三角函数推导公式及公式大全
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锐角三角函数
锐角三角函数三角关系
倒数关系:tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
商的关系:
平方关系:
三角函数公式
2公式相关
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两角和公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
三角和公式
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cos γ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sin γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
诱导公式
三角函数的诱导公式(六公式)[1]
公式一:
sin(α+k*2π)=sinα
cos(α+k*2π)=cosα
tan(α+k*π)=tanα
公式二:
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tan(π+α)=tanα
公式三:
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式四:
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
tan(π-α) =-tanα
公式五:
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) =sinα
由于π/2+α=π-(π/2-α),由公式四和公式五可得
公式六:
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限。倍角公式
二倍角
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
三倍角
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导
sin(3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a[2]
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)
/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin(π/3+α)sin (π/3-α)
cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos (π/3-α)
tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
其他多倍角
四倍角
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/
(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)
*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)
/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))