2019届全国高三原创试卷(一)数学(理)试题

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

参考答案一、选择题1. C2. C3. B4. B5. D6. A7. B8. A9. A10. B11. C 12. D二、填空题13. y=3x14. 12115.0.1816.2三、解答题17.解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=由正弦定理可得：222b c a bc +-= 2221cos 22b c a A bc +-∴== ()0,πA ∈3A π\= （2）22a b c +=sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3Aπ=1sin 2sin 2C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=(()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin 4C=或4因为sin 2sin 2sin 0B C A C =-=>所以sin 4C >，故sin 4C =.18.解：（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//ME ND ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE Ì平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O =，11111AC B D O =由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)A ，()0,1,2M，)1A ，D （0，-1,0）1,22N ⎫-⎪⎪⎝⎭ 取AB 中点F ，连接DF，则01,2F ⎫⎪⎪⎝⎭ 四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DF AA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 132033022nMA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令x =1y =，1z =-()3,1,1n ∴=- cos ,515DF nDF n DF n ⋅∴<>===⋅10sin ,5DF n ∴<>=∴二面角1A MA N --的正弦值为：19.解：（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=-->12m ∴< 121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =- ∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+>13t ∴>- 122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB =123y y ∴=-21y ∴=-，13y =123y y ∴=-则33AB === 20.解： （1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= ∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< 即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 则0x x =为()g x 唯一的极大值点 即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x . （2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤=()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点 ②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '=()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点 又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭ 10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '= ()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点 ③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点 ④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点21.解：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==- 则X 的分布列如下：（2）0.5α=，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅ （ii ）此方案合理.22.解:（1）由2211t x t -=+得：211x t x -=+，又()2222161t y t =+()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：2214y x += 又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d == 当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =23.解:（1）1abc =111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc =()()()33324a b b c c a ∴+++++≥。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132 C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43xx -<<B ．}42{xx -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23xx <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年全国高考理科数学试卷（全国I 卷）及答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合}24|{<<-=x x M ，}06|{2<--=x x x N ，则=N M （）A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC.}22|{<<-x xD.}32|{<<x x 2.设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(1)1x y ++=B.22(1)1x y -+=C.22(1)1x y +-=D.22(1)1x y ++=3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a<<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 1905.函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（）A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量,a b 满足2a b = ，且()a b b -⊥ ，则a 与b的夹角为（）A.6πB.3πC.23πD.56π8.右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（）A.12A A =+B.12A A=+C.112A A =+D.112A A=+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（）A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n=- D.2122n S n n =-10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（）A.1222=+y xB.12322=+y x C.13422=+y x D.14522=+y x 11.关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A.B.C.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为.14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S =.15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uuu r uuu r uuu r ，则C 的离心率为.三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；2b c +=，求sin C .18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60AA AB BAD ==∠=︒，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ；（2）求二面角1A MA N --的正弦值.19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（2）若PB AP 3=，求||AB .20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.证明：(1)()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；(2)()f x 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮实验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i）证明：1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列；（ii）求4p ，并根据4p 的值解释这种实验方案的合理性．四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值.23.已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：（1）222111a b c a b c++≤++（2）333()()()24a b b c c a +++++≥2019年高考理科数学（全国I 卷）参考答案选择题1-5CCBBD 6-12ABAAB CD13.3y x =14.5S =121315.0.1816.217.解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=结合正弦定理得222b c a bc+-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴6sin()2sin 23C C π++=,∴1sin cos 222C C -=∴2sin()62C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-<又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴2cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭624=.18、解：（1）连结,M E 和1,B C ，∵,M E 分别是1BB 和BC 的中点，∴1//ME B C 且112ME B C =，又N 是1A D ，∴//ME DN ，且ME DN =，∴四边形MNDE 是平行四边形，∴//MN DE ，又DE ⊂平面1C DE ，MN ⊄平面1C DE ，∴//MN 平面1C DE.（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，1(2,0,4)A，M 1(0,0,4)A A =-uuu r，1(2)A M =--uuuu r ，1(2,0,4)A D =--uuur，设平面1AA M 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，平面1DA M 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r，由111100n A A n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuuu r得11114020z x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1x =得1n =u r ，由212100n A D n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuur u u r uuuu r得2222224020x z x z --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令22x =得2(2,0,1)n =-u u r ，∴12121215cos ,5n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，∴二面角1A MA N --的正弦值为5.19.解答：设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ，（1）联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y bx y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， PB AP 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆，∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB .20.解答：(1)对()f x 进行求导可得，1()cos 1f x x x '=-+，(12x π-<<取1()cos 1g x x x=-+，则21()sin (1)g x x x '=-++,在(1,2x π∈-内21()sin (1)g x x x '=-++为单调递减函数，且(0)1g =，21(102(1)2g ππ=-+<+所以在(0,1)x ∈内存在一个0x ，使得()0g x '=，所以在0(1,)x x ∈-内()0g x '>，()f x '为增函数；在0(,2x x π∈内()0g x '<，()f x '为减函数，所以在()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当(1,0)x ∈-时，()f x '单调增，且(0)0f '=，可得()0'<x f 则()f x 在此区间单调减；当0(0,)x x ∈时，()f x '单调增，且(0)0f '=，()0f x '>则()f x 在此区间单调增；又(0)0f =则在0(1,)x x ∈-上()f x 有唯一零点0x =.当0(,2x x π∈时，()f x '单调减，且0()0,()02f x f π''><，则存在唯一的10(,)2x x π∈，使得1()0f x '=，在01(,)x x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调增；当1(,)2x x π∈时，()f x 单调减，且()1ln(1)1ln 022f e ππ=-+>-=，所以在0(,)2x x π∈上()f x 无零点；当(,)2x ππ∈时，sin y x =单调减，ln(1)y x =-+单调减，则()f x 在(,)2x ππ∈上单调减,()0ln(1)0f ππ=-+<,所以在(,)2x ππ∈上()f x 存在一个零点.当(,)x π∈+∞时，()sin ln(1)1ln(1)0f x x x π=-+<-+<恒成立，则()f x 在(,)x π∈+∞上无零点.综上可得，()f x 有且仅有2个零点.21.解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1-、0．得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ==-；得1-分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ=-=-；得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)P X αβαβ==+--．则X的分布列为：（2）（i ）因为0.5α=，0.8β=，则(1)0.4a P X ==-=，(0)0.5b P X ===，(1)0.1c P X ===．可得110.40.50.1i i i i p p p p -+=++，则110.50.40.1i i i p p p -+=+，则110.4()0.1()i i i i p p p p -+-=-，则114i ii i p p p p +--=-，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列．（ii ）1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 的首项为101p p p -=，那么可得：78714p p p -=⨯，67614p p p -=⨯，………………2114p p p -=⨯，以上7个式子相加，得到76811(444)p p p -=⨯+++ ，则886781111441(1444)143p p p p --=⨯++++=⨯=- ，则18341p =-，再把后面三个式子相加，得23411(444)p p p -=⨯++，则4423411844141311(1444)334141257p p p --=⨯+++==⨯==-+．4p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5α=，0.8β=，αβ<，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而41257p =的确非常小，说明这种实验方案是合理的．22.(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x +=(1)x ¹-而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到2110x ++=（2）将曲线C 化成参数方程形式为则d =所以当362ππθ+=23.（1）1abc = ，111bc ac ab a b c∴++=++.由基本不等式可得：222222,,222b c a c a b bc ac ab +++≤≤≤，于是得到222222222111222b c a c a b a b c a b c +++++≤++=++.（2）由基本不等式得到：332()8()a b a b ab +≥+≥，332()8()b c b c bc +≥+≥，332()8()c a c a ac +≥+≥.于是得到333333222()()()8[()()()]a b b c c a ab bc ac +++++≥++824≥⨯。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年高考数学试题全国Ⅰ卷理科试题及其解答已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a b 与的夹角为1的程序框图，图中空白框中应填入由此可得22222(,)11a b a b B a a -++，2222222(1,),(1,),11a b a b AF b F B a a -∴=-=-++ 2222222222,12(1),=3,31 2.a AF F B a b a c =∴=-∴=-=-=解得11．(2019全国Ⅰ理)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π/2，π)单调递增③f(x)是在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值是2其中所有正确结论的编号是 ( C ) 可以看作是正方体截下来的一个角，若2,0,F A AB F B F B ==A y =-在0=bx -即1212220()13322F B F B b b b b a a k k F B F B c c a a a a c c ====-=∴-=-+-，，又，， 22222332 2.b ac a a c a e =∴-==∴=即，，， ，018060.A A <<∴=，2sinA+ sinB=2sinC ，260+sin(120)=2sin C -即60+sin120cos cos120sin =2sin C C C -230)2= 20120,303090,cos(30)0,cos(30)2C C C C <<∴-<-<∴->∴-=， 62sin 30)30]sin(30)cos30cos(30)sin 30.4C C C +∴=+=-+-=如图，直四棱柱ABCD-A B C D 的底面菱形，AA =4，AB=2，∠ME12B 1DC C ME 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz.∵A(2,0,0)，A 1(2,0,4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)， (0,0,4),(1,3,2),(1,0,2),(0,3,0),A A AM A N MN ∴=-=--=--=- 由此可得平面A 1MA 和平面A 1MN 的一个法向量分别为(3,1,0),(2,0,1),m n ==-2310cos ,.5||||2m n m n m n ==⨯的正弦值为 (2019全国Ⅰ理)已知抛物线x 轴的交点为P.3|AP PB AB =若，求 |||AF BF +0(2)(,0)3(P x AP PB x =设，，即和y 2=3x 消去.1,2,,7)，其中1,2,,7)为等比数列；的值解释这种试验方案的合理性解：(1)X可取-1,0,1，P(X=-1)=(1-α)β，P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)=2αβ+1-α-β，P(X=1)=α (1-β)，0.8=0.4，b=P(X=0)=2×0.5×0.8+1-0.5-0.8=0.5，c=P(X=1) =0.5×0.2=0.1，1110.40.50.1(1,2,,7)i i i p p p p i -+∴=++=，110.50.40.1i i i p p p -+=+即，1154i i i p p p -+=+即，11=4()i i i i p p p p +-∴--，101110{}4i i p p p p p p +-=≠∴-,是首项为,公比为的为等比数列.1(ii){}i i n p p n S +-设数列的前项和为，则81088776651080()(14)=()+()+()++()==14p p S p p p p p p p p p p --------， 8108(41)=0=3p p p -∴，， 同理414(41)=3p p -， 8484441==41=25741p p -∴+-，8411=257p p =∴，， p 4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药的治愈率为0.5，乙药 的治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为1/257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非 常小，说明这种试验方案合理. 21(1)(1x -=2(11x -=又ab bc++或：由柯西不等式得2。

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（全国1卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C 【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+= C. 22(1)1x y +-= D. 22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-==+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则262611052x x y +==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D. A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C．对D，2455410,4240052S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=【答案】B 【解析】 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去21co s c os A F F B F F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生．设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， CF ∴=90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2A B B C A C ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D . 【详解】,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．【点睛】本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132 C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届全国高三原创试卷（一）理科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，{}2log (2)A x y x ==-若全集U A =，{}12B x x =<<，则U C B =（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 2.设i 是虚数单位，若复数5()12ia a R i+∈-是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．23.若(0,)απ∈，sin()cos παα-+=sin cos αα-的值为（ ）A．3 B．3- C ．43 D ．43-4.设平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，a b ⊥，则下列说法正确的是（ ） A．x =a b ⊥的充分不必要条件 B ．a b -与a 的夹角为3πC.12b = D ．a b -与b 的夹角为6π 5.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>(2,2)，则双曲线的实轴长为（ ） A ．12B ．1 C.//MN AB D ．//MN 平面ABCD 6.若321n xdx =+⎰，则二项式2nx ⎛⎝的展开式中的常数项为（ ） A ．45256 B ．45256- C.45128 D ．45128- 7.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 的分别为10,4，则输出的a=（ ）A ．0B ． 14 C. 4 D ．28.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163 B ．203 C. 169 D ．2099.已知0a >，1a ≠，2()x f x x a =-，当()1,1x ∈-时，均有1()2f x <则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)10,2,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ B ．(]10,1,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ C.(]1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭D ．[)1,12,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭10.某旅行社租用,A B 两种型号的客车安排900名客人旅行，,A B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（ ）A ．31200元B ．36000元 C. 36800元 D ．38400元 11.已知函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点(0,1)B -，在区间(,)183ππ上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当12172,(,)123t t ππ∈--，且12t t ≠时，12()()f t f t =，则12()f t t +=（ ）A ．．1- C.1 D 12.已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标原点）的斜率为k ，则（ ）A ．存在点P 使得1k ≥B ．对于任意点P 都有1k < C. 对于任意点P 都有0k < D ．至少存在两个点P 使得1k =-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量(1,)a x y =-，1a ≤则事件“y x ≥”的概率为 ．14.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上任意一点，且满足NF =，则NMF ∠ ．15.如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB =，BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC = ．16.在三棱锥A BCD -中，底面为Rt ∆，且B C C D ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD-的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,a =11n n a S +=+ （1）求{}n a 的通项公式；（2）记21log ()n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<. 18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=，BE BC =，F 为CE 的中点..（1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（2）2AE EB =，在线段AE 上是否存在一点P ，使得二面角P DB F --的余弦值为10.请说明理由.19. 某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对2017年9月1日到2018年5月1日前8个月的二手房成交量进行统计，y 表示开业第x 个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量,x y ，如果[]0.75,1r ∈，那么相关性很强；如果[]0.3,0.75r ∈，那么相关性一般；如果0.25r ≤，那么相关性很弱，通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，计算(,)(1,2,...,8)i i x y i =得相关系数r ，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到0.01）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+（计算结果精确到0.01），并预测该房地产中介公司2018年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）.（3）该房地产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金. 已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望.参考数据：81850i ii x y==∑，821204i i x ==∑，8213776i i y ==∑4.58≈5.57≈，参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yby bx xnxα==-==--∑∑，ni ix y nx yr -=∑，20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为1F，离心率为2，过点1F 且与x 轴垂直的（1）求椭圆C 的方程;（2）若24y a =上存在两点,M N ，椭圆C 上存在两个,P Q 点满足：1,,M N F 三点共线，1,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.21.已知()ln()()f x x m mx m R =+-∈ (1)求()f x 的单调区间;(2)设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：.120x x +<请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数),在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线1C 上的点(1,)2M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点(1,)3D π（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若点,A B 在曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()34f x x x =-++. （1）求()(4)f x f ≥的解集；（2）设函数()(3)()g x k x k R =-∈，若()()f x g x >对x R ∀∈成立，求实数k 的取值范围理科数学试题答案一、选择题1-5:BDCBC 6-10: ADBCC 11、12：BB 二、填空题 13.1142π- 14.6π 15. 3 16.43三、解答题17.解（1）11n n a S +=+2n ≥，11n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=≥，又11a =，所以22a =，212a a =符合上式， 所以{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以12n n a -=（2）由（1）知21log ()n n n b a a +=⋅12log (22)21n n n -=⨯=-， 所以21(21)2n n T n n +-==， 所以22212111111......12n T T T n+++=+++1111...1213(1)n n ≤++++⋅⋅- 11111223=+-+-111...221n n n++-=-<-18.解：（1）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥， 平面ABCD ⋂平面ABE AB =，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ，∴BC AE ⊥又∵AE BE ⊥，BC BE B ⋂=，∴AE ⊥平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，即AE BF ⊥， 在BCE ∆中，BE CB =，F 为CE 的中点， ∴BF CE ⊥，AE CE E ⋂=，∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ， ∴平面BDF ⊥平面ACE（2）如图建立空间直角坐标系，设1AE =， 则(2,0,0)B ，(0,1,2)D ，(2,0,2)C ，(1,0,1)F ，设(0,,0)P a ，(2,1,2)BD =-，(1,0,1)BF =-，(2,,0)PB a =-， 因为，0EC BD ⋅=，0EC BF ⋅= 所以EC 平面BDP ，故(2,0,2)EC =为平面平面BDP 的一个法向量 设n ⊥平面BDP ，且(,,)n x y z =，则 由n BD ⊥得220x y z -++=， 由n PB ⊥得20x ay -=， 从而(,2,1)n a a =-cos ,2EC n EC n EC n⋅==∴10cos ,EC n =解得0a =，或1a =，即P 在E 处或A 处.19.解：（1）依题意： 4.5x =，21y =88i ix y x yr -=∑===940.924 4.58 5.57=≈⨯⨯ 因为[]0.920.75,1∈，所以变量,x y 线性相关行很强.（2）818222188508 4.521ˆ 2.242048 4.58i ii i i x yx ybx x===⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ˆˆ21 2.24 4.510.92ay bx =-=-⨯= 即y 关于x 的回归方程为ˆ 2.2410.92yx =+ 当10x =，ˆ 2.241010.9233.32y=⨯+= 所以预计2018年6月份的二手房成交量为33（3）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0,3,6,9,12千元111111(0),(1)2,224233P X P X ==⨯===⨯⨯=11115111(6)2,(9)2,336218369P X P X ==⨯+⨯⨯===⨯⨯=111(12),6636P X ==⨯=所以，奖金总额的分布列如下表：()03691244318936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元20.解：（122b a=∵离心率为2，∴2c a =，又222a b c =+，解得a =1c =，1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y += （2）（i ）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时4MN =，PQ =，PMQN S =四边形（ii ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立24y x =， 得2222(24)0(0)k x k x k -++=∆>， 设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则242M N x x k +=+，∴244M N MN x x p k =++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为1(1)(0)y x k k=--≠，联立椭圆C 的方程，消去y ，得222(2)4220(0)k x x k +-+-=∆>设,P Q 的横坐标为,P Q x x ，则24,2P Q x x k +=+22222P Q k x x k -=+∴PQ =22)2k k +=+2221)2(2)PMQNk S MN PQ k k +=⋅=+四边形，令2(1)(1)k t t +=>，则2(1)(1)PMQNS t t =-+四边形2221)11t t ==+>--，综上()minPMQNS =四边形21.解：（1）∵()ln()f x x m mx =+-，∴1'()f x m x m =-+ 当0m ≤时，∴1'()0f x m x m=->+， 即()f x 的单调递增区间为(),m -+∞，无减区间；当0m >时，∴1()1'()m x m m f x m x m x m-+-=-=++，由'()0f x =，得1(,)x m m m=-+∈-+∞， 1(,)x m m m∈--+时，'()0f x >， 1(,)x m m ∈-++∞时，'()0f x <， ∴0m >时，易知()f x 的单调递增区间为1(,)m m m --+， 单调递减区间为1(,)m m-++∞， （2）由（1）知()f x 的单调递增区间为1(,)m m m --+，单调递减区间为1(,)m m -++∞， 不妨设12m x x -<<，由条件知1122ln()ln()x m mx x m mx +=⎧⎨+=⎩，即1212mx mx x m e x m e⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 构造函数()mx g x ex =-，()mx g x e x =-与y m =图象两交点的横坐标为12,x x 由'()10mx g x me=-=可得ln 0m x m -=< 而2ln (1)m m m >>，∴ln (,)m m m-∈-+∞ 知()mx g x e x =-在区间ln (,)m m m --上单调递减，在区间ln (,)m m-+∞上单调递增， 可知12ln m m x x m--<<< 欲证120x x +<，只需证122ln m x x m +<，即证212ln ln (,)m m x x m m<-∈-+∞， 考虑到()g x 在ln (,)m m -+∞上递增，只需证212ln ()()m g x g x m-<- 由21()()g x g x =知，只需证112ln ()()m g x g x m-<- 令2ln ()()()m h x g x g x m -=--=2ln 2ln 2mx m mx m e x e m ----， 则'()h x 2ln 2()mx m m mx mem e --=---2ln ()222m mx mx e m e e -=+-≥220==，所以()h x 为增函数，又ln ()0m h m -=， 结合1ln m m x m --<<知1()0h x <，即成立112ln ()()m g x g x m-<-， 即120x x +<成立.22.解：（1）将(1,2M 及对应的参数3πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，得1cos 3sin 23a b ππ⎧=⎪⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩， 所以曲线1C 的方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ为参数，即，2214x y +=. 设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ=.（或222()x R y R -+=） 将点(1,)3D π代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R =所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22(1)1x y -+=（2）设12(,),(,)2A B πρθρθ+在曲线1C 上， 所以222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=， 所以222222121111cos sin 4OA OB θθρρ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭22sin 5cos 44θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 23.解：（1）()34f x x x =-++∴()(4)f x f ≥，即349x x -++≥∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩②或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③ 解不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥，所以()(4)f x f ≥的解集为{5x x ≤-或}4x ≥（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-，k R ∈图象的上方， 可以作出()34f x x x =-++21,47,4321,3x x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩的图象，而()(3)g x k x =-，k R ∈图象为恒过定点(3,0)P ，且斜率k 变化的一条直线，作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，其中2PB k =，可求：(4,7)A -∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，实数k 的取值范围为12k -<≤.。