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第三讲 柯西不等式与排序不等式达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c 都是正数，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．(a ＋b ＋c )2≥3 B ．a 2＋b 2＋c 2≥2 C.1a ＋1b ＋1c≤2 3D ．a ＋b ＋c ≤13abc解析：用3(ab ＋bc ＋ca )≤(a ＋b ＋c )2≤3(a 2＋b 2＋c 2)易得． 答案：A2．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B ．2029，3029，4029 C ．1，12，13D ．1，14，19解析：x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 22＋32＋4229≥x ＋3y ＋4z229＝10029. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k y ＝3kz ＝4k时，等号成立，则4k ＋9k ＋16k ＝29k ＝10，解得k ＝1029，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.选B.答案：B3．已知3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]解析：|3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·32＋22≤5，所以－5≤3x ＋2y ≤ 5.答案：C4．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：x ＋y 2＋z 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ＝3＋2x y ＋y 2x ＋3x z ＋z 3x ＋3y 2z ＋2z3y≥3＋2＋2＋2＝9，选D.答案：D5．已知x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设A ＝a 2＋b 2，B ＝(x ＋y )2，则A 、B 间的大小关系为( )A ．A <B B ．A >BC ．A ≤BD ．A ≥B解析：A ＝a 2＋b 2＝1·(a 2＋b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2＋y 2b 2(a 2＋b 2)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x a·a ＋y b ·b 2＝(x ＋y )2＝B .即A ≥B .答案：D6．已知a ，b 是给定的正数，则a 2sin 2α＋b 2cos 2α的最小值为( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．(a ＋b )2D ．4ab解析：a 2sin 2α＋b 2cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2sin 2α＋b 2cos 2α(sin 2α＋cos 2α)≥(a ＋b )2，故应选C.答案：C7．设a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B ． 3 C ．2 3D ．32解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋2c )2·13， ∴(a ＋b ＋2c )2≤3，a ＋b ＋2c ≤3，当且仅当a ＝13，b ＝13，c ＝112时取等号．答案：B8．函数y ＝3x －5＋46－x 的最大值为( ) A. 5 B ．5 C ．7D ．11解析：函数的定义域为[5,6]，且y >0.y ＝3×x －5＋4×6－x ≤32＋42×x －2＋6－x2＝5.当且仅当x －53＝6－x4. 即x ＝13425时取等号．所以y max ＝5.答案：B9．若x ，y ，z 是非负实数，且9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值为( ) A ．9 B ．10 C ．14D ．15解析：u 2＝(3x ＋6y ＋5z )2≤[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]·[12＋(3)2＋(5)2]＝9×9＝81，当且仅当x ＝13，y ＝12，z ＝1时等号成立．故所求的最大值为9.答案：A10．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4 x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( ) A.78215 B ．15782 C ．3 D ．253解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16(3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫53×3x 1＋32×2x 2＋－75×5x 3＋4×x 42＝(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1，所以3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782.答案：B11．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n的最小值是( )A.1nB ．nC ．1D ．不能确定解析：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n ，1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，又反序和≤乱序和，所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n . 答案：B12．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3＋b 3＋c 3)，Q ＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )，则( ) A ．P ≤Q B ．P <Q C ．P ≥QD ．P >Q解析：设a ≥b ≥c ，a 2≥b 2≥c 2，顺序和a 3＋b 3＋c 3，乱序和a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与a 2c ＋b 2a ＋c 2b ， ∴a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )， ∴P ≥Q ，选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝6，则1x ＋1y的最小值为________．解析：1x ＋1y ＝16(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝16[(2x )2＋(y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·1x ＋y ·1y 2＝16(2＋1)2＝3＋226， 当且仅当2x ·1y＝y ·1x，即x ＝6－32，y ＝62－6时取等号．答案：16(3＋22)14．如图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．解析：由图可知，阴影面积＝a 1b 1＋a 2b 2，而空白面积＝a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥反序和知，应填“≥”． 答案：≥15．设实数a 1，a 2，a 3满足条件a 1＋a 2＋a 3＝2，则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1的最大值为________． 解析：由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋a 23)·(12＋12＋12)≥(a 1＋a 2＋a 3)2＝4， 于是a 21＋a 22＋a 23≥43.故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1＝12[(a 1＋a 2＋a 3)2－(a 21＋a 22＋a 23)]＝12×22－12(a 21＋a 22＋a 23)≤2－12×43＝43.当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝23时取等号．答案：4316. 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值．则F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2nx 1的最小值为________．解析：不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0.且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列{1x n}的一个排列．根据排序不等式，得F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 21·1x 1＋x 22·1x 2＋…＋x 2n ·1x n＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，即式子F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值为P .答案：P三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1.求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2. 证明：由柯西不等式得：(2a ＋1·1＋2b ＋1·1)2≤(2a ＋1＋2b ＋1)(1＋1)＝8. 所以2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.18．(12分)若正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．解析：因为正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1， 所以⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)] ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ 13b ＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫ 13c ＋22· []3a ＋22＋3b ＋22＋3c ＋22≥⎝⎛13a ＋2·3a ＋2＋ 13b ＋2·3b ＋2＋ 13c ＋2·⎭⎫3c ＋2 2＝9.又3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2＝3(a ＋b ＋c )＋6＝9，故13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时上式取等号． 19．(12分)设a 、b 、c ∈R ＋，利用排序不等式证明： (1)a a b b >a b b a(a ≠b )； (2)a 2a b 2b c 2c≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.证明：(1)不妨设a >b >0，则lg a >lg B ．从而a lg a ＋b lg b >a lg b ＋b lg a ， ∴lg a a＋lg b b>lg b a＋lg a b， 即lg a a b b>lg b a a b，故a a b b>a b b a.(2)不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c . ∴a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c .∴2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c . ∴lg(a 2a·b 2b·c 2c)≥lg(ab ＋c·ba ＋c·ca ＋b)．故a 2a b 2b c 2c ≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.20．(12分)已知正数x 、y 、z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解析：1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1× zx ＋y ＋z＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12 ＝32，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 21．(13分)设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n ，利用排序不等式有：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. 22．(13分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)： ①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)． 解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m 、b m 、c m ， 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为：S ＝2bc ＋2ac ＋ab .由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥332bc ·2ac ·ab ＝334×5002＝300. 当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ca ＋ab ＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．。
3.1 二维形式的柯西不等式3.2 一般形式的柯西不等式A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：根据柯西不等式，知y ＝1·x －5＋2·6－x ≤12＋22·（x －5）2＋（6－x ）2＝ 5. 答案：B2．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为( )A ．24B ．30C ．36D ．48解析：(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛x ·1x ＋y ·2y ＋z ·⎭⎪⎫3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z≥36.答案：C3．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( ) A ．2 6 B. 6 C ．6D ．12解析：(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1·4a ＋1＋1·4b ＋1)2≤(12＋12)·(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2(4×1＋2)＝12，当且仅当4a ＋1＝4b ＋1，即a ＝b 时等号成立． 答案：D4．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，则以下成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞1 B ．a 2＋b 2＝1 C ．a 2＋b 2＜1D ．a 2b 2＝1解析：由柯西不等式，得1＝a 1－b 2＋b 1－a 2≤a 2＋（1－a 2）·（1－b 2）＋b 2＝1， 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，所以ab ＝1－a 21－b 2， 即a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)， 于是a 2＋b 2＝1. 答案：B5．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时等号成立． 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案：A 二、填空题6．函数y ＝x －1＋5－x 的最大值是________． 解析：因为(x －1＋5－x )2≤(1＋1)(x －1＋5－x )＝8，当且仅当x －1＝5－x ，即x ＝3时，等号成立，所以x －1＋5－x ≤22，函数y 取得最大值2 2.答案：227．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)×(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1·x ＋1·y ＋1·z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．答案：138．若函数y ＝a x ＋1＋6－4x 的最大值为25，则正数a 的值为________．解析：(a x ＋1＋6－4x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋1＋232－x 2≤(a 2＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋32－x ＝52(a 2＋4)，由已知得52(a 2＋4)＝20，解得a ＝±2.又因为a ＞0，所以a ＝2. 答案：2 三、解答题9．已知m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p，指出等号成立的条件．证明：根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m ·1m＋n ·1n 2＝4. 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p .当m ＝n ＝p2时等号成立．10．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 解：由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. 因为x ＋2y ＋z ＝1，所以3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.B 级 能力提升1．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19解析：当且仅当x 2＝y 3＝z 4时，取到最小值，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y＝3029，z ＝4029. 答案：B2．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是________．解析：因为2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤（2x ）2＋（5y ）2·12＋12＝1·2＝2， 所以2x ＋5y 的最大值为 2. 答案：23．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x＋4y＋4z 2的最小值．(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥x y ＋2z·y ＋2z ＋y z ＋2x·z ＋2x ＋zx ＋2y·x ＋2y ＝1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥1，所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13.(2)解：由基本不等式，得4x ＋4y ＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2， 因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34，故4x＋4y＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x＋4y＋4z 2的最小值为3 2.。
一二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B. 2C.2D.4解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.答案C492.已知=2,x,y>0,则x+y的最小值是()푥+푦25255A. B. C. D.524249解析由푥+=2,푦[( 푥)2+( 푦)2][(可得x+y=222푥)+(23푦)]21231252(푥·푥+푦·푦)≥=(2+3)2=.223215当且仅当푥·푦=푦·,即x=5,y=时等号成立.푥2答案A3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为()3푥=13,푥=A.{13B.{2푦=푦=213,31311 푥 = 푥 = 6,C.{4D.{1푦 = 푦=1 4,1 61 1 1 1 푥 푦 解析因为 x 2+y 2= (x 2+y 2)(32+22)≥ (3x+2y )2= ,所以当 x 2+y 2有最小值 ,当且仅当3 = 时,131313132푥 = 푦 =等号成立,得{313,2 13.答案 A4.函数 y= 푥 -5+2 6 -푥的最大值是( ) A. 3B. 5C.3D.5解析根据柯西不等式,知 y=1× 푥 -5+2× 266 -푥 ≤12 + 22 ×( 푥 -5)2 +( 6 -푥)2 =5 6 -푥 푥 -5 ,当且仅当 =2 ,即 x=5时,等号成立. 答案 B1 5.已知 m 2+n 2= ,则 2m+2n 的最大值为( )43 6A.B.C. 6D.6221解析由柯西不等式可得(m 2+n 2)[(2)2+22]≥( 2m+2n )2,即 ×6≥( 2m+2n )2,则 2m+2n ≤46 6,故 2m+2n 的最大值为 .22答案 B 6.导学号 26394051若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形ABCD 周长的最大值为( )A.2RB.2 2RC.4RD.4 2R2解析如图,设圆内接长方形 ABCD 的长为 x ,则宽为 4푅2 - 푥2,于是 ABCD 的周长 l=2(x+4푅2 - 푥2 4푅2 - 푥2)=2(1×x+1×).11由柯西不等式得 l ≤2[x 2+( 4푅2- 푥2)2] (12+12 =2×2R×=4 R ,当且仅当 x ·1=2 )2224푅2 - 푥22·1,即 x=R 时,等号成立.此时 4푅2 - 푥2 = 4푅2 - ( 2푅)2 = 2R ,即四边形 ABCD 为正方形,故周长为最大的 内接长方形是正方形,其周长为 4 2R. 答案 D7.若 3x+4y=2,则 x 2+y 2的最小值为 . 解析由柯西不等式(x 2+y 2)(32+42)≥(3x+4y )2,得 25(x 2+y 2)≥4,4푥푦25(当且仅当4时,等号成立) 所以x 2+y 2≥.3 =63푥 + 4푦 = 2, 푥 =25,解方程组{得{푥 푦3 = 4,푦 =825.684因此,当 x= ,y=时,x 2+y 2取得最小值,最小值为 .2525254答案25푏푑8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P= 푎푏+푐푑,Q= 푚푎+푛푐푚+,则P与Q的大小关系푛是.解析P= 푎푚×푏푚+푛푐×푑푛3≤ ( 푎푚)2 + ( 푛푐)2 ×( 2 푏 푚) + ( 2푑푛)푏 푑 푑 푏= 푎푚 + 푛푐=Q 当且仅当时,等号成立 ).푛(푎푚· 푛=푛푐· 푚 +푚答案 P ≤Q9.已知 a ,b ,m ,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn )(bm+an )的最小值为 . 解析由柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,可得(am+bn )(bm+an )≥( 푎푚· 푎푛 + 푏푚· 푏푛)2=mn (a+b )2=2,即(am+bn )(bm+an )的最小值为 2. 答案 210.函数 y= 푥 -4 + 25 -5푥的最大值为 . 解析∵y= 푥 -4 + 25 -5푥,∴y=1× 푥 -4 + 5 × 5 - 푥25≤ (1 + 5)(푥 -4 + 5 -푥)= 6(当且仅当,即 x= 时等号成立5 -푥 = 5· 푥 - 46).答案 611 11.已知 a ,b ∈R +,且 a+b=1,则2푎 + 的最小值是 .푏1 1 1 1푏(푏)解析因为 a ,b ∈R +,且 a+b=1,所以2푎 + =(a+b )· 2푎 + ,由柯西不等式得(a+b )1(2푎 +1푏)≥ ( 푎·1 2푎+ 푏·21 푏)= ( 222+ 1)= 3 푎푏2 +2,当且仅当,且 a+b=1,即 a=-푏=22푎1 1 31,b=2- 2时,取最小值 .2푎 + 2 + 2푏3答案2+212.已知a,b,c为正数,且满足a cos2θ+b sin2θ<c,求证푎cos2θ+푏sin2θ<푐.证明由柯西不等式得푎cos2θ+푏sin2θ4≤ ( 푎cos 휃)2 + ( 푏sin 휃)2· cos 2휃 + sin 2휃= ( 푎cos 휃)2 + ( 푏sin 휃)2 = 푎cos 2휃 + 푏sin 2휃 < 푐,故不等式成立.푎2푏213.设 a ,b ∈R +,且 a+b=2.求证2 -푎 +≥2.2 - 푏证明由柯西不等式,有푎2 [(2-a )+(2-b )](2 -푎 +푏22 -푏)=[( 2 -푎)2+(2 -푏)2][( 2푎2 -푎)+ ( 2푏2 -푏) ]≥( 2 -푎 × 푎 2 -푎+ 2 -푏 ×2푏2 -푏)=(a+b )2=4.푎2 则2 -푎 + 푏2 2 -푏 ≥ 4(2 -푎)+ (2 -푏)푏 2 -푎 푎 2 - 푏=2(当且仅当时,等号成立).=2 -푏2 - 푎故原不等式成立.1 114.已知 x 2+y 2=2,且|x|≠|y|,求 + 的最小值.(푥 + 푦)2(푥 -푦)2푢 + 푣 푢 - 푣解令 u=x+y ,v=x-y ,则 x=,y=.22∵x 2+y 2=2,∴(u+v )2+(u-v )2=8, ∴u 2+v 2=4.11由柯西不等式,得(푣2)(u 2+v 2)≥4,+푢21 1当且仅当u2=v2=2,即x=±2,y=0,或x=0,y=±2时, 的最小值是1.+(푥+푦)2(푥-푦)2515.导学号26394053求函数y=푥2-2푥+3+푥2-6푥+14的最小值.解y=(푥-1)2+2+(3-푥)2+5,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2 [(푥-1)2+2][(3-푥)2+5]≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+10]=[(x-1)+(3-x)]2+( 2+5)2=11+2 10.32+5当且仅当5(x-1)=2(3-x),即x=时,等号成立.2+5此时y min=11+210=( 10+1)2=10+1.6。
第三讲 柯西不等式与排序不等式专题检测试卷(三) (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．设a 1≤a 2≤a 3…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( ) A ．反序和≥乱序和≥顺序和 B ．反序和＝乱序和＝顺序和 C ．反序和≤乱序和≤顺序和D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定 答案 C2．已知m 2＋n 2＝2，t 2＋s 2＝8，则|mt ＋ns |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析 ∵(m 2＋n 2)(t 2＋s 2)≥(mt ＋ns )2， ∴(mt ＋ns )2≤2×8＝16， ∴|mt ＋ns |≤4.当且仅当ms ＝nt 时，等号成立． 3．已知a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值为( )A ．1B.3C ．3D ．4 答案 D 解析 (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c＝[(a ＋b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b＋c ·1c 2＝22＝4， 当且仅当a ＋b ＝c 时取等号．4．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( )A.5B.3C ．23D.32答案 B解析 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13，∴(a ＋b ＋2c )2≤3，即当且仅当a ＝b ＝4c 时等号成立． 5．函数f (x )＝1－cos2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A.3B.2C ．1D ．2 答案 A解析 由f (x )＝1－cos2x ＋cos x ， 得f (x )＝2sin 2x ＋cos x ≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝ 3. 当且仅当cos x ＝33时取等号. 6．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b ＋ca 2＋2b 2＋3c 2的最大值为( )A.116B.666C.62D.116 答案 B解析 由(a 2＋2b 2＋3c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1＋2b ·12＋3c ·132，即(a 2＋2b 2＋3c 2)·116≥(a ＋b ＋c )2，∴(a ＋b ＋c )2a 2＋2b 2＋3c 2≤116. ∴a ＋b ＋c a 2＋2b 2＋3c 2≤666.7．已知a ，b ，x 1，x 2∈R ＋，ab ＝1，x 1＋x 2＝2，则M ＝(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)与4的大小关系是( )A ．M ＞4B ．M ＜4C ．M ≥4D．M ≤4 答案 C解析 (ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(bx 1)2＋(ax 2)2]≥[ab (x 1＋x 2)]2＝(x 1＋x 2)2＝4.8．已知x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为( ) A.211B.311C.511D.611 答案 D解析 ∵(2x 2＋3y 2＋z 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1≥(x ＋y ＋z )2＝1，∴2x 2＋3y 2＋z 2≥611.当且仅当2x 12＝3y 13＝z 1时，等号成立． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为__________． 答案 6 3解析 由柯西不等式，得y ＝5x －1＋2·5－x ≤52＋2·x －1＋5－x ＝27×2＝63， 当且仅当55－x ＝2(x －1)， 即x ＝12727时，等号成立．10．如图，在矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．答案 ≥解析 由题图可知，阴影部分的面积等于a 1b 1＋a 2b 2，而空白部分的面积等于a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥反序和可知，答案为≥.11．已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，则函数f (x )＝x 2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2的最小值是________． 答案2解析 由三角不等式，得x 2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2≥[x －(x －1)]2＋[y －(y －1)]2＝ 2.当且仅当x ＝1－x ，y ＝1－y ，即x ＝12，y ＝12时，等号成立．故f (x )的最小值为 2.12．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为______，此时b ＝________. 答案 －18 (4，－2，－4)解析 根据柯西不等式的向量形成，有|a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18.当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a·b ≤18.∴a·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．解 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立．∴2a ＋2b ＋2c ≥2，∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2.14．(2017·江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.15．已知二次三项式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1x 2＝1时，必有f (x 1)f (x 2)≥1. 证明 f (x 1)f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )·(ax 22＋bx 2＋c ) ≥[a (x 1x 2)2＋b x 1x 2＋c ]2 ＝f 2(x 1x 2)＝f 2(1)＝1. 故f (x 1)f (x 2)≥1.16．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．解 (x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，∴(3z ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝12， ∴－23≤3x ＋2y ＋z ≤23， 当且仅当x 2＝9y 2＝81z 2，即x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时取“＝”．∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.17．求三个实数x ，y ，z ，使得它们同时满足下列方程：2x ＋3y ＋z ＝13,4x 2＋9y 2＋z 2－2x ＋15y ＋3z ＝82.解 将两个方程相加，得 (2x )2＋(3y ＋3)2＋(z ＋2)2＝108，① 又第一个方程可变形为2x ＋(3y ＋3)＋(z ＋2)＝18，②由①②及柯西不等式，得(2x )2＋(3y ＋3)2＋(z ＋2)2≥13[2x ＋(3y ＋3)＋(z ＋2)]2，即108≥13×182＝108，即柯西不等式中的等号成立．所以2x ＝3y ＋3＝z ＋2＝6，故x ＝3，y ＝1，z ＝4.18．设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解 由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22≥⎝⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22＝(x ＋y ＋z )2， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴|x ＋y ＋z |≤5，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5. ∴x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．。
第三讲柯西不等式与排序不等式测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为( )A. B.C.1,D.1,解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z)2,即x2+y2+z2≤,当且仅当时,取到最小值,所以联立可得x=,y=,z=.答案:B2.已知3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是( )A.[0,]B.[-,0]C.[-]D.[-5,5]解析:|3x+2y|≤.所以-≤3x+2y≤.答案:C3.已知a,b,c是正实数,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( )A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2aD.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a解析:设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0.由排序不等式,顺序和≥乱序和,有a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.答案:B4.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是( )A.5B.6C.8D.9解析:x+≥=9.当且仅当,即x=3,y=6,z=9时等号成立.答案:D5.已知a,b是给定的正数,则的最小值为( )A.2a2+b2B.2abC.(2a+b)2D.4ab解析:=(sin2α+cos2α)≥=(2a+b)2,当且仅当sinα=cosα时,等号成立.故的最小值为(2a+b)2.答案:C6.设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则+2的最大值是( )A.B.C.2D.解析:1=a+b+4c=()2+()2+(2)2=[()2+()2+(2)2]·(12+12+12)≥(+2)2·,∴(+2)2≤3,+2,当且仅当a=,b=,c=时,取等号.答案:B7.在锐角△ABC中,a<b<c,记P=,Q=a cos C+b cos B+c cos A,则P,Q间的关系为( )A.P>QB.P=QC.P<QD.不能确定答案:C8.设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n是b1,b2,…,b n的任一排列,则和S=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,T=a1c1+a2c2+…+a n c n,K=a1b1+a2b2+…+a n b n的关系是( )A.S≤T≤KB.K≤T≤SC.T≤K≤SD.K≤S≤T答案:A9.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是( )A.M≥NB.M>NC.M≤ND.M<N解析:取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和;而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.答案:B10.设c1,c2,…,c n是a1,a2,…,a n的某一排列(a1,a2,…,a n均为正数),则+…+的最小值是( )A.nB.C. D.2n解析:不妨设0≤a1≤a2≤…≤a n,则≥…≥,…,,…,的一个排列,再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解.所以+…++…+=n.当且仅当a1=a2=…=a n时等号成立.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.函数y=(0<α<)的最小值是.解析:由柯西不等式,得y=≥=≥(1+)2=3+2.当且仅当,即α=时,等号成立.答案:3+212.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和空白部分的矩形的面积之和.解析:由题图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,答案为≥.答案:≥13.若=1,=2,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.答案:14.边长为a,b,c的三角形,其面积为,外接圆半径为1,若s=,t=,则s 与t的大小关系是.解析:三角形的面积S=,即abc=1,所以t=ab+bc+ca,t2=(ab+bc+ca)≥()2=s2,又a,b,c>0,所以s≤t.答案:s≤t15.设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=.解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2当且仅当时等号成立,此时y=2x,z=3x.∵x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,∴x=,y=,z=.∴x+y+z=.答案:三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设a,b,c均为正数,求证≥a+b+c.解：证明:由柯西不等式,得·[()2+()2+()2],即(a+b+c)2≤(a+b+c).因为a+b+c>0,所以≥a+b+c.17.(8分)设a,b,c是正实数,求证:.解：证明:根据柯西不等式,得[(b+c)+(c+a)+(a+b)]≥(a+b+c)2.∴.当且仅当a=b=c时等号成立.18.(9分)设a,b,c是正实数,利用排序不等式证明:(1)a a b b>a b b a(a≠b);(2)a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.解：证明:(1)不妨设a>b>0,则lg a>lg b.从而a lg a+b lg b>a lg b+b lg a,∴lg a a+lg b b>lg b a+lg a b.即lg a a b b>lg b a a b,故a a b b>b a a b.(2)不妨设a≥b≥c>0.则lg a≥lg b≥lg c.∴a lg a+b lg b+c lg c≥b lg a+c lg b+a lg c.a lg a+b lg b+c lg c≥c lg a+a lg b+b lg c.∴2a lg a+2b lg b+2c lg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c.∴lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(a b+c·b a+c·c a+b).故a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.。
第三讲柯西不等式与排序不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列不等式中一定成立的是()A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|≥푎2+푏2·푥2+푦2C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2解析由柯西不等式可知,只有C项正确.答案C41(푥2+푦2)(푦2+푥2)的最小值为()2.设xy>0,则A.-9B.9C.10D.0122221122解析[푥=9 .][(푥)+푦2]≥(푥·푦·푦)(当且仅当푥푦=푥푦时,等号成立)2+(푥+答案B3.设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n是b1,b2,…,b n的任一排列,则和S=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,T=a1c1+a2c2+…+a n c n,K=a1b1+a2b2+…+a n b n的关系是()A.S≤T≤KB.K≤T≤SC.T≤K≤SD.K≤S≤T解析根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,则S≤T≤K.答案A4.若3x+2y+z=7,则x2+y2+z2的最小值是()177A. B. C. D.22146解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥(7)2=7,于是1푥푦37771 x2+y2+z2≥,当且仅当3==z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.22147142答案A5.用柯西不等式求函数y=2푥-3+2푥+7-3푥的最大值为()A. 22B.3C.4D.5解析由柯西不等式,得函数y=2푥-3+2푥+7-3푥≤12+( 2)2+12·(2푥-3)+푥+(7-3푥) =4,2푥-3푥7-3푥当且仅当1=2=时,等号成立,1故函数y的最大值为4.故选C.答案C푥2푦26.已知+=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为()푎2푏22A.A<BB.A>BC.A≤BD.A≥B푥2푦22푏푥푥푦푎푦解析A=a2+b2=1·(a2+b2)=(푏2)(a2+b2)≥(=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,푏·푏)+푎=푎·푎+ 푎2푏等号成立.答案D7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是()A.M≥NB.M>NC.M≤ND.M<N解析取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.答案B123푦푧8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是()푥+푦+2+푧3A.5B.6C.8D.9解析由柯西不等式可得푦x+2+푧3=(푥+푦2+푧13)(푥+2푦+3푧)21푦2푧3≥(푥·푧)=9,푥+2·푦+3·푦푧当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.2+3答案D4푎2푏29.已知a,b是给定的正数,则+的最小值为()sin2훼cos2훼A.2a2+b2B.2abC.(2a+b)2D.4ab4푎2푏24푎2cos2훼(解析+=(sin2α+cos2α)sin2훼sin2훼+푏2cos2훼)322푎 푏≥(sin 훼cos 훼)=(2a+b )2,sin 훼 + cos훼푏2푎当且仅当 sin α=cos α 时,等号成立.cos 훼sin 훼4푎2푏2故 + 的最小值为(2a+b )2.sin 2훼cos 2훼答案 C14910.已知正数 x ,y ,z 满足 x+2y+3z=1,则푥 + 2푦 + 2푦 + 3푧 +的最小值为( )3푧 + 푥A.1B.9C.36D.1814 9解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x )·( 3푧 + 푥)≥(1+2+3)2,푥 + 2푦+ 2푦 + 3푧 +∵x+2y+3z=1,149 ∴2(3푧 + 푥)≥36,푥 + 2푦+ 2푦 + 3푧 +149∴푥 + 2푦 + 2푦 + 3푧 +≥18,3푧 + 푥2푦 + 3푧 3푧 + 푥 1 21 4 9∴当且仅当 x+2y=2=,即 x= ,y=0,z= 时,2푦 + 3푧 +的最小值为 18.푥 + 2푦+3393푧 + 푥答案 D푎 + 푏 + 푐11.在锐角三角形 ABC 中,设 p= ,q=a cos C+b cos B+c cos A ,则 p ,q 的大小关系是( )2A.p ≥qB.p=qC.p ≤qD.无法确定解析不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C.则由排序不等式可得q=a cos C+b cos B+c cos A≥a cos B+b cos C+c cos A, ①a cos C+b cos B+c cos A≥a cos C+b cos A+c cos B, ②4由①+②得 2(a cos C+b cos B+c cos A )≥a cos B+b cos A+b cos C+c cos B+c cos A+a cos C , 即 2(a cos C+b cos B+c cos A )≥2R (sin A cos B+cos A sin B )+2R (sin B cos C+cos B sinC )+2R (sin C cos A+cos C sin A ),整理,得 a cos C+b cos B+c cos A ≥R [sin(A+B )+sin(B+C )+sin(C+A )]=R (sin A+sin B+sin C )2푅sin 퐴 + 2푅sin 퐵 + 2푅sin 퐶푎 + 푏 + 푐= =p.2=2答案 C 12.导学号 26394060设 P 为△ABC 内一点,D ,E ,F 分别为 P 到 BC ,CA ,AB 所引垂퐵퐶퐶퐴퐴퐵线的垂足,如图.若△ABC 的周长为 l ,面积为 S ,则的最小值为( )푃퐷+ 푃퐸 +푃퐹푙2 푙2 푙22푙2 A .B .C .D .2푆푆4푆푆解析设 AB=a 1,AC=a 2,BC=a 3,PF=b 1,PE=b 2,PD=b 3,则 a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=2S.푎3 푎2푎1∵(푏1)(a 3b 3+a 2b 2+a 1b 1)≥(푏3 + 푏2 +푎3 푏3· 푎 3푏3 + 푎2 푏2· 푎2푏2+2푎1 푏1· 푎1푏1)푎3푎2푎1푙2=(a 3+a 2+a 1)2=l 2,∴푏3 + 푏2 + 푏1 ≥ ,当且仅当 b 1=b 2=b 3,即 PE=PF=PD 时,等号成立.2푆答案 A二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)13.若푥21 + 푥2 + 푥23=2,푦12 + 푦2 + 푦32=3,则 x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3的最大值为 . 解析由柯西不等式可得(푥21 + 푥2 + 푥32)(푦21 + 푦2 + 푦32)≥(x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3)2,即(x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3)2≤6,所以 x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3≤ 6,故 x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3的最大值为 6. 答案 65푏푐푎푐푎푏14.若 a ,b ,c>0,则a+b+c.푎+ 푏 +푐1 11푏푐 解析不妨设 a ≥b ≥c>0,则 ab ≥ac ≥bc>0,푐 ≥ 푏 ≥>0,则由排序不等式可得 푎 + 푎푎푐 푏 + 푎푏푐 111≥ab · +ac · +bc · =a+b+c (当且仅当 a=b=c 时,等号成立).푎푐푏答案≥푎1푎2푎10015.设正实数 a 1,a 2,…,a 100的任意一个排列为 b 1,b 2,…,b 100,则 +…+ 的最小值푏1+푏2푏100为 .111푎1푎2 푎100 解析不妨设 0<a 1≤a 2≤…≤a 100,则 0<푎100 ≤≤…≤ ,由排序不等式可得푏1 + +…+푎99푎1푏2푏10011푎11푎2푎100≥a 1· +a 2· +…+a 100· =100,即푏1 + +…+ 的最小值为 100.푎1푎2푎100 푏2푏100答案 100111116.边长为 a ,b ,c 的三角形,其面积为 ,外接圆半径为 1,若 s=,t=푎 + 푏 + ,则푎 + 푏 + 푐4푐s 与 t 的大小关系是 .푎푏푐푎푏푐1解析三角形的面积 S=4푅 = 4 = ,4即 abc=1,所以 t=ab+bc+ca ,1t 2=(ab+bc+ca )(푎+1 푏+1푐)≥( 푎 + 푏 + 푐)2=s 2, 又 a ,b ,c>0,所以 s ≤t. 答案 s ≤t三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证2푎+1+2푏+1≤22.6证明由柯西不等式可得( 2푎 + 1 + 2푏 + 1)2=( 2푎 + 1·1+ 2푏 + 1·1)2≤[( 2푎 + 1)2+( 2푏 + 1)2](12+12),因此( 2푎 + 1 + 2푏 + 1)2≤2(2a+2b+2)=8,1故 2푎 + 1 + 2푏 + 1≤2 2( 当且仅当 a=b= 时,等号成立 .2 )푎4 푏4 푐4 18.(本小题满分 12分)已知 a ,b ,c 都是非零实数,求证 + + ≥a 2+b 2+c 2.푏2푐2푎2푎4푏4푐4证明由柯西不等式可得(푎2)(b 2+c 2+a 2)+ +푏2푐2222푎2푏2푐2=[(푎) (b 2+c 2+a 2)푏) + (푐) + (]2푎2 푏2 푐2≥(푎 ·푎)=(a 2+b 2+c 2)2,푏·푏 + 푐 ·푐 +又因为 a 2+b 2+c 2>0,푎4 푏4 푐4 所以 + + ≥a 2+b 2+c 2(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).푏2푐2푎219.(本小题满分 12分)设 x 2+4y 2=1,求 u=2x+y 的最值以及取得最值时,实数 x ,y 的值.1 解 u=2x+y=2·x+ ·2y.221由柯西不等式可得[22) ][x 2+(2y )2]2 + (21≥(2·푥 + 2·2푦) ,17即(2x+y)2≤×1,417 17 17 1所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得4 2 2 24 17 17x=±,y=±.17 3471741717所以u的最大值是,此时x=,y=;217341741717u的最小值是-,此时x=-,y=-.2173420.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.证明不妨设a≥b≥c>0,则lg a≥lg b≥lg c,由排序不等式可得a lg a+b lg b+c lg c≥b lg a+c lg b+a lg c,a lg a+b lg b+c lg c≥c lga+a lg b+b lg c,以上两式相加可得2a lg a+2b lg b+2c lg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,即lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg a b+c+lg b a+c+lgc a+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(a b+c·b a+c·c a+b),故a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;11(2)求a2+b2+c2的最小值.49解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,11(2+2+푐2)(4+9+1)由柯西不等式,得4푎9푏82푎푏≥(3×3+푐×1)=(a+b+c)2=16,2×2+118即a2+b2+c2≥.497112푎3푏푐8182118当且仅当2=3=,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.177749722.导学号26394062(本小题满分12分)如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线, 与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(x P,y P),11 122则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=2푥(1-x P-y P)2,푃+2푦푃+2所以2S=푥2푃+푦2푃+(1-x P-y P)2.由柯西不等式,得[푥푃2+푦푃2+(1-x P-y P)2](12+12+12)≥(x P+y P+1-x P-y P)2,1푥푃푦푃1- 푥푃- 푦푃1即6S≥1,所以S≥,当且仅当1=1=,即x P=y P=时,等号成立.61311故当x P=y P=时,面积和S最小,且最小值为,36911(3).此时点P坐标为3,10。
第三讲 柯西不等式与排序不等式（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ≤ND ．M ＜N解析：选A 取两组数a ，b ，c ，d ；b ，c ，d ，a ，则由柯西不等式有 (a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， 即(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， ∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥0，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥ab ＋bc ＋cd ＋da .∴M ≥N .2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则ab c ＋bc a ＋ac b的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6D ．12解析：选C 不妨设a <b <c ，则ab <ac <bc ，1c <1b <1a 由排序不等式得ab c ＋ac b ＋bc a ≥ab b ＋aca＋bcc＝a ＋c ＋b ＝6. 3．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( ) A.78215 B.15782 C ．3 D.253解析：选B ∵⎝⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16≥(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1，即3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782.4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是( )A ．1B ．2 C.116D.4936解析：选C 设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3，又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116.5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1B ．10C ．11D ．21解析：选D ∵(32＋42)≥2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号．6．已知α，β为锐角，且cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β＝1，则α＋β等于( ) A.π2 B.3π4 C.π4 D.5π12解析：选A ∵(sin 2β＋cos 2β)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β≥sin 2α＋cos 2α＝1，当且仅当sin α＝cos β，cos α＝sin β时等号成立，即α＝β＝π4，∴α＋β＝π2.7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A.65 B.635 C.3635D ．6解析：选 C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x ＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635.8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．解析：选C |3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·32＋22≤10，∴－10≤3x ＋2y ≤10.9．(湖南高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选 C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3＋b 3＋c 3)，Q ＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )，则( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选C 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和；a 2b ＋b 2c ＋c 2a 及a 2c ＋b 2a ＋c 2b 都是乱序和，故有a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ， a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，∴2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． ∴P ≥Q .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上) 11．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为________．解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1. 答案：112．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________．解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4. 答案：413．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与y y ＋b 的大小关系是________．解析：∵1a ＞1b，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0， 由排序不等式知，bx ＞ay . 又x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ayx ＋a y ＋b＞0，∴xx ＋a ＞yy ＋b.答案：xx ＋a ＞yy ＋b14．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2的最大值为________．解析：∵a ＋b －c ＝a ＋22×2b －33×3c ， 由柯西不等式得 (a ＋b －c )2＝(a ＋22×2b －33×3c )2 ≤(a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤666a 2＋2b 2＋3c 2. ∴a ＋b －c a 2＋2b 2＋3c 2≤666.故所求的最大值为666. 答案：666三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：∵左＝13(12＋12＋12)≥132 ＝132 ＝132 ≥13(1＋9)2＝1003. ∴原结论成立．16．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数．求证：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a＋a 2＋b 2a ＋b. 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0.于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2. 故1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序原理知： a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2a ＋b，将上面两个同向不等式相加，得2(a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b )≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b. 17．(本小题满分12分)已知a 1，a 2，…a n 为实数，且a 1＋a 2＋a 3＋…a n ＝10，求a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 的最小值．解：由n (a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋…＋1)(a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥100n.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n 的最小值为100n.18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R)时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)法一：f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.(2)(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝1， 故a 2＋b 2＋c 2≥114，当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号．故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114.。
第3讲柯西不等式与排序不等式,[学生用书P228])1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R(5)(三角变式)设x1＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i ＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．柯西不等式的证明[学生用书P228][典例引领]若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．【证明】因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．[证明] 如图，设在平面直角坐标系xOy 中有向量α＝(a ，b )，β＝(c ，d )，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ， 所以|α·β|＝|α||β||cos θ|. 因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad －bc ＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．由|CA |＋|CB |≥|BA |与两点间的距离公式得（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 当且仅当点C 位于线段BA 上时取等号．设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.[证明] (a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22) ＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2，所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.利用柯西不等式求最值[学生用书P229][典例引领]已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u 49＋v 416＋w425的最小值．【解】 因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝⎛⎭⎫u23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝⎛⎭⎫u 49＋v 416＋w425(9＋16＋25)， 所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v ＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．[通关练习]1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值． [解] 考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )， 根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2，得[2x ＋(－1)y ＋(－2)z ]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)， 即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 将2x －y －2z ＝6代入其中， 得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 即x 2＋y 2＋z 2≥4，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． [解] 根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤[12＋(－2)2＋22](x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.利用柯西不等式证明不等式[学生用书P229][典例引领]设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2≥1003. 【证明】 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋1×⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋1×⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎡⎦⎤1＋（a ＋b ＋c ）⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立， 所以所求证的不等式成立．利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．[通关练习]1．已知a ，b 为正数，求证1a ＋4b ≥9a ＋b .[证明] 因为a >0，b >0，所以由柯西不等式， 得(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫4b 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号， 所以1a ＋4b ≥9a ＋b.2．设a ，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. [证明] 因为(12＋12)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎫因为ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252.利用排序不等式求最值[学生用书P230][典例引领]设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值． 【证明】 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b ， 上述两式相加得： 2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥3， 即a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．[解] 令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3. 所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32., [学生用书P361(独立成册)])1．设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值．[解] 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝[(a )2＋(b )2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.所以2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，即1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a，即a ＝b 时取等号， 所以当a ＝b ＝1时，1a ＋1b的最小值为2.2．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c 的最小值．[解] 因为(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎡⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. 所以2a ＋2b ＋2c ≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以2a ＋2b ＋2c的最小值为2.3．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N *)的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. [证明] 设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1 >1c 2>…>1c n －1， 且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n . 故原不等式成立．4．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y≥32. [证明] 由柯西不等式及题意得，⎝⎛⎭⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183， 所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．5．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值． [解] 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14， 因此x ＋2y ＋3z ≤14. 因为x ＋2y ＋3z ＝14， 所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414， 于是x ＋y ＋z ＝3147.6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． [解] 由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2， 所以9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. 因为2a ＋2b ＋c ＝8，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.7．已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．[解] (1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3.当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.[解] (1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ＝3×38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6.(2)证明：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)·(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.9．(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围； (2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．[解] (1)因为|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集， 所以a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫y 52＋⎝⎛⎭⎫z 22≥⎝⎛⎭⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22＝(x ＋y ＋z )2，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.所以5≥|x ＋y ＋z |，所以－5≤x ＋y ＋z ≤5. 所以x ＋y ＋z 的取值范围是[－5，5]．10．设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a nn ≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.[证明] 不妨设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ， 由排序原理得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋…＋a n a n ，a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a 1，a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋…＋a n a 2， …a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a n ＋a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n a n －1， 以上n 个式子两边相加得n (a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )2，两边同除以n 2得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 2，所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2nn≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n，结论得证．不等式选讲[学生用书P231][命题分析]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．1．(选修4-5 P19习题1.2T5，P17例5改编)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.[解] (1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6（x ≤2）2（2<x ≤4）2x －6（x >4）. 结合函数y ＝f (x )的图象知，不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 2．(选修4-5 P16例3、P35例3改编)已知函数f (x )＝|3x －1|.(1)设f (x )≤2的解集为M ，记集合M 中的最大元素为a max ，最小元素为a min ，求a max －a min ；(2)若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝a max ，求1a ＋1b 的最小值．[解] (1)f (x )≤2，即为 |3x －1|≤2，所以－2≤3x －1≤2，即－13≤x ≤1.所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤ x ≤1. 即a max ＝1，a min ＝－13，a max －a min＝1－⎝⎛⎭⎫－13＝43. (2)由(1)知，a ＋b ＝1，且a ，b 为正实数， 所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号，即1a ＋1b ≥4，所以1a ＋1b的最小值为4. 3．(选修4-5 P20习题1.2T9，P37习题3.1T8改编)(1)若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集，求a 的范围；(2)若g (x )＝x ，且p >0，q >0，p ＋q ＝1，x 1，x 2∈[0，＋∞)，求证：pg (x 1)＋qg (x 2)≤g (px 1＋qx 2)．[解] (1)法一：|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1.即|x －3|＋|x －4|的最小值为1.所以|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集时，a ≥1.法二：设f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋7，x ＜3，1，3≤x ≤4，2x －7，x >4.函数f (x )的图象为所以f (x )min ＝1.则f (x )≤a 的解集不是空集时，a ≥1.(2)证明：由p >0，q >0，p ＋q ＝1，要证不等式pg (x 1)＋qg (x 2)≤g (px 1＋qx 2)成立，即为证明 p x 1＋q x 2≤ px 1＋qx 2成立．(*)法一：(分解法)要证(*)成立，即证(p x 1＋q x 2)2≤(px 1＋qx 2)2成立．即证：p 2x 1＋2pq x 1x 2＋q 2x 2≤px 1＋qx 2，即证px 1(1－p )＋qx 2(1－q )－2pq x 1x 2≥0.因为p ＋q ＝1.只需证pqx 1＋pqx 2－2pq x 1x 2≥0成立． 即证(x 1－x 2)2≥0.因为(x 1－x 2)2≥0显然成立．所以原不等式成立．法二：(柯西不等式法)因为(p x 1＋q x 2)2＝(p ·px 1＋q ·qx 2)2 ≤[(p )2＋(q )2][(px 1)2＋(qx 2)2] ＝(p ＋q )(px 1＋qx 2)因为p ＋q ＝1.所以(p x 1＋q x 2)2≤px 1＋qx 2.所以p x 1＋q x 2≤px 1＋qx 2.即pg (x 1)＋qg (x 2)≤g (px 1＋qx 2)．4．(选修4-5 P19习题1.2T5，P45习题3.3T4改编)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|.(1)求f (x )的最小值m ； (2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3. [解] (1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3，6)；当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)．综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，因为b 2a ＋c 2b ＋a 2c＋(a ＋b ＋c ) ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫c 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ≥2⎝⎛⎭⎫ b 2a ·a ＋ c 2b ·b ＋ a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )．(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取“＝”)所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3. 5．(选修4-5 P17例5，P26习题2.2T9改编)已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．[解] (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解； ③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ， 解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以，要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0.因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立．。
第三讲 柯西不等式与排序不等式专题检测试卷(三) (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．设a 1≤a 2≤a 3…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( ) A ．反序和≥乱序和≥顺序和 B ．反序和＝乱序和＝顺序和 C ．反序和≤乱序和≤顺序和D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定 答案 C2．已知m 2＋n 2＝2，t 2＋s 2＝8，则|mt ＋ns |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析 ∵(m 2＋n 2)(t 2＋s 2)≥(mt ＋ns )2， ∴(mt ＋ns )2≤2×8＝16， ∴|mt ＋ns |≤4.当且仅当ms ＝nt 时，等号成立．3．已知a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值为( )A ．1B.3C ．3D ．4答案 D解析 (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c＝[(a ＋b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b ＋c ·1c 2＝22＝4，当且仅当a ＋b ＝c 时取等号．4．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( )A.5B.3C ．23D.32答案 B解析 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13，∴(a ＋b ＋2c )2≤3，即当且仅当a ＝b ＝4c 时等号成立． 5．函数f (x )＝1－cos2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A.3B.2C ．1D ．2 答案 A解析 由f (x )＝1－cos2x ＋cos x ， 得f (x )＝2sin 2x ＋cos x ≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝ 3.当且仅当cos x ＝33时取等号.6．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b ＋ca 2＋2b 2＋3c 2的最大值为( )A.116B.666C.62D.116 答案 B解析 由(a 2＋2b 2＋3c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1＋2b ·12＋3c ·132，即(a 2＋2b 2＋3c 2)·116≥(a ＋b ＋c )2，∴(a ＋b ＋c )2a 2＋2b 2＋3c 2≤116. ∴a ＋b ＋c a 2＋2b 2＋3c 2≤666.7．已知a ，b ，x 1，x 2∈R ＋，ab ＝1，x 1＋x 2＝2，则M ＝(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)与4的大小关系是( )A ．M ＞4B ．M ＜4C ．M ≥4D．M ≤4 答案 C解析 (ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(bx 1)2＋(ax 2)2] ≥[ab (x 1＋x 2)]2＝(x 1＋x 2)2＝4.8．已知x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为( ) A.211B.311C.511D.611 答案 D解析 ∵(2x 2＋3y 2＋z 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1≥(x ＋y ＋z )2＝1，∴2x 2＋3y 2＋z 2≥611.当且仅当2x 12＝3y 13＝z 1时，等号成立． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为__________． 答案 6 3解析 由柯西不等式，得y ＝5x －1＋2·5－x ≤52＋2·x －1＋5－x ＝27×2＝63， 当且仅当55－x ＝2(x －1)， 即x ＝12727时，等号成立．10．如图，在矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．答案 ≥解析 由题图可知，阴影部分的面积等于a 1b 1＋a 2b 2，而空白部分的面积等于a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥反序和可知，答案为≥.11．已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，则函数f (x )＝x 2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2的最小值是________． 答案2解析 由三角不等式，得x 2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2≥[x －(x －1)]2＋[y －(y －1)]2＝ 2.当且仅当x ＝1－x ，y ＝1－y ，即x ＝12，y ＝12时，等号成立．故f (x )的最小值为 2.12．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为______，此时b ＝________. 答案 －18 (4，－2，－4)解析 根据柯西不等式的向量形成，有|a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18.当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a·b ≤18.∴a·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．解 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立．∴2a ＋2b ＋2c≥2，∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2.14．(2017·江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.15．已知二次三项式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1x 2＝1时，必有f (x 1)f (x 2)≥1. 证明 f (x 1)f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )·(ax 22＋bx 2＋c ) ≥[a (x 1x 2)2＋b x 1x 2＋c ]2 ＝f 2(x 1x 2)＝f 2(1)＝1. 故f (x 1)f (x 2)≥1.16．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．解 (x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，∴(3z ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫132＝12， ∴－23≤3x ＋2y ＋z ≤23， 当且仅当x 2＝9y 2＝81z 2，即x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时取“＝”．∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.17．求三个实数x ，y ，z ，使得它们同时满足下列方程：2x ＋3y ＋z ＝13,4x 2＋9y 2＋z 2－2x ＋15y ＋3z ＝82.解 将两个方程相加，得 (2x )2＋(3y ＋3)2＋(z ＋2)2＝108，① 又第一个方程可变形为2x ＋(3y ＋3)＋(z ＋2)＝18，②由①②及柯西不等式，得(2x )2＋(3y ＋3)2＋(z ＋2)2≥13[2x ＋(3y ＋3)＋(z ＋2)]2，即108≥13×182＝108，即柯西不等式中的等号成立．所以2x ＝3y ＋3＝z ＋2＝6，故x ＝3，y ＝1，z ＝4.18．设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解 由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z22＝(x ＋y ＋z )2，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴|x ＋y ＋z |≤5，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5. ∴x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．。
