江苏省泰州市08-09学年高一上学期期末联考(数学)

2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{21},{12}A x x B x x =-<≤=-<≤∣∣A B = A ．B ．C ．D ．(]1,1-(2,2]-(2,1]-(1,2]-【答案】A【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.【详解】集合，所以.{21},{12}A x x B x x =-<≤=-<≤∣∣(1,1]A B ⋂=-故选：A 2．复数，则（ ）1i1i z +=-3z =A ．B ．C ．-1D ．1i -i【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用即可求出结果．2i 1=-【详解】解：，21i (1i)i 1i (1i)(1i)z ++===--+ ，33i i z ∴==-故选：A ．3．已知点，，若直线与直线垂直，则（ ）()1,0A ()3,1B AB 10x my -+=m =A ．B ．C ．D ．2-12-122【答案】B【分析】先求出直线的斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值．AB 1-m 【详解】依题意可得直线的斜率为，AB 101312-=-因为直线与直线垂直，AB 10x my -+=且直线的斜率为，10x my -+=2-所以，解得．12m =-12m =-故选：B ．4．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，，{}:1n a 12358其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称 3121a a ==21n n n a a a ++=+为“斐波那契数列”若，则（ ）.()36912621m a a a a a =+++++m =A ．B ．C ．D ．126127128129【答案】C【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法2n n a a +=-1n a +求得，然后将的系数倍展开即可求解．21n n S a +=-()36912621a a a a +++++2【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，121a a ==由，得 ，所以，，，()*21n n n a a a n ++=+∈N 2n n a a +=-1n a +132a a a =-243a a a =-⋯2n n a a +=-，1n a +将这个式子左右两边分别相加可得：，所以.n 1221n n n S a a a a +=+++=-21n n S a ++=所以.()3691261234567891241251261261282111a a a a a a a a a a a a a a a a S a +++++=++++++++++++=+=故选：C ．5．已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）C y 2y x =±C AB ．CD2【答案】A【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率.ab 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，y 由于双曲线的渐近线方程为，2y x =±所以，即，2ab =12ba =所以c e a =====故选：A6．已知函数的导函数为，且，则（ ）()f x ()'f x ()2cos 6f x xf xπ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭6f π⎛⎫=⎪⎝⎭A ．B ．CD12-126π6π【答案】D【分析】将求导并代入即可得出，即可得到的具体解析式，再代入()f x 6x π=6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭()f x 即可得出答案.6x π=【详解】，()2cos 6f x xf xπ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭ ，()2sin 6f x f xπ⎛⎫''∴=- ⎪⎝⎭令，则，6x π=2sin666f f πππ⎛⎫⎛⎫''=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，162f π⎛⎫'=⎪⎭∴⎝则，()cos f x x x=+ cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎭⎝∴故选：D.7．已知等差数列中， 记，，则数列的前项和为（ ）{}n a 452a a +=11n n n a b a +=-*N n ∈{}n b 8A ．B ．C ．D ．04816【答案】C【分析】分离常数可得，设，当，时，可得，故21,1n n b a =+-21n n c a =-18n ≤≤*N n ∈90n n c c -+=可得数列的前项和．{}n b 8【详解】由等差数列性质得945n n a a a a -++＝11221,111n n n n n n a a b a a a +-+===+---设，当，时，21n n c a =-18n ≤≤*N n ∈()()()()94599992222220,111111n n n n n n n n n n a a a a c c a a a a a a -----+-+-+=+=⋅=⋅=------故1238b b b b ++++1281282221118111c c c a a a =++++++=++++---()()()()1827364588c c c c c c c c =++++++++=故选：C 8．已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，若()f x ()f x 'R ()1f x +()()g x f x '=是奇函数，则（ ）()g x ()10g =A ．B ．C ．D ．201-2-【答案】B 【分析】根据是奇函数，可得，两边求导推得，()1f x +()()11f x f x -+=-+()()2g x g x =-+，再结合题意可得4是函数的一个周期，且，进而可求解．()()20g g =()g x ()00g =【详解】因为 是奇函数，所以，()1f x +()()11f x f x -+=-+两边求导得 ，()()11f x f x ''--+=-+即，()()11f x f x ''-+=+又，()()g x f x '=所以，即，()()11g x g x -+=+()()2g x g x =-+令 ，可得 ，2x =()()20g g =因为是定义域为的奇函数，所以，即．()g x R ()00g =()20g =因为是奇函数，()g x 所以 ，又，()()g x g x -=-()()2g x g x =-+所以，则，，()()2g x g x -+=--()()2g x g x +=-()()()42g x g x g x +=-+=所以4是函数的一个周期，()g x 所以．()()1020g g ==故选：B ．二、多选题9．已知圆，点，，则（ ）:C ()()225516x y -+-=()4,0A ()0,2B A ．点在圆外B ．直线与圆相切A C 1x =C C ．直线与圆相切D ．圆与圆相离AB C 2249x y +=C 【答案】AB【分析】根据已知写出圆心、半径.代入点坐标，即可判断A 项；分别求出圆心到直线的距离，A 比较它们与半径的关系，即可判断B 、C 项；求出圆心距，根据与两圆半径的关系即可判OCOC断D 项.【详解】解：由题，圆的圆心坐标为，半径为，C ()5,5C 4r =对于A 项，因为，所以点在圆外，故A 正确；()()2245052616-+-=>A C 对于B 项，圆心到直线的距离为，故直线与圆相切，故B 项正确；1x =1514d r=-==1x =C 对于C 项，直线的方程为，整理得，则圆心到直线的距离为AB 142x y+=240x y +-=C AB，24d r >=所以直线与圆相离，故C 错误；AB C 对于D 项，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心间的距离为2249x y +=()0,0O 7R ==因为，所以圆与圆相交，故D 错误.310R r R r -=<<=+2249x y +=C 故选：AB ．10．已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的{}n a n n S 7n =n S 0k S >正整数可能为（ ）k A ．B ．C ．D ．12131415【答案】BC 【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的10a >0d <70a >80a <131415S S S ，，78a a +符号即可求解．【详解】因为当且仅当时，取得最大值，7n =n S 所以，公差，且，．10a >0d <70a >80a <所以，，，()113137131302a a S a ⨯+==>()()11414781472a a S a a ⨯+==+()115158151502a a S a ⨯+==<故时，．15n ≥0n S <当时，，则满足的最大的正整数为；780a a +>140S >0k S >k 14当时，，则满足的最大的正整数为，780a a +≤140S ≤0k S >k 13故满足的最大的正整数可能为与．0k S >k 1314故选：BC ．11．已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（ ）2:4C y x =F ()00P x y ，C ()21A ，A ．当时，02x =3PF =B ．当时，在点处的切线方程为01y =C P 2210x y -+=C ．的最小值为PA PF+3D ．的最大值为PA PF-【答案】ACD 【分析】当时，求出判断A ；02x =PF 设切线与抛物线联立使求出切线方程判断B ；Δ0=利用抛物线的定义转化求解的最小值可判断C ；PA PF+根据三角形两边之差小于第三边判断D ．【详解】因为抛物线，所以准线的方程是.2:4C y x =l =1x -对于，当时，，此时，故A 正确;A 02x =24p =0||2132pPF x =+=+=对于B ，当时，，令切线方程为:，与联立得01y =014x =1(1)4m y x -=-24y x =2y -，4410my m +-=令，解得，即切线方程为:，即，故B 错2161640m m ∆=-+=12m =11(1)24y x -=-4210x y -+=误;对于C ，过点分别作准线的垂线，垂足为,P A l ,,Q B则，所以的最小值为故C 正确.||||||||||3PA PF PA PQ AB +=+≥=||||PA PF +3,对于D ，因为焦点，所以(1,0)F ||||||PA PF AF -≤==所以故D 正确.||||PA PF -故选：ACD12．已知 ，则（ ）22e e x yx y --<-A ．B ． ()ln 10x y ++<2()1e x yx y +++<C ．D ．sin sin x y x y +>--22cos cos x y y x ->-【答案】BC【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x 与y 的关系，再根据函数的性质逐项分析.【详解】因为 ，即 ．22e e x y x y --<-()22e e x y x y --<--令 ，则有，()2e xf x x =-()()f x f y <-则 ，令，则，()'2e x f x x =-()2e xg x x =-()'2e xg x =-令 ，可得，()'2e 0x g x =-=ln2x =当时，，函数单调递增，()ln2x ∈-∞，()'0g x >()g x 当时，，函数单调递减，()ln2x ∈+∞，()'0g x <()g x 故，()()max ln22ln220g x g ==-<所以总有 ，故单调递减；所以，即；()'0f x <()f x x y >-0x y +>对于A ，，故A 错误；()ln 1ln10x y ++>=对于B ，设 ，则，()()2e 10x h x x x =-->()()''e 20x h x x f x =-=->故在上单调递增，所以，()h x ()0+∞，()()00h x h >=所以，因为，所以，故B 正确；()21e 0x x x +<>0x y +>()21ex yx y +++<对于C ，，即．sin sin x y x y +>--()()sin sin x x y y +>-+-设，则，()sin u x x x=+()()u x u y >-则，所以单调递增．()1cos 0u x x ='+≥()u x因为，所以，故C 正确；x y >-()()u x u y >-对于D ，，即，22cos cos x y y x ->-22cos cos x x y y +>+令，则，()2cos t x x x=+()()t x t y >因为，所以为偶函数，()()()()22cos cos t x x x x x t x -=-+-=+=()2cos t x x x=+所以即为．()()t x t y >()()t x t y >-则 ，令，则，所以单调递增．()'2sin t x x x=-()2sin m x x x =-()'2cos 0m x x =->()m x 又，()00m =所以当时，，，函数单调递减；()0x ∈-∞，()0m x <()'0t x <()t x 当时，，，函数单调递增，()0x ∈+∞，()0m x >()'0t x >()t x 当时，，故D 错误；0y x -<<()()t y t x ->故选：BC.三、填空题13．已知等比数列的公比不为，，且，，成等差数列，则__________．{}n a 111a =2a 4a 3a 5a =【答案】/0.0625116【分析】根据条件求出公比q ，再运用等比数列通项公式求出 .5a 【详解】根据题意得，， 且，32420a a a +-=2311120a q a q a q ∴+-=2320q q q +-=1q ≠解得，，；12q =-11a = 445111216a a q ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭故答案为： .11614．已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大()50A -，()50B ，P PA PB 1625-PAB 值为__________．【答案】20【分析】根据条件，运用斜率公式求出P 点的轨迹方程，再根据轨迹确定 面积的最大值.PAB 【详解】设，由题意可知，，()P m n ，2216552525PA PBn n n k k m m m ⋅=⋅==-+--整理得；()22152516m n m +=≠±得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点，P A B (A B )显然当点位于上下顶点时面积取得最大值，P PAB 因为，，5a =4b =所以；()max 12202PAB S a b =⨯⨯= 故答案为：20.15．已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等()f x ()f x 'R ()f x ()()0.f x f x '->式的解集为__________．()2320f x x -+>【答案】()1,2【分析】设，由导数法可得单调递减，可转化为()()x f x g x =e ()g x ()2320f x x -+>，根据单调性即可求解．()()2320g x x g -+>【详解】设，则，故单调递减．()()x f x g x =e ()()()0xf x f xg x e '-'=<()g x 因为为奇函数，定义域为，所以，故．()f x R ()00f =()()0000e f g ==可转化为，即．()2320f x x -+>()223232ex x f x x -+-+>()()2320g x x g -+>因为单调递减，所以，解得．()g x 2320x x -+<12x <<故答案为：．()1,216．已知实数，，，满足，，，则1x 2x 1y 2y 22114x y +=22229x y +=12120x x y y +=的最大值是___________．112249x y x y +-++-【答案】1313+【分析】由已知得分别在圆和圆上，利用数形结合法，将所求问题转化,A B 224x y +=229x y +=为两点到直线和倍，再利用三角函数求出其最大值即,A B 40x y +-=90x y +-=可．【详解】解：由，可知，22114x y +=22229x y +=点，分别在圆和圆上，()11,A x y ()22,B x y 224x y +=229x y +=如图，作直线，过作于，过A 作于，:l y x =-B BD l ⊥D AE l ⊥E而，1122|4||9|x y x y +-++-表示A 到直线的距离，40x y +-=1d表示到直线的距离，B 90x y +-=2d 因为与，平行，y x =-40x y +-=90x y +-=且与的距离为，y x =-40x y +-=3d与的距离为y x =-90x y +-=4d 要使的取最大值，则需在直线的左下角这一侧，112249x y x y +-++-,A B :l y x =-所以1||d AE =+2||d BD =由得，12120x x y y +=OA OB ⊥设，因为，所以，π,0,2DOB θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭OA OB ⊥π2AOE θ∠=-从而，π||||sin 3sin ,||||sin 2cos 2BD BO AE AO θθθθ⎛⎫=⋅==⋅-= ⎪⎝⎭故，()||||3sin 2cos BD AE θθθθθϕ⎫+=+=+⎪⎭其中，π20,,tan 23ϕϕ⎛⎫∈=⎪⎝⎭故当时，π2θϕ=-||||BD AE +从而，)1122124913x y x y d d +-++-=+=≤即．1122|4||9|x y x y +-++-13．13【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值.四、解答题17．已知中，．ABC )222sin sin sin 2sin sin cos A B C A BC +-=-(1)求；C (2)若，，求的面积．45A =2BC =ABC 【答案】(1)π6【分析】由正弦定理得，再由余弦定理得，可得()1)2222cos a b c abC +-=cos cos C C =；cos C =C 由正弦定理得，得出，再得出，由三角形面积公式可得的面积．()22sin45sin30BA= BA sin B ABC 【详解】（1）设，，对边长，，A B C a b c因为)222sin sin sin 2sin sin cos A B C A BC +-=由正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C ===所以，)2222cos a b c abC +-=所以，222cos 2a b c Cab +-=即，cos cos C C =-所以，cos C =因为，()0,πC ∈所以；π6C =（2）中，，，，ABC 45A =2BC =30C =因为，sin sin BC BAA C =所以，2sin45sin30BA=所以，BA =因为，()sin sin sin45cos30cos45sin30B A C =+=+= 所以1sin 2ABC S BA BC B =⋅⋅122=⨯．=18．已知数列中，，当时，记，．{}n a 15a =2n ≥1221.nn n a a -=+-12n n n a b -=*n N ∈(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式{}n b {}n a ;(2)求数列的前项和．{}1n a -n n T 【答案】(1)证明见解析，()121n n a n =++(2)．12n n T n +=⋅【分析】（1）对递推公式变形，求出 的通项公式，再求出 的通项公式；{}n b {}n a （2）运用错位相减法求和.【详解】（1）因为且当时，，15a =2n ≥1221nn n a a -=+-所以当时，，2n ≥()11212nn n a a --=-+所以，因为，即，1111122n n nn a a ----=+12n n n a b -=11n n b b --=所以是以为首项，为公差的等差数列，{}n b 11122a b -==1所以，()121112n na n n -=+-⨯=+所以；()121n n a n =++（2）由知，()2()1()112n n a n -=+则…①…②，()12223212nn T n =⨯+⨯+++⨯ ()2312223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ①-②得()12312222212n n n T n +-=⨯++++-+⨯ 所以；()()1141241212n n n -+-=+-+-()111442122n n n n T n n +++=-+-++=⋅综上，， .()121n n a n =++12n n T n += 19．已知函数．()()ln 1=1x x f x x +--(1)求函数的最大值；()f x (2)记，．若函数既有极大值，又有极小值，求()()()()21211g x x f x x a x =+++--+a ∈R ()g x 的取值范围．a 【答案】(1)2(2)()+∞【分析】（1）对函数求导，研究函数的单调性，从而可得函数的最值；（2）条件等价于方程在区间上有两个不相等的实数根，列关于()22430x a x a +-+-=()1,-+∞的不等式，求解即可．a 【详解】（1）由函数，则其定义域为，，()()ln 1=1x x f x x +--()1,∞+()()()2ln 1=1x f x x '---当时，；当时，，()1,2x ∈()0f x ¢>()2,x ∈+∞()0f x '<所以函数在区间上为增函数；在区间为减函数，()f x ()1,2()2,+∞所以；()()max 22f x f ==（2）由，()()()()()()221211ln 123g x x f x x a x x x a x =+++--+=++--+(1)x >-则，()()()224312211x a x a g x x a x x +-+-=+--='++因为既有极大值，又有极小值，()g x 即等价于方程在区间上有两个不相等的实数根，()22430x a x a +-+-=()1,-+∞即，解得()()()22430414Δ4830a a a a a ⎧--+->⎪-⎪>-⎨⎪⎪=--->⎩a >所以所求实数的取值范围是．a ()+∞20．设数列的前项积为，且．{}n a n nT22nn T =(1)求数列的通项公式{}n a ;(2)记区间内整数的个数为，数列的前项和为，求使得的最[]()*1,m m a a m N +∈m b {}m b m m S 2023m S >小正整数．m 【答案】(1)212n n a -=(2)5【分析】（1）根据与的关系，类比与的关系求通项即可；n T n a n S n a （2）根据定义求出的通项，再由公式法求和，最后解不等式即可.m b 【详解】（1）因为数列的前项积，{}n a n 22n n T =①当时，，1n =12a =当时，，2n ≥2(1)1212n n a a a --⋅=②除以得，①②212n n a -=又时，满足，1n =12a =212n na -=所以.212n n a -=（2）因为区间内整数的个数为，[]()*1,m m a a m N +∈m b 所以，212121221321m m m m b +--=-+=⋅+所以.()214324214m mm S m m -=⨯+=⨯+--由，得，即，2023m S >2422023m m ⨯+->242025m m ⨯+>当时，，4m =424451245162025⨯+=+=<当时，，5m =52452048520532025⨯+=+=>因为随的增大而增大，24mm ⨯+m 所以的最小整数为．2023m S >521．已知椭圆，，左、右顶点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 别为，，上顶点为，的周长为点，异于两点且在上，直线，1A 2A B 12BF F △ 4.P Q 12,A A C 1A P ，的斜率分别为，，，且2A Q 2A P 1k 2k3k 123k k =(1)证明为定值13k k ;(2)求点到直线距离的最大值．B PQ 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用题意得到关于的等式，联立方程组即可求得，设，代入椭圆,,a b c ,,a b c ()11,P x y 方程可得到，然后利用两点斜率公式即可求证；221114x y +=（2）先推断出直线斜率必不为，设其方程为，与椭圆进行联立得到二次方PQ 0()2x ty n n =+≠±程，可得到代入即可算出答案12221222444tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()1223121212122y y kk x x ⋅-==--【详解】（1）设椭圆焦距为，2c 由题知，解得，222224c a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为，2214x y +=依题意，，设椭圆上任一点，则，()12,0A -()22,0A ()11,P x y 221114x y +=所以；21211113221111114·22444x y y y k k x x x x -⋅====-+---（2）设，若直线的斜率为，则，关于轴对称，必有，不合题意，()22,Q x y PQ 0P Q y 12k k =-所以直线斜率必不为，设其方程为，PQ 0()2x ty n n =+≠±与椭圆联立，整理得：，C 2244x y x ty n⎧+=⎨=+⎩()2224240t y tny n +++-=所以，且()221640t n ∆=+->12221222444tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由（1）知，即，123134k k k =-=23121k k ⋅=-即，即，()()121212122y y x x =---()()()121212121224y y ty n ty n t y y n =-⎡⎤++-+++⎣⎦即，()()122212121212(2)y y t y y t n y y n =-+-++-即，()()()()22212212224n t n t n n t +=-+-+-+所以，此时，1n =-()()2221641630t n t ∆=+-=+>故直线恒过轴上一定点，:1PQ x ty =-x ()1,0D -所以点到直线B PQ 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．已知函数，其中，()ln f x a x bx=-a .b R ∈(1)若，求函数的单调区间1a =()f x ;(2)若，函数有两个相异的零点，，求证：．1b =()f x 1x 2x 212e x x >【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）不妨令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立．120x x >>212e x x >【详解】（1）当时，，定义域为，1a =()ln f x x bx=-()0+∞，所以，，()11bx f x b x x -'=-=所以，时，在上恒成立，0b ≤()0f x '≥()0+∞，故在上单调递增，()f x ()0+∞，当时，令得，0b >()0f x '=1x b =所以，当时，，单调递增，11x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>()f x 时，，单调递减，1x b ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()'0f x <()f x 综上，时，在上单调递增，0b ≤()f x ()0+∞，时，在上单调递增，在上单调递减；0b >()f x 10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，（2）由题知，，1b =()ln f x a x x=-因为函数有两个相异零点，，且，()y f x =1x 2x ()11f =-所以且，，即，11x ≠21x ≠1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩1122ln ln x a x x a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，方程有两个不相等的实数根，ln xa x =令，则，()ln x g x x =()2ln 1(ln )x g x x -'=故当时，，时，，()()011e x ∈⋃，，()0g x '<()e x ∈+∞，()0g x '>所以，在，上单调递减，在上单调递增，()g x ()01，()1e ，()e ，+∞因为，，，，()01x ∈，()0g x <()1x ∈+∞，()0g x >所以，要使方程有两个不相等的实数根，ln xa x =则，()e ea g >=不妨令，则，，120x x >>11ln a x x =22ln a x x =所以，()()1212121212ln ln ln ln ln a x x a x x x x a x x x x +==+-=-，要证，只需证，即证：，212ex x >12ln 2x x >1212ln 2x x x x a +=>因为，1212ln ln 1x x a x x -=-所以，只需证，()121211212122ln ln ln 2x x x x x x x x x x x x -++=>--只需证，即，1211221ln 21x x xx x x +>-1112221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故令，121x t x =>故只需证，成立，()()1ln 21t t t +>-1t >令，，()()()1ln 21h t t t t =+--1t >则，()11ln 2ln 1+'=+-=+-t h t t t t t 令，()1ln 1g t t t =+-在恒成立，()221110t t t g t t '-=-=>()1+∞，所以，在上单调递增，()h t '()1+∞，因为，()10h '=所以在恒成立，()0h t '>()1+∞，所以，在上单调递增，()h t ()1+∞，所以，，即，()()10h t h >=()()1ln 21t t t +>-所以，成立．212e x x >【点睛】思路点睛：本题第二问令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数120x x >>212e x x >即可证明结，本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题．。

泰州市2005～2006学年度第一学期期末联考高一数学试题(考试时间：120分钟 总分150分)注意事项：1、本试卷共分两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为填空题和解答题。

2、所有试题的答案均填写在答题纸上（选择题部分使用答题卡的学校请将选择题的答案直接填涂到答题卡上），答案写在试卷上的无效。

公式：棱锥的体积V=31sh ； 球的表面积S=4πR 2 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求.）1.设集合P={1,2,3,4}，Q={x| |x|≤2，x ∈R}，则P ⋂Q 等于 A.{1，2} B.{3，4}C.{1}D.{-2，-1，0，1，2}2.下列三个数：3.0log ,3,3.033.03===c b a 的大小顺序是 A.c b a <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<3.下图是某物体的直观图，在右边四个图中是其俯视图的是A. B. C. D.4.己知函数y=x 2的值域是［1，4］，则其定义域不．可能是A.［1，2］B.［－23，2］ C.［－2，－1］ D.[－2，－1)∪｛1｝ 5.下列判断正确的是A.定义在R 上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上不是减函数C.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数， 则f(x)在R 上是减函数D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个 6.圆x 2+y 2-2ax+3by=0（a>0,b>0）的圆心位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 7.圆x 2＋y 2－2x －3=0与直线y=ax ＋1交点的个数为 A.0个B.1个C.2个D.随a 值变化而变化8.一组实验数据如下表与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的A.V=log 2tB.V=-log 2tC. V=2t-2D. V=12(t 2-1)9.如图正方形O ’A ’B ’C ’的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 A.8cmB.6 cmC.2(1+3)cm 10.设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两 互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，则球的表面积为 A.350π B.25π C. 50π D. 100π11. 下面三条直线l 1：4x+y=4，l 2：mx+y=0,l 3：2x-3my=4不能构成三角形，则m 的集合是A.{-1，23}B.{4，16-}C.{-1，16-，23，4} D.{-1，16-，0，23，4}12.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：① 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n. 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4第II 卷 （共90分）二、填空题：(本大题共6题，每小题4分，共24分.)13. 已知三角形的三顶点A （2，-1，4），B （3，2，-6），C （-5，0，2），则BC 边上的中线长为 ▲ .14.计算：2log 12213314lg 2lg 5lg 94---+-+-⎪⎭⎫⎝⎛= ▲ .15.已知x+2y-3=0的最小值是 ▲ .16. 正三棱锥P －ABC 侧棱长为a,∠APB=30o，D 、E 分别在PB 、PC 上， 则△ADE 的周长的最小值为 ▲ .17.若方程232-=x x的实根在区间()n m ,内，且1,,=-∈m n Z n m ，则=+n m ▲ .18.若函数f(x)=2＋log 2x 的图像与g(x)的图像关于 ▲ 对称，则函数 g(x)= ▲ .(填上正确的命题的一种情形即可，不必考虑所有可能情形) 三、解答题：(本大题共6小题，共66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)19.(10分)一个三棱柱木块如图所示，要经过侧面A A 1B 1B 内一点M 和直线EF（E 、F 分别为BC 、B 1C 1的中点）将木块锯开，应怎样画线？并说明理由.20. (10分)已知f(x)=log axx-+11 (a ＞0，a ≠1)， (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)单调性并用定义证明.21. (本小题满分10分)己知圆C:(x-x o )2+(y-y 0)2=R 2(R>0)与y 轴相切 (1) 求x o 与R 的关系式(2) 圆心C 在直线l ：x －3y=0上，且圆C 截直线m ：x －y=0所得的弦长为27，求圆C 方程.22.(10分)电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付 话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图所示(其中MN ∥CD).(1)分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)； (2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案？ 并说明理由.23.(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，通话时间(分钟)11AB ∥CD ，BA ⊥AD ，且CD=2AB.(1)若AB=AD=a,直线PB 与CD 所成角为450， ①求四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ； ②求二面角P －CD －B 的大小.(2)若E 为PC 中点，问平面EBD 能否垂直于平面ABCD ，并说明理由.24.(本小题14分) 定义：若函数f(x)对于其定义域内的某一数x 0，有f(x 0)= x 0， 则称x 0是f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+b-1(a ≠0). (1)当a=1，b=-2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意的实数b ，函数f(x)恒有两个不动点，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上两个点A 、B 的横坐标是函数f(x)的不动点， 且A 、B 两点关于直线y=kx+1452+-a a a对称，求b 的最小值. 泰州市2005-2006学年度第一学期期末联考高一数学参考答案一、选择题：二、填空题： 13. 7 14. 0 15.553 16. 2a 17. －318. 原点，g(x)=－2－log 2(－x) 或x 轴，g(x)=－(2＋log 2x)或y 轴，g(x)=2＋log 2(－x) 或y=x 轴，g(x)=2x-2.（答对相应的 g （x ）才给分） 三.解答题：PECDBA19. 作法：过点M 在平面AB 1内作PQ ∥BB 1， 分别交AB ，A 1B 1于P 、Q.连结EP 、FQ ， 则EP 、FQ 、PQ 就是所要画的线.…………5分 证明：∵点M 与EF 确定平面α，设α 平面AB 1=PQ又∵E 、F 分别为BC 、B 1C 1的中点 ∴EF ∥BB 1 ∵BB 1⊂平面AB 1∴EF ∥平面AB 1 ……………………………7分 又∵α 平面AB 1=PQ ∴EF ∥PQ∴PQ ∥BB 1.…………………………………10分 20. 解：(1)∵xx-+11 ＞0 ∴-1<x<1故定义域为（-1,1）.…………………………3分 (2)∵f(-x)=log ax x +-11=log a(x x -+11)-1=－log a xx-+11 =－f(x) ∴f(x)为奇函数.……………………………………6分 (3)设g(x)=xx -+11，1A取-1<x 1<x 2<1，则 g(x 1)－g(x 2)=1111x x -+－2211x x -+=()()()2121112x x x x --- <0 ∴g(x)在x ∈(-1,1)为递增函数……………………………8分 ∴a>1时,f(x)为递增函数0<a<1时,f(x)为递减函数……………………………………10分 21. 解：(1)|x 0|=R ………………………………………………3分(2)由圆心C 在l:x －3y=0上 可设圆心C(3y o ，y o ) ∵圆C 与y 轴相切 ∴R=3｜y o ｜ ∵d=23oo y y -=2｜y o ｜ ………………………5分 ∴弦长=222d R -=27 ∴ 22229o o y y -=27………………………7分∴y o =±1. ∴R=3. ∴圆C 方程: (x －3)2＋(y －1)2=9 或(x ＋3)2＋(y ＋1)2=9…………………10分 22.解：⑴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤100,101031000,20x x x (3)分g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤500,1001035000,50x x x ……………………5分(1) 当f(x)=g(x)时103x-10=50 ∴x=200.………………………………………………………7分 ∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可………8分当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A ；………9分 当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)<f(x),故选方案B.……10分 23.解：(Ⅰ)∵AB ∥CD∴∠PBA 是PB 与CD 所成角 即∠PBA=450∴在直角△PAB 中，PA=AB=a(1)V P －ABCD =31·PA ·S ABCD =21a 3. ……3分(2)∵AB ⊥AD ，CD ∥AB ∴CD ⊥AD 又PA ⊥底面ABCD ∴PA ⊥CD ∴CD ⊥平面PADOPEDCBA∴CD⊥PD∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角……………5分在直角△PDA中,∵PA=AD=a∴∠PDA=450即二面角P－CD－B为450.…………………………7分(Ⅱ) 平面EBD不可能垂直于平面ABCD.…………8分假设平面EBD⊥平面ABCD，∵PA⊥底面ABCD，且PA 平面EBD∴PA∥平面EBD连AC、BD交于O点，连EO又∵平面EBD 平面PAC=EO∴PA∥EO由△AOB∽△COD，且CD=2AB∴CO=2AO∴PE:EC=AO:CO =1:2∴E是PC的三等分点与E为PC中点矛盾∴平面EBD不可能垂直于平面ABCD.…………………12分24.解：(1)f(x)=x2-x-3，由x2-x-3=x，解得 x=3或-1，所以所求的不动点为-1或3.………………………4分(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x，则ax2+bx+b-1=0 ①由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b2-4a(b-1)>0，即b 2-4ab+4a >0恒成立，………………………………6分 则△'=16a 2-16a ＜0，故0<a<1 …………………………8分 (3)设A(x 1，x 1)，B(x 2，x 2)(x 1≠x 2)，则k AB =1，∴k=﹣1， 所以y=-x+1452+-a a a，……………………………………9分又AB 的中点在该直线上，所以x 1+x 22=﹣x 1+x 22+1452+-a a a，∴x 1+x 2=1452+-a a a， 而x 1、x 2应是方程①的两个根，所以x 1+x 2=﹣b a ，即﹣b a =1452+-a a a，∴b=﹣14522+-a a a …………………………………………12分=-514112+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =-1)21(12+-a∴当 a=21∈(0，1)时，b min =-1.………………………………14分。

2021-2022学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，3]2．已知复数z 满足|z |+z ＝8+4i ，则z ＝（ ）A ．3+4iB ．3﹣4iC ．﹣3+4iD ．﹣3﹣4i3．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边上有一点P （﹣3，4），则tan2α＝（ ）A ．724 B ．−724 C ．247 D ．−2474．在（x 2+2）（1x +1）8的展开式中，常数项为（ ） A ．27B ．28C ．29D ．305．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，l 与x 轴交于点A ，过点A 作抛物线的一条切线，切点为B ，则△OAB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．86．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ） （参考数据：P （|X ﹣μ|＜σ）＝0.683，P （|X ﹣μ|＜2σ）＝0.954，P （|X ﹣μ|＜3σ）＝0.997）A ．16B ．18C ．20D ．257．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x +a ，则f （2021）+ f （2022）＝（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．48．已知2a =√3，5b =2√2，c =45，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于函数f （x ）＝sin x +cos x ，下列说法正确的有（ ）A ．2π是一个周期B ．关于（π2，0）对称C ．在[0，π2]的值域为[1，√2]D ．在[π4，π]上递增10．在平行四边形ABCD 中，若AE →=12AB →，AF →=12AD →，则（ ）A ．EF →=12BD →B ．AD →+CD →+BE →=0→C ．AC →+2DF →+2BE →=0→D ．若AC ⊥BF ，AB →•AD →=BC 2→−2CD 2→11．已知首项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，曲线∁n ：a n x 2+a n +1y 2＝1，则下列叙述正确的有（ ）A ．q ＝1，∁n 为圆B ．q ＝﹣1，∁n 离心率为2C ．q ＞1，∁n 离心率为√1−1qD ．q ＜0，∁n 为共渐近线的双曲线12．如图，两个底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，S 1﹣ABCD 组合成一个新的多面体Γ，其中△SAD ，△S 1BC 为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面SAD ，平面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为L ，则下列结论正确的有（ ）A ．SB ⊥BCB ．SC ⊥ABC ．多面体Γ有外接球D ．L 为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．13．写出一个公差不为零，且满足a 1+a 2﹣a 3＝1的等差数列{a n }的通项公式a n ＝ ．14．若直线x ﹣ay +2a ＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则实数a 的值为 ．15．若函数f （x ）＝cos2x +a cos x 在（0，π3）上是减函数，则实数a 的取值范围为 ．16．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，若该三角形绕着三条边a ，b ，c 旋转一周所得几何体的体积分别为V a ，V b ，V c ．若V a =14，V b =13，V c =12，则cos A 的值为 ；若∠BAC =π6，V b V c ＝1，则V b 2+V c 2−1V a 2的值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asin2B −√3bsinA =0．（1）求角B 的大小；（2）给出三个条件：①b =√3；②a +c =3+√3；③c sin C ＝sin A ，试从中选出两个条件，求△ABC 的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，2√S n=a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•2a n}的前n项的和．19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3．（1）平面P AC ⊥平面ABC ；（2）点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，且二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等，求实数λ的值．20．（12分）一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯Ⅰ和Ⅱ．电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯Ⅰ先运行．设电梯在每一层运行时间为a．现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量X．（1）求P（X＝0）；（2）为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点坐标为B （﹣2，0），C （2，0），直线AB ，AC 的斜率乘积为14． （1）求顶点A 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （1，0）的直线与曲线Γ交于点M ，N ，直线BM ，CN 相交于点Q ，求证：OP →•OQ →为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣sin x，e为自然对数的底数．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）≥1﹣x﹣sin x，求实数a的最大值；（3）证明：当a＜12时，f（x）在x＝0处取极小值．2021-2022学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，3]解：由已知可得集合A ＝{x |﹣1＜x ＜﹣3}，集合B ＝{x |x ＞0}，则∁R B ＝{x |x ≤0}，所以A ∩（∁R B ）＝{x |﹣1＜x ≤0}，故选：C ．2．已知复数z 满足|z |+z ＝8+4i ，则z ＝（ ）A ．3+4iB ．3﹣4iC ．﹣3+4iD ．﹣3﹣4i解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），所以a +bi +√a 2+b 2=8+4i ，故{a +√a 2+b 2=8b =4，解得：{a =3b =4，故z ＝a +bi ，故选：A ．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边上有一点P （﹣3，4），则tan2α＝（）A ．724B ．−724C ．247D ．−247解：因为在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边上有一点P （﹣3，4），所以tan α=−43，则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−43)1−(−43)2=247．故选：C ．4．在（x 2+2）（1x +1）8的展开式中，常数项为（ ）A ．27B ．28C ．29D ．30解：（1x +1）8的展开式的通项公式为T r +1＝C 8r （1x ）8﹣r 1r，含1x 2的系数是C 86=28；常数项的系数是2C 88=2；∴（x 2+2）（1x +1）8的展开式中常数项为2+28＝30． 故选：D ．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，l 与x 轴交于点A ，过点A 作抛物线的一条切线，切点为B ，则△OAB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8解：由抛物线的方程可得准线方程为x ＝﹣1，所以A （﹣1，0），设过A 点的切线方程为x ＝my ﹣1，m ＞0，与抛物线的方程联立，可得y 2﹣4my +4＝0，由Δ＝16m 2﹣16＝0，得m ＝1，即y 2﹣4y +4＝0，解得y ＝2，即B 的纵坐标为2，所以S △AOB =12|OA |•y B =12×1×2＝1， 故选：A ．6．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ）（参考数据：P （|X ﹣μ|＜σ）＝0.683，P （|X ﹣μ|＜2σ）＝0.954，P （|X ﹣μ|＜3σ）＝0.997）A ．16B ．18C ．20D ．25解：∵小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），∴P （X ＞800）=1−P(400＜X ＜800)2=1−0.9542=0.023， ∵该小区有800名居民，∴网购金额超过800元的人数大约为0.023×800＝18.4．故选：B ．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x +a ，则f （2021）+f （2022）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4解：定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）， 所以f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （4+x ）＝﹣f （x +2）＝f （x ）， 因为当0≤x ≤1时，（x ）＝3x +a ， 由奇函数性质，得f （0）＝1+a ＝0， 所以a ＝﹣1，所以，当0≤x ≤1时，（x ）＝3x ﹣1， 所以f （1）＝2，f （2）＝﹣f （0）＝0， 则f （2021）+f （2022）＝f （1）+f （2）＝2． 故选：C ．8．已知2a =√3，5b =2√2，c =45，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解：∵2a =√3，5b =2√2，∴a ＝log 2√3=lg √3lg2，b ＝log 52√2=lg2√2lg5， ∵ab =√3⋅lg5lg2⋅lg2√2=lg3⋅lg53lg 22=lg3⋅lg532lg2⋅2lg2=√9⋅lg5lg √8⋅lg41，∴a ＞b ，∵35＜28，∴3＜285，∴log 23＜85，∴12log 23＜45，∴log 2√3＜45，即c ＞a ， ∴c ＞a ＞b ， 故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于函数f （x ）＝sin x +cos x ，下列说法正确的有（ ） A ．2π是一个周期B ．关于（π2，0）对称C ．在[0，π2]的值域为[1，√2]D ．在[π4，π]上递增解：∵函数f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π），故它的周期为2π，故A 正确；令x =π2，求得f （x ）＝1，故f （x ）的图象不关于（π2，0）对称，故B 错误；在[0，π2]上，x +π4∈[π4，3π4]，f （x ）的值域为[1，√2]，故C 正确；在[π4，π]，x +π4∈[π2，5π4]，f （x ）单调递减，故D 错误，故选：AC ．10．在平行四边形ABCD 中，若AE →=12AB →，AF →=12AD →，则（ ）A ．EF →=12BD →B ．AD →+CD →+BE →=0→C ．AC →+2DF →+2BE →=0→D ．若AC ⊥BF ，AB →•AD →=BC 2→−2CD 2→解：EF →=AF →−AE →=12AD →−12AB →=12BD →，故A 正确；在平行四边形ABCD 中，BA →=CD →，所以AD →+CD →+BE →=AD →+BA →+BE →=AD →−AB →+BE →=BD →+BE →=0→，故B 错误； 因为2BE →=BA →，2DF →=DA →=CB →，所以AC →+2DF →+2BE →=AC →+CB →+BA →=AB →+BA →=0→，故C 正确； 因为AC ⊥BF ，所以(AB →+AD →)⋅(AB →−12AD →)=0， 所以12AB →⋅AD →=12AD →2−AB →2，即AB →⋅AD →=BC →2−2CD →2，故D 正确； 故选：ACD ．11．已知首项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，曲线∁n ：a n x 2+a n +1y 2＝1，则下列叙述正确的有（ ） A ．q ＝1，∁n 为圆 B ．q ＝﹣1，∁n 离心率为2 C ．q ＞1，∁n 离心率为√1−1qD ．q ＜0，∁n 为共渐近线的双曲线解：对于选项A ，当q ＝1时，a n ＝a 1＞0，所以曲线∁n ：a 1x 2+a 1y 2＝1，即x 2+y 2=1a 1表示圆，故A 正确；对于选项B ，当q ＝﹣1时，a n ＝a 1•（﹣1）n ﹣1，a n +1＝a 1•（﹣1）n ，当n 为奇数时，a n ＝a 1，a n +1＝﹣a 1，所以曲线∁n：a1x2﹣a1y2＝1，所以a2=b2=1a1，所以c2＝a2+b2=2a1，所以∁n离心率为e=c a=√2，故选项B错误；对于选项C，当q＞1时，a n＝a1•q n﹣1，a n+1＝a1•q n，所以曲线∁n：a1•q n﹣1x2+a1•q n y2＝1，所以a2=1a1q n−1，b2=1a1q n，所以c2＝a2﹣b2=1a1q n−1−1a1q n=q−1a1q n，所以曲线∁n的离心率为e=c a=√q−1q，故C正确；对于选项D，当q＜0时，a n＝a1•q n﹣1，a n+1＝a1•q n，当n为奇数时，a n＝a1•q n﹣1＞0，a n+1＝a1•q n＜0，所以曲线∁n：a1•q n﹣1x2﹣（﹣a1•q n）y2＝1，其渐近线的方程为x±qy＝0；当n为偶数时，a n＝a1•q n﹣1＜0，a n+1＝a1•q n＞0，所以曲线∁n：a1•q n y2﹣（﹣a1•q n﹣1）x2＝1，所以其渐近线的方程为√−q y±x＝0，故D正确，故选：ACD．12．如图，两个底面为矩形的四棱锥S﹣ABCD，S1﹣ABCD组合成一个新的多面体Γ，其中△SAD，△S1BC 为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面SAD，平面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为L，则下列结论正确的有（）A．SB⊥BC B．SC⊥ABC．多面体Γ有外接球D．L为定值解：对于A选项，因为△SAB≌△SDC，且SA＝SD，AB＝DC，则SB＝SC，因为△SBC为等腰直角三角形，则SB⊥SC，A错；对于B选项，若SA⊥AB，因为△SAB为等腰直角三角形，则SA＝AB，设SA＝AB＝a，从而SB=√SA2+AB2=√2a，从而SC=√2a，因为BC＝AD＝a，则SB2+SC2＞BC2，故△SBC不为等腰直角三角形，矛盾，故SA≠AB，若SA＝SB，则SC＝SB＝AD＝BC，则△SBC为等边三角形，矛盾，故SB＝AB，因为△SAB为等腰直角三角形，则AB⊥SB，∵AB⊥BC，SB∩BC＝B，则AB⊥平面SBC，∵SC⊂平面SBC，∴SC⊥AB，B对；对于C选项，连接AC、BD交于点O，连接OS、OS1，因为SC⊥SB，SC⊥AB，SB∩AB＝B，则SC⊥平面SAB，∵SA⊂平面SAB，则SA⊥SC，故OS＝OA＝OB＝OC＝OD=12AC，同理OS1=12AC，因此，多面体Γ有外接球，C对；对于D选项，设截面α与多面体Γ各棱的交点如下图所示：因为平面α∥平面SAD，平面SAB∩平面α＝GF，平面SAD∩平面SAB＝SA，故GF∥SA，同理可证ET∥SD，EF∥BC，RH∥AD，GH∥S1B，RT∥S1C，将侧面SAD、SBC、SCD、S1AB、S1AD、S1CD延展成一个平面，如下图所示：由上图可知，四边形ABB′A′为平行四边形，且AA′＝3SA，且点G、F、E、T、G、H、G′共线，则L＝GG′，因为GF∥SA，从而GG′∥AA′，又因为AG∥AG′，故四边形AA′G′G为平行四边形，故L＝GG′＝AA′＝3SA，D对，故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 13．写出一个公差不为零，且满足a 1+a 2﹣a 3＝1的等差数列{a n }的通项公式a n ＝ n +1 ． 解：设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 1+a 2﹣a 3＝a 1+a 1+d ﹣（a 1+2d ）＝1， 即a 1﹣d ＝1，不妨记d ＝1，则a 1＝2，故此时等差数列{a n }的通项公式a n ＝n +1， 故答案为：n +1．14．若直线x ﹣ay +2a ＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则实数a 的值为 ±√3 ． 解：设圆心到直线的距离为d ，则2√4−d 2=2，即d 2＝3， 从而：(√1+a 2)2=3，整理可得：a 2＝3，∴a ＝±√3．故答案为：±√3．15．若函数f （x ）＝cos2x +a cos x 在（0，π3）上是减函数，则实数a 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：∵函数f （x ）＝cos2x +a cos x ＝2cos 2x +a cos x ﹣1在（0，π3）上是减函数，令t ＝cos x ，则t ∈（12，1），故函数f （x ）＝g （t ）＝2t 2+at ﹣1在（12，1）上单调递增，∴−a 4≤12，∴a ≥﹣2，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）， 故答案为：[﹣2，+∞）．16．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，若该三角形绕着三条边a ，b ，c 旋转一周所得几何体的体积分别为V a ，V b ，V c ．若V a =14，V b =13，V c =12，则cos A 的值为 −14 ；若∠BAC =π6，V b V c ＝1，则V b 2+V c 2−1V a 2的值为 √3 ．解：设a ，b ，c 边上的高分别为h a ，h b ，h c ，该三角形的面积为S ，则V a =13⋅πℎa 2⋅a =4π3a S 2=14，即a =16π3S 2，同理可知，b =12π3S 2，c =8π3S 2，所以a ：b ：c ＝4：3：2，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc =−14；由上述过程可知，aV a ＝bV b ＝cV c ，因为cosA=√32=b2+c2−a22bc，所以1V b2+1V c2−1V a2=√3V b V c，因为V b V c＝1，所以V b2+V c2−1V a2=√3．故答案为：−14；√3．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin2B−√3bsinA=0．（1）求角B的大小；（2）给出三个条件：①b=√3；②a+c=3+√3；③c sin C＝sin A，试从中选出两个条件，求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中分别a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足a sin2B−√3b sin A＝0．利用正弦定理和倍角公式得：2sin A sin B cos B=√3sin B sin A，∵sin B sin A≠0，∴cos B=√32，由于B∈（0，π），所以B=π6；（2）选①b=√3，②a+c＝3+√3时，由（1）得：B=π6，由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得，3＝（3+√3）2﹣（2+√3）ac，解得，ac＝3√3，所以S△ABC=12ac sin B=3√34．选：①b=√3；③c sin C＝sin A时，③由正弦定理得，c2＝a，利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，整理得：3＝a2+a﹣2a 32×√32，∴a2−√3 a 32=3﹣a，a 32（a12−√3）＝﹣（√3+a12）（a12−√3）故a 12=√3，∴a ＝3，c =√3， 所以S △ABC =12ac sin B =3√34． 选：②a +c ＝3+√3，③c sin C ＝sin A 时， ③由正弦定理得，c 2＝a ， 代入②得，c 2+c ＝3+√3， 故c =√3，a ＝3， 所以S △ABC =12ac sin B =3√34． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，2√S n =a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n •2a n}的前n 项的和．解：（1）∵2√S n =a n +1， ∴4S n =(a n +1)2，那么n ≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2， 两式相减得：4a n =a n2+2a n −a n−12−2a n−1，即2（a n +a n ﹣1）＝（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）， 因为各项为正的数列{a n }， 所以a n ﹣a n ﹣1＝2，又2√S 1=2√a 1=a 1+1，得a 1＝1， ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n =1+(n −1)×2=2n −1(n ∈N ∗)， 综上所述，a n =2n −1(n ∈N ∗)． （2）a n •2a n =（2n ﹣1）×22n ﹣1，设数列{a n •2a n }的前n 项的和为T n ，所以T n ＝1×21+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，①4T n ＝1×23+3×25+5×27+……+（2n ﹣1）×22n +1，② ①﹣②得，﹣3T n ＝2﹣（2n ﹣1）×22n +1+2（23+25+27+……+22n ﹣1）＝2﹣（2n ﹣1）×22n +1+2×8−22n+11−4=（53−2n ）×22n +1−103，所以T n ＝（23n −59）×22n +1+109．19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3．（1）平面P AC ⊥平面ABC ；（2）点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，且二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等，求实数λ的值．解：（1）证明：∵在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3， ∴AB 2+AC 2＝BC 2，AB 2+P A 2＝PB 2， ∴AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，∵AC ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴平面P AC ⊥平面ABC ．（2）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2√3，0），P （0，√3，3），设D （a ，b ，c ），∵点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，∴（a ﹣2，b ，c ）＝（﹣2λ，2√3λ，0），∴D （2﹣2λ，2√3λ，0），PA →=（0，−√3，﹣3），PB →=（2，−√3，−3），PC →=（0，√3，﹣3），PD →=（2﹣2λ，2√3λ−√3，﹣3），设平面P AB 的法向量n 1→=（x 1，y 1，z 1），则{n 1→⋅PA →=−√3y 1−3z 1=0n 1→⋅PB →=2x 1−√3y 1−3z 1=0，取y 1=√3，得n 1→=（0，√3，﹣1）， 设平面P AD 的法向量n 2→=（x 2，y 2，z 2），则{n 2→⋅PA →=−√3y 2−3z 2=0n 2→⋅PD →=(2−2λ)x 2+(2√3λ−√3)y 2−3z 2=0，取y 2=√3，得n 2→=（3λλ−1，√3，﹣1）， 平面P AC 的法向量n 3→=（1，0，0），∵二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等， ∴|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=|n 3→⋅n 2→||n 3→|⋅|n 2→|，∴2√4+(3λλ−1)2=3λ1−λ√4+(3λλ−1)2，解得λ=25．20．（12分）一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯Ⅰ和Ⅱ．电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯Ⅰ先运行．设电梯在每一层运行时间为a ．现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量X ． （1）求P （X ＝0）；（2）为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间．解：（1）由题意可得，X ＝0的基本事件为：I 在4层II 在其它层，II 在4层I 在其它层，I ，II 都在4层，故P （X ＝0）=110×910+910×110+110×110=19100．（2）设X 为运行一部电梯时的等待时间，Y 为运行两部电梯时的等待时间， 当运行一部电梯时，X 所有可能取值为0，a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，故E （X ）=0×110+a ×15+2a ×15+3a ×15+4a ×110+5a ×110+6a ×110=2710a ， 当运行两部电梯时，Y 所有可能取值为0，a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ， P （Y ＝0）=19100，P （Y ＝a ）=2×110×910+2×110×710=825， P （Y ＝2a ）=2×110×710+2×110×12=625， P （Y ＝3a ）=2×110×12+2×110×310=425， P （Y ＝4a ）=110×310+110×15=120， P （Y ＝5a ）=110×15+110×110=3100， P （Y ＝6a ）=110×110=1100， E （Y ）=0×19100+a ×825+2a ×625+3a ×425+4a ×120+5a ×3100+6a ×1100=169100a ， 故运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间为2710a −169100a =101100a ．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点坐标为B （﹣2，0），C （2，0），直线AB ，AC 的斜率乘积为14．（1）求顶点A 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （1，0）的直线与曲线Γ交于点M ，N ，直线BM ，CN 相交于点Q ，求证：OP →•OQ →为定值． （1）解：设A （x ，y ），则yx+2⋅yx−2=14，即x 24−y 2=1(x ≠±2)，所以顶点A 的轨迹Γ的方程为x 24−y 2=1(x ≠±2)．（2）证明：设直线MN 方程为x ＝my +1， 与x 24−y 2=1联立得（m 2﹣4）y 2+2my ﹣3＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=−2m m 2−4，y 1y 2=−3m 2−4， 所以2my 1y 2＝3（y 1+y 2）， 联立y =y 1x 1+2(x +2)，y =y 2x 2−2(x −2)得x Q =2(x 1y 2+x 2y 1)+2(y 2−y 1)x 1y 2−x 2y 1+2(y 2+y 1)， 因为（x 1y 2+x 2y 1）+2（y 2﹣y 1）＝（my 1+1）y 2+（my 2+1）y 1+2（y 2﹣y 1）＝2my 1y 2+3y 2﹣y 1， x 1y 2﹣x 2y 1+2（y 2+y 1）＝（my 1+1）y 2﹣（my 2+1）y 1+2（y 2+y 1）＝3y 2+y 1， 所以x Q =2×2my 1y 2+3y 2−y 13y 2+y 1=2×3(y 1+y 2)+3y 2−y 13y 2+y 1=4，所以OP →⋅OQ →=(1，0)⋅(4，y Q )=4为定值．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2﹣sin x ，e 为自然对数的底数． （1）求f （x ）在x ＝0处的切线方程；第21页（共21页） （2）当x ≥0时，f （x ）≥1﹣x ﹣sin x ，求实数a 的最大值；（3）证明：当a ＜12时，f （x ）在x ＝0处取极小值．解：（1）∵f （x ）＝e x ﹣ax 2﹣sin x ，∴f （0）＝1，且f ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣cos x ，则f ′（0）＝0，所以f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝1．（2）当x ≥0时，f （x ）≥1﹣x ﹣sin x ，即e x ﹣ax 2+x ﹣1≥0，当x ＝0时，e x ﹣ax 2+x ﹣l ＝0，当x ＞0时，e x ﹣ax 2+x ﹣l ≥0，即a ≤e x +x−1x 2， 因为x ＞0，所以e x ﹣1＞e 0﹣1＝0，当x ＞2时，g '（x ）＞0，g （x ）在（2，+∞）上单调递增；当0＜x ＜2时，g '（x ）＜0，g （x ）在 （0，2）上单调递减，所以g （x ）min ＝g （2）=e 2+14所以a ≤e 2+14，所以实数a 的最大值为e 2+14． （3）若a ＜12，当x ∈（−π2，π2），y ＝e x 和y ＝sin x 都单调递增， 所以h ′（x ）＝e x ﹣2a +sin x 单调递增，①当h '（−π2）＝e −π2−2a ﹣1≥0，即a ≤e −x 2−12时，则h ′（x ）＝e x ﹣2a +sin x ≥0（x ∈（−π2，π2），则h （x ）在x ∈（−π2，π2）上单调递增， 而h （0）＝0，所以当x ∈（−π2，0）时，h （x ）＜0，所以f （x ）在（−π2，0）上单调递减；当x ∈（0，π2）时，h （x ）＞0，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增；所以f （x ）在x ＝0处取极小值； ②当h '（−π2）＝e −π2−2a ﹣1＜0，即e −x 2−12＜a ＜12时，h ′（0）＝1﹣2a ＞0，且x ∈（−π2，π2）， h '（x ）＝e x ﹣2a +sin x 单调递增，所以存在x 0∈（−π2，0），使得h ′（x 0）＝0，且x ∈（x 0，π2）时，h ′（x ）＞0， 则h （x ）在（x 0，π2）上单调递增，而h （0）＝0， 所以当x ∈（x 0，0）时，h （x ）＜0，所以f （x ）在（x 0，0）上单调递减；当x ∈（0，π2）时，h （x ）＞0，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增； 所以f （x ）在x ＝0处取极小值．综上，当a ＜12时，f （x ） 在x ＝0处取极小值．。

辽宁省七校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试卷（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知命题，，则其否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，2．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（ ）A ．{﹣2，1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}3．已知集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合，，且，则的所有取值组成的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．7．是的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件8．已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足:p x ∀∈R 0x x +≥x ∀∈R 0x x +<x ∃∈Z 0x x +<x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤{}N |30A x x =∈-≤{}2Z |20B x x x =∈+-≤A B = {}1{}0,1{}0,1,2{}1,2{}{}21,2,3,30A B x x x ==-<A B =∅ A B⊆{}1,2A B = {}0,1,2,3A B ⋃={}33U x x =-<<{}01A x x =<<U A =ð()1,3()()3,01,3- ()3,0-(][)3,01,3-⋃{}1,4,A x ={}21,B x =A B B = x {}2,0-{}0,2{}2,2-{}2,0,2-12x y >⎧⎨>⎩32x y xy +>⎧⎨>⎩(){},,,R I a a x y x y ⊆=∈,m n I ∈[]0,1λ∈，则称集合I 为“封闭集”．下列说法正确的是（ ）A ．集合为“封闭集”B ．集合为“封闭集”C ．若是“封闭集”，则A ，B 都是“封闭集”D ．若A ，B 都是“封闭集”，则也一定是“封闭集”二、多选题（本大题共3小题，共18分）9．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈NB ．π∈QC ．D ．10．下列说法正确的是（ ）A ．“”是“”的充分不必要条件B ．“”是“”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题D ．命题“，”的否定是“，”11．已知，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．命题“”的否定为 .13．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为14．（1）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 ；（2）已知集合，．若，则的取值范围是 ；（3）在（2）中，若“”改为“”，其他条件不变，则的取值范围()1m n I λλ+-∈(){}3,,A a a x y y x ==≥(){},,ln B a a x y y x ==≤A B ⋂A B 0∈∅{}0∅⊆22ac bc >a b >0xy >0x y +>x 2x R x ∃∈210x +=R x ∀∈210x +≠a b c >>20a b c ++=0,0a c ><2c aa c +<-0a c +>21a ca b+<-+2010x x x ∀>+->，x 20ax bx c ++<1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎩⎭或20cx bx a -+>2{|320,R}A x x x x =-+=∈{|05,}B x x x =<<∈N A C B ⊆⊆C ()(){|130}A x x x =+-<{|}B x m x m =-<<A B ⊆m A B ⊆B A ⊆m是 ．四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．已知集合（1）若，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“，使得”是真命题，求实数m 的取值范围.16．（1）已知，求的取值范围.（2）比较与的大小，其中.17．已知函数（1）解不等式；（2）若存在实数使不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.18．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设的最小为m ，若正实数a ，b ，c 满足，求的最小值．19．已知集合，，其中，且．若，且对集合A 中的任意两个元素，都有，则称集合A 具有性质P ．(1)判断集合是否具有性质P ；并另外写出一个具有性质P 且含5个元素的集合A ；(2)若集合具有性质P ．①求证：的最大值不小于；②求n 的最大值．{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+B A ⊆x A ∃∈x B ∈1423x ,y -<<<<x y -2(1)(1)x x x -++2(1)(1)x x x +-+R x ∈()3326f x x x =+--()4f x x ≥-()f x ()f x a b c m ++=-222a b cc a b++11100,M k k k *⎧⎫=≤≤∈⎨⎬⎩⎭N 且{}12,,,n A a a a = n *∈N 2n ≥A M ⊆,,i j a a i j ≠130i j a a -≥11111,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}12,,,n A a a a = ()i j a a -130n -参考答案：题号12345678910答案C C B C D D A B AD AD 题号11 答案ABD12．13．【详解】因为的解集是，所以为的两根，且，即因此，即不等式的解集为.14． 4 解；（3）由（2），结合，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】解：（1）由集合，，则满足条件的集合可能为，所以满足条件的集合的个数为4个；（2）由集合，，因为，则满足，解得，即实数的取值范围为；（3）由（2）知：集合，，当时，若，则满足，解得；2010x x x ∃>+-≤，122⎛⎫⎪⎝⎭，20ax bx c ++<1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或122--，20ax bx c ++=0a <1152(),2,222c b c a b aa a =-⨯--=--∴==22255100102222a cx bx a ax x a x x x -+>⇒-+>⇒-+<⇒<<20cx bx a -+>122⎛⎫⎪⎝⎭[)3,+∞(],1-∞B A ⊆B ≠∅B =∅2{|320,R}{1,2}A x x x x =-+=∈={}{|05,}1,2,3,4B x x x =<<∈=N A C B ⊆⊆C {}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4C ()(){|130}{|13}A x x x x x =+-<=-<<{|}B x m x m =-<<A B ⊆13m m -≤-⎧⎨≥⎩3m ≥m [)3,+∞{|13}A x x =-<<{|}B x m x m =-<<B ≠∅B A ⊆013m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩01m <≤当时，即时，此时满足，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：4个；；.15．（1）；（2）.【详解】解：（1）①当B 为空集时，成立.②当B 不是空集时，∵，，∴综上①②，.（2），使得，∴B 为非空集合且.当时，无解或，，∴.16．（1）； （2）.【详解】（1）解：由不等式，可得，因为，所以，即的取值范围为.（2）解：由，，因为，所以，故.17．（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）零点分段去绝对值求解不等式即可；（2）由（1）得的最小值为，由题意知对任意的恒成立，又，只需即可.试题解析：（1）令B =∅0m ≤B A ⊆m (],1-∞[)3,+∞(],1-∞1m ≥-[4,2]-121,2m m m +<->B A ⊆12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩12m -≤≤1m ≥-x A ∃∈x B ∈,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤ A B =∅ 2142m m -≥⎧⎨≤⎩132m m +<-⎧⎨≤⎩4m <-,[4,2]A B m ≠∅∈- ()4,2-22(1)(1)(1)(1)x x x x x x -++<+-+23y <<32y -<-<-14x -<<42x y -<-<x y -()4,2-23(1)(1)1x x x x -++=-23(1)(1)1x x x x +-+=+331(1)20x x --+=-<3311x x -<+22(1)(1)(1)(1)x x x x x x -++<+-+33,)(,)44（-∞-⋃+∞()g x 52-由解得所以不等式的解集为（2）由（1）可知的最小值为则的最小值为由题意知对任意的恒成立又当且仅当时取等号所以只需故的取值范围是18．(1)(2)8【分析】(1)通过讨论，化简绝对值不等式求其解；(2)根据(1)求出，再利用基本不等式求的最小值.【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得．综上所述，原不等式的解集是．33,),44⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（51,,24⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭x m 222a b c c a b++1x ≤-()33264x x x -++--≥52x ≤-13x -<<33264x x x ++--≥134x -≤<3x ≥()33264x x x +---≥3x ≥51,,24⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）因为，所以，则．因为，，，所以，即，当且仅当时等号成立，故的最小值为8．19．(1)不具有性质,(2)①证明见解析，②n 的最大值为10【分析】（1）根据性质满足的条件可验证，不符合要求即可判断，根据性质满足的要求即可写出集合;（2）根据，由累加法即可得最大项与最小项的关系；【详解】（1）因为，故该集合不符合性质;符合性质的集合（2）①，不放设，则，故，故的最大值不小于；②要使最大，，不妨设，则，又,,所以，所以，()9,153,139,3x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪+≥⎩()()min 18f x f =-=-8a b c ++=22a c a c +≥22b a b a +≥22c b c b +≥()222216a b c a b c a b c c a b +++++++=≥2228a b c c a b++≥83a b c ===222a b c c a b++11111,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭P 1111=12345A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，P 1111=674230-<P A 130i j a a -≥1111=674230-<P P 1111=12345A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，{}12,,,n A a a a = 123n a a a a <<<< ()130i j a a i j -≥>()()()1112211=30n n n n n a a a a a a a a n ------+-++-≥()i j a a -130n -n {}12,,,n A a a a = 123n a a a a >>>>L (),1,2,3,4,...,130k n n ka a k n --≥=-A M ⊆111123n >>>⋅⋅⋅>1k a k≤()1,1,2,3,4,...,130k n n k a a k n k-≤-<=-所以，又时等号成立，当或6时，，所以，当时，符合题意，所以最大值为10.()130,,1,2,3,4,...,130n k n k k n k k-<<+=-30k k+≥()5,6k 5n =3011k k+=11n <10n =111111111=1,,234568111845A ⎧⎫⎨⎩⎭,,,,,,,n。

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |2＜x ＜4}C ．{x |0＜x ＜4}D ．{x |x ＜2或x ＞4}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x 2+2x +2＜0D ．∃x ∈R ，x 2+2x +2＞03．“﹣2＜x ＜4”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝log 1.80.8，b ＝1.80.8，c ＝0.80.8，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x 22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.78．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x )＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ）A ．y ＝﹣eB ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x10．下列说法正确的是（ ） A ．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B ．若函数f （x ）的定义域为[1，4]，则函数f （x +1）的定义域为[0，3]C ．函数y =2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D ．函数f(x)=√−x 2+2x 的单调递增区间为[0，1] 11．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．log 2a +log 2b ≥﹣2C ．1a +1b ≥4D ．(12)a−b ＜212．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值：（1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √518．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P＝{x||x|＝t}，若P⊆M，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）={x+4，x≤1x+kx，x＞1，其中k＞0（1）若k＝1，f(m)=174，求实数m的值；（2）若函数f（x）的值域为R，求k的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x（m|x|﹣1），m∈R．（1）若m＝1，写出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f（x）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＜2或x＞4}解：集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|0＜x＜4}．故选：C．2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．3．“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：不等式x2﹣x﹣6＜0，即（x+2）（x﹣3）＜0，可得﹣2＜x＜3，因为条件“﹣2＜x＜4”对应的集合包含“﹣2＜x＜3”对应的集合，所以“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的必要而不充分条件．故选：A．4．已知a＝log1.80.8，b＝1.80.8，c＝0.80.8，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：∵a＝log1.80.8＜log1.81＝0，b＝1.80.8＞1.80＝1，0＜c＝0.80.6＜0.80＝1，故b＞c＞a．故选：D．5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)解：易知函数的定义域为(−∞，12]，由于y ＝1﹣x 在(−∞，12]上单调递减，y =√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 则函数y =1−x +√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 故y ≥1−12+√1−2×12=12， 即函数的值域为[12，+∞)． 故选：C ．6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）解：函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，由f （x 0）＜3，可得①{x 0≤02−x 0−1＜3，解得﹣2＜x 0≤0，②{x 0＞0x 012＜3，解得0＜x 0＜9；则x 0的取值范围是：（﹣2，9）． 故选：B ．7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.7解：由题意得t =192×(732)x 22＞96， ∴(732)x 22＞12，∴x 22＜log 73212=−log 7322，∴x 22＜−log 7322=−lg2lg7−5lg2≈0.456，解得x ＜10.032，∴应储藏在温度低于10.0℃的环境中．故选：A ．8．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x)＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）解：因为对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(xy )，所以令x ＝4，y ＝2，得f （4）﹣f （2）＝f （2），即f （4）＝2f （2）， 则不等式f （x +3）﹣f （1x ）＜2f （2）可化为f （（x +3）x ）＜f （4），又因为函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以{x +3＞0x ＞0(x +3)x ＜4，即{x ＞−3x ＞0x 2+3x −4＜0，解得0＜x ＜1．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ） A ．y ＝﹣e B ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x解：如图所示：函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝﹣e 的距离都大于e ，故A 错误； 当x ＜1时，函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝e 的距离都小于e ，当x ＞1时，函数y ＝e x 的图象上存在一个点到直线y ＝e 的距离等于e ，故B 错误；当x＜e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，当x＞e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，故C正确；点A（0，1）到直线x﹣y＝0的距离|AB|=√22＜e，则点A（0，1）两边各存在一点到直线x﹣y＝0的距离等于e，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的是（）A．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B．若函数f（x）的定义域为[1，4]，则函数f（x+1）的定义域为[0，3]C．函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D．函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式2x+1≥1，变形可得1−xx+1≥0，解可得﹣1＜x≤1，即不等式的解集为（﹣1，1]，A正确；对于B，若函数f（x）的定义域为[1，4]，对于函数f（x+1），有1≤x+1≤4，解可得0≤x≤3，即函数f（x+1）的定义域为[0，3]，B正确；对于C，函数y=2x+1由函数y=2x向左平移1个单位得到，则函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），C错误对于D，对于f(x)=√−x2+2x，有﹣x2+2x≥0，解可得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，设t＝﹣x2+2x，则y=√t，t＝﹣x2+2x在区间[0，1]上为增函数，在区间[1，2]上为减函数，y=√t在[0，+∞）上为增函数，故函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]，D正确．故选：ABD．11．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则（）A．ab≤14B．log2a+log2b≥﹣2C．1a +1b≥4D．(12)a−b＜2解：对选项A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab≤(a+b)24=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确．对选项B，log2a+log2b=log2ab≤log214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故B 错误． 对选项C ，因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，1a+1b=(1a+1b )(a +b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当ba=a b时，即a ＝b =12时等号成立，故C 正确．对选项D ，因为a ＞0，a +b ＝1，所以b ＝1﹣a ，2a ﹣1＞﹣1， 所以(12)a−b =(12)2a−1＜(12)−1=2，故D 正确． 故选：ACD ．12．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3解：对于A ，当a ＝2时，B ＝{0，﹣2，﹣1}，此时C （B ）＝3，故A 正确； 对于B ，当a ＝0时，B ＝{0}，此时C （B ）＝1，故B 错误；对于C ，当a ＝0时，B ＝{0}，所以C （B ）＝1，A ＝{0，﹣1}，所以C （A ）＝2，所以A *B ＝1； 当A *B ＝1时，因为C （A ）＝2，所以C （B ）＝1或3， 若C （B ）＝1，满足{a =0Δ=a 2−4=0，解得a ＝0；若C （B ）＝3，因为方程x 2+ax ＝0的两个根x 1＝0，x 2＝﹣a 都不是方程x 2+ax +1＝0的根，所以需满足{a ≠0Δ=a 2−4=0，解得a ＝±2， 所以“a ＝0“是“A *B ＝1”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，因为C （A ）＝2，要得A *B ＝1，所以C （B ）＝1或3，由C 可知：a ＝0或a ＝±2， 所以S ＝{0，2，﹣2}，所以C （S ）＝3，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ． 解：要使函数有意义则{2−x ≥0x −1＞0，∴{x ≤2x ＞1，即1＜x ≤2， 即函数的定义域为{x |1＜x ≤2}． 故答案为：{x |1＜x ≤2}．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．解：∵幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减， ∴{a 2−a −1=1a ＜0，解得a ＝﹣1， ∴g （x ）过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 解：由题意可知，函数的值域为（0，1]，且函数为偶函数，满足条件的其中一个函数为f(x)=(12)|x|． 故答案为：(12)|x|（答案不唯一）．16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可， 当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x =a2≤1，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x =−a2≤0，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2]四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值： （1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 解：（1）(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)−1+(5+2√6)0=108−8−2+1=99；（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 ＝9+32−2lg32lg2•3lg23lg3−2+lg √10 ＝9+32−1﹣2+12 ＝8．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P ＝{x ||x |＝t }，若P ⊆M ，求t 的取值范围．解：（1）因为M ＝{x |﹣4＜x ＜6}，N ＝{x |x ＜5}，所以M ∪N ＝{x |x ＜6}，∁R N ＝{x |x ≥5}． （2）当P ＝∅时，t ＜0；当P ≠∅时，{t ≥0−4＜t ＜6−4＜−t ＜6，解得0≤t ＜4．综上所述，t ＜4，即t 的取值范围为（﹣∞，4）． 19．（12分）已知函数f （x ）={x +4，x ≤1x +kx，x ＞1，其中k ＞0（1）若k ＝1，f(m)=174，求实数m 的值； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求k 的取值范围． 解：（1）当k ＝1时，f(x)={x +4，x ≤1x +1x ，x ＞1， 由f(m)=174，得{m +4=174m ≤1或{m +1m =174m ＞1， 解得m =14或m ＝4， 所以实数m 的值为14或4．（2）当x ≤1时，f （x ）＝x +4，值域为（﹣∞，5]． 分以下两种情形来讨论：若0＜k ≤1，此时√k ≤1，则f(x)=x +kx 在区间（1，+∞）上单调递增，此时f （x ）的值域为（k +1，+∞），所以函数f （x ）的值域为（﹣∞，4]∪（k +1，+∞）＝R ，满足题意． 所以0＜k ≤1满足题意．若k＞1，此时√k＞1，则f(x)=x+kx在区间(1，√k]上单调递减，在区间(√k，+∞)上单调递增，此时f（x）的值域为[2√k，+∞)，所以f（x）的值域为(−∞，5]∪[2√k，+∞)，由题意可得2√k≤5，解得k≤254，所以1＜k≤254．综上：k的取值范围是{k|0＜k≤254 }．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0，即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=0恒成立，∴a＝1．（2）f（x）在R上为减函数，证明如下：由于f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)．∵x1＜x2，∴2x2−2x1＞0，又(2x1+1)(2x2+1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在R上为减函数．（3）由（2）得，奇函数f（x）在R上为减函数，∴f（4x）＞f（9×2x﹣8），即22x＜9•2x﹣8，令2x＝t（t＞0），则t2﹣9t+8＜0，可得1＜t＜8，即20＝1＜2x＜23，可得不等式的解集为（0，3）．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．解：（1）假设f （x ）的图像存在对称中心（a ，b ），则h （x ）＝f （x +a ）﹣b 的图像关于原点成中心对称，因为h （x ）的定义域为R ，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13a−x −b +13x+a −b =0恒成立， 即（1﹣2b ）（3a ﹣x +3a +x ）+2﹣2b ﹣2b •32a ＝0恒成立，所以{1−2b =02−2b −2b32a =0， 解得{a =0b =12， 所以 f （x ）的图像存在对称中心(0，12)；（2）因为 f （x ）在区间[1，+∞）上递减，可得f （x ）的最大值为f （1）=14，由题意可得﹣x 2+mx ≤14在x ∈[﹣1，1]上恒成立，当x ＝0时，不等式化为0≤14恒成立；当0＜x ≤1时，可得m ≤（x +14x ）min ， 由y ＝x +14x ≥2√14=1（当且仅当x =12∈（0，1]时，取得等号）， 则m ≤1；当﹣1≤x ＜0时，可得m ≥（x +14x ）max， 由y ＝x +14x ≤−2√14=−1（当且仅当x =−12∈[﹣1，0）时，取得等号），则m ≥﹣1；所以m 的取值范围是[﹣1，1]．22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |﹣1），m ∈R ．（1）若m ＝1，写出函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f （x ）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x 的不等式f （x +m ）＞f （x ）的解集为A ，且[﹣1，1]⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝1，f （x ）＝x （|x |﹣1）={x 2−x ，x ≥0−x 2−x ，x ＜0， 所以f （x ）的单调增区间为[﹣1，−12]，[12，1]，递减区间为[−12，12]，又f （﹣1）＝0，f （12）=−14， 所以f （x ）在[﹣1，1]内的最小值为−14．（2）因为关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，所以f（x+m）＞f（x）在[﹣1，1]上恒成立，当m＝0时，不符合题意，当m＜0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，符合题意，当m＞0时，令x＝0得f（m）＞f（0），所以m（m2﹣1）＞0，解得m＞1，当x∈[﹣1，0），x+m∈[m﹣1，m），则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（﹣mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2x2+2mx+m2﹣1＞0，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），当−m2＜−1，即m＞2时，h（x）在[﹣1，0）上单调递增，所以h（x）min＝h（﹣1）＝m2﹣2m+1＞0，所以m＞2；当−m2≥−1，即1＜m≤2时，h（x）在[﹣1，−m2）上单调递减，（−m2，0）单调递增，所以h（x）min＝h（−m2）＞0，所以m＞√2，所以√2＜m≤2，所以m＞√2时恒成立，当x∈（0，1]，x+m∈（m，m+1]，则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2mx+m2﹣1＞0恒成立，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（√2，+∞）．。

2024～2025学年度高一上学期期中联考试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（）A. B. C.D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则＝（）A.B. 9C.D.4. 设、，“且”是“”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B. C. D.6. 若，，则的取值范围是（）{}1A x x =≤-{}2,1,0,1,2B =--()A B =RIð{}0,1,2{}1,0,1,2-{}2,1--{}1,2y =[]1,0-[)1,0-(][),10,-∞-⋃+∞(]()10,-∞-+∞ ,()y f x =(4,2)(3)f 32x y ∈R 6x =6y =12x y +=()f x R ()y x f x =+()y x f x =⋅2()y x f x =+2()y x f x =⋅324a b -≤+≤12a b -≤-≤5a b +A. B. C. D. 7. 已知的解析式为（）A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数f （x ）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（）A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列各组函数中表示同一个函数是（）A.B. ，C， D. ，10. 已知关于的不等式的解集为或x >2}，则下列说法正确的是（）A B. C. 关于的不等式的解集为或D. 若，则关于的不等式的解集为或x >2}11. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.的{}512511a b a b +-≤+≤395|5123a b a b ⎧⎫+-≤+≤⎨⎬⎩⎭255583a b a b ⎧⎫+-≤+≤⎨⎬⎩⎭{}5955a b a b +-≤+≤)1fx -=-()f x 2()1f x x =-2()1(1)f x x x =+≥-2()1(1)f x x x =-≥-2()1f x x =+[0,)+∞12,[0,)x x ∀∈+∞12x x ≠2121()()2f x f x x x ->-(1)2024f =(2024)2(1013)f x x ->-(2023,)+∞(2024,)+∞(2025,)+∞(1012,)+∞()f x =()g x =()1f x x =-()1g x =()2x f x x=()g x x=()1f x x =-()g x =x 20ax bx c ++>{3x x <-0a >93a c b+>x 20cx bx a -+<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭a b ca b c ''='=x 20a x b x c ''+'+>{3x x <-0m >0n >221m n mn +=+222m n +≥112m n+≥m ≤332m n +≤12. 命题“，”的否定是_____________13. 已知满足，且，则______.14. 若函数在区间上的最大值为M ，最小值为m ，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知集合（1）若，请写出集合所有子集；（2）若集合，且，求的取值范围.16. 已知.（1）若成立，求实数的取值范围，（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.17. 已知函数．（1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到；（2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值．18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元（1）请用表示；（2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值.19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；的2x ∀>340x x ->()f x ()()()2f x y f x f y +=++()22f =()3f =()()22211x f x x +=+[]2024,2024-M m +={}240A x x x a =+-=5a =A {}220B x x x =+=A B ⊆a {}22:11,0,:,2340∀∈-≤≤+-≤∃∈+++≤∣p x xx x x k q x x kx k R p ⌝k p q k ()1xf x x=+()f x 1()g x x=-()f x ()()()()()()202520242020222023f f f f f f -+-++-++++ x ()618x ……y x y x ()f x [],a b 11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[],a b ()f x []22-,()g x []0,2x ∈()22g x x x =-+()g x（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.x ()g x mx m =--()0,2m ()g x2024～2025学年度高一上学期期中联考试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】D4. 【答案】A5. 【答案】B6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD 10. 【答案】AC 11.【答案】BCD12.【答案】，13.2x ∃>340x x -≤【答案】414.【答案】4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）、、、（2）16. 【解析】【分析】（1）根据题意可得，根据存在性问题分析求解；（2）取反面：当和均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果.【小问1详解】若成立，因为时，，可得，所以实数的取值范围为.【小问2详解】和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立，若成立，因为时，，可得；若成立时，，解得或；若均成立时，可得，所以至多有一个成立时，则.综上上述：实数的取值范围为.17.【解析】【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程.（2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和.∅{}5-{}1{}5,1-{}4a a ≤-{}2:11,⌝∃∈-≤≤+>∣p x xx x x k p q {}2:11,⌝∃∈-≤≤+>∣p x xx x x k {}11x xx ∈-≤≤∣2124⎧⎫+∈-≤≤⎨⎬⎩⎭∣x x x x 2k <k {|2}k k <p q p q {}2:11,∀∈-≤≤+≤∣p x xx x x k {}11x xx ∈-≤≤∣2124⎧⎫+∈-≤≤⎨⎬⎩⎭∣x x x x 2k ≥q ()2Δ44340k k =-+≥1k ≤-4k ≥p q ､4k ≥p q ､4k <k {|4}k k <()f x【小问1详解】由于，所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到．【小问2详解】因为，所以的图象关于中心对称；则，，…，，所以．18. 【解析】【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式；（2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.【小问1详解】前面墙的长度为米，总报价，其中.【小问2详解】，当且仅当，即时等号成立，所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米.19. 【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案；（2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案；（3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案.【小问1详解】当时，则，11111()11x x f x x xx +-===-++++()f x 1()g x x=-22211)(2)11((2)x x x x f x x x f x x x--++=++--=+=+--++()f x (1,1)-()()202320252f f +-=()()202220242f f +-=()()022f f +-=(2025)(2024)(2)(0)(2022)(2023)220244048f f f f f f -+-++-++++=⨯= x 108x1086480001000241500436000800036000y x x x x=⨯⨯+⨯⨯+=++618x ≤≤64800081800036000800036000800036000180000y x x x x ⎛⎫=++=++≥⨯+= ⎪⎝⎭81x x=9x =x [)2,0x ∈-(]0,2x -∈由奇函数的定义可得，所以.小问2详解】方程即，设，由题意知，解得.【小问3详解】因为在区间上的值域恰为，其中且，所以，则，所以或.①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，则，所以，所以，则，解得，所以在内的“倒域区间”为；②当时，在上单调递减，在上单调递增，故当时，，所以，所以，所以，【()()()22()22g x g x x x x x ⎡⎤=--=---+-=+⎣⎦()222,02,2,20.x x x g x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩()g x mx m =--()220x m x m -+-=()()22,02h x x m x m x =-+-<<()()200230Δ(2)402022h m h m m m m ⎧=->⎪=->⎪⎪⎨=++>⎪+⎪<<⎪⎩40m -<<()g x [],a b 11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b ≠0,0a b ≠≠11a bb a<⎧⎪⎨<⎪⎩0a b ab <⎧⎨>⎩02a b <<≤20a b -≤<<02a b <<≤()g x []0,1[]1,2[]0,2x ∈()max ()11g x g ==11a≤12a ≤<12a b ≤<≤()()22121212g b b b bg a a a a a b ⎧=-+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()g x []1,2⎡⎢⎣20a b -≤<<()g x []2,1--[]1,0-[]2,0x ∈-()min ()11g x g =-=-11b≥-21b -<≤-21a b -≤<≤-则，解得，所以在内的“倒域区间”为.综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.()()22121221g a a a ag b b b b a b ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩()g x []2,1--1⎤-⎥⎦()gx ⎡⎢⎣1⎤-⎥⎦。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。

3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。

1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。

2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题（一）一、单选题1．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤【答案】B【分析】结合数轴分析即可.【详解】由数轴可得，若A B ⊆，则1a ≤. 故选：B.2．命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，则实数b 的值可能是（ ）A ．74-B ．32-C ．2D ．52【答案】B【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：x ∀∈R ，210x bx ++>，利用判别式小于即可求解. 【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，所以命题：x ∀∈R ，210x bx ++>是真命题，也即对x ∀∈R ，210x bx ++>恒成立， 则有240b ∆=-<，解得：22b -<<，根据选项的值，可判断选项B 符合， 故选：B . 3．函数 21x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除A,D ,再根据01x <<,对应0y <,排除C ,进而选出正确答案B .【详解】由函数 21x y x =-， 可得1x ≠±，故函数的定义域为()()()1111∞∞--⋃-⋃+，，，， 又 ()()()2211xxf x f x x x --===---， 所以21x y x =-是偶函数， 其图象关于y 轴对称， 因此 A,D 错误； 当 01x <<时，221001x x y x -<=<-，， 所以C 错误．故选: B4．已知322323233,,log 322a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】D【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，3222333012a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝<=⎭<∴，， ∴01a <<；32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，23033222013b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝>=⎭<∴，， ∴1b >； 223332log log 123c ==-=- ∴c a b << 故选：D5．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP 翻两番的目标的年份为（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）（ ） A ．2032 B ．2035 C ．2038 D ．2040【答案】D【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.【详解】设2022年我国GDP （国内生产总值）为a ，在2022年以后，每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n 年以后的GDP （国内生产总值）为()18%na +， 由题意，经过n 年以后的GDP （国内生产总值）实现翻两番的目标，则()18%4na a +=， 所以lg 420.301020.301027lg1.083lg32lg5lg 25n ⨯⨯===-20.301020.301020.30100.6020183lg 32(1lg 2)3lg 32lg 2230.477120.301020.0333⨯⨯⨯===≈--+-⨯+⨯-=，所以到2040年GDP 基本实现翻两番的目标. 故选：D.6．将函数sin y x =的图像C 向左平移6π个单位长度得到曲线1C ，然后再使曲线1C 上各点的横坐标变为原来的13得到曲线2C ，最后再把曲线2C 上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线3C ，则曲线3C 对应的函数是（ ）A ．2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图像变换方式计算即可.【详解】由题得1C ：sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2C ：sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到3C ：2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C7．已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．1【答案】D【分析】由题可得211x y+=，利用基本不等式可得29x y +≥ ，进而即得.【详解】因为20x y xy +-=，0x >，0y >，所以211x y+=，所以()212222559y x x y x x y y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝+++≥⎭==， 当且仅当22y xx y=，即3x y ==时等号成立， 所以912x y≤+，即92x y +的最大值为1.故选：D.8．已知22log log 1a b +=且21922m m a b+≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-⋃∞ B ．(][),31,-∞-⋃∞ C ．[]1,3- D ．[]3,1-【答案】C【分析】利用对数运算可得出2ab =且a 、b 均为正数，利用基本不等式求出192a b+的最小值，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为()222log log log 1a b ab +==，则2ab =且a 、b 均为正数，由基本不等式可得1932a b +≥，当且仅当2192ab a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，即当136a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，等号成立， 所以，192a b+的最小值为3，所以，223m m -≤，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤. 故选：C.二、多选题9．函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是()y f x a b =+-为奇函数B ．函数32()3f x x x =-的图像的对称中心为1,2C ．函数()y f x =的图像关于x a =成轴对称的充要条件是函数()y f x a =-是偶函数D ．函数32()|32|g x x x =-+的图像关于直线1x =对称 【答案】ABD【分析】根据函数奇偶性的定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形，则有()()2f a x f a x b ++-=函数()y f x a b =+-为奇函数，则有()()0f x a b f x a b -+-++-=， 即有()()2f a x f a x b ++-=所以函数(=)y f x 的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是 为()y f x a b =+-为奇函数，A 正确；对于B,32()3f x x x =-，则323(1)2(1)3(1)23f x x x x x ++=+-++=-因为33y x x =-为奇函数，结合A 选项可知函数32()=-3f x x x 关于点(1,2)-对称，B 正确； 对于C ，函数()y f x =的图像关于x a =成轴对称的充要条件是()()f a x f a x =-+， 即函数()y f x a =+是偶函数，因此C 不正确； 对于D ，32()|-3+2|g x x x =，则323(1)|(1)3(1)2||3|g x x x x x +=+-++=-， 则33(1)|3||3|(1)g x x x x x g x -+=-+=-=+， 所以32()|-3+2|g x x x =关于=1x 对称，D 正确 故选:ABD.10．下列结论中正确的是（ ）A ．若一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +的值是14-B ．若集合*1N lg 2A x x ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭∣，{}142x B x-=>∣，则集合A B ⋂的子集个数为4 C ．函数()21f x x x =++的最小值为1 D ．函数()21xf x =-与函数()f x 【答案】AB【分析】对于A ：12-和13为方程220ax bx ++=的两根且0a <，即可得到方程组，解得即可判断A ；根据对数函数、指数函数的性质求出集合A 、B ，从而求出集合A B ⋂，即可判断B ；当1x <-时()0f x <，即可判断C ；求出两函数的定义域，化简函数解析式，即可判断D.【详解】解：对于A ：因为一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以12-和13为方程220ax bx ++=的两根且0a <，所以112311223b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，所以14a b +=-，故A 正确；对于B：{{}**1N lg N 1,2,32A x x x x ⎧⎫=∈≤=∈<≤=⎨⎬⎩⎭∣∣0，{}{}12234222|2x x B x x x x --⎧⎫=>=>=>⎨⎬⎩⎭∣∣， 所以{}2,3A B ⋂=，即A B ⋂中含有2个元素，则A B ⋂的子集有224=个，故B 正确； 对于C ：()21f x x x =++，当1x <-时10x +<，()0f x <，故C 错误； 对于D ：()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 令()2210x -≥，解得x ∈R，所以函数()f x =R ，函数()21xf x =-的定义域为R ，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D 错误； 故选：AB11．已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.当()()122f x f x =时，12min 2x x π-=，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．6x π=是函数()f x 的一个零点B ．函数()f x 的最小正周期为2π C ．函数()1y f x =+的图象的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的图象向右平移2π个单位长度可以得到函数2y x =的图象 【答案】AB【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的解析式())6f x x π=-，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()()f x x ωϕ+，可得()()min max f x f x == 因为()()122f x f x =，可得()()122f x f x =， 又由12min 2x x π-=，所以函数()f x 的最小正周期为2T π=，所以24Tπω==，所以()()4f x x ϕ+，又因为012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()]012πϕ⨯-+=，即cos()13πϕ-+=，由2πϕ<，所以6πϕ=-，即())6f x x π=-，对于A 中，当6x π=时，可得()cos()062f ππ==，所以6x π=是函数()f x 的一个零点，所以A 正确；又由函数的最小正周期为2T π=，所以B 正确；由()1)16y f x x π=+=-+，所以对称中心的纵坐标为1，所以C 不正确；将函数())6f x x π=-的图象向右平移2π个单位长度,可得())]2))2666f x x x x πππππ=--=---，所以D 不正确. 故选：AB.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()2e 11e 2x x f x =-+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列叙述正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()f x 的值域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BD【分析】依题意可得()2321e xf x =-+，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B 、D ，再根据高斯函数的定义求出()g x 的解析式，即可判断A 、D.【详解】解：因为()()22e 2e 111321e 21e 21e 21122e2x x x x x x f x =-=-=--=-+-++++，定义域为R ， 因为1e x y =+在定义域上单调递增，且e 11x y =+>，又2y x=-在()1,+∞上单调递增，所以()2321e xf x =-+在定义域R 上单调递增，故B 正确； 因为1e 1x +>，所以1011e x<<+，所以1101e x -<-<+，则2201e x -<-<+， 则1323221e 2x -<-<+，即()13,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故C 错误；令()0f x =，即32021e x -=+，解得ln3x =-，所以当ln3x <-时()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()1f x =，即32121ex-=+，解得ln3x =， 所以当ln3ln3x -<<时()()0,1f x ∈，当ln 3x >时()31,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()1,ln 30,ln 3ln 31,ln 3x g x f x x x ≥⎧⎪⎡⎤==-≤<⎨⎣⎦⎪-<-⎩， 所以()g x 的值域是{}1,0,1-，故D 正确；显然()()55g g ≠-，即()g x 不是偶函数，故A 错误； 故选：BD三、填空题13．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，方程()f x k =有3个实数解，则k 的取值范围为___________.【答案】(4,3]--【分析】根据给定条件将方程()f x k =的实数解问题转化为函数()y f x =的图象与直线y k =的交点问题，再利用数形结合思想即可作答.【详解】方程()f x k =有3个实数解，等价于函数()y f x =的图象与直线y k =有3个公共点， 因当0x ≤时，()f x 在(,1]-∞-上单调递减，在[1,0]-上单调递增，(1)4,(0)3f f -=-=-， 当0x >时，()f x 单调递增，()f x 取一切实数，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象及直线y k =，如图：由图象可知，当43k -<≤-时，函数()y f x =的图象及直线y k =有3个公共点，方程()f x k =有3个解，所以k 的取值范围为(4,3]--. 故答案为：(4,3]--14．已知()1sin 503α︒-=，且27090α-︒<<-︒，则()sin 40α︒+=______【答案】##【分析】由4090(50)αα︒+=︒-︒-，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求cos(50)α︒-，即可得解.【详解】由题设，()sin 40sin[90(50)]cos(50)ααα︒+=︒-︒-=︒-，又27090α-︒<<-︒，即14050320α︒<︒-<︒，且()1sin 503α︒-=，所以14050180α︒<︒-<︒，故cos(50)3α︒-=-. 故答案为：3-15．关于x 不等式0ax b +<的解集为{}3x x >，则关于x 的不等式2045ax bx x +≥--的解集为______.【答案】()[)13,5-∞-，【分析】根据不等式的解集，可得方程的根与参数a 与零的大小关系，利用分式不等式的解法，结合穿根法，可得答案.【详解】由题意，可得方程0ax b +=的解为3x =，且a<0，由不等式2045ax bx x +≥--，等价于()()22450450ax b x x x x ⎧+--≥⎪⎨--≠⎪⎩，整理可得()()()()()510510ax b x x x x ⎧---+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得()[),13,5-∞-，故答案为：()[)13,5-∞-，.16．已知函数f （x ）=221122x a x x x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩（），（）， 满足对任意实数12x x ≠，都有1212f x f x x x -<-（）（）0 成立，则实数a 的取值范围是( ) 【答案】138a ≤【分析】根据分段函数的单调性可得()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解不等式组即可. 【详解】根据题意可知，函数为减函数，所以()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤.故答案为：138a ≤【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数值，考查了基本知识掌握的情况，属于基础题.四、解答题17．在①A B B ⋃=；②“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}{}121,13A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤. (1)当2a =时，求A B ⋃；()RAB(2)若_______，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}15A B x x ⋃=-≤≤，{}35R A B x x ⋂=<≤ (2)答案见解析【分析】（1）代入2a =，然后根据交、并、补集进行计算.（2）选①，可知A B ⊆，分A =∅，A ≠∅计算；选②可知A B ，分A =∅，A ≠∅计算即可；选③，分A =∅，A ≠∅计算.【详解】（1）当2a =时，集合{}{}15,13A x x B x x =≤≤=-≤≤， 所以{}15A B x x ⋃=-≤≤；{}35R A B x x ⋂=<≤ （2）若选择①A B B ⋃=，则A B ⊆， 当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅时，又A B ⊆，{|13}B x x =-≤≤，所以12111213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是)([],10,1-∞-⋃.若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ， 当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅时，又A B ，{|13}B x x =-≤≤，12111213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩或12111213a a a a -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩解得01a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是)([],10,1-∞-⋃. 若选择③，A B ⋂=∅，当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅又A B ⋂=∅则12113211a a a a -≤+⎧⎨->+<-⎩或解得2a <-所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞.18．计算下列各式的值： (1)1222301322( 2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)7log 2log lg25lg47++ 【答案】(1)12； (2)112.【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的定义及运算求解. 【详解】（1）12232231222301322( 2.5)34833331222-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥⎢⎥ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦ 2339199112242442--+-+⎛⎫=== ⎪⎝⎭. （2）7log 2log lg25lg47++()31111log 27lg 2542322222=+⨯+=⨯++=.19．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭同时满足下列两个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）23π.【分析】（1）由条件可得2A =，最小正周期T π=，由公式可得2ω=,得出答案.(2)由()10f x +=，即得到1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解出满足条件的所有x 值，从而得到答案.【详解】（1）由函数()f x 的最大值为2，则2A = 由函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则最小正周期T π=，由2T ππω==，可得2ω= 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()10f x +=，所以1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()2266x k k πππ+=-+∈Z 或()72266x k k πππ+=+∈Z ， 解得()6x k k ππ=-+∈Z 或()2x k k ππ=+∈Z .又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 故方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解得和为23π. 20．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100千件【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果； （2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型. 【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得：当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭L x x x x x x ．当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭ 100001250⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(60)10003L x x =--+．此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．当80x ≥时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭12502001050=-=．此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元． 由于10001050<，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1050万元【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.21．已知函数2()(22)x f x a a a =-- (a >0,a ≠1)是指数函数. (1)求a 的值,判断1()()()F x f x f x =+的奇偶性,并加以证明； (2)解不等式 log (1)log (2)a a x x +<-.【答案】（1）3a =，是偶函数，证明见解析；（2）1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）根据2221,0,1a a a a --=>≠，求出a 即可； （2）根据对数函数的单调性解不等式，注意考虑真数恒为正数. 【详解】（1）函数2()(22)x f x a a a =-- (a >0,a ≠1)是指数函数， 所以2221,0,1a a a a --=>≠，解得：3a =， 所以()3x f x =， 1()()33()x x F x f x f x -=+=+，定义域为R ，是偶函数，证明如下： ()33()x x F x F x --=+=所以，1()()()F x f x f x =+是定义在R 上的偶函数； （2）解不等式 log (1)log (2)a a x x +<-，即解不等式 33log (1)log (2)x x +<- 所以012x x <+<-，解得112x -<< 即不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】此题考查根据指数函数定义辨析求解参数的值和函数奇偶性的判断，利用对数函数的单调性解对数型不等式，注意考虑真数为正数.22．已知函数2()2x x b cf x b ⋅-=+，1()log a x g x x b -=+（0a >且1a ≠），()g x 的定义域关于原点对称，(0)0f =．(1)求b 的值，判断函数()g x 的奇偶性并说明理由； (2)求函数()f x 的值域；(3)若关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1b =，()g x 为奇函数 (2)()1,1-(3)(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()g x 的定义域关于原点对称可得1b =，再求解可得()()0g x g x -+=判断即可； （2）根据指数函数的范围逐步分析即可；（3）参变分离，令()()21,3t f x =-∈，将题意转换为求()()222tm t t =---在()1,3t ∈上的值域，再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可. 【详解】（1）由题意，1()log ax g x x b-=+的定义域10x x b ->+，即()()10x x b -+>的解集关于原点对称，根据二次函数的性质可得1x =与x b =-关于原点对称，故1b =. 此时1()log 1ax g x x -=+，定义域关于原点对称，11()log log 11a a x x g x x x --+-==-+-，因为1111()()log log log log 101111aa a a x x x x g x g x x x x x -+-+⎛⎫-+=+=⨯== ⎪+-+-⎝⎭. 故()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.（2）由（1）2()21x x c f x -=+，又(0)0f =，故002121c -=+，解得1c =，故212()12121x x x f x -==-++，因为211x +>，故20221x<<+，故211121x -<-<+，即()f x 的值域为()1,1- （3）由（2）()f x 的值域为()1,1-，故关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，即()()()22f x m f x f x -=-在()()()1,00,1f x ∈-⋃上有解.令()()()21,22,3t f x =-∈⋃，即求()()212223tm t t t t==---+-在()()1,22,3t ∈⋃上的值域即可.因为2333t t +-≥=，当且仅当t =时取等号，且21301+-=，223333+-=，故)2233,00,3t t ⎛⎫⎡+-∈⋃ ⎪⎣⎝⎭，故13,223m t t∞∞⎛⎛⎫=∈-⋃+ ⎪ ⎝⎭⎝+-，即m的值域为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.。

2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．6．化简：+=．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为．8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4，故答案为：4．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=﹣1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将点（2，）的坐标代入y=x a中，可得=2a，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点（2，）在幂函数y=x a的图象上，则有=2a，解可得a=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查幂函数解析式的计算，注意幂函数与指数函数的区别．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=（x﹣2）（x2+1）．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】分组提取公因式即可得出．【解答】解：原式=x2（x﹣2）+（x﹣2）=（x﹣2）（x2+1）．故答案为：（x﹣2）（x2+1）．【点评】本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】由函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，我们可得函数f（x）的图象向右平移a个单位得到函数f（x﹣a）的图象，再根据原函数的解析式为y=sinx，向右平移量为个单位，易得平移后的图象对应的函数解析式．【解答】解：根据函数图象的平移变换的法则故函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）故答案为：y=sin（x﹣）【点评】本题考查的知识点函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=0．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用根的存在性确定函数零点所在的区间，然后确定k的值．【解答】解；∵f（x）=x3+2x﹣1，∴f′（x）=3x2+2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1+2﹣1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数零点所在的区间为（0，1），∴k=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．6．化简：+=2．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式求解．【解答】解：+=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要注意根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式的合理运用．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．【解答】解：∵，且∴∵||=1∴=﹣1∵||=2∴cos＜＞==﹣∵＜＞∈[0，π]∴＜＞=120°故答案为120°【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜＞=同时要注意＜＞∈[0，π]这一隐含条件！8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=﹣1．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1x2=﹣2，即可求出答案．【解答】解：联立方程组得，∴x2﹣x﹣1=x+1，∴x2﹣2x﹣2=0，∴x1+x2=2，x1x2=﹣2，∴+===﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数图象的交点问题，以及韦达定理的应用，属于基础题．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为（﹣4，﹣3）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设C的坐标为（x，y），向量的坐标运算和向量共线垂直的条件得到关于x，y的方程组，解得即可．【解答】解：设C的坐标为（x，y），O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），∴=（x+2，y﹣1），=（x，y），=（1，2），=（﹣2，1），+2=（﹣3，4），∵与共线，且⊥（+2），解得x=﹣4，y=﹣3，∴点C的坐标为（﹣4，﹣3），故答案为：（﹣4，﹣3）【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量共线垂直的条件，属于基础题．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为[，π]．【考点】余弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间．【解答】解：∵点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，∴φ=﹣，函数y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π，求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[，π]，故答案为：[，π]．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是5﹣．【考点】指、对数不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】化简集合{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}，求出x的取值范围，再求函数y的最小值即可．【解答】解：因为{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}={x|（log2x+1）（log2x﹣2）≤0}={x|﹣1≤log2x≤2}={x|≤x≤4}，且函数y=4x﹣2x+3=22x﹣2x+3=+，所以，当x=时，函数y取得最小值是+=5﹣．故答案为：5﹣．【点评】本题考查了指数与对数不等式的解法与应用问题，解题的关键是转化为等价的不等式，是基础题目．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x﹣4），从而可以得到f（﹣log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1），可判断log23﹣1∈（0，1），从而可以求出，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案．【解答】解：f（x）的图象关于x=1对称；∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4）；即f（x）=f（x﹣4）；∴f（﹣log224）=﹣f（log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1）；∵log23﹣1∈（0，1）；∴==；∴．故答案为：．【点评】考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2a﹣x），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为﹣1．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，结合二次函数的性质通过讨论对称轴的位置，解出即可．【解答】解：当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即x1＜x2时都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+bx﹣|x﹣1|，故需满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，①当0≤x＜1时，h（x）=x2+（b+1）x﹣1，对称轴x=﹣≤0，解得：b≥﹣1，②当1≤x≤2时，h（x）=x2+（b﹣1）x+1，对称轴x=﹣≤1，解得：b≥﹣1，综上：b≥﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考察了二次函数的性质、考察转化思想，是一道中档题．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】正弦函数的图象；函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）没有零点求得x的范围，再根据f（asinx+1）没有零点可得asinx+1的范围，根据正弦【解答】解：若函数f（x）=sin（πx﹣）=sinπ（x﹣）没有零点，故0＜（x﹣）π＜π，或﹣π＜（x﹣）π＜0，即0＜（x﹣）＜1，或﹣1＜（x﹣）＜0，即＜x＜或﹣＜x＜．由于函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则＜asinx+1＜，或﹣＜asinx+1＜，当a＞0时，∵1﹣a≤asinx+1≤1+a，或，解得0＜a＜．当a＜0时，1+a≤asinx+1≤1﹣a，∴或，求得﹣＜a＜0．当a=0时，函数y=f（asinx+1）=f（1）=sin=≠0，满足条件．综上可得，a的范围为（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点的定义，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B；（2）根据补集与交集的定义，求出（∁U A）∩B．【解答】解：（1）∵2x＞8=23，且函数y=2x在R上是单调递增，∴x＞3，∴A=（3，+∞）；又x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，∴B=（﹣1，4）；（2）∵全集U=R，A=（3，+∞），A=∞3∴（∁U A）∩B=（﹣1，3]．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=1解出A点坐标，利用AB=2得出B点坐标，把B点坐标代入g（x）解出a；（2）利用对数的运算性质去掉对数符号列出方程解出x，结合函数的定义域得出x的值．【解答】解：（1）解log2（x+2）=1得x=0，∴A（0，1），∵AB=2，∴B（2，1）．把B（2，1）代入g（x）得log a2=1，∴a=2．（2）∵f（x）+g（x）=3，∴log2（x+2）+log2x=log2[x（x+2）]=3，∴x（x+2）=8，解得x=﹣4或x=2．由函数有意义得，解得x＞0．∴方程f（x）+g（x）=3的解为x=2．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，对数方程的解法，属于基础题．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）根据函数的图象经过点（0，1），求得φ的值，再根据周期性求得ω，可得函数f（x）的解析式．（2）由条件求得sinα+cosα=，平方可得sinαcosα的值，从而求得sinα﹣cosα的值，再利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：（1）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），可得sinφ=1，∴φ=，．∵其相邻两对称轴之间的距离为π，∴=π，求得ω=1，∴f（x）=sin（x+）=cosx．（2）∵sinα+f（α）=，α∈（0，π），即sinα+cosα=，平方可得sinαcosα═﹣，∴α为钝角，sinα﹣cosα==，∴====﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，属于基础题．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）；（3）分段求最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）=；（3）x＞50，W=﹣24（x+100）（x﹣1050）=﹣24（x﹣475）2+7935000，∴x=475时，W max=7935000；0≤x≤50，W═24（x+100）（x+950）单调递增，∴x=50时，W max=3600000；综上所述，要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为475元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知结合共线向量基本定理得答案；（2）由已知结合向量加法、减法的运算法则求解；（3）由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案．【解答】解：（1）∵E，F分别为BD，DC的中点，∴，则；（2）=；（3）=，∵=10﹣6cos∠AEF．∴当∠AEF=π时，取得最大值16．∴的最大值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法与减法的三角形法则，是中档题．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】新定义；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，结合二阶不动点和二阶周期点的定义，可得答案；②由二阶周期点的定义，结合f（x）=kx+1，可求出满足条件的k值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，则函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，解得答案．【解答】解：（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，解4x+3=x得：x=﹣1，即﹣1为函数f（x）的二阶不动点，时f（﹣1）=﹣1，即﹣1不是函数f（x）的二阶周期点；②∵f（x）=kx+1，∴f（f（x））=k2x+k+1，令f（f（x））=x，则x==，（k≠±1），或x=0，k=﹣1，令f（x）=x，则x=，若函数f（x）存在二阶周期点，则k=﹣1，（2）若x0为函数f（x）的二阶周期点．则f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，若x1为函数f（x）的二阶不动点，则f（f（x1））=x1，且f（x1）=x1，则f（x0）=f（x1），则x0≠x1，且f（x0）+f（x1）=﹣b，即函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，故△=（b﹣1）2﹣4c＞0恒成立，解得：c＜0．【点评】本题以二阶不动点和二阶周期点为载体，考查了二次函数的基本性质，正确理解二阶不动点和二阶周期点的概念是解答的关键．。