高一数学教案：3.1等差数列等差数列的性质.doc

高一数学教案：《等差数列性质》教学设计高一数学教案：《等差数列性质》教学设计一、内容和内容解析数列是高中数学的重要内容之一,也是培育同学数学学习力量的好素材.本章内容首先从学习数学的概念开头,然后学习等差数列和等比数列两种常用的数列.数列在实际生活中有着广泛的应用,如存放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列学问.同时,数列起着承前启后的作用,数列与前面学习的函数学问紧密联系,又为进一步学习数列的极限等作好预备。

等差数列是一种最基本的数列,讨论它的性质,需要通过观查、分析、归纳和猜想才能有所发觉.在探究等差数列性质的过程中使同学学会讨论数列的基本方法,提高数学再制造学习的力量.把握讨论数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着举足轻重的作用。

本节内容是人教A版高中数学必修五其次章其次节——等差数列。

本节是其次课时。

等差数列在日常生活中有着广泛的应用，是同学学习了等差数列的概念，通项公式的基础上，讨论等差数列的性质，让同学通过本节课的学习要求理解等差数列的性质，并且了解等差数列与一次函数的关系。

本节是其次章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是初步培育同学运用等差数列模型解决问题的良好题材。

等差数列是同学探究特别数列的开头，它对后续内容的学习，无论在学问上，还是在方法上都具有主动的意义。

所以把教学重点定为理解等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

二、目标和目标解析（一）教学目标1.理解等差数列的概念，把握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2.探究、发觉等差数列的性质,并能利用等差数列的概念及通项公式赐予证明,把握性质及运用性质解决一些简洁问题;通过优化问题设计,探究等差数列的性质,培育同学观查、分析、猜想、归纳和自主探究的力量。

高中数学数列教案：等差数列一、教学目标1.知识与技能：理解等差数列的定义及性质；学会利用等差数列的通项公式和前n项和公式解决实际问题；掌握等差数列的应用。

2.过程与方法：通过观察、归纳、推理等方法，探索等差数列的规律；学会运用等差数列的通项公式和前n项和公式进行计算；培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生独立思考、合作交流的精神；培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

二、教学重难点1.教学重点：等差数列的定义及性质；等差数列的通项公式和前n项和公式。

2.教学难点：等差数列的性质的证明；等差数列的应用问题。

三、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如斐波那契数列，引导学生思考数列的特点，导入等差数列的概念。

2.等差数列的定义及性质讲解等差数列的定义：一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列叫做等差数列。

讲解等差数列的性质：等差数列中任意连续三项的和等于中间项的三倍。

通过实例，让学生理解并掌握等差数列的定义及性质。

3.等差数列的通项公式讲解等差数列的通项公式：an=a1+(n1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

通过实例，让学生学会运用通项公式求解等差数列的特定项。

4.等差数列的前n项和公式讲解等差数列的前n项和公式：Sn=n/2(a1+an)，其中Sn表示前n项和。

通过实例，让学生学会运用前n项和公式求解等差数列的和。

5.等差数列的应用举例讲解等差数列在实际问题中的应用，如求和、最值问题等。

让学生独立完成一些等差数列的应用题，培养学生的解决问题的能力。

6.课堂小结强调等差数列在实际问题中的应用。

7.作业布置布置一些等差数列的练习题，让学生巩固所学知识。

四、教学反思本节课通过生活中的实例导入等差数列的概念，让学生在轻松的氛围中学习。

在讲解等差数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式时，注重通过实例进行教学，让学生在实际操作中掌握知识。

高一数学精品教案（二）等差数列一、知识点提要：1．等差数列定义：a n+1－a n =d （常数），即从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，叫等差数列，此常数用d 表示，称为公差.当d=0时，数列为常数列. 2．通项公式：a n =a 1+(n －1)d3．前n 项的和：)0(2)1(2)(11≠-+=+=d d n n na a a n S n n1na S n = （d=0）4．等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a,b 的等差中项，且2b a A +=5．等差数列的性质：（1）数列{a n }成等差数列，则 ①a n =a m +(n －m)d(m,n ∈N*)②若m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N*) 特别地：若2t=p+q ，则2a t =a p +a q（2）证明数列{a n }成等差数列的方法： 定义法：a n+1－a n =d （常数） 中项法：2a n+1=a n +a n+2. 二、重点难点突破：1．由等差数列的通项公式a n =a 1+(n －1)d 可知a n 是n 的一次函数，所以{a n }成等差数列B An a n +=⇔.2．由等差数列的前n 项的和公式2)1(1-+=n n na S n 可知{a n } 成等差数列.2Bn An S n +=⇔3．等差数列的前n 项的和S n 还有如下特点：（1）前m 项的和记为S 1，次m 项的和记为S 2，再m 项的和记为S 3……则数列{S n }也成等差数列.（2）若n 为奇数，则21+=n n na S ；n 为偶数则)(2122++=n n a a n n ；.21nd S S =-奇偶三、热点考题导析例1．在等差数列中，a 6+a 9+a 12+a 15=20，求S 20. 思路一：比较S 20与已知条件.解法一：∵a 6+a 9+a 12+a 15=20，∴4a 1+(5+8+11+14)d=20， ∴2a 1+19d=10，又),192(220120d a S +=∴S 20=100. 思路二：利用等差数列的性质.∵a 6+a 15=a 9+a 12=a 1+a 20，又由a 6+a 9+a 12+a 15=20，∴a 1+a 20=10，∴100)(22020120=+=a a S . 教师点评：在公式d n n na S n 2)1(1-+=中有4个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两个条件也可以列出方程组解.由于2)(1n n a a n S +=如果求到1+a n ，也可以免去求a 1和d.本例中就无法确定a 1和d 的值.有时还可以设出S n =an 2+bn ，利用已知条件确定两个系数a 和b.再看例2．四个数成等差数列，把它们分别加上4，3，3，5后又依次成等比数列，求这四个数. 分析：四个数成等差数列，可依次设为a ―3d 、a ―d 、a+d 、a+3d ，然后列出a 、d 的方程组求解.解：设此四个数依次为a ―3d 、a ―d 、a+d 、a+3d ，依题意，得⎩⎨⎧+++-=+++++-=+-)53)(3()3()3)(43()3(22d a d a d a d a d a d a ∴ ⇒⎩⎨⎧=-+-=---0622403422d a d d a d{10==d a 或 {3=-=d a （不合舍去） ∴此四个数为―3，―1，1，3. 教师点评：这里使用了对称设元法，类似地，若三个数成等差数列，则可设三数为a －d ，a,a+d ，这种对称设元法可以简化运算.例3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13<0. （1）求公差d 的取值范围.（2）指出S 1，S 2，S 3，……，S 12中那个值最大，并说明理由. 解：（1）依题意，有{{6011202121313021112120011111312<+>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒<>d a d a d a d a S S 将a 3=a 1+2d=12代入得： 3724-><-d （2）由S 12=6（a 6+a 7）>0，S 13=13a 7<0. 即a 6+a 7>0，a 7<0，故a 6>0，∴S 6最大.教师点评：等差数列的结构是：单调递增，单调递减或常数列.若递减且a 1>0,则前n 项的和S n 存在最大值，前多少项和最大，就是数列中前若干个正项的个数，因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处.类似地若a 1<0且递增，则S n 存在最小值. 学生演板（1）{a n }为等差数列，且a n >0(n ∈N*)S 3=S 11，问此数列的前多少项的和最大？（n=7）（2）已知等差数列{a n }中，S m =S n (m ≠n)，求)0,021(1==-++⋅++n m n m S d n m a S 例4．两个等差数列{a n }，{b n }它们的前n 项和之比为1235-+n n 求这个两个数列第9项之比.分析：可直把S n 代入，把分子、分母变成通项的形式.解：（法一）d n b dn a d n n nb d n n na S S nn '-+-+='-+-+='21212)1(2)1(1111 令821=-n ∴n=17 ∴991717b a S S =' 而383811723175991717==-⨯+⨯='b a S S （法二）38117231752/)(172/)(17171717117117117199=-⨯+⨯='=++=++=S S b b a a b b a a b a 教师点评：解法二较一巧妙，主要是灵活地运用了等差数列的性质(2)从而沟通了a n 与S 2n －1的关系.本题其实求任何的a k ∶b k 都可以.例5．已知数列{a n }中，a 1=1，)2(122≥-=n S S a n nn 求这个数列的前n 项的和S n .解：当n ≥2时，1212--==-n n n n nS S a S S ，∴1121222))(12(2---+--=--=n n n n n n n n n S S S S S S S S S ， ∴n n n n S S S S -=--112，即,2111=--n n S S ∴数列}1{n S 是首项为11111==a S 公差为2的等差数列， 122)1(111-=⨯-+=∴n n S S n ，故121-=n S n 教师点评：（1）n ≥2时，a n =S n ―S n ―1反映通项与前n 项的和的联系； （2）注意}1{nS 是等差数列利用性质求出S n . 例6．是否存在常数k 和等差数列{a n }，使Ka n 2―1=S 2n ―S n+1，其中S 2n ，S n+1分别是等差数列{a n }的前2n 项，前n+1项的和.若存在，试求出常数k 和{a n }的通项a n ；若不存在，请说明理由.解：这是一个探索性问题，一般先假设存在k.假设存在.设a n =pn+q(p,q 为常数)，则Ka n 2―1=kp 2n 2+2kpqn+kq 2―1,),()2(23,)1(21212q p n pq pn S S qn n pn S n n n +--+=-++=+ 则),()2(23122222q p n pq pn kq kpqn n kp +--+=-++故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--==)(1222322q p kq pq kpq p kp 由①得p=0或23=kp 当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p ≠0把23=kp 代入②，得;4p q -=把4p q -=代入③，又6481,2782732,23=-===k q p kp 从而得故存在常数=6481及等差数列2782732-=n a n 满足题意 四、课堂练习（1）在等差数列{a n }中，a 3+a 7―a 10=8,a 11―a 4=4.记S n =a 1+a 2+ ……+a n ，求S 13（156） （2）数列{a n }的前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n (n ∈N*)，则这个数列一定是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项后是等比数列D ．除去第一项后是等差数列 （A ）（3）设等差数列{a n }前n 项的和为S n ，已知331S 与441S 的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求数列的通项公式. （5325121+-==n a a n n 或）五、高考试题 （1）（2000年春季北京、安徽，13）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+…+a 101=0，则有（ ） A ．a 1+a 101>0 B ．a 2+a 100<0 C ．a 3+a 99=0 D ．a 51=51 答案：选 C分析：.0,0)(210109399310121=+∴=+=+++a a a a a a a 即① ② ③（2）（20XX 年全国理，3）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案：选B分析：∵前三项的和为12，∴a 1+a 2+a 3=12，332S a =∴ a 1a 2a 3=48，∵a 2=4，∴a 1a 3=12，a 1+a 3=8，把a 1,a 3作为方程的两根且a 1<a 3，∴x 2－8x+12=0，x 1=6，x 2=2，∴a 1=2，a 3=6.（3）（2000年全国文，18）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项的和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列}{nS n的前n 项的和，求T n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则,75,7,)1(211571==∴-+=S S d n n na S n{{=-+=∴=-==+=+=+=+∴d n a n S d a d a d a d a d a n )1(21.1,2571375105157217111111解得即 .4941211).1(21221n n T n S n S n n n n -=∴=-+-+-+评注：本题主要考查等差数列的基础知识和基本技能；运算能力. 六、考点检测（1）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项与奇数项的和之比为2732，则公差d=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2）等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为（ ） A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 （3）100与200之间所有是7的倍数但不是2的倍数的自然数之和为 .（4）二数列{a n }，{b n }满足a n +a m =a m+n ，b n b m =b n+m ,(m,n ∈N*)、若a 1=1，则a n = .若b 1=2,则b n = .（5）数列{a n }的通项为a n =33－2n 。

高一数学等差数列教案范文等差数列教案一1. 知识与技能(1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：(2)账务等差数列的通项公式及其推导过程：(3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。

2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。

3.情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。

在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。

①等差数列的概念;②等差数列的通项公式①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程.我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展.1.教法①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性.②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性.③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点.2.学法引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法.一：创设情境，引入新课1.从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么?2.水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位(单位：m)组成一个什么数列?3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金某(1+利率某存期).按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成一个什么数列?教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数.学生：1：0，5，10，15，20，25，….2：18，15.5，13，10.5，8，5.5.3:10072，10144，10216，10288，10360.(设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力.二：观察归纳，形成定义①0，5，10，15，20，25，….②18，15.5，13，10.5，8，5.5.③10072，10144，10216，10288，10360.思考1上述数列有什么共同特点?思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗?思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念.学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律;这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定.教师引导归纳出：等差数列的定义;另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义.(设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性;使学生体会到等差数列的规律和共同特点;一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达.) 三：举一反三，巩固定义1.判定下列数列是否为等差数列?若是，指出公差d.(1)1,1,1,1,1;(2)1,0,1,0,1;(3)2,1,0,-1,-2;(4)4,7,10,13,16.教师出示题目,学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题.注意：公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 .(设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用).2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗?为什么? (设计意图：强化等差数列的证明定义法)四：利用定义，导出通项1.已知等差数列：8，5，2，…，求第200项?2.已知一个等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an 呢?教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示.根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法;让学生初步尝试处理数列问题的常用方法. (设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识.鼓励学生自主解答，培养学生运算能力)五：应用通项，解决问题1判断100是不是等差数列2， 9，16，…的项?如果是，是第几项?2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.3求等差数列 3,7,11，…的第4项和第10项教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况.学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式(设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.初步认识“基本量法”求解等差数列问题.)六：反馈练习：教材13页练习1七：归纳总结：1.一个定义：等差数列的定义及定义表达式2.一个公式：等差数列的通项公式3.二个应用：定义和通项公式的应用教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充(设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念.)本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣.在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率.等差数列教案二教学准备教学目标掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题.教学重难点掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题.教学过程等比数列性质请同学们类比得出.1、通项公式与前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题.方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法.2、判断一个数列是等差数列或等比数列，常用的方法使用定义.特别地，在判断三个实数a,b,c成等差(比)数列时，常用(注：若为等比数列，则a,b,c均不为0) 3、在求等差数列前n项和的(小)值时，常用函数的思想和方法加以解决.例1：(1)设等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则前3n项和为.(2)一个等比数列的前三项之和为26，前六项之和为728，则a1=,q=.例2：四数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项之和为21，中间两项之和为18，求此四个数.例3：项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项.等差数列教案三教学准备教学目标知识目标等差数列定义等差数列通项公式能力目标掌握等差数列定义等差数列通项公式情感目标培养学生的观察、推理、归纳能力教学重难点教学重点等差数列的概念的理解与掌握等差数列通项公式推导及应用教学难点等差数列“等差”的理解、把握和应用教学过程由《红高粱》主题曲“酒神曲”引入等差数列定义问题：多媒体演示，观察----发现?一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

3.1 等差数列（第一课时）教学目的：1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：一、复习引入：（课件第一页）二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

（课件第二页）⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{ },若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。

2．等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：…… 由此归纳等差数列的通项公式可得：（课件第二页）第二通项公式（课件第二页）三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项(课本p111) ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2 在等差数列中，已知，，求 , , 例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

（课本p112例3）例5 已知数列{ }的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4）分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

注：①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… ②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)。

等差数列的概念、性质（优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

教学过程：1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++−=∈或()12,n n a a d n n N −+−=≥∈2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+− 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+−()11q a a q d =+− 两式相减，得()p q a a p q d =+− 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+−可得()1n a dn a d =+−，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =−=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a −−+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+−（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =−，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+−=−+−⨯=−令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =−，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =−，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥<所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d −≤<−∈∴=− 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==−其中n N +∈设221n n b a =−（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式 解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++−−=−=−==−−−−− 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+−=−+∴==−答案：（1）略 （2）12n n a n+=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a −−==≥+令1n nb a =（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =− ，34n b n =− 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =−= 求1,a d 答案：15,1a d =−=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =−；由b 为2与c 的等差数列，得4c =− 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a −的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==−则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =−=∴=−+∴=−+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =−+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =−，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+−−=− 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==−==− （2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n −=+−=−∴===−−=− 则1320n b n =−（3）503132*********b=−⨯=−，设它是{}n a中的第m项，则1004785m−=−，则2011m=，即{}n b中的第503项是{}n a中的第2011项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：A2.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．52答案：D3. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．35答案：C4. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案：D5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．21答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11 B．12 C．13 D．14答案：C2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33 答案：D3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案：A4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．160 答案：B 5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12答案：A6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 747. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______.答案： 858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项．(3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项． 24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1， ∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3.∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， ∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ， 即sin 2B ＝sin A ·sin C ， ∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2，∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0， 即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形．。

1等差数列（一） 创设情境，课题导入复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。

这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列： ⑴ 0 5 10 15 20 … …⑵ 48 53 58 63⑶ 18 15.5 13 10.5 8 5.5 ⑷ 10072 10144 10216 10288 10360教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。

（学生积极讨论，得到结论，教师指名回答） 共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数。

师：这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点，具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列。

（二）设置问题，形成概念等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。

师：如何用数学语言来描述等差数列的定义？ 学生讨论后得出结论：数学语言：d a a n n =--1 ）2(≥n 或 a a n n =-+1 n (≥1)那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。

提问：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？ 由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道： A-a=b-A所以就有 2ba A +=由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+（三）等差数列的通项公式 师：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。

等差数列性质教案2篇等差数列性质教案（一）导语：数学是一门抽象而又具体的学科，它包含了许多重要的概念和性质。

等差数列正是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

本教案将介绍等差数列的性质，帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、等差数列的定义1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差相等的数列。

这个相等的差值称为等差数列的公差，用d表示。

2. 等差数列的通项公式：对于等差数列an，若已知第一项a1和公差d，那么可以通过通项公式an=a1+(n-1)d来求得任意一项的值。

3. 等差数列的常用表示方法：等差数列也可以用{an}或{an}来表示。

二、等差数列的性质1. 常数数列是等差数列的一种特殊情况，其中公差d=0。

对于常数数列{an}=a1，其每一项的值都相等。

2. 等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和Sn是等差数列的前n项的和，可以用公式Sn=n(a1+an)/2来计算。

3. 等差数列的性质之一：等差数列的相邻项之和等于该项前面所有项的和。

即an + an+1 = 2an+2。

4. 等差数列的性质之二：等差数列的中间项等于该项前面和后面项的平均值。

即an = (an-1 + an+1)/2。

5. 等差数列的性质之三：等差数列的任意三项构成一个等差数列。

即an-1, an, an+1是一个等差数列。

三、等差数列的应用等差数列在实际生活中有着广泛的应用，如下所示：1. 计算天数：如果已知某个事件从第一天开始发生，且每天处理的数量保持等差数列增长，我们可以利用等差数列的通项公式来计算到达某个特定天数时的处理数量。

2. 财务管理：等差数列可以应用于财务规划中，如利息计算、还款计划等。

3. 构建模型：等差数列可以用来构建一些数学模型，如人口增长模型、环境污染模型等。

4. 数学推理：等差数列常常出现在数学推理题中，通过观察数列的性质和规律，可以帮助我们解答问题。

综上所述，等差数列是数学中一个重要的概念，具有其独特的定义和性质。

等差数列的性质教案知识点
等差数列的定义及性质
教学目标
1. 掌握等差数列的定义；
2. 了解等差数列的通项公式；
3. 掌握等差数列的和的公式。

教学重点
1. 等差数列的通项公式；
2. 等差数列的和的公式。

教学难点
等差数列的和的公式的推导过程。

教学过程
1. 引入
介绍等差数列的定义，让学生思考一下等差数列的性质。

2. 讲解
1. 等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的
前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

2. 等差数列的通项公式：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
解释一下公式中的参数：$a_n$ 是第n项，$a_1$ 是首项，
$d$ 是公差，$n$ 是项数。

3. 等差数列的和的公式：$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
解释一下公式中的参数：$S_n$ 是前n项和，$a_n$ 是第n项，$a_1$ 是首项，$n$ 是项数。

4. 分析等差数列的特点，让学生自己动手算一下例题。

3. 练
让学生做一些练题，巩固所学知识。

4. 总结
总结等差数列的定义及其通项公式和和的公式。

教学资源
教材、练题。

课后作业
完成指定的练题。

其他
无。