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§3 几何应用
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
总之, 当 ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) ) ( 0, 0 ) 时, 就有
法向量 : n ( Fx ( P0 ), Fy ( P0 ) ); 切线方程为 Fx ( P0 )( x x0 ) F y ( P0 )( y y0 ) 0; (1) 法线方程为 Fy ( P0 )( x x0 ) Fx ( P0 )( y y0 ) 0. (2)
2 2 2
根据公式 (6) 与 (7), 需先求出切向向量. 为此计算 F, G 在点 P0 处的雅可比矩阵:
§3 几何应用
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
Fx G x
Fy Gy
Fz x 2 Gz P0 x
2 2 证 令 G ( x , y ) Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F ,
则有
G x ( P0 ) 2 Ax0 2 By0 2 D , G y ( P0 ) 2 Bx0 2Cy0 2 E .
§3 几何应用
平面曲线的切线 与法线
§3 几何应用
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与求笛卡儿叶形线
2( x y ) 9x y 0
3 3
在点 P0 (2,1)处的切线与法线. 解 设 F ( x , y ) 2( x 3 y 3 ) 9 x y .
由于Fx 6 x 2 9 y, Fy 6 y 2 9 x连续，且
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
(A) 用参数方程表示的空间曲线: L : x x( t ), y y( t ), z z ( t ), t . 若 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) L , 且有
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
应用隐函数组求导公式, 有 x( z0 ) J z y ( P0 ) J x y ( P0 ),
y( z0 ) J xz ( P0 ) J x y ( P0 ) .
于是最后求得切线方程为 x x0 y y0 z z0 : . J yz ( P0 ) J z x ( P0 ) J x y ( P0 ) 相应于 (3) 式的法平面方程则为
故切向向量为 P 1, 1, 2 2 , 解 容易求得 0 2 ( x( t0 ), y( t0 ), z( t0 ) )
(1 cos t0 , sin t0 , 2cos( t0 2) )
(1, 1, 2 ).
由此得到切线方程和法平面方程分别为 z2 2 : x 1 y 1 ; 2 2
§3 几何应用
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
故切向向量为
( 160, 120, 0)∥( 4, 3, 0),
据此求得
y4 x3 , 3 x 4 y 25 0, 即 3 切线 : 4 z 5; z 5 0,
称为曲线 L在点 P0 处的法平面.
§3 几何应用
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
因为切线 的方向向量即为 法平面 的法向量, 所以法平面的方程为
x( t0 )( x x0 ) y( t0 )( y y0 ) z( t0 )( z z0 ) 0 . (4)
: J yz ( P0 )( x x0 ) J zx ( P0 )( y y0 )
J x y ( P0 )( z z0 ) 0 .
(6)
(7)
§3 几何应用
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
例 3 求空间曲线 L : x t sin t , y 1 cos t , z 4sin( t 2) 在点 P0 ( 对应于 t0 2 ) 处的切线和法平面.
2 2
整理后便得到
Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
§3 几何应用
空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论.
在第五章§3 已学过, 对于平面曲线 x x( t ), y y( t ), t , 若 P0 ( x0 , y0 ) ( x( t0 ), y( t0 )) 是其上一点, 则曲线
y z 6 8 10 . y z P 0 6 8 10
由此得到所需的雅可比行列式:
6 8 J x y ( P0 ) 0, 6 8 8 10 J y z ( P0 ) 160, 8 10 10 6 J z x ( P0 ) 120. 10 6
于是在P0 2,1 处切线与法线分别为
( Fx ( P0 ), Fy ( P0 ) ) (15, 12 ) (0,0),
15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5 x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4 x 5 y 13 0 .
用参数方程表示的曲面
例4 求曲线
L : x 2 y 2 z 2 50, x 2 y 2 z 2
在点 P0 (3,4,5) 处的切线与法平面.
解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令
F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 50, G( x , y, z ) x y z .
具有连续的一阶偏导数, 而且
§3 几何应用
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
例2 设一般二次曲线为 L : Ax 2 2 Bxy Cy 2 2 Dx 2 Ey F 0,
P0 ( x0 , y0 ) L . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
由此得到所求切线为
( Ax0 By0 D)( x x0 ) ( Bx0 Cy0 E )( y y0 ) 0,
利用 ( x0 , y0 ) 满足曲线 L 的方程 , 即
F ( Ax0 2 Bx0 y0 Cy0 2 Dx0 2 Ey0 ),
§3 几何应用
: ( x 1 ) ( y 1) 2 ( z 2 2 ) 0, 2 即 x y 2 z 4. 2 绘制上述空间曲线的程序与所得图形:
syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2); ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])
数学分析 第十八章 隐函数定理及其应用
§3 几何应用
一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平 面 三、曲面的切平面与法线 四、*用参数方程表示的曲 面
*点击以上标题可直接前往对应内容
在本节中所讨论 的曲线和曲面, 由于它 们的方程是以隐函数 (组)的形式出现的, 因 此在求它们的切线或切 平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法.
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
曲线 L ：F ( x, y) 0;
P0 ( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 条件：
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: y y( x ) ( 或 x x ( y ) ) ;
x 2 ( t0 ) y 2 ( t0 ) z 2 ( t0 ) 0,
类似于平面曲线的情形, 不难求得 P0 处的切线为 x x0 y y0 z z0 : . (3) x ( t 0 ) y ( t 0 ) z( t0 ) 过点 P0 且垂直于切线 的平面 ,
法平面 : 4( x 3) 3( y 4) 0 ( z 5) 0, 即 4 x 3 y 0 ( 平行于 z 轴 ) .
§3 几何应用
曲面的切平面与法线
以前知道, 当 f 为可微函数时, 曲面 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面为
由于y Fx ( P0 ) F y ( P0 ) L 在 P0 处的切线方程为：
y y0 Fx ( P0 ) Fy ( P0 ) ( x x0 )
或 x x
0
( y y0 ) . F ( P ) F ( P ) y 0 x 0
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x t sin t , y 1 cos t , z 4sin(t 2).
平面曲线的切线 与法线
空间曲线的切线 与法平面
曲面的切平面 与法线
用参数方程表示的曲面
t 2
t0
t 2
t 2
§3 几何应用
