异面直线所成角

异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。

过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。

由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。

在△GHS 中，设正方体边长为a 。

GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。

∴Cos ∠GHS=61。

所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。

求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。

异面直线所成角的正弦值公式正文:异面直线是指两条直线不在同一个平面内，它们之间的距离称为角度。

如果我们将异面直线上的两个点 A 和 B 连接起来，并且连接点 A 和 B 的线段与异面直线垂直，那么我们可以得到一个角θ，这个角是异面直线所成角。

正弦值是指一个角的正弦值，它是角的角度值与正弦值的比值。

在数学上，正弦值可以表示为:sinθ = 角度值 / 正弦值其中，角度值是指异面直线所成角的大小，正弦值是指这个角的正弦值。

异面直线所成角的正弦值公式可以通过以下方式得到:1. 假设两条直线分别为 A 和 B，它们之间的距离为 d，角度为θ。

2. 那么这两条直线的夹角β就是异面直线所成角。

3. 由于β是一个角度，所以它的正弦值可以用正弦公式计算: sinθ = 1 / 2 * (√(AB^2 + AA^2) - AA^2 / AB^2) 其中，AA 表示直线 A 的终点到直线 B 的起点的距离，AB 表示直线 A 和直线 B 之间的距离。

4. 由于β是异面直线所成角，所以它的余弦值可以用余弦公式计算:cosβ = (AA^2 + BB^2 - AB^2) / 2 * AA * BB其中，AA 和 BB 分别表示直线 A 和直线 B 的起点到终点的距离。

5. 最后，我们可以将上述两个公式联立起来，得到异面直线所成角的正弦值公式:sinθ = 1 / 2 * (√(AB^2 + AA^2) - AA^2 / AB^2) 其中，θ是异面直线所成角的大小，AB 是直线 A 和直线 B 之间的距离，AA 是直线 A 的起点到终点的距离。

拓展:异面直线所成角的余弦值公式也可以通过类似的步骤得到。

假设两条直线分别为 A 和 B，它们之间的距离为 d，角度为β。

那么，异面直线所成角的余弦值可以表示为:cosβ = (AA^2 + BB^2 - AB^2) / 2 * AA * BB其中，AA 和 BB 分别表示直线 A 和直线 B 的起点到终点的距离。

异面直线所成角的求解方法
向量相交所产生的两个平面夹角，可以用叉乘来求解，结果可以用两种方式计算：第一种求解方法：
假定两个向量u和v 是两个不同的平面所给定的向量，它们可以表示为：
u= (u1, u2, u3)
叉乘满足：u X v = (u2v3-u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
使用叉乘向量的结果，可以计算出 u 与 v 的夹角为：
β =arccos[(u X v) / (|u|*|V|)]
其中，|u| 与|v| 分别为u 向量与v 向量的模。

可以利用两个向量的内积来求夹角。

内积的运算公式为：
总的来说，利用叉乘或内积来计算两条直线所成的角度，可以将求解过程简化，并让求解结果更加准确。

最后要注意的是，当实际求解时，应先把两个向量方向向量化，然后用叉乘或内积公式计算夹角，以便得出精确的解决方案。

异面直线所成角的几种求法之袁州冬雪创作异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小.在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有杰出的空间观和作图才能.一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两正面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心.求A 1E 和B 1F 所成的角的大小.解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上.作法：保持B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，保持GH ，有GH//A 1E.过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，保持SH ，保持GS.由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH.在△GHS 中，设正方体边长为a.B ACD F EB 1A 1 D 1 C 1G HSRP Q（作直线GQ//BC交BB1于点Q，连QH，可知△GQH为直角三角形），（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），（作直线GP交BC于点GPDS为直角梯形）.∴Cos∠所以直线A1E与直线B1F解法二：（向量法）分析：因为给出的平面图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以操纵点的坐标暗示出空间中每个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角.以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2.则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；1-1，2，1（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ知足cosθ所以直线A1E与直线B1F小结：上述解法中，解法一要求有杰出的作图才能，且可以在作图完毕后可以看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小.而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角.当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比方刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们便可以建立空间直角坐标系，从而操纵向量的坐标暗示来求两个向量的夹角.如果没有这样的性质，我们也可以操纵空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合暗示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角.例2：已知空间四边AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为AM和CN所成的角为α，求cosα的值且两两之间的夹角均为60°.角）知足cosθ2）2；21+1+1）a2 a2；2=2a2.所以cosα=| cosθ例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，AB和CD所成的角的大小.解：取AC上点G，使AG：GC=1：2.保持EG、FG，可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD..则由2==4+1+4cosθ=7，得cosθAB和CD所成的角为60°.二、操纵模子求异面直线所成的角引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2.求证：cosθ= cosθ1·cosθ2.ABCDEFG证明：设PA 是α的斜线，OA 是PA 在α上的射影， OB//b ，如图所示.则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，过点O 在平面α内作OB ⊥AB ，垂足为B ，保持PB. 可知PB ⊥AB. 所以cos θ1 cos θcos θ2所以cos θ= cos θ1·cos θ2.这一问题中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线.我们无妨把θ1叫做线面角，θ叫做线线角，θ2叫做线影角.很分明，线线角是这三个角中最大的一个角.我们可以操纵这个模子来求两条异面直线a 和b 所成的角，即引理中的角θ.从引理中可以看出，我们需要过a 的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b 在α内的射影.例4：如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角. 解：由图可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45°，PbA BO α ABCD M所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，知足cos θ=cos45°· cos45°所以直线AC 与MB 所成的角为60°.例5：如图，在平面图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D.求异面直线AE 与CD 所成的角的大小.解：过E 作的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面 ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为60°， 射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为45°， 所以直线与直线所成的角θ知足 cos θ=cos60°· cos45°所以其大小为由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可以联想到操纵线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的先容，不再重PE DF ABC复.。

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。

如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。

其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。

Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。

解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。

设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。

解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。

设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。

解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。

异面直线所成角公式
异面直线所成角是指两条直线在同一平面内，但并不重合，且有一个交点的角度。

这种角度可以用以下公式来计算：
所成角（°）= 180° - 倾斜角1 - 倾斜角2
其中，倾斜角1和倾斜角2分别表示两条直线的倾斜角度。

注意，倾斜角是指直线与水平面的夹角，一般情况下，倾斜角的取值范围是0°~90°。

举个例子，如果有两条直线，倾斜角分别为30°和45°，那么它们所成角的大小就可以用以下公式计算：
所成角（°）= 180° - 30° - 45° = 105°
总之，异面直线所成角是指两条直线在同一平面内，但并不重合，且有一个交点的角度，可以使用以上公式来计算。