弹性力学教材习题及解答讲解-共56页

弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。

2－14 见教科书。

2－15 2－16 见教科书。

见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。

弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。

在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。

本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。

一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。

求该弹性体的应变。

答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。

2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。

答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。

二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。

由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。

因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。

2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。

由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。

因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。

三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。

答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。

由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。

2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。

答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。

创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

弹性力学基础(程尧舜-同济大学出版社)课后习题解答2345(1)()T T ⨯=-⨯a A A a ，(2)()T T ⨯=-⨯A a a A 证：(1) ()()()T TT T ji i j k k ji i k jkn n A a A a e -⨯=-⊗⨯=-⊗A a e e e e e()T ji k jkn i n jn k jki i n A a e A a e =-⊗=-⊗e e e ek k jn j n a A =⨯⊗=⨯a A e e e 。

(2) ()()()T TT T i i kj j k kj i ijn n k a A A a e -⨯=-⨯⊗=-⊗a A e e e e e()nj i ijk n k nj n i jik k A a e A a e =-⊗=⊗e e e e nj n j i i A a =⊗⨯=⨯A a e e e2.10已知张量T 具有矩阵123[]456789=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T求T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。

解：T 的对称部分具有矩阵1351([][])3572579T +=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T T ，T 的反对称部分具有矩阵0121([][])1012210T ---=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T T 。

和反对称部分对应的轴向矢量为 1232=-+ωe e e 。

2.11已知二阶张量T 的矩阵为310[]130001-=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T求T 的特征值和特征矢量。

解：2310130(1)[(3)1]0001λλλλλ----=---=-由上式解得三个特征值为14λ=，22λ=，31λ=。

将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量6为1121)2-a e ，121)2a e +e ，33=a e 。

2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：αβ=+⊗A I m m ，=⊗+⊗B m n n m其中，α和β是实数，m 和n 是两个相互垂直的单位矢量。

弹性力学教材习题及解答HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a.所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

【2-9】【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ）l-1 1 m-1() x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()(),0y xy y y gh σρτ===-=③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh bxdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s)y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

弹性⼒学教材习题及解答1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. ⽵材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性⼒学的正确认识是A。

A. 计算⼒学在⼯程结构设计的中作⽤⽇益重要；B. 弹性⼒学从微分单元体⼊⼿分析弹性体，因此与材料⼒学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性⼒学的研究对象；D. 弹性⼒学理论像材料⼒学⼀样，可以没有困难的应⽤于⼯程结构分析。

c. 弹性⼒学与材料⼒学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究⽅法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应⼒应变关系满⾜胡克定律；B. 材料的应⼒应变关系与加载时间历史⽆关；C. 本构关系为⾮线性弹性关系；D. 应⼒应变关系满⾜线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应⼒状态”是指B。

A. 斜截⾯应⼒⽮量与横截⾯应⼒⽮量不同；B. ⼀点不同截⾯的应⼒随着截⾯⽅位变化⽽改变；C. 3个主应⼒作⽤平⾯相互垂直；D. 不同截⾯的应⼒不同，因此应⼒⽮量是不可确定的。

2－2. 梯形横截⾯墙体完全置于⽔中，如图所⽰。

已知⽔的⽐重为，试写出墙体横截⾯边界AA'，AB，BB’的⾯⼒边界条件。

2－3. 作⽤均匀分布载荷q的矩形横截⾯简⽀梁，如图所⽰。

根据材料⼒学分析结果，该梁横截⾯的应⼒分量为试检验上述分析结果是否满⾜平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料⽐重为γ，楔形体左侧作⽤⽐重为γ1的液体，如图所⽰。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所⽰。

试写出球体的⾯⼒边界条件。

2－6. 矩形横截⾯悬臂梁作⽤线性分布载荷，如图所⽰。

试根据材料⼒学应⼒解答推导挤压应⼒σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应⼒互等定理根据条件B 成⽴。

A. 纯剪切；B. 任意应⼒状态；C. 三向应⼒状态；D. 平⾯应⼒状态；b. 应⼒不变量说明D.。

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

1图2.4习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

解：(1)pi iq qj jk pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。

证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。

2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c ac b c c 证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i ii ii ia a ab ac a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a aa b a c b a b b b c a b c c ac bc c。

2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。