三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题-

三角函数的定义，同角三角函数基本关系（Word 格式，含详细答案） 一、单选题1．给出下列函数值：① sin(－1 000°)；② )4cos(π-；③ tan 2，其中符号为负的个数为( B) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．化简 1－sin 2π5 的结果是( C )A ．sin π5B ．－sin π5C ．cos π5D ．－cos π5 3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( C )A ．34B ．±310C ．310D ．－3104．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( D ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin B D ．sinB ＋C 2＝cos A25．如果角θ的终边经过点)5453(，-，那么)2sin(θπ+＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)等于( B )A ．－43 B.43 C.34 D ．－346.已知sin）（3πα+＝35，则cos ）（απ-6的值是( B )A ．－35 B. 35 C. 45 D ．－45二、填空题1．已知角α的终边上一点(1，m )，且sin α＝63，则m ＝_________2_______.2．已知sin α，cos α是关于x 的一元二次方程2x 2－x －m ＝0的两根，则sin α＋cos α＝_____21___，m ＝__43______.3．化简：tan 2x ＋1tan x ·sin 2x ＝__x tan ______.4．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin 2α－2sin αcos α＋1=______1013_______。

三、解答题1.已知α是第三象限角，且)sin()23tan()tan()2cos()sin()(παπαπααπαπα--+-----=f .(1)若cos (α－3π2)＝15，求f (α)；(2)若α＝－1 920°，求f (α).答案解析：选择题;1-6 BCCDBB.3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( C )原式=21tan 1tan =-+θθ，所以2tan =θ，1031331tan tan cos sin cos sin cos sin 2222=+=+=+=θθθθθθθθ6.已知sin）（3πα+＝35，则cos ）（απ-6的值是( B ).53)3sin()]-6(2sin[-6cos =+=-=πααππαπ）（填空题1．已知角α的终边上一点(1，m )，且sin α＝63，则m ＝_________2_______..2,361sin 2==+=m m m 平方可得α 2．已知sin α，cos α是关于x 的一元二次方程2x 2－x －m ＝0的两根，则sin α＋cos α＝_____21___，m ＝__43______.解答：.43,411cos sin 21:2cos sin ,21cos sin ==-=+-=⋅=+m m m所以把一式平方得αααααα3．化简：tan 2x ＋1tan x ·sin 2x ＝__x tan ______. 解析：原式=.tan cos sin sin cos cos sin sin )sin cos ()cos cos sin (sin cos sin 1cos sin 222222222x xx x x x x x x x x x x x x x x x==⋅=⋅⋅+=⋅+ 4．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin 2α－2sin αcos α＋1=______1013_______。

第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sinHs ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）同角三角函数关系的应用2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用学生用书P0751.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（2）商的关系：tan α＝sinHs （α≠π2＋k π，k ∈Z ）.（3）公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α；sin α＝±1－cos 2；sin 2α＝sin 2sin 2＋c 2＝ta 2tan 2r1，cos 2α＝cos 2si 2＋cos 2＝①1tan 2r1；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.注意利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.2.诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α（k ∈Z ）π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α②－sin α－sin α③sin αcos α④cos α余弦cos α⑤－cos αcos α⑥－cos αsin α⑦－sin α正切tan α⑧tan α－tan α⑨－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限.1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（A）A.－1213B.－513C.513D.213解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin2＝－1213.2.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝（D）A.－1B.－3C.－12D.12解析因为tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝1＋1tan＝1－12＝12.3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθB.cos（3π2＋θ）＝－sinθC.sin（3π2－θ）＝－cosθD.cos（θ－π2）＝－sinθ解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B 错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.4.sin1050°＝－12.解析sin1050°＝sin（－30°）＝－12.5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝34.解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝cos＋sinsinr2cos＝1+tan tanr2＝1+22+2＝34.学生用书P076命题点1同角三角函数关系的应用例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）A.73B.75C.54D.53解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinvos1＝si2＋cos2＋sinvossin2＋cos2＝tan 2＋tanr1 tan2r1＝22+2+122+1＝75.（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－55.解析由tan ＝sin cos＝12，sin 2＋cos 2=1，且θ∈（0，π2），解得sin cos 故sin θ－cos θ方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sinHs ，可以解决sin α，cos α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.（2）利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.（3）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinHs 可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cos θ＝713，则下列结论正确的是（BD ）A.θ∈（－π，－π2） B.cos θ＝1213C.tan θ＝512 D.sin θ－cos θ＝－1713解析由sin θ＋cos θ＝713可得，cos θ＝713－sin θ，则（713－sin θ）2＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cos θ＝1213，故B 正确；由sin θ＝－513＜0，cos θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈（－π2，0），故A 错误；tan θ＝sinHs ＝－512，故C 错误；sin θ－cos θ＝－513－1213＝－1713，故D 正确.故选BD.命题点2诱导公式的应用例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f （x ）＝15sin （x ＋π3）＋cos （x －π6）的最大值为（A ）A.65B.1C.35D.15解析因为cos （x －π6）＝cos[（x ＋π3）－π2]＝sin （x ＋π3），所以f （x ）＝65sin （x ＋π3），所以f （x ）的最大值为65，故选A.（2）[北京高考]若函数f （x ）＝sin （x ＋φ）＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2（答案不唯一）.解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.方法技巧应用诱导公式的一般思路（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；（2）统一角，统一名；（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π6＋θ）＋2sin（5π3－θ）的值为－1.解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（π6－θ）＝－3cos（π6－θ）＝－1.（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－－3π2）cos（3π2－）cos（π2－）sin（π2＋）·tan2（π－α）的值为－916.解析原式＝－sin（3π2＋）cos（3π2－）sinvos·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，sinvos·tan2α＝－cosLin得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.故原式＝－tan2α＝－916.命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－α）＝（A）B. D.解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）tan（α＋π3）＝sin（＋π3）Hs（＋π3）＝－tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）故选A.（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－43.解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（－π4）cos（－π4）＝－43.解法二因为θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos （θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝sin （－π4）Hs （－π4）＝－cos[π2＋（－π4)]sin[π2＋（－π4)]＝－cos （＋π4）sin （＋π4）＝－43.方法技巧利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.（2）化简过程是恒等变换.训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M （2，4）在角α终边上，则sin 3（π－）＋cos 3（－）sin 3－2cos 3＝（B ）A.23B.32C.－35D.－53解析由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin 3＋cos 3si 3－2cos 3＝tan 3r1tan 3－2＝8+18－2＝32.故选B.1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cos θtan 2θ＝（D ）C. D.解析由sin θ－cos θ1－2sin θcos θ＝13，∴sin θcos θ＝13，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θ·cos θ＝53.∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cos θ解法一易得sin θcos θ∴tan θ∴tan 2θ＝－52]5 D.解法二易得sin θcos θ＝13，∴sin 2θ＝23，∵sin θ－cos θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π2＜2θ＜π，∴cos 2θ∴tan 2θ D.2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋（－1）k β”是“sin α＝sin β”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cos3－sin，则sin（2α＋π2）＝（D）A.23B.13C.89D.79解析因为tanα＝cos3－sin，所以sin Hs＝cos3－sin，即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13，所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，故选D.学生用书·练习帮P2921.若θ∈（π2，πA）A.sinθ－cosθB.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ）D.sinθ＋cosθ解析）＝1－2sinBos＝（sin－cos）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（B）A.－45B.45C.－35D.35解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x 对称，所以＋2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.3.[2024江西联考]已知sin （α＋π3）＝－14，则cos （α＋5π6）＝（B ）A.－14B.14解析因为sin （α＋π3）＝－14，所以cos （α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin （α＋π3）＝14，故选B.4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cos α）＝（D ）A.25B.35C.45D.65解析sin α（sin α＋cos α）＝sin 2＋sinvos sin 2＋cos 2＝tan 2＋tan tan 2r1＝22+222+1＝65.故选D.5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan （π2－θ）＝43，则cos （θ＋π2）＝（C）A.－45B.－35C.35D.45解析tan （π2－θ）＝sin （π2－）Hs （π2－）＝Hs sin＝43，即3cos θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－35，cos θ＝－45，∴cos （θ＋π2）＝－sin θ＝35.故选C.6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos （α＋10°）＝13，则tan （170°－α）＝（A）A.－22B.22C.－2D.2解析因为α为第一象限角，且cos （α＋10°）＝1＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以sin （α＋10°）＝1－cos 2（+10°）＝tan （α＋10°）＝sin （r10°）cos （r10°）＝22，则tan （170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan （α＋10°）＝－22.故选A.7.[多选]在△ABC 中，下列结论正确的是（ABC ）A.sin （A ＋B ）＝sin CB.sin＋2＝cos2C.tan （A ＋B ）＝－tan C （C ≠π2）D.cos （A ＋B ）＝cos C 解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin （A ＋B ）＝sin （π－C ）＝sin C ，A 正确.sin＋2＝sin （π2－2）＝cos 2，B 正确.tan （A ＋B ）＝tan （π－C ）＝－tan C （C ≠π2），C正确.cos （A ＋B ）＝cos （π－C ）＝－cos C ，D 错误.故选ABC.8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC 中，3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），cos A ＝－3cos （π－B ），则△ABC 为直角三角形.解析在△ABC 中，由3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），得3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝3A ∈（0，π），∴A ＝π6，又cos A ＝－3cos （π－B ），＝3cos B ，即cos B ＝12，又B ∈（0，π），∴B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC 为直角三角形.9.已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝－43；2sinBosr2si 21－tG＝24175.解析因为sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以sin θcos θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0.由sin ＋Hs ＝15，si 2＋c 2=1，得25sin 2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cos θ＞0，（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cos θ＝75，由sin ＋cos ＝15，sin －cos ＝75，得sin ＝45，cos ＝－35，所以tan θ＝－43）解法一2sinvosr2sin 21－tan＝2sin （cos ＋sin ）1－sin cos＝2sinvos （cos ＋sin ）cos －sin＝－2425×15－75＝24175.解法二2sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sinvosr2sin 2sin 2＋cos 2＝2tanr2tan 2tan 2r1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinvosr2sin 21－tan＝8251－（－43）＝24175.10.设f （x ）＝a sin （πx ＋α）＋b cos （πx ＋β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2024）＝1，则f （2025）＝（D）A.1B.2C.0D.－1解析f （2024）＝a sin （2024π＋α）＋b cos （2024π＋β）＝a sin α＋b cos β＝1，f （2025）＝a sin （2025π＋α）＋b cos （2025π＋β）＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＝－a sin α－b cos β＝－（a sin α＋b cos β）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos （χ3＋2π3）＝（C）B. C.12 D.－12解析任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（χ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.12.已知－π＜α＜0，且满足.从①sinαcosα＋sinαtanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.（1）求cosα－sinα的值；（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求Hs＋sinHs－sin的值.解析方案一选择条件②.（1）由cosα＋sinαcosα＋sinα）2＝15，则2sinαcosα＝－45＜0.又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝1－2cosLin＝（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cos＋sin＝ 3.cos－sin＝－cos＋sin－cos－sin方案二选择条件③.（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以sinαcosα所以cosα－sinα（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以Hs＋sinHs－sin＝ 3.（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα①不符合题意.）。

三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A． B． C． D．2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cos α－sin α的值为( )A． B．C． D．3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝( )A．－ B．± C．－ D．±4．若tanα<0，且sinα>cosα，则α在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．若，且为第二象限角，（）A． B． C． D．7．已知，则等于A ．B ．C ．D ．8．若，且为第二象限角，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知 ，则___________三、解答题 10．已知，且是第四象限的角。

.（1）求；（2）. 11．(1)已知,求的值；(2)已知, ,求的值.12．已知tan α2,=(1)求值: sin cos sin cos αααα+- (2)求值: ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠.（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求22sin cos cos ααα+-的值.14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；（2）tan θ的值.15．已知tan 2α=. （1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值； （2）求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知，计算：（1）；（2）.17．已知： 1sin cos ,0<<,5θθθπ+=且 （Ⅰ）求sin cos tan θθθ-和的值；（Ⅱ）求22sin cos 2sin cos θθθθ-的值. 18．已知求的值.19．已知,(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.20．已知.(1)求的值(2)求的值.21．已知，求的值；若是第三象限角，求的值．22．已知，.(1)求的值.(2)求的值.23．(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.参考答案1．C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．【详解】∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴p到原点的距离为5∴sinα，cosα∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα和sinα的值，可得cosα﹣sinα的值．【详解】角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝，sin α＝＝，则cos α－sin α＝－＋＝.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．C【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα和sinα的值．【详解】由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝。

三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P(4，—3），则的值为( ）A． B． C． D．2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0）上，则cos α－sin α的值为( ) A． B．C． D．3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝( )A．－ B．± C．－ D．±4．若tanα〈0,且sinα〉cosα，则α在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若，且，则角是( ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．若,且为第二象限角，（）A． B． C． D．7．已知，则等于A ．B ．C ．D ．8．若，且为第二象限角，则( ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知 ，则___________三、解答题10．已知,且是第四象限的角。

（1）求； （2). 11．(1)已知,求的值；(2）已知， ,求的值.12．已知tan α2,= (1）求值： sin cos sin cos αααα+- （2）求值： ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠。

（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2）求22sin cos cos ααα+-的值。

14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；(2）tan θ的值.15．已知tan 2α=.（1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值; （2)求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知，计算:（1)； （2）。

专题7 三角函数的概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. cos(2014π3)的值为（）A.1 2B.√32C.−12D.−√322. （广西柳州、玉林、梧州、贵港、贺州4月模拟）若sinα=513，且α为第二象限角，则tanα的值等于（）A.125B.−125C.512D.−5123. （合肥二次质检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin5π3,cos5π3)，则sin(π+α)=（）A.−12B.−√32C.12D.√324. （福建厦门一中下学期开学考）已知sinα−2cosα=2(α≠kπ，k∈Z)，则tanα=（）A.−43B.43C.−34D.345. （吉林实验中学四模）已知α∈(0,π)，且cosα=−513，则sin(π2−α)⋅tanα=（）A.12 13B.−513C.−1213D.5136. （东北三省三校一联）已知sin(π3−α)=13，则cos(5π6−α)=（）A.1 3B.−13C.2√23D.−√237. （石家庄一模）已知cosα=k，k∈R，α∈(π2,π)，则sin(π+α)=（）A.−√1−k2 B.√1−k2 C.—k D.±√1−k28. （江西赣州摸底）已知θ∈(0,π)，sin(θ+π4)=12，则cos2θ=（）A.−12B.−√32C.12D.√329. （广州综测一）已知sin(x−π4)=35，则cos(x+π4)=（）A.4 5B.35C.−45D.−3510. （成都三诊）当α∈(π2，π)时，若sin(π−α)−cos(π+α)=√23，则sinα−cosα的值为（）A.√23B.−√23C.43D.−43二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（兰州诊断）若sin(π4−α)=−25，则cos(π4+α)=________．（四川南充二次适应性考试）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为________．（武汉4月调研）已知sinα=2cosα，则sinαcosα=________．（河南模拟）已知cosα=−√55，tanβ=13，π<α<32π，0<π2，则α−β的值为________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．sinα≥√32；cosα≤−12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上，已知点A在第一象限用横坐标是35，点B在第二象限，点C(1, 0)．设∠COA=θ，求sin2θ的值；若△AOB为正三角形，求点B的坐标．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记A(x1,y1)，B(x2,y2)．若x1=13，求x2；分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．参考答案与试题解析专题7 三角函数的 概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 依题意得cos (2014π3)=cos (670π+4π3)=cos 4π3=−12，故选C ．本题考查三角函数基本公式．2.【答案】 D【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】由于α为第二象限角，则cos α=−√1−sin 2α=−1213，故tan α=sin αcos α=−512，故选D ．【知识总结】同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，tan α=sin αcos α．本题考查同角三角函数的基本关系． 3.【答案】 A【考点】任意角的三角函数 三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】由题意知，角α的终边经过点P (−√32,12)，所以sin α=12，所以sin (π+α)=−sin α=−12，故选A ．本题考查三角函数的定义、诱导公式． 4. 【答案】 A【考点】同角三角函数基本关系的运用 同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】由sin a −2cos α=2和sin 2α+cos 2α=1解得sin α=45，cos α=−35，或sin α=0，cos α=−1，又α≠kπ,k ∈Z ，则sin α=45，cos α=−35，则tan α=sin αcos α=−43，故选A ． 本题的突破点是灵活应用同角三角函数的基本关系求出sin α与cos α的值． 本题考查同角三角函数的基本关系式． 5.【答案】 A【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】因为cos α=−513且α∈(0,π)，所以sin α=√1−cos 2α=1213，所以sin (π2−α)⋅tan α=cos α⋅sin αcos α=1213，故选A ．本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式． 6.【答案】 B【考点】任意角的三角函数 运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 cos (5π6−α)=cos (π2+π3−α)=−sin (π3−α)=−13，故选B ．【技巧点拨】当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 本题考查三角函数求值问题． 7.【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 同角三角函数间的基本关系直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】因为α∈(π2,π)，所以sinα>0，则sin(π+α)=−sinα=−√1−cos2α=−√1−k2，故选A．本题考查三角函数的诱导公式与同角三角函数的关系．8.【答案】B【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由θ∈(0,π)知θ+π4∈(π4,5π4)，而sin(θ+π4)=12，可得θ+π4=5π6，解得θ=7π12，故cos2θ=cos7π6=−cosπ6=−√32，故选B．直接利用特殊角的三角函数值确定对应的角，这样运算起来比较简单快捷．本题考查三角函数的求解、诱导公式．9.【答案】D【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】cos(x+π4)=sin[π2−(x+π4)]=sin(π4−x)=−sin(x−π4)=−35，故选D．【一题多解】因为sin(x−π4)=√22(sin x−cos x)=35，所以sin x−cos x=3√25，所以cos(x+π4)=√22(cos x−sin x)=√22×(−3√25)=−35，故选D．本题考查诱导公式．10.【答案】C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】因为sin(π−α)−cos(π+α)=sinα+cosα=√23，所以(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=29，则2sinαcosα=−79，又因为α∈(π2,π)，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=43，故选C．熟记三角函数的诱导公式进行合理的化简是解题的关键．本题考查三角函数的诱导公式、同角关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】−2 5【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】cos(−π4+α)=sin[π2−(π4+α)]=sin(π4−α)=−25．【易错警示】利用诱导公式要注意符号与名称是否改变．本题考查诱导公式的运用．【答案】−3【考点】同角三角函数基本关系的运用同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】原式=tanα+1tanα−3=2+12−3=−3．【考向分析】三角函数求值是高考常考点，本题对同角三角函数的基本关系的考查是重要命题方向之一．本题考查同角三角函数的基本关系．【答案】25【考点】同角三角函数基本关系的运用同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由sin α=2cos α可知tan α=2，从而sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=25．本题考查同角三角函数的基本关系． 【答案】54π 【考点】两角和与差的正切同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】因为π<α<32，cos α=−√55，所以sin α=−2√55，tan α=2，又tan β=13，所以tan (α−β)=2−131+23=1，由π<α<32π，−π2<−β<0得π2<a −β<32π，所以α−β=−54π．本题考查同角基本关系式和两角差的正切公式． 三、解答题（本大题共3小题，共30分） 【答案】 {α|2kπ+π3≤α≤2kπ+2π3, k ∈Z , } {α|2kπ+2π3≤α≤2kπ+4π3, k ∈Z }【考点】三角函数线 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：作直线y =√32交单位圆于A 、B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域（图中阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+π3≤α≤2kπ+2π3, k ∈Z , }．作直线x =−12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为 {α|2kπ+2π3≤α≤2kπ+4π3, k ∈Z }．【答案】2425(3−4√310,4+3√310)【考点】求二倍角的正弦 三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由条件cos θ=−35，∵ 点A 在单位圆上且在第一象限，∴ sin θ=45． ∴ sin 2θ=2sin θcos θ=2425．∵ △AOB 为正三角形，∴ ∠BOC =∠AOC +60∘=θ+60∘．∴ cos ∠BOC =cos (θ+60∘)=cos θcos 60∘−sin θsin 60∘=3−4√310． sin ∠BOC =sin (θ+60∘)=sin θcos 60∘+cos θsin 60∘=4+3√310． ∴ 点B 的坐标为(3−4√310,4+3√310)． 【答案】 1−2√66 α=π4【考点】任意角的三角函数三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由三角函数定义得x1=cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23，所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．依题意得y1=sinα，y2=sin(a+π3)．S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)==−14sin(2α+2π3)，依题意得sin2α=−2sin(2α+2π3)，整理得cos2α=0．因为π6<α<−π2，所以π3<2α<π，所以2α=−π2，即α=π4．。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。

【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。

试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。

（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。

三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式高考试题考点一三角函数的概念1。

（2011年新课标全国卷,文7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )（A）-45（B）—35（C)35(D）45解析：①取x=1，则y=2，∴r=5，∴cos θ=15=55，cos 2θ=2cos2θ-1=-35。

②取x=-1,则y=-2,∴r=5,cos θ=—15。

cos 2θ=2cos2θ—1=—35.故选B。

答案:B2.(2012年山东卷，文16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0）,圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1）时，OP的坐标为。

解析：如图，由题意知=OB=2, ∵圆半径为1,∴∠BAP=2,故∠DAP=2—π2,∴DA=APcos （2-π2)=sin 2，DP=APsin (2-π2）=-cos 2.∴OC=2—sin 2,PC=1—cos 2。

∴OP =(2-sin 2,1—cos 2). 答案：(2—sin 2，1-cos 2)3。

（2011年江西卷，文14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴。

若P(4，y)是角θ终边上一点,且sin θ=—55，则y= . 解析216y + ∴sin θ216y +=25即2216y y +=45,且y 〈0，∴y=—8或y=8（舍去),∴y=—8. 答案：-8考点二 同角三角函数的基本关系式1.（2013年大纲全国卷,文2)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α等于( )（A)-1213 (B)-513 (C ）513(D ）1213解析:因α是第二象限角，所以cos α<0。

由三角函数同角关系式知cos α=-21sin α-=-1213。

故选A.答案:A2.（2012年江西卷,文4）若sin cos sin cos αααα+-=12,则tan 2α=（ )(A)-34 （B ）34 (C ）-43 （D ）43解析：因为sin cos sin cos αααα+-=12，所以tan 1tan 1αα+-=12，解得tan α=—3. 故tan 2α=22tan 1tan αα-=34。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，是第三象限角，则 .【答案】.【解析】根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.【考点】同角三角函数的基本关系.2.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)利用诱导公式进行化简即可；（2）先用诱导公式得出，再利用同角三角函数基本关系式及角所在象限求出，进而求出.规律总结：涉及三角函数的化简与求值问题，往往要利用三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的三角公式以及二倍角公式，进行恒等变形；一定要注意灵活选用公式.试题解析：（I）原式=；（II）由得，即，因为是第三象限角，所以，所以 .【考点】1.诱导公式；2.三角函数基本关系式.3. cos660o的值为( ).A．B．C．D．【答案】C.【解析】【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.4.（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，诱导公式和特殊值的三角函数值记忆不正确，会导致选择A或B，选择D的错误很少见.【考点】诱导公式和特殊角的三角函数值.5.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.6.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.7.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.8.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．9.已知sinα=，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sinα=，且α为第二象限角，∴，∴．【考点】同角三角函数的基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】诱导公式的化简12. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.13.已知，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由可得即，所以，又因为，从而可得到，所以，所以；法二：因为将代入即可得到，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.14.已知函数,.(1)求的值;(2)若,,求.【答案】(1)1；(2)【解析】(1)直接将代入函数即可求其值。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，，则_____________.【答案】【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sinα＝【考点】同角三角函数关系，诱导公式.2.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．3.已知sin(π－α)＝log8【答案】＝－，【解析】sin(π－α)＝sin α＝log8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4.已知2sinαtanα＝3，则cosα的值是()A．－7B．－C．D．【答案】D【解析】由已知得2sin2α＝3cosα，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，(cosα＋2)(2cosα－1)＝0∴cosα＝，选D．5.已知sin(－x)＝，则cos(π－x)＝()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】cos(π－x)＝cos[＋(－x)]＝－sin(－x)＝－，故选C．6.方程两根，且，则；【答案】【解析】由已知可得，，因为，所以，所以或.但由于，所以，。

由，则同号；由，则都小于0。

所以，所以【考点】两角和差公式以及正切函数的性质.7.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.8.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．9.已知tan ＝，tan ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]＝＝110.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－11.函数y＝cos的单调递增区间是________．【答案】(k∈Z)【解析】－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所求单调递增区间是(k∈Z)．12.设f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则=_________.【答案】【解析】由f'(x)=cosx-sinx,∴sinx+cosx=2(cosx-sinx),∴3sinx=cosx,∴tanx=,所求式子化简得,=tan2x+tanx=+=.13.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.14.已知sin ＝，则sin＝________.【答案】±【解析】由sin ＝，得cos ＝±，所以sin＝cos＝±.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f()．A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1【答案】C【解析】f(x)＝，∴a＝＋，b＝＋＝－，因此a＋b＝1.17.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】.又因为，所以为三象限的角，.选B.【考点】三角函数的基本计算.18.已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值．2cos2α＋sin 2α＋βcosα－sin α【答案】4＋2m【解析】因为β为f(x)＝cos的最小正周期，故β＝π.因为a·b＝m，又a·b＝cos α·－2，故cos α·＝2＋m.由于0＜α＜，所以＝＝＝2cos α·＝2cos α·tan＝2(2＋m)＝4＋2m.19.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.20.在中，角A，B，C所对的边分别为（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；（Ⅱ）设，，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)正弦定理：，利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，则，直径所对的圆周角，在直角三角形中，，从而得到，同理可证，，则正弦定理得证；(Ⅱ)先由正弦定理将化为①，再依据和差化积公式，同角三角函数间的关系，特殊角的三角函数值将①式化简，得到，则，再由二倍角公式求解.试题解析：(Ⅰ) 正弦定理：.证明：设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，如图所示：则，，在中，，即，则有，同理可得，，所以.(Ⅱ)∵，由正弦定理得，，，，，，解得，，∴.【考点】1.正弦定理；2.解三角形；3.同角三角函数间的关系；4.和差化积公式；5.二倍角公式21.已知函数，.（1）求的值；（2）设、，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接计算的值；（2）先由已知条件计算、的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出、的值，最后利用两角和的余弦公式计算出的值.试题解析：（1），所以；（2），，、，所以，，所以.【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式22.已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．【答案】【解析】由已知可得（cosx－sinx）=，即cosx－sinx=，两边平方得1-2cosxsinx=，sin2x=.【考点】1.两角和差公式；2.同角的基本关系式；23.已知函数的最大值是1，其图像经过点。