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第四章 刚体力学

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第四章 刚体力学

第四章 刚体力学

度成正比，即
M＝－kω
(k
为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0
变为
1 2
ω
0
时所需的时间．
解：根据转动定律：
Jdω / dt = -kω
∴
dω = − k dt
2分
ωJ
两边积分：
∫ ∫ ω0 / 2 1 dω = − t k d t
ω ω0
0J
得
ln2 = kt / J
∴
t＝(J ln2) / k
3分
(1) 圆柱体的角加速度，
(2) 圆柱体的角速度，
(3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为 2 kg·m2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉
力为多少？
解：(1) 圆柱体的角加速度 β
β＝a / r＝4 rad / s2
2分
(2) 根据ωt = ω 0 + β t ，此题中ω 0 = 0 ，则
有
ωt = βt
16.质量分别为 m 和 2m、半径分别为 r 和 2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘 在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的 转动惯量为 9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为 m 的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．
解：受力分析如图．
2分
＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向里．求： (1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到ω＝0 时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
ω0 R M
m
解：(1) ∵
mg－T＝ma TR＝Jβ a＝Rβ
∴
β = mgR / (mR2＋J) =

理论力学第4章 刚体的平面运动

理论力学第4章 刚体的平面运动
的位置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量。
2021/7/17
.
13
xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
2021/7/17
.
14
3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
2021/7/17
.
55
2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
2021/7/17
车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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.
18
2021/7/17
.
19
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
2021/7/17

(完整版)刚体的转动习题

(完整版)刚体的转动习题

17-4图18-4 图F F ρ-O 04 第四章 刚体力学一、选择题：1、如图4-18所示，一圆盘绕通过盘心且与盘面垂直的轴o 以角速度ω针转动。

今将两大小相等、方向相反、但不在同一条直线上的力F 和F -盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度：[ ] （A ）必然减少 （B ）必然增大（C ）不会变化 （D ）如何变化，不能确定 2、如图4-17所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B端置于粗糙的水平地面上而静止，杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大小为：[ ]（A ）θcos 41mg （B ）θmgtg 21 （C ）θsin mg （D ）不能唯一确定 3、某转轮直径m d 4.0=,以角量表示的转动方程为t t t 4323+-=θ（SI ）,则：[ ]（A ）从s t 2=到s t 4=这段时间内，其平均角加速度为2.6-s rad ；（B ）从s t 2=到s t 4=这段时间内，其平均角加速度为2.12-s rad ；（C ）在s t 2=时，轮缘上一点的加速度大小等于2.42.3-s m ；（D ）在s t 2=时，轮缘上一点的加速度大小等于2.84.6-s m 。

4、如图4-2所示，一倔强系数为k 轮（转动惯量为J ），下端连接一质量为m 的物体，问物体在运动过程中，下列哪个方程能成立？[ ] （A ）ky mg = （B ）02=-T mg（C ）my T mg =-1 （D ）y R J J βR T T ''⋅==-)(21 5、 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关．（B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．（C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．［ ］6、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．在上述说法中，(A) 只有(1)是正确的．(B) (1) 、(2)正确，(3) 、(4) 错误．(C) (1)、(2) 、(3) 都正确，(4)错误．(D) (1) 、(2) 、(3) 、(4)都正确． ［ ］7、有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ．A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀．它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则(A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ．1-4 图5-4图19-4 图 (C) J A = J B ． (D) 不能确定J A 、J B 哪个大． ［ ］8、一力N j i F )53(ϖϖϖ+=，其作用点的矢径为m j i r )34(ϖϖϖ-=，则该力对坐标原点的力矩为：[ ] （A ）m N k ⋅-ϖ3 （B ）m N k ⋅ϖ29 （C ）m N k ⋅ϖ19 （D ）m N k ⋅ϖ39、一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω (A) 必然增大． (B) 必然减少． (C) 不会改变． (D) 如何变化，不能确定． ［ ］10、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小．(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大．(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小．(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大． ［ ］11、如图4-19所示P 、Q 、R 、S l RS QR PQ ===，则系统对o o '轴的转动惯量为：[ ]（A ）250ml （B ）214ml（C ）210ml （D ）29ml12、如图4-1所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =。

第四章 刚体力学

第四章 刚体力学

第四章 刚体的转动§4-1 刚体的定轴转动1． 研究对象:刚体,即物体内任意两质点间的距离在运动中保持不变。

（不变质点组）。

2． 对刚体运动的分类：（1）平动：刚体内任何一条给定直线在刚体运动过程中方向不变。

所有点的运动相同。

（2）定轴转动：刚体中所有点都绕一固定直线作圆周运动。

（3）刚体的平面运动：这种运动可分解为质心的平动和以质心为轴的转动。

（4）刚体的空间运动：这种运动可分解为平动、轴的运动、绕轴的转动。

3． 角量和线量的关系：r S θ=，r v ω=，r a βτ=，rv r a n 22==ω 规定：ω 方向与刚体转动方向成右手螺旋关系，于是ω由于：dt d ωβ =，所以角加速度的方向也在转轴上。

若以ω为正方向，β为正表示加速，β为负表示减速。

以后将学到的力矩的方向、动量矩的方向等都在转轴上。

4． 力矩：力矩就是综合描述这三要素的一个物理量。

定义：f r M⨯=大小：θsin ⋅⋅=⋅=r f d f M 分量值：ατcos fr r f M z =⋅=f 在转动平面内。

若f 不在转动平面内，将f分解为平行于转轴和垂直于转轴两部分。

平行于转轴部分对刚体的转动无贡献。

几个力同时作用于刚体，它们的合力矩是这几个力的力矩的矢量合： ∑=i M M（注意：不是合力的力矩，而是力矩的矢量合。

力矩的矢量合≠合力的力矩。

） 例：求匀质园盘在水平面上转动时所受的摩擦力矩。

解：取rdr dm πσ2⋅=gdm df ⋅=μ rdf dM f =mgR gR dr gr dM M Rf f μπμσπμσ32322320====⎰⎰§4-2 转动动能 转动惯量 转动定律1． 转动动能： ∑∑∑===i i i i ii i i i k r m r m v m E 22222)(212121ωω 2． 转动惯量J ：（单位：Kg.m 2）对于质量为离散型分布的刚体：∑=iii rm J 2；对于质量为连续型分布的刚体：dm r J M⎰=2（1）J 由三个因素决定：质量的大小、质量分布、转轴的位置。

第四章 刚体的转动

第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。

力学、赵凯华、第四章 角动量守恒. 刚体力学-5

力学、赵凯华、第四章 角动量守恒. 刚体力学-5

3 3 2 1 2 mv L ML + m( L) 4 4 3
9 1 3mv 4 ML + ML 16 3
=8.89 rad/s
②对杆、子弹、地球系统机械能守恒
1 1 9 L 3 2 2 ( ML + mL ) ( Mg + mg L)(1 cosq ) 2 3 16 2 4
(5)
3 g cos q
a
ct
a

7
N N 13
(6) mg sin q ,
由 (3)(4)(5)(6)
可解得：
l t
7

4 mg 7
cos q
v 13 4 $ mg cos q t $ N mg sin q l 7 7 mg N 153 sin 2 q + 16 7
a tg 1
M I
d 1 2 1 2 Mdq I dq Id I I o qo qo o dt 2 2 q q
A外 + A非保内 E EO
A外 0
A非保内 0
E EO const
例：长为 l 质量为m的细棒，可绕其一 端在铅直平面内自由转动。设棒原来静止 在水平位置，现让其自由摆下。求①棒摆 到铅直位置时的角速度和摆下端点A的速 度，②棒在竖直位置时，轴O受的作用力。
q0 q0
q
q
外力矩做功
dA Mdq P M dt dt
3、定轴转动刚体的动能定理
A内 0
1 1 2 A外 mi vi mi vio i 2 i 2
1 2 1 2 Mdq I I o θo 2 2

大学物理刚体力学总结

大学物理刚体力学总结大学物理刚体力学总结大学物理刚体力学总结篇一:大学物理力学总结大学物理力学公式总结 ? 第一章(质点运动学)1. r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k Δr=r(t+Δt)- r(t) 一般地|Δr|?Δr2. v= a= dt dx d??d?? d2??dt3. 匀加速运动:a=常矢 v0=vx+vy+vz r=r0+v0t+at2 ????4. 匀加速直线运动:v= v0+at x= v02 v2-v02=2ax 215. 抛体运动:ax=0 ay=-g vx=v0cs vy=v0sinθ-gt x=v0csθ?t y=v0sinθ?tgt2 216. 圆周运动:角速度= dt Rdθ v 角加速度dt dω 加速度 a=an+at 法相加速度an==Rω2 ，指向圆心 Rv2 切向加速度at=Rα ，沿切线方向dt d??7. 伽利略速度变换:v=v’+u ? 第二章(牛顿运动定律)1. 牛顿运动定律: 第一定律:惯性和力的概念，惯性系的定义第二定律:F=, p=mv dtd?? 当m为常量时,F=ma 第三定律:F12=-F21 力的叠加原理:F=F1+F2+……2. 常见的几种力:重力:G=mg 弹簧弹力:f=-kx3. 用牛顿定律解题的基本思路:1) 认物体 2) 看运动 3) 查受力(画示力图) 4) 列方程(一般用分量式) ? 第三章(动量与角动量)1. 动量定理:合外力的冲量等于质点(或质点系)动量的增量，即 Fdt=dp2. 动量守恒定律:系统所受合外力为零时， p= ??????=常矢量3. 质心的概念:质心的位矢 rc= ???????? 离散分布) m 或 rc = ??dmm (连续分布)4. 质心运动定理:质点系所受的合外力等于其总质量乘以质心的加速度，即 F=mac5. 质心参考系:质心在其中静止的平动参考系，即零动量参考系。

6. 质点的角动量:对于某一点, L=r×p=mr×v7. 角动量定理:M= dtd?? 其中M 为合外力距，M=r×F，他和L 都是对同一定点说的。

第四章 刚体力学


r F 1
转动 平面
r F
r F 2
r r
（2 ）
MZ = rF sin = F d 2 2
d = r sin是转轴到力作
用线的距离，称为力臂 用线的距离，称为力臂。
r F 1
r F
r F 2
r （3） F 对转轴的力矩为零， 1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。 在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
用 r 乘以上式左右两端： i 乘以上式左右两端：
Fri sini + fi ri sinθi = mri α i i
2
设刚体由N 个点构成， 设刚体由 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程， 类似方程，将N 个方程左右相加，得： 个方程左右相加，
∑Fr sin + ∑ f r sinθ = ∑(mr )α
2. 刚体定轴转动定律
对刚体中任一质量元 m i
O’
ω
r ri
mi
O
r 外力 Fi -外力
r fi
r fi -内力
θi i
r F i
应用牛顿第二定律，可得： 应用牛顿第二定律，可得：
r r r Fi + fi = mai i
采用自然坐标系，上式切向分量式为： 采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F sini + fi sinθi = maiτ = mriα i i i
dω M = Jα = J dt
α 转动惯量是转动 （1） M 一定，J ） 一定， 惯性大小的量度； 惯性大小的量度； （2) 刚体产生角加速度 α 原因是受外力矩 M 作用。 M 与 α
是投影量（代数量）， 同正负。
（3） M 与J是对同一转轴而言的，J是大于零的。 和转轴有关， 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，J 和质量分布有关；同一个物体 对不同转轴的转动惯量不同。 对不同转轴的转动惯量不同。

第4章 刚体力学


j
x
i
y
上述关系简记为右图（顺时针取正，逆时针取负）。
讨论 1）若力 不在转动平面内，可把力分解为 平行于和垂直于转轴方向的两个分量
F
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力矩为
z
k
O
零，故力对转轴的力矩
Fz
F
M z k r F M z rF sin
M M ij 0
二
转动定律 切向力：Fit (mi )at
z
O
ri Fit
Fit
切向力Fit 对转轴的力矩大小 M i ri Fit ri Fit (mi )at ri
质量元mi 受到的 切向力矩(对z轴)
ri
mi
at ri
M i (mi )ri 2
非定轴转动 (转轴位置或方向变化)
转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
质心: 质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此 的一个假想点。
二 刚体绕定轴转动的角速度和角加速度 z 1 角速度和角加速度
角坐标 沿逆时针方向转 0 (t ) 沿顺时针方向转 0
式中 m 540r/s， 2.0s . 求：(1) t = 6s 时电动机 的转速．(2) 起动后, 电动机在 t = 6s 时间内转过的圈数. (3) 角加速度随时间变化的规律． 解: (1) 将 t = 6s 代入得
ω 0.95ωm 513r/s
1 6 1 6 t / ( 2) N dt m (1 e )dt 344 2π 0 2π 0 d m t / （角加速度 t / 2 2 e 540 πe rad s ( 3) 指数衰减） dt

高等教育：刚体19952


注意:对同轴的转动惯量 才具有可加减性。
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3

2 5
mR2
30
一些均匀刚体的转动惯量表
31
四:平行轴定理
J D JC md 2
d
m
D
C
32
练习 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量
z
A
mB
L4 o C
L
Jz
l 2dm 3L 4 m l 2dl 7 mL2
L 4 L
48
解二：
Jz

J oA

J oB

1 3
m 4

L 4
2

1 3
3m 4

3L 4
2

7 48
mL2
解三：
Jz

JC

m
L 4
2

1 12
mL2

m
L 4
2

7 48
mL2
33
§4-3 角动量 角动量守恒定律
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
数为 ，求 m1 下落的加速度和两段绳中的张力。
m2
ro m
m1
解：在地面参考系中，选取 m1 、m2 和滑轮为研究对
象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
19
T1
m1
a
m1g
a
N
m2 g m2
T2
m2 g
T2
向里+
Ny
o
Nx
T1
列方程如下： 可求解
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第四章
§3.1 刚体运动学 一、刚体
刚体力学
定义：在任何情况下形状和大小都不发生变化 的力学研究对象。 mj ij
r c
二、刚体运动的基本形式 A. 刚体的平动
mi
二、刚体运动的基本形式 A. 刚体的平动 mj mj mj mj mj mj mi mi mi mi mj mi mi mi
J 1 J 2 恒量
角动量守恒定理：若定轴转动的刚体所受对转 轴的合外力矩恒为零，则刚体角动量保持不变。
2 i
令 J mi R
Lz Liz ( mi R )
2 i
转动惯量
令 J mi R
则：
Lz Liz ( mi R )
2 i
2 i
Lz J
对Z轴的角动量
dL 由于M ，则 dt
dL d M J J dt dt
即：
定轴转动刚体的动能定理：对转轴的外力矩对 转动刚所作的功，等于刚体转动动能的增量。
3. 刚体的重力势能
刚体有质心，其重力势能决定于刚体质心距 势能零点的高度，与刚体的方位无关。
Y
M
vC
任取一质元其势能为 m
i
gyi
C mi
E p mi gyi
i
yC
O
yi
X
m y M
MgyC
对（1）式求导：
rj
mj
rij
i
O
m ri
v j vi a j ai
rj ri rij (1)
选取参考 点O，则： rij
c
B. 刚体的定轴转动
C. 刚体的一般运动 平动＋转动
C. 刚体的一般运动
平动＋转动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为 一个随质心的平动加上绕质心的转动。
r
抵消
已知： 求：
N
M
T2 解： T1 1）研究对象： m1.m2 .m3 T1 ' m3 g T ' 2 2）受力分析 a1 m1 m2 3）建立轴的正向 m1g a m2 g 2
r
m1.m2 .m3.r a1.a2：
T1
+ T 1 m1
T2 m3 g T 2 a1
1 (2m1 m2 ) g m2m3 g m1 m2 g a1 aT 2 22 m1 m2 1 m1 m2 m3 2 2m1m2 g 讨论：当 m3 0 时 T1 T2
(m1 m2 ) g a1 a2 1 m1 m2 m3 1 2 2m1m2 g m1m3 g 2 T1 1 m1 m2 m3 2
a2
r
m1g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2a2 (2)
T1r T2 r J (3)
m1g
m2
1 2 J m3 r (4) 2 m2 g
a1 a2 r (5)
(m1 m2 ) g 解上面五式得： a1 a2 1 m1 m2 m3 2
i
略去下标 M M i ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
i
二、刚体角动量，转动定律
刚体是一个质点系，刚体的角动量应该等于各质元 角动量的矢量和。
二、刚体转轴角动量，转动定律
刚体是一个质点系，刚体的角动量应该等于各质元角 动量的矢量和。

将棒分割成许多质元 Li vi m1, m2 mi mn Ri m i ri mi 对O点的角动量： O
J
o
F
联立解得：
50tdt 25rad/s
0
1
§3.3 刚体转动中的功和能 一、力矩作功 考虑一微小过程： +
O
d ds F r MM
时间 dt内，角位移为 d
dA F ds F cos rd dA Fr sin d Md cos sin dA Md (1)
总力矩：M M 重 M 轴
mgl cos 3g M 2 cos (与 有关） 1 2 J 2l ml 3
M 3g cos J 2l
N
而
d d d d dt d dt d
r

)

mg
即
积分得：
d d
一、 刚体定轴转动的角动量定理
Z
MZ
d F M Z J J
M Z dt Jd (1)
（1）式两边积分：
设 t1 t2时间内，角速度 由
1 2
dt

t2
t1
M Z dt J 2 J 1 (2)

t2
t1
M Z dt J 2 J 1 (2)
2. 外力F不在转动平面内
F|| : 对刚体转动不起作用；
方向：右手螺旋
Z
MZ
F
F : 其力矩由（）定义： 1
r
F F
M r F
3. 刚体同时受几个力矩时，总力矩为
M M1 M2 ... Mn
Z轴方向
M z M iz ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
解：
J总 J杆 J子弹
1 2 Ml ma 2 3
M
a
l
m
四、转动定理的应用
i) 常用于研究刚体 质点构成的系统；
ii) 质点作受力分析，刚体作力矩分析；
iii) 质点－牛顿定律二，刚体－转动定律；
iv) 关联方程
a R
例3-2: 质量分别为m1、m2的物体通过轻绳挂在质 量为m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1、m2 加速度以及绳子张力 T1、T2。（绳子质量不计）
解法3：用机械能守恒求解 研究对象：棒和地球
受力分析：保守内力（重力）作功
N
r
)
水平状态机械能
E 0
J 2 l E mg sin 2 2

mg
角时机械能
由机械能守恒：
3g sin l
求导可得
d 3g cos dt 2l
§3.4 刚体的角动量定理与角动量守恒
Z
Li mi ri vi
vi Li mi ri vi Ri m i v r i i ri 大小：L m r v O i i i i L j rj 总角动量 L大小： vj n
mj
L
Li
Z
mi 对O点的角动量：
L mi rvi i
i＝1
方向如图，可见角动量不一定与Z轴方向相同。
L
Li
Ri

Z L iz
mi
vi
在Z轴的分量
O
ri
Liz Liz Li cos
mj
故：
mi ri vi cos mi Ri ( Ri ) 2 mi Ri
三、刚体定轴转动的描述
任一垂直于转轴的平面称为转动平面。
可用，，，描写刚体运动 方向：右手螺旋
o

P ri mi )
参考方向
d dt
w
vi
o
P点： vi ri
切向加速度
法向加速度
a ri
an ri 2
§3.2 刚体定轴转动定律
质点系角动量定理的一般形式 在转轴（z轴）上分量
dL M外 dt
dLz Mz dt
上式略去下标，简写为
dL M dt
z
一、刚体受力矩
1. 外力Fi在转动平面内
Fi
Fin
Fi
i
Mi ri Fi …… (1)
(Fi : 力的切向分量）
大小：Miz ri Fi sin i ri Fi
M J
形似
F ma
M J
定轴转动定律：刚体所受合外力矩在定轴上的 分量等于刚体对同一转轴的转动惯量与角加速 度的乘积。
说明：
i ) 刚体产生角加速度原因是受外力矩M 作用。 M 与 是投影量（代数量），同正负；
ii) M 与J 是对同一转轴而言的，J 大于零；
iii) 定律是瞬时对应关系。
本章教学要求： 了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的 概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在 绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。了解进动 的概念。 本章重点： 刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动 情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动 问题。 本章难点： 刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律。
得：
3g sin l
2
……(*)
得：
3g sin l
2
……(*)
N
3g sin l
r
)
mg 对(*) 式求导： d 3g d 3g 2 cos cos dt l dt l
d 3g cos dt 2l
1. 刚体的转动动能 1 1 2 2 2 mi： Eki mi vi mi ri 2 2 1 Ek Eki (mi ri 2 ) 2 2 更精确表示：
n


vimi r
i
M
1 2 2 Ek lim mi ri mi Ek 2 0 i 1 n 1 1 2 2 2 ( r dm) J 2 M 2