【全国百强校】江苏省2017届高三数学第一轮复习：等比数列(无答案)

课时跟踪检测（三十一） 等比数列及其前n 项和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝20，a 1q ＋a 1q 3＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝2.答案：22．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，那么a 1＋a 10＝________.解析：因为a 4＋a 7＝2，由等比数列的性质可得，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，所以a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，所以a 1＝－8，a 10＝1，所以a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，则a 10＝－8，a 1＝1，所以a 1＋a 10＝－7.综上可得a 1＋a 10＝－7.答案：－73．(2016·南通调研)设等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3＝________.解析：根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1－q41－qa 1q2＝－q4－q q2＝1－24－2＝154. 答案：1544．在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________. 解析：由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16， ∴a 2＝2，∴q 2＝a 4a 2＝4，∴a 6＝a 4q 2＝32. 答案：325．若S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且2S 4＝a 5－2,2S 3＝a 4－2，则数列{a n }的公比q ＝________.解析：将2S 4＝a 5－2,2S 3＝a 4－2相减得2a 4＝a 5－a 4， 所以3a 4＝a 5，公比q ＝a 5a 4＝3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.解析：由题意得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝32，a n＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝－261－2＝63.答案：633．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝________. 解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：184．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是________．解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以3为公比的等比数列． ∴a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1335＝－5.答案：－55．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．解析：设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1－q 2m1－q a 1－qm1－q ＝q m＋1＝9，∴q m＝8.∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8， ∴q ＝2. 答案：26．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －17．在等比数列{}a n 中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.解析：∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30.又∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1－8331－8＝4a 199－7＝47×30＝1207. 答案：12078．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 016积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．解析：由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 016＝a 2 016， 故a 1a 2a 3·…·a 2 015＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1， 所以a 1 008＝1，公比0＜q ＜1，所以a 1 007＞1且0＜a 1 009＜1，故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 007或1 008.答案：1 007或1 0089．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2.当n ＝1时a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝－4n1－4＝n－3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋n －3＝22n ＋1＋13. 10．(2016·苏州调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，是否存在k ∈R ，使得k ≤S n 恒成立？若存在，求实数k 的最大值；若不存在，说明理由．解：(1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，②由①－②得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0，所以a n ＋1＝13a n (n ≥2)．又a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，得a 2＝13，所以a 2＝13a 1，故数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列，所以a n ＝a 1·qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1. (2)假设存在满足题设条件的实数k ，使得k ≤S n 恒成立．由(1)知S n ＝a 1－q n1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，由题意知，对任意正整数n 恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以当n ＝1时数列中的最小项为23，则必有k ≤1，即实数k最大值为1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1＝________.解析：设共有2k ＋1(k ∈N *)项，公比为q ，其中奇数项有k ＋1项，偶数项有k 项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q2k1－q2＋192＝255，a 2－q 2k1－q2＝－126，解得q ＝－2，又S 奇＝a 1－q2k ＋21－q2＝a 1－a 2k ＋1q 21－q2， 即a 1－192×41－4＝255，解得a 1＝3.答案：32．已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝a ，{b n }是公比为23的等比数列．记b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *)，若不等式a n >a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *)，所以a n ＝b n －2b n －1. 所以a n ＋1－a n ＝b n ＋1－2b n ＋1－1－b n －2b n －1＝1b n －1－1b n ＋1－1＝b n ＋1－b n－b n ＋1－b n＝－13b n⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b n －b n<0， 解得b n >32或0<b n <1.若b n >32，则b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>32对一切正整数n 成立，显然不可能；若0<b n <1，则0<b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<1对一切正整数n 成立，只要0<b 1<1即可，即0<a 1－2a 1－1<1，解得a 1＝a >2.即实数a 的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)3．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n＋1＋2a na n＋2a n－1＝3(n≥2)，∴数列{a n＋1＋2a n}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n＋1＋2a n＝15×3n－1＝5×3n，则a n＋1＝－2a n＋5×3n，∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n.。

2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD ⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+（a n+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）﹣2数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则a n+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，﹣2变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，﹣3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f （﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P （A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。

第1课时 数列的概念【学习目标】1、理解数列的概念；了解数列通项公式的意义和前n 项和的概念；2、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；3、能根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式.【知识梳理】1、数列的定义：按照 叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的数列可以看成定义域为__________________的函数，该函数的图象是2、数列的分类：按项数多少，可分为________________________；按数值大小，可分为________________________； 按数值范围，可分为________________________3、数列的表示法有 、 、4、通项公式与递推公式的区别：通项公式：递推公式：5、已知数列前n 项和n S ，则n a =【教学过程】一、基础训练1、数列4，25，2，…，n n 3+，…中34是第 项. 2、数列}{n a 的图象是函数1log )(2+=x x f 图象上x 取正整数时的点列，则其通项公式为 3、设)( 21312111)(*N n nn n n n f ∈+⋯⋯++++++=，那么=)1(f ，=)2(f =-+)()1(n f n f4、数列{}n a 的通项n d cn a n +=（c ,d 为常数），已知415,2342==a a ，则c = ，d = =10a ___________ ___. 5、已知数列{}n a 满足11(1)(2)n n n n a a a n --=+-≥，且11a =，那么45a a = 6、数列{}n a 中，11a =，对于所有的2≥n 都有221n a a a n =⋅⋯⋯⋅⋅，则=+53a a7、,999.0,99.0,9.0…，的一个通项公式是 ；87,45,23,1--，…，的一个通项公式是 8、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数）（为奇数）n (n )(22n n n f ，且)1()(++=n f n f a n ，则123100a a a a ++++= ______ 二、典型例题例1、数列{}n a 的通项公式是2212n n a n -=， （1）0和1是不是数列中的项？如果是，则是第几项？如果不是，说明理由.（2）数列中是否存在连续且相等的两项？例2、在数列{}n a 中，51010,20a a ==，通项公式为项数n 的一次函数，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）100是否为数列{}n a 中的项？（3）若12n n c n a t =⋅+，是否存在*,m t N ∈，使得122m c c c +=，若存在，求出,m t ；若不存在，说明理由.例3、（1）求数列{}32922+-n n 中的最小项；（2）已知252+=n n a n ，求数列{}n a 中的最大项.若1562+=n n a n 呢？例4、已知数列{}n a 满足：)(52212121221*∈+=+⋯⋯++N n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式n a .第1课时 数列的概念课后作业1、已知),3(,21N n n a a a n n n ∈≥+=--，,,2,1121+===n n n a a b a a 则数列{}n b 的前4项依次是_________ 2、已知数列,,12,,7,5,3,1 -n 则33是它的第 项.3、已知数列的前四项如下，写出下列各数列的一个通项公式：（1）,201,121,61,21…， （2）5555,555,55,5，…， （3 .4、数列2,0,2,0,2,0, …，给出以下公式：（1）1)1(1--+=n n a ， （2）n n a )1(1--=，（3）2sin 2πn a n =，可能是该数列的通项公式的是 5、有下列5个命题：（1）数列是按照一定的规律排列的一列数；（2）数列的项数是有限的；（3）数列若用图像表示，从图像上看都是一些孤立的点；（4）数列中不能有相等的项；（5）数列的通项公式是唯一的.其中正确的命题是6、已知数列{}n a 中，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，,2007,121=-=a a则=2008a7、已知数列{}n a 满足：*434121,0,,n n n n a a a a n N --===∈，则2009a =______，2014a =______8、已知数列{}n a 的通项公式(,,n na a a b c nb c=+都是正实数）则1n n a a +与的大小关系是_______ 9、已知数列1212312341,,,,,,,,,,...213214321，则56是数列的第___________项. 10、在数列}{n a 中，如果存在非零常数T ，使得n T n a a +=对于任意的非零自然数n 均成立，那么就称数列}{n a 为周期数列，其中T 叫做数列}{n a 的周期. 若周期数列}{n x 满足11=x ，)0,(2≠∈=a R a a x ，且)2(||11≥-=-+n x x x n n n ，当数列的}{n x 的周期最小时，该数列前2008项的和是__________________11、已知数列{}n a 的通项公式的是34122+-=n n a n ，（1）解不等式：1+>n n a a ；（2）试问：该数列中是否存在最小的项？若存在，是第几项？若不存在，说明理由.12、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S 点(,)n n S *()n N ∈均在函数()y f x =的图像上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .。

等比数列概念及性质【考点1】等比数列的定义及判定（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），即：1(0)n na q q a +=≠． 注意：①“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；②隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件； ③常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ④{}n a 成等比数列⇔1(0)n na q n N q a ++=∈≠，． （2）等比数列的判定 等比数列的判定方法有： ①定义法：若11()()n n n n a aq q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2，则{}n a 是等比数列；②中项公式法：若数列{}n a 中，2120()n n n n a a a a n N *++≠=∈且，则数列{}n a 是等比数列；③通项公式法：若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N *=∈均为不为的常数，，则数列{}n a 是等比数列；④前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,0,1)n n S k q k k k q =-≠≠为常数且，则数列{}n a 是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可．思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即1n na q a +=，对于本例（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明．例1已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1．证明：数列{a n ＋1}是等比数列； 【点拨】根据11()()n n n n a aq q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2判定数列是等比数列．【解析】证明：（1）∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝()2121n na a +=+（n ∈N *），∴数列{a n ＋1}是等比数列．【小结】本题考查定义法判定数列{a n ＋1}是等比数列．练习1：已知1a ＝2，点1(,)n n a a ＋在函数2()f x x ＝＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，…．证明数列{lg(1)}n a ＋是等比数列； 【解答过程】【解析】证明：由已知得212n n n a a a ＋＝＋，∴ 221121(1)n n n n a a a a ＋＋＝＋＋＝＋．∵ 12a ＝，∴ 211(1)0n n a a >＋＋＝＋． ∴ 1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，即1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，且1lg(1)lg 3a ＋＝．∴ {lg(1)}n a ＋是首项为lg 3，公比为2的等比数列．【考点2】等比数列的通项公式首相为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为：推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义1nn a q a -=可得1(2)n n a a q n -=≥：∴21211a a q a q -==；23132111()a a q a q q a q a q -====； 234143111()a a q a q q a q a q -====；……111(2)n n n a a q a q n --===≥当n=1时，上式也成立∴归纳得出：111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠， （2）叠乘法： 根据等比数列的定义1n n a q a -=可得：21a q a =，32a q a =，43aq a =， (1)n n a q a -=，把以上1n -个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：11n na q a -=，即11(2)n n a a q n -=≥又a 1也符合上式∴111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，． （3）迭代法：2211221n n n n n a a q a q a q a q ----====⋅=∴111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，．注意：①通项公式由首项1a 和公比q 完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及1a 、n 、q 、n a 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等比数列的通项公式的推广已知等比数列{}n a 中，第m 项为m a ，公比为q证明：∵11n n a a q-=⋅，11m m a a q-=⋅ ∴1111n n m n m m a a q q a a q---⋅==⋅ ∴n m n m a a q -=⋅ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，可以看成是1m =时的特殊情况．等比数列与指数函数的关系 等比数列{}n a 中，111n n n a a a qq q -=⋅=⋅，若设1ac q=,（1）当1q =时，n a c =，等比数列{}n a 是非零常数列．它的图象是在直线y c =上均匀排列的一群孤立的点．（2）当01q q >≠且时，等比数列{}n a 的通项公式n n a c q =⋅是关于n 的指数型函数；它的图象是分布在曲线1xa y q q=⋅（01q q >≠且）上的一些孤立的点． ①当1q >且10a >时，等比数列{}n a 是递增数列； ②当1q >且10a <时，等比数列{}n a 是递减数列； ③当01q <<且10a >时，等比数列{}n a 是递减数列； ④当01q <<且10a <时，等比数列{}n a 是递增数列． （3）当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列．注意：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列．例2等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a ．【点拨】由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a ．【解析】法一：设此数列公比为q ，则8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由（2）得：241(1)20a q q +=．．．．．．．．．．（3）∴10a >．由（1）得：421()64a q = , ∴418a q = ．．．．．．（4）（3）÷（4）得：42120582q q +==， ∴422520q q -+=,解得22q =或212q =当22q =时，12a =，1011164a a q =⋅=； 当212q =时，132a =，101111a a q =⋅=． 法二：∵193764a a a a ⋅=⋅=,又3720a a +=, ∴3a 、7a 为方程220640x x -+=的两实数根，∴⎩⎨⎧==41673a a 或 ⎩⎨⎧==16473a a∵23117a a a ⋅=, ∴271131a a a ==或1164a =．【答案】1或64．【小结】①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）．练习1：已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a ．例3在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3（n ≥1），则该数列的通项a n ＝________． 【点拨】设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n ．故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b ．所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a ．【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3（n ≥1），∴a n ＋1＋3＝2（a n ＋3）（n ≥1），即{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以该数列的通项a n ＝2n ＋1－3．【答案】2n ＋1－3．【小结】本题考查构造等比数列求通项公式． 练习1：数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式． 【解题过程】【解析】由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=21（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1，∴数列{ a n －2}是以21为公比，－1为首项的等比数列．∴a n －2=－（21）1-n ．∴a n =2－（21）1-n ．拓展：在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n+1=4a n +3n+1，求数列｛a n ｝通项公式．【解析】设a n+1+A （n+1）+B=4（a n +An+B ），（A 、B 为待定系数），展开得a n+1=4a n +3An+3B-A ，与已知比较系数得{1333=-=A B A ∴{321==B A ∴a n+1+（n+1）+2=4（a n +n+2），根据等比数列的定义知，数列｛a n +n+32｝是首项为38，公比为q=3的等比数列，∴a n +n+32=38×3n-1∴数列通项公式为a n =38×3n-1-n-32． 例4在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a ． 【点拨】经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式．【解析】在n n n a a a 313212+=++两边减去1+n a ，得)(31112n n n n a a a a --=-+++∴ {}n n a a -+1是以112=-a a 为首项，以31-为公比的等比数列，∴11)31(-+-=-n n n a a ，由累加法得n a =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+⋅⋅⋅+-+---- =+--2)31(n +--3)31(n …11)31(++-=311)31(11+---n =1])31(1[431+---n = 1)31(4347---n ．【答案】1)31(4347---n ． 【小结】本题考查构造等比数列及逐差法求数列通项公式．练习2：数列{}n a 中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{}n a 的通项公式． 【解题过程】【解析】由n n n a a a +=++1223得,313212n n n a a a +=++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++．比较系数得3132=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k 若取31,1-==h k ，则有)(31112n n n n a a a a --=-+++∴}{1n n a a -+是以31-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列∴11)31(-+-=-n n n a a 由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =11)31()31()31()31(232++-+-++-+--- n n =1311)31(11++---n =11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n ． 例5设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和，则n a =________．【点拨】运用112n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩消去n S ，然后构造等比数列求通项公式．【解析】11111,2374n a S a a ===+-∴=当时1111111112,(237)[23(1)7]2232332(3){3}-34-3=1,23122{}23n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=⨯=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是【答案】123n ++．【小结】求数列{}n a 的通项n a 可用公式112n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解．练习1：设数列{}n a 的前n 项的和为n s ，111.32,n n n n a s s a a ++=+=且求． 【解答过程】【解析】解法一：消1n a +用代入法：{}{1111111111113,111023,222()331333,32(33)21(33)23,123232n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n s s a s s s s s s s s a a a a n a -+++++-+++=--⋅≥+=+=+⇒=∴==∴=⋅=+=⇒=+∴=+=⋅=⋅=≠∴=n+1n 由得是以为首项,3为公比的等比数列.s 代入已知等式得:3当时解法二：消n s 用作差法：{}11111111112212212123,2:22(2):()()22(2)22(2)3(2)(22)66323(2),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n s s a s s a n s s s s a a n a a a a n a a n a a s s a a a n a -++-+-++++--⋅≥+=+=≥-+-=-≥+=-≥⇒=≥∴+===∴=⋅=⋅≥∴=1n 解由得两式相减得即是以由求得为首项(注意不是a 为首项),3为公比的等比数列a {3,1n =【考点3】等比数列的性质（1）等比中项：如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项，其中G = 注意:①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项． ②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2a bc +=唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一． ③当0ab >时，a 、G 、b成等比数列2G bG ab G a G⇔=⇔=⇔= （2）设等比数列{}n a 的公比为q①若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅，特别地，当2m n p +=时2m n p a a a ⋅=．②下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,…组成的新数列仍为等比数列，公比为m q ．③若{}n a ，{}n b 是项数相同的等比数列，则{}2n a 、{}21n a -、{}n ka （k 是常数且0k ≠）、1{}n a 、{}m n a （m N +∈,m 是常数）、{}n n b a ⋅、{}n na b 也是等比数列； ④三个数成等比时，可设为,,a a aq q ；四个数成等比，可设为33,,,a aaq aq q q．例6已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +等 于________．【点拨】根据等比数列的性质2311774a a a a ==，解得74a =，根据等差数列等差中项求得59b b +的值．【解析】等比数列{}n a 中，2311774a a a a ==，解得74a =，等差数列{}n b 中，59728b b b +==．【答案】8．【小结】本题考查等差数列的等差中项及等比数列的等比中项．练习1：已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于__________．【解析】 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝52．例7有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12．求这四个数．【点拨】设这四个数为y, x-d, x,x+d ，根据等比、等差数列的性质求解．【解析】依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d ，∵后三个数和为12，∴（x-d ）+x+（x+d ）=12，解得x=12．又前三个数成等比且和为19，∴⎩⎨⎧=+-+=-19444)4(2d y y d , 解得⎩⎨⎧-==29d y 或⎩⎨⎧==1425d y ，∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18． 【答案】9，6，4，2或25，-10，4，18．【小结】本题考查等比数列的性质，设这四个数为y, x-d, x,x+d 是解题关键．练习1：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数． 【解题过程】【解析】设四个数分别是x,y,12-y,16-x ∴⎩⎨⎧-=--+=)2).......(16()12()1.......(1222x y y y x y 由（1）得x=3y-12，代入（2）得144-24y+y 2=y （16-3y+12）∴144-24y+y 2=-3y 2+28y, ∴4y 2-52y+144=0, ∴y 2-13y+36=0, ∴ y=4或9，∴ x=0或15，所以这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1；基础练习 （时间：100分钟）1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________． （1）a 1，a 3，a 9成等比数列 （2）a 2，a 3，a 6成等比数列 （3）a 2，a 4，a 8成等比数列 （4）a 3，a 6，a 9，成等比数列2．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________. 3．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于________． 4．等比数列{a n }中，a n ∈R ＋，a 4·a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8的值为_______． 5．(2009年高考广东卷第5小题)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = _______．6．（2014·安徽卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.7．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．8．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+________． 9．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是 ．10．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1（n ＝1,2，…），若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________．11．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，这三个数是 ． 12．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21nn n ba b S -=-（1）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13（a n －1） （n ∈N *）．（1）求a 1，a 2；（2）求证：数列{a n }是等比数列．15．设a 11,a 235,a n+235a n+132a n （n 1,2,…）,令b n =a n+1a n （n 1,2…）．求数列{b n }的通项公式；16．（2014·广州调研）已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，{a n }中部分项组成的数列123,k k k a a a ，,,,nka 恰为等比数列，且知k 1=1, k 2=5,k 3=17．求k n ；参考答案1．【解析】因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列． 2．【解析】设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝（62）2＝32．3．【解析】a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴（q －1）（q 2－q －1）＝0 （q ≠1），∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 （q ＝1－52<0舍）∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12． 4．【解析】log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8＝log 2（a 1·a 2·a 3·…·a 8）＝log 2（a 4a 5）4＝4log 232＝20.5．【解析】设公比为q ,由已知得()2841112a q a q a q ⋅=,即22q =,因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q =故21a a q ===． 6．【解析】因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1.7．【解析】本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln （a 1a 2…a 20）＝ln （a 10a 11）10＝ln （e 5）10＝ln e 50＝50.8．【解析】本题考查求等比数列的公比．设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，因为1321,,22a a a成等差数列，则1232a a a +=，即21112.a a q a q +=则212q q +=，解得1q =比数列{}n a 中，各项都是正数，则0q >，则1q =()(22782910787813a a qa a q a a a a +⋅+====+++9．【解析】设三数分别为3,,a b ，则223,(6)3.a b a b =+⎧⎨-=⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或15,27.a b =⎧⎨=⎩∴ 这个未知数为3或27．10．【解析】由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9．11．【解析】本题考查求三个数成等比数列的表示．设这三个数为aq 、q 、aq ，则()()28,15122aa aq q a a aq q⎧++=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩由()2得8a =．把8a =代入()1得：225q q+=，解得2q =q＝2或12．∴这三个数为4,8,16或16,8,4． 12．【解析】由题意设此四个数为bq，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8．13．【解析】（1）证明：由题意知12a =，且()21nn n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-，即12n n n a ba +=+ ①当2b =时，由①知122n n n a a +=+，于是()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列．（2）当2b =时，由（1）知1122n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+；当2b ≠时，由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-⋅=+-⋅--22n n bba b=-⋅- 122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫∴-⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭()212nb b b -=⋅- ()121122222n n n n a b b n b -=⎧⎪∴=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣⎦-⎩14．【解析】（1）由S 1＝13（a 1－1），得a 1＝13（a 1－1），∴a 1＝－12．又S 2＝13（a 2－1），即a 1＋a 2＝13（a 2－1），得a 2＝14．（2）证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13（a n －1）－13（a n －1－1）， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．15．【解析】因为121+++-=n n n a a b 1115222()3333n n n n n n a a a a a b +++=--=-=， 故{}是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32( ==n b nn ．16．【解析】（1）证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝131a n －1. 因为a 1＝35，所以1a 1－1＝23，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列． （2）由（1）知，1a n －1＝23×13n －1＝23n ，所以a n ＝3n3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，（a s －1）2＝（a m －1）（a t －1）. 由a n ＝3n3n ＋2与（a s －1）2＝（a m －1）（a t －1），得3s3s ＋2－12＝3m3m ＋2－13t3t ＋2－1， 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s.因为m ＋t ＝2s ，所以3m＋3t＝2×3s. 又3m＋3t≥2 3m ＋t＝2×3s，当且仅当m ＝t 时，等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．17．【解析】依题意：1k a =a 1, 2k a =a 5=a 1+4d, 3k a =a 17=a 1+16d ，而1k a ，2k a ，3k a 为等比数列．故有（a 1+4d ）2=a 1（a 1+16d ）,解得a 1=2d ． 因而{n k a }的公比q=15a a =114a d a +=1112a a a +=3．而n k a 在等差数列{a n }中是第k n 项，∴n k a =a 1+（k n -1）d,即n k a =（k n +1）d ……（1） 又n k a 在等比数列{n k a }中是第n 项， ∴n k a =a 1·q n-1即n k a =2d ·3n-1 (2)联立（1）（2），解得k n =2·3n-1-1．。

第62课 等 比 数 列1. 等比数列的概念(B 级要求).2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(C 级要求).3. 根据具体的问题情境中的等比关系解决相应的问题(B 级要求).4. 等比数列与指数函数的关系(A 级要求).1. 阅读：必修5第49～62页.2. 解悟：①理解等比数列、等比中项的定义及符号语言；②写出等比数列的常用性质；③体会课本中推出等比数列通项公式和求和公式的方法.3. 践习：在教材空白处，完成第61、62页习题第3、4、5、9题.基础诊断1. 已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝9，a 4＝4，则数列{a n }的通项公式为a n ＝ 9×(23)n－2.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 4a 2＝49.又因为q>0，所以q ＝23，所以a n ＝9×⎝⎛⎭⎫23n －2.2. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，则公比q 的值为 2 . 解析：因为S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，所以a 1＝a 1q ＋3，a 1(1＋q)＝a 1q 2＋3，所以q 2－2q ＝0.因为q ≠0，所以q ＝2.3. 若等比数列{a n }的通项公式为a n ＝4×31－n ，则数列{a n }是 递减 数列.(填“递增”或“递减”)解析：因为对∀n ∈N *，a n >0，a n ＋1a n ＝4×3－n 4×31－n ＝13<1，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列.4. 设{a n }是等比数列，下列四个命题中正确的命题是 ①②③ .(填序号)①{a 2n }是等比数列；②{a n a n ＋1}是等比数列；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列；④{lg |a n |}是等比数列. 解析：因为{a n }是等比数列，所以a n a n －1＝q(q 为定值).①a 2n a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫a n a n －12＝q 2，故①正确；②a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故②正确；③1a n 1a n －1＝a n －1a n ＝1q ，故③正确；④lg |a n |lg |a n －1|不一定是常数，故④不正确.范例导航考向❶ 等比数列基本量的计算例1 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝ 314Ｗ.解析： 显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q·a 1q 3＝1，a 1（1－q 3）1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝4×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝ 32 .解析：设数列{a n }的公比为q(q ≠1)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.【注】 等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解. 考向❷ 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1) 设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式.解析：(1) 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5，所以b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＝4a n －1＋2（n ≥2），①② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2). 因为b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列. (2) 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)×2n －2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1) 证明：{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2) 若S 5＝3132，求λ的值.解析：(1) 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 所以a 1＝11－λ，λ≠1，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即(λ－1)a n ＋1＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1，因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，所以a n ＝11－λ·⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2) 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.【注】 (1) 证明一个数列为等比数列常用定义法(作比—代入—得结论)与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2) 利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证. 考向❸ 等比数列性质的应用例3 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q(q ≠1)的等比数列，记c n ＝a n ＋b n .(1) 求证：数列{c n ＋1－c n －d}为等比数列；(2) 已知数列{c n }的前4项分别为4，10，19，34，求数列{a n }和{b n }的通项公式. 解析：(1) 由题意得c n ＋1－c n －d ＝(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )－d ＝(a n ＋1－a n )－d ＋(b n ＋1－b n )＝b n (q －1)≠0，所以c n ＋2－c n ＋1－d c n ＋1－c n －d ＝b n ＋1（q －1）b n （q －1）＝q.因为c 2－c 1－d ＝b 1(q －1)≠0，所以{c n ＋1－c n －d}是首项为b 1(q －1)，公比为q 的等比数列.(2) 方法一：由题意得数列{c n ＋1－c n －d}的前3项分别为6－d ，9－d ，15－d ， 则(9－d)2＝(6－d)(15－d)，解得d ＝3，所以q ＝2.又因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝4，a 1＋3＋2b 1＝10，解得a 1＝1，b 1＝3，所以a n ＝3n －2，b n ＝3×2n －1.方法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝4，a 1＋d ＋b 1q ＝10，a 1＋2d ＋b 1q 2＝19，a 1＋3d ＋b 1q 3＝34，消去a 1得⎩⎪⎨⎪⎧d ＋b 1q －b 1＝6，d ＋b 1q 2－b 1q ＝9，d ＋b 1q 3－b 1q 2＝15，消去d 得⎩⎪⎨⎪⎧b 1q 2－2b 1q ＋b 1＝3，b 1q 3－2b 1q 2＋b 1q ＝6， 消去b 1得q ＝2，从而解得a 1＝1，b 1＝3，d ＝3， 所以a n ＝3n －2，b n ＝3×2n －1.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝ 34.解析：方法一：因为S 6∶S 3＝1∶2，所以数列{a n }的公比q ≠1.由a 1（1－q 6）1－q ÷a 1（1－q 3）1－q ＝12，得q 3＝－12，所以S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二：因为{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，所以公比q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.【注】 (1) 在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q”，可以减少运算量.(2) 等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如数列S k ，S 2k－S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，公比为q k (q ≠－1).自测反馈1. 设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝ －8 .解析：设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1 ①，a 1－a 1q 2＝－3 ②，显然q ≠1，a 1≠0，由②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.2. 设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为 64 .解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，所以a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n 2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n)，结合n ∈N *，可知当n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，所以a 1a 2…a n的最大值为64.3. 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .解析：因为{a n }是等比数列，所以a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5，所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2·a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln (a 10a 11)10＝10ln (a 10·a 11)＝10·lne 5＝50lne ＝50.4. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6的值为 63 .解析：方法一：由等比数列的性质，得q 2＝S 4－S 2S 2＝4，所以q ＝±2.又因为S 2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－3，所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝1×（1－26）1－2＝63或S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝（－3）×[1－（－2）6]1－（－2）＝63，即S 6＝63.方法二：由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列可得(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63.1. 等比数列的通项公式与前n项和公式中的五个基本量：a1，q，n，a n，S n，知三求二.2. 等比数列是一种特殊的数列，要注意和等差数列类比学习，但也要注意区别.3. 你还有那些体悟，写下来：。