，再根据离心率公式计算即可．本题考查了双曲线的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，12.答案：D解析：【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值问题，考查导数中的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．根据题意可得函数在上是单调增函数，求导，分离参数，构造函数利用导数求出最值即可．【解答】解：，又，即函数在上是单调增函数．则在恒成立．，令，则，时，单调递减，时，单调递增，，．故实数a的取值范围为故选：D．13.答案：240解析：解：的展开式中，通项公式为：；令，解得，展开式中含项的系数是．故答案为：240．根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3即可求展开式中含项的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．14.答案：解析：解：，可得时，，时，，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．故答案为：．利用已知条件求出首项，推出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力．15.答案：解析：解：如图，直线过定点，而抛物线的焦点F为，弦AB的中点到准线的距离为，则弦AB的中点到直线的距离等于．故答案为：．由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦AB的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB的中点到直线的距离．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．16.答案：解析：解：由题意，A，B，E，D四点共圆，，可知，从而知道底面ABED是等腰梯形，因为，，可得ABD是直角三角形，ABE也是直角三角形，所以底面ABED的外接圆心在AB中点上，，是等腰三角形．当四棱锥体积最大时，即垂直底面ABED时最大值，此时高为，设球心与圆心的距离为d，可得，解得，球的表面积，故答案为．由题意，A，B，E，D四点共圆，，可知，从而知道底面ABED是等腰梯形，是等腰三角形．当四棱锥体积最大时，即垂直底面ABED时最大值，从而即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.答案：解：Ⅰ中，由，得，由正弦定理得；所以，又，所以；Ⅱ当时，的周长有最大值，且最大值为3，理由如下：由正弦定理得，，所以，，所以；因为，所以，所以当，即时，取得最大值为2，所以的周长有最大值，最大值为3．解析：Ⅰ由题意，利用正弦定理和余弦定理，即可求出cos C和C的值；Ⅱ时的周长有最大值，利用正弦定理和三角恒等变换，即可求出周长的最大值．本题考查了三角恒等变换以及解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18.答案：解：Ⅰ根据题意是等腰直角三角形，，，设，由：：2，得，则，代入椭圆方程得，椭圆E的方程为：；Ⅱ根据题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：，设，，联立方程，消去y得：，，解得，且，，为锐角，则，，，，即，，由得或，故直线l斜率的取值范围为：．解析：Ⅰ根据题意可知，，由：：2，得，可求出点Q的坐标，代入椭圆方程可求出b的值，从而得到椭圆E的方程；Ⅱ设，，根据题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：，与椭圆方程联立，由得到，再利用韦达定理代入，得，由即可求出k的取值范围．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．19.答案：解：Ⅰ证明：在中，，，，，平面平面ABC，平面平面，平面BCDE，，，，平面ACE．Ⅱ解：在平面BCDE中，过点E作于点O，则平面ABC，如图，建立空间直角坐标系，设，，，，则，0，，0，，，0，，设平面ABE的法向量y，，则，取，得1，，平面ABC的一个法向量0，，，，解得，，直线CE与平面ABC所成的角为，直线CE与平面ABC所成的角大小为．解析：Ⅰ推导出，从而平面BCDE，进而，再由，能证明平面ACE．Ⅱ在平面BCDE中，过点E作于点O，则平面ABC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABC所成的角大小．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：Ⅰ的可能取值为，0，1；；．的分布列为：X01P期望．Ⅱ由Ⅰ知，经过两轮投球，甲的累计得分高的有两种情况：一是甲两轮都得分；二是两轮甲一轮得0分，另一轮得1分，．经过三轮投球，甲累计得分高有四种情况：；；；．将，，，的值分别代入将整理后得结果得，．所以，即又，所以是首项、公比都是的等比数列．所以，所以．解析：Ⅰ先确定随机变量X的所有的可能取值，然后分别算出概率，可求出分布列，则期望可求；Ⅱ采用列举法，将甲得分比乙得分高的情况按，，分析出来，然后计算概率即可；将中结果代入递推式，解出a，b，c，就可以得到，，这三项的关系式，结合数列的递推关系式可以得到是个等比数列，问题获解．本题是一道应用题，主要是考查了离散型随机变量分布列、期望等的求法，关键是要弄清楚随机变量的具体含义．21.答案：解：Ⅰ由题意可知，，令，则在上存在两个极值点等价于在上有两个不等实根，由可得，令，则，令，则，当时，，故函数在上单调递减，且，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，是的极大值也是最大值，，，又当时，，当时，大于0且趋向于0，要使在有两个根，则；Ⅱ证明：由题意可得，，要证成立，只需证，即，设，即证，要证，只需证，令，则，在上为增函数，，即成立；要证，只需证，令，则，在上为减函数，，即成立；成立，即成立．解析：Ⅰ求导，依题意，导函数满足在上有两个不等实根，转化可得，构造函数，利用导数可知，且由的趋近性可求得实数a的取值范围；Ⅱ问题转化为证明，通过换元令，即证，再分别证明即可．本题考查胡利用导数研究函数的极值以及不等式的证明问题，考查分析法在证明不等式中的运用，考查推理论证能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ由曲线C的参数方程为为参数，则曲线C的普通方程为，曲线C为以为圆心，以为半径的圆，曲线C的极坐标方程为，化简得．Ⅱ令，，．，，，，面积的取值范围．解析：Ⅰ先将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程．Ⅱ根据交点代入求出，再代入面积公式即可．本题考查参数方程，几种方程的转化，以及求面积，属于难题．23.答案：解：，，可化为：，由绝对值的几何意义得：或；证明：要证恒成立，即证恒成立，也就是证明恒成立．的最大值为2，即证，成立，故原结论成立证毕．解析：依题意，得，利用绝对值的几何意义可得答案；利用分析法证明，证明过程中注意双绝对值不等式的应用及基本不等式的应用．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查绝对值的几何意义的应用，考查分析法证明不等式，属于中档题。

初中学业水平质量监测九年级数学一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的选项中，选出符合题目的一项）1.下列是无理数的是？（）A.12024 B.0 C. D.3.14-【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．A、12024是有理数，不符合题意；B、0是整数，属于有理数，不符合题意；CD、 3.14-是有理数，不符合题意；故选：C．2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，结合选项分析即可．A、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；B 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为与原图重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；C 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；D 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；故选B ．3.下列运算中，正确的是（）A.22a a ÷= B.()326a a -=C.235a a a ⋅= D.()2224a a -=-【答案】C【解析】【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式等知识，根据以上知识正确化简计算是解题的关键.根据同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，以及完全平方公式解答即可．解：A ．2a a a ÷=，原计算错误，故此选项不符合题意；B ．()326a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C ．235a a a ⋅=，原计算正确，故此选项符合题意；D ．()22244a a a -=-+，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．4.2024年1月26日，湖南省文化和旅游厅发布，2023年湖南全省接待旅游总人数约658000000人次．其中658000000用科学记数法表示为（）A.865810⨯B.765.810⨯C.96.5810⨯D.86.5810⨯【答案】D【解析】【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于10的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数位数减，据此即可解答．解：8658000000 6.5810=⨯．故选：D5.如图，直线AB CD ，AC DE ∥，47A ∠=︒，则D ∠的度数是（）A 47︒B.53︒C.133︒D.43︒【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线的性质等知识，根据AB CD 得到47ACD A ∠=∠=︒，根据AC DE ∥，即可求出47D ACD ∠=∠=︒．解：∵AB CD ，47A ∠=︒，∴47ACD A ∠=∠=︒，∵AC DE ∥，∴47D ACD ∠=∠=︒．故选：A6.某校足球队20名队员年龄分布情况如下表：年龄（岁）12131415人数（人）3872则该队队员年龄的众数、中位数分别是（）A.15，13.5B.15，13C.13，13.5D.13，13【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个，据此求解即可．解：把这20名队员的年龄从低到高排列，处在第10名和第11名的年龄分别为13岁，13岁，∴中位数为1313132+=，∵年龄为13岁的人数最多，∴众数为13，故选：D ．7.关于x 的一元二次方程230x kx --=（k 为常数）根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式等知识点，先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到0∆>，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．∵()()2Δ43k =--⨯-2120k =+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．8.对于某个二次函数，两位同学探究了它的图像和性质，下图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，则下列结论中错误的是（）A.0a > B.0b > C.0c > D.240b ac ->【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据图象经过()0,2可判断C ，结合抛物线顶点在第四象限可判断A ，B ，D ．解：∵图象经过()0,2，∴20c =>，故C 正确；∵抛物线顶点在第四象限，∴0a >，240b ac ->，02b a->，故A ，D 正确；∴0b <，故B 不正确．故选C ．9.如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒．若8AC =，则菱形ABCD 的周长为（）A.32B.C.16D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，只需要证明ABC 是等边三角形求出8AB AC ==即可得到答案，证明ABC 是等边三角形是解题的关键．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC ∥，AB BC CD AD ===，∴180B BAD ∠+∠=°，∵120BAD ∠=︒，∴=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∴8AB AC ==，∴菱形ABCD 的周长432AB ==，故选：A ．10.如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表100m ，以点O 为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点O 处用雷达发现A ，B 两处鱼群，那么A ，B 两处鱼群的距离是（）A.5mB.400mC.500mD.300m【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出90AOB ∠=︒及OA 、OB 后即可根据勾股定理求解．解：如图，连接AB ，数轴交点为O ，由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为36012390︒÷⨯=︒，90AOB ∴∠=︒，又个单位长度代表100m ，300m OA ∴=，400m OB =，∴根据勾股定理可得，Rt AOB ∴ 中，22500m AB OA OB =+=．故选：C ．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.函数y =x 的值___________．【答案】2（答案不唯一，满足1x >的实数即可）【解析】【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件，求出x 的取值范围，即可求解．解：根据题意得：10x ->，解得：1x >，∴一个符合条件整数x 的值是2．故答案为：2（答案不唯一，满足1x >的实数即可）12.计等：202413tan 30-+︒=___________．【答案】1-+【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数，是基础知识比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．首先利用乘方、特殊角的三角函数值对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：202413tan30︒-+3133=-+⨯1=-故答案为：1-+13.如图，ABC 中，边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，设DEF 和ABC 的而积分别为1S ，2S ，则12S S =_____．【答案】1:4【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线性质，根据中位线可得12DE DF EF AC BC AB ===，从而DEF CBA ∽，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．∵边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，∴DE ，EF ，DF 是ABC 的中位线，∴12DE AC =，12EF AB =，12DF BC =，∴12DE DF EF AC BC AB ===，∴DEF CBA ∽，∴2121124S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：1:4．14.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为___________．【答案】2200(1)162x -=【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设平均每次降价的百分率是x ，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．设平均每次降价的百分率是x ，根据题意，得：根据题意，得：2200(1)162x -=，故答案为：2200(1)162x -=．15.如图，CD 为O 的直径，点D 平分 AB ．若28C ∠=︒，则CDB ∠=___________度．【答案】62【解析】【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的特征，连接BC ，根据点D 平分 AB ，得到 AD BD=，由同弧所对圆周角相等得到28BCD ACD ∠=∠=︒，根据CD 为O 的直径，得90CBD ∠=︒，由直角三角形的特征即可求解．解：连接BC ，点D 平分 AB ，28C ∠=︒，∴ AD BD=，∴28BCD ACD ∠=∠=︒，CD 为O 的直径，∴90CBD ∠=︒，9062CDB BCD ∴∠=︒-∠=︒，故答案为：62．16.为践行《环保宣言》，某校开展中小学生主题演讲比赛，如图是7位评委对甲、乙两位参赛选手的打分情况，通过折线图发现7位评委对___________选手在演讲比赛中的表现评价更一致．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】本题主要考查了折线统计图、方差等知识点，根据方差的意义求解即可，熟练掌握方差的意义是解决此题的关键．由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以7位评委评价更“一致”的是乙组，故答案为：乙．17.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是___________2cm （结果保留π）．【答案】24π【解析】【分析】本题考查了圆锥成面积公式，利用圆锥侧面积公式πS rl =侧（其中r 是底面圆半径，l 是母线）求解即可．解：根据题意，得几何体的侧面积是26824πcm 2π⨯⨯=，故答案为：24π．18.如图，点(3,)A a -在双曲线6(0)y x x =-<上，作直线OA 交双曲线(0)k y x x =<于点B ，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，连接BC ．已知ABC 的面积为1，那么k =________．【答案】323-【解析】【分析】本题考查已知图形的面积求k 值，先求出A 点坐标进而求出OA 的解析式，过点B 作BD y ⊥轴，延长CA 交BD 于点E ，根据三角形的面积公式，求出B 点坐标，即可得出k 值．解：点(3,)A a -在双曲线6(0)y x x =-<上，∴36a -=-，∴2a =，∴(3,2)A -设直线OA 的解析式为y mx =，则：23m =-，∴23m =-，∴23y x =-，设2,3B n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点B 作BD y ⊥轴，延长CA 交BD 于点E ，则：∵AC x ⊥轴，∴CE BD ⊥，∴四边形OCED 为矩形，∵(3,2)A -，∴2AC =，3DE OC ==，∵112122ACB S AC BE BE =⋅=⨯= ，∴1BE =，∴4BD =，∴n =-4，∴84,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴832433k =-⨯=-．故答案为：323-．三、解答题（本大题共8小题，第19−20题每小题6分，第21−22题每小题8分，第23−24题每小题9分，第25−26题每小题10分，共66分）19.解方程：()()135x x -+=【答案】124, 2.x x =-=【解析】【分析】把一元二次方程化为方程的一般形式，再按因式分解的方法解方程即可．解：()()135x x -+= ，2280x x ∴+-=(4)(2)0,x x ∴+-=124, 2.x x ∴=-=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用十字乘法分解因式是解题的关键．20.先化简，再求值：22341244x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中2x =【答案】12x x --；222【解析】【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式化简计算，根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可．解：22341244x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭223(2)2(2)(2)x x x x x +-+=⋅++-21(2)2(2)(2)x x x x x -+=⋅++-12x x -=-，当2x =+时，上式22+==．21.某校为摸底九年级学生排球垫球成绩，现从九年级学生中这机抽取若下名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的不完整的统计图表，根据信息回答下列问题：等级排球垫球数（次）人数A 30x >20B20x30<≤40C1020x<≤mD010x≤≤8（1）m=______，扇形统计图中，“B”所对应的扇形圆心角的度数为______度；（2）若该校九年级共有1200名学生，请你估计垫球数超过20次的学生人数．（3）从垫球成绩优秀的两男两女4名学生中，随机抽取2名学生为九年级学生演示垫球动作，请用树状图法或列表法求选中的两名学生恰好是一男一女的概率．【答案】（1）32，144（2）720人（3）2 3【解析】【分析】本题考查了扇形统计图基础及其应用，样本估计总体，根据表格获取信息是解题的关键，（1）用A 组的人数除以该组所占的百分比，求得九年级学生中随机抽取的学生人数，再用总人数减去其他组的人数即可求解；（2）根据样本估计总体的定义，结合统计表即可求解；（3）根据题意列出表格，再根据概率的计算公式，即可得到答案．【小问1】解：由题可得：从九年级学生中随机抽取的学生人数为：2020%100÷=（人），∴1002040832m=---=，∵等级B的人数为：40100%40% 100⨯=∴40%360144⨯︒=︒，故答案为：32，144．【小问2】解：4020 1200720100+⨯=（人）答：排球垫球数超过20次的学生人数是720人．【小问3】解：设两名男生分别为A ，B ，两名女生分别为a ，b ，则用列表法表示为：A B a b A AB Aa AbB BA Ba Bba aA aB abb bA bB ba∴P （两名学生恰好是一男一女)82123==．22.在矩形ABCD 中．（1）尺规作图：作对角线AC 的垂直平分线，分别交AD BC ，于点E ，F （保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）已知3AB =，4BC =，求CF 的长．【答案】（1）见解析（2）258CF =【解析】【分析】本题考查了作线段垂直平分线，矩形的性质，勾股定理．（1）根据题意作出图形即可；（2）在Rt ABF 中，利用勾股定理列式即可求解．【小问1】解：所作图形如图所示，；【小问2】解：连接AF ．设CF x =，则4BF x=-EF 是AC 的垂直平分线，FA CF x ∴==．在Rt ABF 中，由勾股定理得：222AB BF AF +=，2223(4)x x +-=，解得258x =．258CF ∴=．23.小明一家为践行“低碳生活，绿色出行”，决定以骑行的方式去湖边游玩．已知小明骑单人自行车的速度比爸爸妈妈骑双人自行车速度快3km/h ，小明骑行12km 与爸爸妈妈骑行10km 的时间相同．（1）小明骑单人自行车的速度是多少km/h ？（2）某自行车租赁商店计划购买单人自行车和双人自行车共40辆，已知每辆单人自行车和双人自行车的单价分别为200元、360元，若总费用不超过10000元，则该商店最多．．可购买多少辆双人自行车？【答案】（1）18km /h（2）12辆【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键．（1）设小明骑单人自行车的速度是km /h x ，根据“小明骑行12km 与爸爸妈妈骑行10km 的时间相同”列分式方程求解即可；（2）设该商店购买m 辆双人自行车，根据“总费用不超过10000元”列不等式求解即可．【小问1】解：设小明骑单人自行车的速度是km /h x ，12103x x ∴=-，18x ∴=经检验：18x =是原方程的解且符合题意；答：小明骑单人自行车的速度是18km /h ；【小问2】解：设该商店购买m 辆双人自行车，则200(40)36010000m m -+≤，12.5m ∴≤m 是正整数，m ∴最大值为12，答：该商店最多可购买12辆双人自行车．24.某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案．请阅读材料，完成下列问题．甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1）如图2，甲同学目高AB （眼睛到地面距离）1.60米，站在距离旗杆CD 底部(0)m m >米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点C 的仰角()090αα︒<<︒，通过计算求出旗杆CD 的高度．（1）请用含有m ，α的代数式表示旗杆CD 的高度=________米．为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表．序号离旗杆CD 底部距离（单位：米）仰角旗杆CD 的高度（单位：米）①1050︒13.52②1539︒13.75③2041︒1899.④2526︒1379.⑤3022︒13.72（2）观察上表数据并判定第_________组数据测量有误．（从“①，②，③，④，⑤”中选填）（3）乙同学计划用自制的立角三角板AFG （两锐角大小不确定）和卷尺测量．如图3，乙同学目高AB （1.60米），他调整位置，设法使斜边AG 保持水平，边AF 与旗杆顶点C 在同一直线上．请你帮助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a ，b ，c …表示，求旗杆CD 的高度（用含有a ，b ，c …的代数式表示）．【答案】（1）tan 1.6m α⋅+（2）③（3）1.6bc a +【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．（1）过点A 作AE CD ⊥于点E ，解直角三角形，求出CE 即可得出答案；（2）根据表格中的数据进行判断即可；（3）证明AFG AEC ∽，得出AF FG AE CE =，bc CE a=米，即可得出答案．【小问1】解：过点A 作AE CD ⊥于点E ，如图所示：根据题意可知，四边形ABDE 为矩形，∴AE BD m ==米，16.DE AB ==米，在Rt ACE 中，tan CE AEa =，∴tan ·tan CE AE m αα=⨯=米，∴()·tan 1.6CD CE DE m α=+=+米；【小问2】解：因为距离旗杆底部越远，α的度数越小，所以根据表格中的数据可知，第③组数据测量有误；【小问3】解：需测量的线段AF a =米，FG b =米，BD c =米，由题可知，四边形ABDE 是矩形，AE BD c ==米，90AFG AEC ︒∠=∠= ，CAE GAF ∠=∠，AFG AEC ∴△∽△，AF FG AE CE ∴=，a b c CE ∴=，bc CE a∴=（米），1.6 1.6bc CD CE a∴=+=+（米）答：旗杆CD 的高度为 1.6bc a ⎛⎫+⎪⎝⎭米．25.如图，ABC 内接于O ，AB 为直径，OF AC ⊥于点F ，延长OF 交O 于点E ，过E 作O 的切线ED ，与BC 的延长线交于点D ，连接EB 交AC 于点G ，连接CE ．（1）求证：四边形EFCD 为矩形；（2）求证：2CE EG EB =⋅；（3）若2CG GF m=（m 为常数），求sin CEB ∠（用含m 的代数式表示）．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）1sin 1CEB m ∠=+【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明即可；（2）由垂径定理得 AE CE=，从而ACE EBC ∠=∠，然后证明GCE CBE △∽△即可证明结论成立；（3）证明GCB GFE △∽△得2CG BC GF EF m==，设2BC a =，EF ma =，由三角形中位线的性质得12FO BC a ==，可求(1)AO OE a m ==+，求出1sin 1FO A AO m ==+，再证明CEB A ∠=∠即可．【小问1】OF AC ⊥ 于点F ，90EFC ∴∠=︒（垂直的性质）．AB 为直径，90ACB ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），90DCF ∠=︒．ED 为O 的切线，90DEO ∴∠=︒．（切线垂直于过切点的半径）90EFC DCF DEO ︒∠=∠=∠= ，∴四边形EFCD 为矩形．（三个角是直角的四边形是矩形）；【小问2】OF 过圆心，OF AC ⊥于点F ，AE CE∴=，（垂径定理）ACE EBC ∴∠=∠．（等弧所对的圆周角相等）而BEC BEC ∠=∠，GCE CBE ∴△∽△，（有两组角对应相等的两个三角形相似）GE CE CE BE∴=（相似三角形对应边成比例）2CE GE BE∴=⋅【小问3】四边形EFCD 为矩形，OE BD ∴∥，GCB GFE ∴△∽△，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似）∴2CG BC GF EF m==．（相似三角形对应边成比例）设2BC a =，EF ma =；AF FC = ，AO BO =，FO ∴是ABC 的中位线，12FO BC a ∴==．（三角形中位线性质）在Rt AOF 中，(1)AO OE ma a a m ==+=+1sin (1)1FO a A AO a m m ===++．又A ∠和CEB ∠都是 BC所对的圆周角，CEB A ∴∠=∠．（同弧所对的圆周角相等）1sin 1CEB m ∴∠=+【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．26.二次函数223y x tx =--（t 为常数且0t >）的图像与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴相交于点C ．（1）当1t =时，①求A ，B 两点的坐标；②如图1，点M 是线段AB 上的动点，求22CM BM +的最小值．（2）若点(4,)D m a -，(3,)E b ，(,)F m a 都在这个二次函数的图像上，且3a b <<-，求m 的取值范围．【答案】（1）①(1,0)A -，(3,0)B ②32（2）7m >【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，三角函数，勾股定理等知识点，（1）当1t =时，二次函数为2=23y x x --，①当0y =时，解方程得两根，进而即可得解；②如图，以BM为斜边，构造Rt BMG ，得2BM MG =，然后求出CM MG +最小值即可得解；（2）由(4,)D m a -，(,)F m a 的坐标求出对称轴方程，（i ）当点E 在对称轴左边时，（ii ）当点E 在对称轴右边时，分类讨论即可得解；熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．【小问1】当1t =时，二次函数为2=23y x x --，①当0y =时，2230x x --=，解得，11x =-，23x =．(1,0)A ∴-，(3,0)B ．②如图，以BM 为斜边，构造Rt BMG ，使得2sin 2MBG ∠=，即45MBG ∠=︒，再连接BC ．点(0,3)C -，OC OB ∴=，45OBC ∴∠=︒，90CBG ∴∠=︒，即CB BG ⊥．在Rt BMG 中，2sin 2BM MBG BM MG ⋅∠==，∴要求22CM BM +的最小值，即求CM MG +的最小值，由于垂线段最短得，CM MG +的最小值为CB 的长，∴在Rt BOC 中，由勾股定理得，BC ==．22CM BM ∴+的最小值为小问2】点(4,)D m a -，(,)F m a 关于对称轴对称∴对称轴42m m x t -+==，即2t m =-，且点D 在对称轴左侧，点F 在对称轴右侧． 点(0,3)C -关于对称轴的对称点为(24,3)C m '--，3a b <<- 且0t >，40243m m ->⎧∴⎨->⎩，解得4m >．（i ）当点E 在对称轴左边时，3a b <<- ，34m ∴<-，解得7m >，7m ∴>，（ii ）当点E 在对称轴右边时，3a b <<- ，∴点E 在C '下方，点F 上方，2433m m ->⎧∴⎨<⎩，723m m ⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，m ∴不存在，综上所述：m 的取值范围是7m >．。

郴州市2020年下学期期末教学质量监测试卷高一数学(试题卷)注意事项:1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共22道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.(命题人:汝城一中 唐旭祺 永兴一中 杨儒平 湘南中学 黄红梅 审题人:郴州市一中 乐敬英 郴州市三中 张凯 郴州市教科院 汪昌华)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若集合{}0,1,3A =，{}1,0,2,3B =-，则A B ∪等于A .{}1,0,1,2,3-B .{}1,0,2,3-C .{}0,1,3D .{}0,32.函数()ln 4f x x x =+-的零点所在的区间是A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,43.已知30.5a =，0.53b =，3log 0.5c =则a ，b ，c 的大小关系是A .a b c <<B .c a b <<C .a c b <<D .c b a <<4.已知点()sin ,tan P αα在第三象限，角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，则角α的终边在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.为了得到函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数()cos2g x x =的图象 A .向左平移6π个单位长度 B .向右平移6π个单位长度 C .向左平移12π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度6. 同一直角坐标中，函数()x f x a =和函数()11log 2a g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）的图象可能是A B C D7.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2），弧田（如图1）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式1.73≈）A .6平方米B .9平方米C .12平方米D .15平方米8.已知函数()2244x f x ex x -=+-+，则使得不等式()()212f m f m +<+成立的实数m 的取值范围是 A .11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分.）9.下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为A .33x x y -=-B .ln y x =C .tan y x =D .3y x =10.下列命题中正确的是A .第三象限角必大于第二象限B .命题：“0x ∀>，20x ≥”的否定为：0x ∃≤，20x <C . “0ab >”是“0b a>”的充要条件 D .函数()11f x x x =++（1x >-）的值域为[)1,+∞11.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则A .0a >B .不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C .0a b c ++>D .不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧-<<⎫⎨⎬⎩⎭12.函数()()sin A f x x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）在一个周期内的图象2所示，则A .该函数的解析式为()2sin 23x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B .该函数的一条对称轴方程为6x π=C .该函数的单调递减区间是7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D .把函数()2sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得函数()f x 的图象.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知幂函数()f x x α=图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()9f = . 14.函数()f x =的定义域为 .15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量()3/m y mg 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪=⎨⎪⎩≥（如图3所示），实验表明，当药物释放量0.75y <（3/m mg ）对人体无害.（1）k = ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 分钟人方可进入房间.16.点P 在直径为1AB =的半圆上移动，过点P 作圆的切线PT ，且1PT=，PAB TPB α∠=∠=，当四边形ABTP 的面积最大时，α= .四、解答题（本大题共6小题，共70分.第17题10分；第18题、第19题、第20题，第21题，第22题每题12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）①点()1,3P 在角α的终边上，②sin 3cos αα=，③sin cos 2sin cos αααα+=-，在这三个条件下任选一个，完成下列问题.问题：已知在条件 下，（Ⅰ）计算()()()()2cos 3sin 4cos sin 2παπααπα--+-+-的值； （Ⅱ）计算2sin 2cos21αα++的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）18.（本题满分12分） 已知集合{}13A x x =-<<，{}13B x k x k =+<<-.（Ⅰ）当1k =-时，求A B ∩；（Ⅱ）若A B A =∪，求实数k 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()1931x x f x a a +=-⋅++（Ⅰ）若1a =，求不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若(),0x ∈-∞时，不等式()22f x a >-恒成立，求a 的取值范围.20.（本题满分12分）某市为了确保水资源质量，对所有工厂产生的废水处理有严格的规定：必须经过脱硫过滤，否则不能向外排放，在脱硫过滤过程中废水的污染物数量P （mg/L ）与时间()h t 之间的关系为0kt P P e -=⋅，其中0P ，k 是正的常数，如果在前2个小时消除了10%的污染物，那么，试求：（）4h 后还剩百分之几的污染物？（）需要花多少小时才能使污染物减少50%（精确到1h ）？（参考数据：lg 20.3010≈ lg30.4771≈）21.（本题满分12分）已知函数()21sin cos cos 1224f x x x x =-+-（x ∈R ） （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值. 22.（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[],a b 时，函数值的取值区间恰为33,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()y f x =的一个“罗尔区间”.已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()4g x x =+. （Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）注函数()g x 在()0,+∞内的“罗尔区间”；（Ⅲ）若以函数()g x 在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合()()(){}2,,x y y h x x y y xm ==+∩恰含有2个元素.若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由. 郴州市2020年下学期期末教学质量监测试卷高一数学参考答案及评分细则一、选择题(本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1-5 ACBDB 6-8 DBB二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.在给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的不得分.)9.AD 10.CD 11.BCD 12.AC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.19 14.[]3,7或{}37x x ≤≤ 15.2 40 16.38π 第16题解析:解：如图，作TC PB ⊥于C ，因为AB 为直径，PT 切圆于P 点，1PT =，所以90APB ∠=︒，cos PA α=，sin PB α=，sin TC α=，PAB TPB ABTP S S S ∆∆=+四边形1122PA PB TC PB =⋅+⋅ 1111cos 2sin cos sin 2sin 22244ααααα-=+=+ ()11sin 2cos 244αα=-+1sin 2444πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为02πα<<，所以32444πππα-<-<， 所以当242ππα-=，即38πα=时， 四边形ABTP 的面积最大.四、解答题（本大题共6小题，共70分.第17题10分；第18题、第19题、第20题，第21题，第22题每题12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若选择①，则tan 3α= 原式2cos 3sin 4cos sin αααα-+=- 23tan 74tan αα-+==-. （2）2sin 2cos21αα++24sin cos 2cos ααα=+2224sin cos 2cos sin cos ααααα+=+ 24tan 2tan 1αα+=+ 75= 18.解：（Ⅰ）当1k =-时，{}04B x x =<<， {}03A B x x =<<∩（Ⅱ）由A B A =∪，则B A ⊆.当B =∅时，13k k +-≥，解得1k ≥；当B ≠∅时，由B A ⊆得131133k k k k +<-⎧⎪+-⎨-⎪⎩≥≤，即120k k k <⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥，解得01k <≤.综上，k 的取值范围是[)0,+∞.19.解：（Ⅰ）当1a =时， ()093320x x f x <⇔-⨯+<即： ()()31320x x --<31320log 2x x ⇒<<⇒<<，则不等式的解集为()30,log 2（Ⅱ）∵()22933310x xf x a a a >-⇔-⨯+-> ()()()()913313131331x x x x x a a ⇔->⨯-⇔+->⨯-由条件：(),0x ∈-∞∴310x -<∴313xa +<恒成立 ∴233123a a ︒+=⇒≥≥ 20.解（Ⅰ）由题意可知，当0t =时，0P P =；当2t =时，()0110%P P =-∴()200110%k P P e--=⋅ ∴1ln 0.92k =- ∴ln 0.920t P P e =⋅当4t =时，24ln 09ln 0.920000.81P P e P e P ==⋅= 故α污染物在4小时后还剩81%（Ⅱ）当050%P P =时，有 ln 920050%t a P P e =⋅ 即2ln 0.912t e = ∴20.50.9t=，即 lg 0.5ln 0.92t = ∴12lg2lg 0.52lg 2213.1449lg 0.92lg31lg 10t -===≈- 故需要花14小时才能使污染物减少50%21.【解析】（Ⅰ）()21sin cos 12f x x x x =--1sin 2cos 2144x x =-- 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （Ⅱ）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 当233x ππ-=，即3x π=，()max 14f x =-， 当232x ππ-=-，12x π=-时，()()max 131122f x =⨯--=-. 22.解析：（Ⅰ）因为()g x 为R 上的奇函数，∴()00g =又当()0,x ∈+∞时，()4g x x =-+所以，当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()()44g x g x x x =--=--+=--⎡⎤⎣⎦；∴()4,00,04,0x x x x g x x --<⎧⎪==⎨-+>⎪⎩（Ⅱ）设0a b <<，∵()g x 在()0,+∞上递单调递减， ∴()()3434g b b b g a a a⎧==-+⎪⎨⎪==-+⎩，即a ，b 是方程34x x =-+的两个不等正根. ∵0a b <<，∴{13a b ==∴()g x 在()0,+∞内的“罗尔区间”为[]1,3. （Ⅲ）设[],a b 为()g x 的一个“罗尔区间”，则33a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号. 当0a b <<时，同理可求()g x 在(),0-∞内的“罗尔区间”为[]3,1--.∴()[][]4,1,34,3,1x x x x h x ⎧-+∈=⎨--∈--⎩依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.因此，m 应当使方程24x m x +=-+在[]1,3内恰有一个实数根，并且使方程 24x m x +=-+，在[]3,1--内恰有一个实数根.由方程24x m x +=-+，即24x m x +=-+在[]1,3内恰有一根，令()24F x x x m =++-，则()()120380F m F m =-⎧⎨=+⎩≤≥，解得82m -≤≤； 由方程24x m x +=-+，即240x x m ++-=在[]3,1--内恰有一根，令()24m x x G x ++-=，则()()1403100G m G m -=+⎧⎨-=+⎩≤≥，解得104m --≤≤. 综上可知，实数m 的取值集合为{}84m m --≤≤.（用图象法解答也相应给分）。

湖南省郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A=x|(x−1)(x−6)<0,B=x|x²<9,则A∩B=A.(6,+∞)B. (-3,1)C. (-3,6)D. (1,3)2.设复数z=1−ii2024+i,则z的共轭复数z在复平面内对应点的坐标为A. (0,1)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,-1)3.设x∈R, 向量a=(x,−1),b=(x,4),则x=-2是ā⊥b的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知sinα+cosβ=32,cosα=sinβ,则sin(α-β)=A.12B.14C.18D.1165.函数f(x)=e x+e−xln(x2+1−x)的图像大致为6.已知函数f(x)={x2−2ax+a,x<01e x−ln(x+1),x≥0在R上单调递减，则a的取值范围是A. (-∞,0]B. [-l,0]C. [-1,1]D. [l,+∞)7.已知正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中, 点E、F满足BE=2EB1C1F=2FD1,则平面AEF截正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁形成的截面图形为A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形高三数学试题第1页(共5页)8.已知 f (x )=meᵐˣ−lnx (m ≥0)若 f (x ) 有两个零点，则实数m 的取值范围为A.(0,1e )B.(0,1e 2)C.(1e ,+∞)D.[1e 2,+∞)二、多项选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列命题中正确的是A . 已知随机变量 X ∼B (3,12), 则 E (2X +1)=4B . 已知随机变量 X ∼N (1,14),f (x ≤0)=f (x ≥2)C . 数据1, 3, 4, 5, 7, 8, 10的第80百分位数是8D . 样本甲中有m 件样品，其方差为s ²，样本乙中有n 件样品，其方差为： s 22,，则由甲乙组成的总体样本的方差为 m m +n ⋯21+n m +n ⋯2210.已知曲线 C:x²cosθ+y²sinθ=1,θ∈(0,π),则下列说法正确的是A . 若 cosθ=0, 则曲线 C 表示两条直线B . 若 cosθ>0, 则曲线C 是椭圆C . 若 cosθ<0, 则曲线 C 是双曲线D . 若 cosθ=-sinθ, 则曲线 C 的离心率为 . 211.在正三棱台 ABC -DEF 中, AB =6, DE =2, 且等腰梯形所在的侧面与底面ABC 所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有A . 正三棱台 ABC -DEF 的高为 43B . 正三棱台 ABC -DEF 的体积为 523C . AD 与平面ABC 所成角的正切值为 lD . 正三棱台 ABC -DEF 外接球的表面积为 160π3高三数学试题第2页(共5页)三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知S n为等差数列{a n的前n项和，若S₃+S₇=24,则19a3+a11=.−_____13.从数字1，2，3，4中随机取一个数字，第一次取到的数字为i(i=1,2,3,4),,再从数字1,…,i中随机取一个数字，则第二次取到数字为3的概率是 .14.已知抛物线y²=4x,从抛物线内一点A(2,2)发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C，则△ABC的面积为 .四、解答题(本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)若锐角△ABC中, A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且△ABC的面积为312(a2+c2−b2)(1)求B;(2)求ca的取值范围.16. (本小题满分15分)如图, 在四面体 A -BCD 中, AD =BD =3,AC =BC =2,ADₖDB,∠CAD =30∘,M 是AD 的中点，P 是B M 的中点，点Q 在线段AC 上，且 AQ =3QC.(1)证明: PQ ∥平面BCD ;(2)求二面角A -PC -M 的余弦值.17.(本小题满分15分)已知椭圆E 的离心率为22,椭圆E 上一点P 到左焦点的距离的最小值为 2−1.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点， 且( OM ⊥ON,求 △OMN 面积的取值范围.18.(本小题满分17分)x2−(a+2)x,其中a为常数.已知函数f(x)=2a ln x+12(1)当a>0时, 试讨论f(x) 的单调性;(2)若函数f(x) 有两个不相等的零点.x₁,x₂,(i)求a的取值范围；( ii)证明: x₁+x₂>4.19.(本小题满分17分)已知数列A n:a1,a2,⋯,a n(n≥2,n∈N∗)是正整数1，2，3，…，n的一个全排列，若对每个k∈{2,3,⋯n}都有|a n−a n₋₁|=2或3，则称A n为H数列(1)列出所有H数列.A₅的情形；(2)写出一个满足a5k=5k(k=1,2,⋯,405)的H数列A₂₀₂₅的通项公式；(3)在H数列A₂₀₂₅中，记b k=a5k=(k=1,2,⋯,405),若数列b n是公差为d的等差数列，求证：d=5或d=−5.郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷数学参考答案一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-5DABCC6-8DBA二、选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9-11ABC、ACD、BCD6.【解】因为f(x)在R上单调递减, 且x≥0时,f(x)=1−ln(x+1)单调递减，有最大值1; 当x<0时, 函e x数.y=x²−2ax+a的对称轴a≥0，单调递减有最小值a, 则要满足a≥1, 故a≥1即a的范围是[1,+∞).故选: D.7【解】如图, 设AB=6, 分别延长AE、A₁B₁交于点G, 此时B₁G=3,连接FG交B₁C₁于H ,连接EH ,设平面AEF与平面DCC₁D₁的交线为l, 则F∈l,因为平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁,平面AEF∩平面,ABB₁A₁=AE,平面AEF∩平面DCC₁D₁=l,所以l∥AE, 设l∩D₁D=I, 则FI∥AE,此时△FD₁I∽△ABE ,故I,连接AI,所以五边形AIFHE为所求截面图形，D1=43故选: B.8.【解】由f(x)=0, 得meᵐˣ=lnx,即mxeᵐˣ=(lnx)eˡⁿˣ∵m≥0,∴lnx≥0,mx≥0,∴x≥1设ℎ(t)=te′(t≥0),∴ℎ(mx)=ℎ(lnx)ℎ′(t)=(t+1)eᵈ>0,∴ℎ(t)在[0,+∞)上单调递增∴mx= lnx,即 m =ln x x 设 g (x )=ln x x (x ≥1),g ′(x )=1−ln x x 2令g'(x)>0,解得1<x<e;令g'(x)<0,解得x>e∴g (x )在(1, e )上单调递增, 在(e ,+∞)上单调递减,g (1)=0,g (e )=1e ,∴x >e 时，g(x)>0∴0<m <1e 时, f (x )有两个零点.故选: A .11.【答案】BCD【详解】解: 取EF 的中点G , BC 的中点H , 连接DG , GH , AH , 过D 点作垂线与AH 相交于点 X ，过G 点作垂线与AH 相交于点 Y ，过F 点作垂线与BC 相交于点I由题可知： DG =3,AH =33,设正棱台的高为h ，即| |GY|=|DX|=ℎ,设 |HY|=x,则 |AX|=23−x ∵ GH ⊥ BC,AH ⊥ BC∴∠GHY 为等腰梯形 EFBC 与底面 ABC 所成角的平面有∴tan ∠GHY =GYHY =ℎx =2在直角三角形ADX 中， AX =23−xℎ2+(23−x )2=AD 2在直角三角形FIC 中，FI²+IC²=x²+ℎ²+2²=FC²又 FC²=DA²∴ℎ2+(23−x )2=x 2+ℎ2+4解得： x =233,b =433故A 错；S DEF =12×2×2×32=3;S ABC =12×6×6×32=93=14×0+14×0+14×13+14×14=74814.【解】 ∵A (2,2),∴B (12,2),由抛物线的光学性质可知，BC 过焦点F ，又F (1，0)，直线BF 的斜率为. −22∴直线 BC 的方程为 y =−22(x−1),联立 y²=4x 可得点 C (2,−22)∴S ABC =12|AB|⋅|AC|=924.四、解答题(本题共5小题，共77分.)15.【解】 1)∵S ABC =312(a 2+c 2−b 2)=12ac sin B, ·2分 ∴a 2+c 2−b 22ac =3sin B, 即 cos B =3sin B, 4分∴tan B =sin B cos B =33 5分 又 0<B <π2,∴B =π6 6分(2)∵A +B +C =π:A +C =5π6∴C =5π6−A 7分 则 c a =sin Csin A =sin (5π6−A )sin A=12cos A +32sin A sin A , 8分 ∴c a =32+12tan A 10分∵△ABC 为锐角三角形∴{0<A <π20<C <π2{0<A <π20<5π6−A <π2⇒π3<A <π2 11分 ∴tan A ∈(3,+∞)⇒1tan A ∈(0,33) 12分∴c a =32+12tan A ∈(32,233) 13 分16.【解】(1)取BD 中点E ,在线段CD 上取点F ,使得DF =3FC ,连接EP ,EF ,FQ ,∵AQ =3QC ,∴QF ∥AD ,且QF =14AD 2分又E ,P 分别为BD ,BM 的中点, ∴PE ∥DM ,且 PE =12DM 3分{n ⋅MP =32x 2−34z 2=0,n .MC =y 2−32z 2=0. 令 x₂=1,得 y 2=3,z 2=2, 所以平面 DEF 的一个法向量为 n =(1,3,2). 12分所以 cos <m ,n >=m n |m ||n |=135×22=13220. 14分由图可知，二面角A -PC -M 为锐角，故二面角A -PC -M 的余弦值为 13220. … ………………15分17. 解:(1)椭圆E 的离心率为 22,椭圆E 上一点P 到左焦点的距离的最小值为 2−1 则 c a =22,a−c =2−1. …2分∴a =2,c =1· ……4分∵a²=b²+c² ∴b =1 …5 分 所以椭圆E 的方程为 x 22+y 2=1 …6分(2) 当直线斜率不存在时，设直线l ：x =m代入 x 22+y 2=1由OM ⊥ON 得 m =±63, 此时△OMN 的面积为 23…… ………………………8分当斜率存在时, 设直线l : y = kx +m , 设M (x ₁,y ₁), N (x ₂,y ₂)由 {y =kx +m x 22+y 2=1 得 (1+2k²)x²+4kmx +2m²−2=0,△=8(2k²−m²+1)>0,解得 2k²>m²−1x 1+x 2=−4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2−21+2k 2 9分因为OM ⊥ON , 所以 x₁x₂+y₁y₂=0 10分即 (1+k²)x₁x₂+km (x₁+x₂)+m²−2=0化简得 3m²=2k²+2…… 11分MN|=(1+k 2)Δ1+2k 2=8(1+k 2)(2k 2−m 2+1)1+2k 2,d =|m|1+k 2 · · ·12分 S OMN =12|MN|⋅d =2m 2(2k 2+1−m 2)(2k 2+1)令2k ²+1=t , t ∈[1,+∞), ………13分 则可化为 S OMN =2(t +1)(2t−1)9t 2=29(−1t 2+1t +2) 14 分当t =2时△OMN 面积有最大值，最大为 S OMN =22,当∵ t >1,∴S OMN >23综上所以S △OMN 的取值范围是 [23,22] 15分(请阅卷老师严格按照得分点给分到位)18.【解】(1) 解: f ′(x )=2ax +x−(a +2)=(x−2)(x−a )x(x⟩0)…2分①当0<a <2时,当x ∈(0,a )∪(2,+∞)时, f '(x )>0;当x ∈(a ,2)时, f '(x )<0;∴x ∈(0,a )和x ∈(2,+∞), 函数f (x )单调递增; x ∈(a ,2), 函数f (x )单调递减;…………………………………3分②当a =2时, f '(x )≥0恒成立, 所以f (x )在(0,+∞)上单调递增; ……4分③当a >2时, 当x ∈(0,2)∪(a ,+∞), f '(x )>0; 当x ∈(2,a )时, f ′(x )<0;∴x ∈(0,2)和x ∈(a ,+∞), 函数f (x )单调递增; x ∈(a ,2), 函数f (x )单调递减;…………………………………5 分(2) 解: 若函数有两个不同的零点x ₁,x ₂,由(1) 知:当0<a <2时, f (x )棱锥侧=f (a )=2a (ln a−1)−a 22<0,不合题意…6分当a =2时, f (x )在(0,+∞)上单调递增, 不合题意当a =2时, f (x )棱锥侧=f (2)=2a (ln 2−1)−2<0不合题意…7分∴a <0, 函数f (x )在x ∈(0,2)时单调递减, 在x ∈(2,+∞)|时单调递增，在x =2处取得极小值，………………………………………………………………………8分当 f (x )棱锥侧=f (2)=2a ln 2−2−2a <0,满足题意∴1ln 2−1<a <0, …………9分不妨令 0<x₁<2<x₂;令： F (x )=f (x )−f (4−x )=2a ln x +12x 2−(a +2)x−2a ln(4−x )−12(4−x )2+(a +2)(4−x ),(0<x <2)=2alnx -2aln (4-x )+4x +4a -2(a +2)x · 10分F ′(x )=2a (1x +14−x −1)=2a (x−2)2x (4−x )<0; 11分∴ 函数F (x )在x ∈(0,2)上单调递减;∴F (x )>F (2)=0, ………………12分∴f (x )>f (4−x )∴f (x₁)>f (4−x₁); …13分∵f (x₂)=f (x₁);∴f (x₂)>f (4−x₁)… ………14分 ∵0<x₁<2;∴4−x₁>2, 又因为函数f (x )在x ∈(2,+∞)上单调递增; …16分∴x₂>4−x₁,即 x₁+x₂>4………………………17分19. 解:(1) 4₅:3,1,4,2,5或A ₅:5,2,4,1,3A ₅:2,4,1,3,5或A ₅:5,3,1,4,2A ₅:1,3,5,2,4或A ₅:4,2,5,3,1A₅:2,5,3,1,4或A ₅:4,1,3,5,2A ₅:3,5,2,4,1或A ₅:1,4,2,5,3……5分 说明：每个0.5分(2) 由(1) 可知将A ₅:3,1,4,2,5记为A ₂₀₂₅的第一组数构造数列满足 aₖ₊₅=aₖ+5,……………………………………6分则对任意的k ∈{1,2,3…,405}, i ∈{2,3,4,5}|a₅ₖ₊ᵢ−a₅ₖ₊ᵢ₋₁|=|(aᵢ+5k )−(aᵢ₋₁+5k )|=|aᵢ−aᵢ₋₁|=2或3…7 分当i =1时, |a₅ₖ₊₁−a₅ₖ|=|(a₁+5k )−(a₅+5k−5)|=|a₁−a₅+5|=3 符合要求…8分∴ a₅ₖ₊₁=a₁+5k =3+5k;a₅ₖ₊₂=a₂+5k =1+5k;a₅ₖ₊₃=a₃+5k =4+5i k a₅ₖ₊₄=a₄+5k =2+5k;a₅ₖ₊₅=a₅+5k =5+5k x …9分综上所述： a n ={n +2,n−5k +1n−1n−5k +2n +1n−5k +3,k ≤N n−2,n−5k +4n n ,n =5k +5…10分。

湖南省郴州市槐树下中学2020-2021学年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为A．B．C．D．参考答案：C2. 由确定的等差数列，当，序号等于（）A．99 B．100 C．96 D ．101参考答案：B3. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则( )A. 1B.C.D. 2参考答案：B 略4. 已知，则函数的最小值是A．B．C． D．参考答案：C5. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟和效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.25 B．模型2的相关指数R2为0.50C．模型3的相关指数R2为0.98 D．模型4的相关指数R2为0.80参考答案：C6. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是( )A. 假设三内角都大于60°B. 假设三内角都不大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个大于60°参考答案：B【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60°不成立，即假设三内角都不大于60°，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.7. 在极坐标系中,以为圆心,2为半径的圆的方程是( )A. B.C. D．参考答案：A8. 已知圆C1：，C2：，动圆C满足与C1外切且与C2内切，若M为C1上的动点，且，则的最小值为（）A．B．C．4 D．参考答案：A9. 在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（）A、 B、C、 D、参考答案：B10. 设,则在处的导数（）A. B. C. 0 D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于．参考答案：考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．解答：解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），则EF=AB=a，CE=CF=2a?sin60°=a，在△CEF中，cos∠CEF===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．12. 已知直线与圆则圆上各点到距离的最大值为___▲_；参考答案：略13. 下图的三视图表示的几何体是参考答案：三棱柱略14. 在等比数列{a n}中，已知a3=4，a7﹣2a5﹣32=0，则a5+a7= ．参考答案：80【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a5+a7．【解答】解：在等比数列{a n}中，∵a3=4，a7﹣2a5﹣32=0，∴，∴4q4﹣8q2﹣32=0，解得q2=4或q2=﹣2（舍），∴a5+a7=4q2+4q4=4×4+4×16=80．故答案为：80．15. 已知向量，在方向上的投影是____________.参考答案：16. 设变量,满足约束条件，则的最大值是▲．参考答案：略17. 已知动直线l的方程：cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R）；②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行；③，cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1?，所有使的点（x，y）都不在其上；对于④，⑤由③可判定．【解答】解：对于①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R），直线不会过一定点，故错；对于②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行，故正确；对于③，cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1?，所有使的点（x，y）都不在其上，故正确；对于④，⑤由③可得错．故答案为：②③【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到直线方程的知识，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019年湖南省郴州市宜章县一六镇第二中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）．A．（1）是棱台B．（2）是圆台C．（3）是棱锥D．（4）不是棱柱参考答案：C2. 设，则此函数在区间(0,1)内为（）A．单调递减， B、有增有减 C.单调递增， D、不确定参考答案：A略3. 设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞ab C．D．参考答案：C【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案．【解答】解：对于A：当a＞0＞b，不成立．对于B：当b＜a＜0时，不成立．对于C：∵a，b是非零实数，a＞b，当a＞0＞b，恒成立，当b＜a＜0时，ab＞0，则﹣ab ＜0，0＞，∴，当0＜b＜a 时，a2＞b2，ab＞0，＞0，∴．则C对．对于D：当a=1，b=﹣时不成立，故选C．【点评】本题考查了不等式的基本性质的变形运用能力，属于基础题．4. 下列说法不正确的是A.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题等四种命题中真命题个数为偶数B.命题:“若,则或”的逆否命题是“若或,则”C.椭圆比椭圆更接近于圆D.已知两条直线,则的充分不必要条件是参考答案：B本题主要考查了四种命题之间的关系,椭圆的几何性质以及两条直线垂直的判定问题,意在考查学生的逻辑推理能力以及对知识的综合运用能力.对于A,一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中,互为逆否的命题有两对,根据“互为逆否命题的两个命题同真假”可知,这四种命题中真命题个数为0,2,4,故A正确;对于B,命题:“若,则或”的逆否命题是“若且,则”,故B错误;对于C,椭圆的离心率是,椭圆的离心率是, ,所以椭圆比椭圆更接近于圆,C正确;对于D,当时,两条直线,有此时;当时,直线,有,不能得出,所以是充分不必要条件,D 正确;故说法错误的是B.5. 在中，已知,,，则= （）A．2 B．1 C．－1 D．参考答案：A6. 为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（）A、总体是240 B 个体是每一个学生C、样本是40名学生 D 样本容量是40参考答案：D7. 是可导函数在点处取极值的（）A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B略8. 函数(e为自然对数的底数)的图象可能是（）参考答案：C函数是偶函数，排除，当，9. 已知两个实数a、b（a≠b）满足ae a=be b，命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）＜0．则下面命题是真命题的是( )A．p∨（￢q）B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∧q参考答案：C考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由已知ae a=be b可联想构造函数y=xe x，求导后由函数的单调性结合x＜﹣1时y恒小于0可得a，b均小于0而且一个比﹣1大一个比﹣1小，由此可以得到选项．解答：解：构造函数y=xe x，则y′=e x+xe x=（x+1）e x，∵e x＞0，∴当x＜﹣1时，y′＜0，函数y=xe x为减函数，当x＞﹣1时，y′＞0，函数y=xe x为增函数，要使ae a=be b，则a，b必须均小于0而且一个比﹣1大一个比﹣1小，∴命题p为假命题，命题q为真命题．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，训练了函数构造法，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．10. 极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．一条直线和一个圆C．两条直线D．一个圆参考答案：B【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用倍角公式，及实数的性质，分解原极坐标方程，再将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论．【解答】解：极坐标方程ρcosθ=2sin2θ可化为：ρcosθ=4sinθcosθ，∴cosθ=0或ρ=4sinθ，∴θ=或x2+y2﹣4y=0，∴极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为一条直线和一个圆，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．参考答案：﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由得，即A（1，2），代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣4=﹣3．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．故答案为：﹣312. 已知函数，则__________．参考答案：【分析】由题，先求得导数，代入即可求得答案.【详解】因为所以故答案为【点睛】本题考查了求导，熟悉公式和复合函数的求导方法是解题关键，属于基础题. 13. 已知数列满足，则的通项公式为参考答案：14. 由1，2，3，4可组成个三位数．参考答案：64【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，利用乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，利用乘法原理，可得由1，2，3，4可组成4×4×4=64个三位数故答案为：64．15. 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为，若两人各投2次，则两人都投中1次的概率为．参考答案：0.2016略16. 抛物线的焦点坐标参考答案：（）17. 已知是的内角，并且有，则______。

2022-2023学年湖南省郴州市第十九中学数学四年级第二学期期末学业质量监测试题一、神奇小帮手。

1．2800平方米＝_____公顷5.02吨＝_____吨_____千克2元5分＝_____元2．一个数的最高位是百位，最低位是百分位，百分位和百位数字都是3，其余各位都是0，这个数是（______），读作（______）。

3．珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，是世界海拔最高的山峰，位于中国与尼泊尔边境线上，高为8844.48米，总面积达一千四百五十七点零七平方千米。

在这则资料中下划“___锐角"的数读作（_______________________），下划“”的数写作（____________）。

4．在横线里填上““＞”、“＜”、或“＝”．40×51_____ 40×1+4056×99_____56×100﹣9974×19+74_____74×（19+74 ）600÷25×4_____600÷（25×4）960÷12﹣6_____960÷（12﹣6）306×1_____300+6×1．5．0.05扩大到原来的（_______）倍是5, 1缩小到原来的（______）是0.1．6．小玲把室内气温的变化画成下面的统计图。

（1）这是一幅（______）统计图。

（2）小玲每隔（______）时测量一次气温。

（3）这一天15：00的气温与8：00的气温相差（______）℃。

（4）你还发现了哪些信息？____________________________7．一个数同0相乘，积是（______）；0除以一个（______）的数，商是0。

8．（_____）统计图可以清楚地看出各种数量的多少。

（_____）统计图不仅可以清楚地看出各种数量的多少，还能清楚地反映数量的增减变化情况。