王莉丽平面向量的直角坐标运算2

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6.2.3+平面向量的坐标及其运算(第1课时+平面向量的坐标运算)课件人教B版(2019)必修第二册

(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.(
)
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( × )
(4)点的坐标与向量的坐标相同.( × )
(5)A,B 两点之间的距离就是| |.(
)
1 -2
1 -2
(6)若点 A(x1,y1),B(x2,y2),点 M(x0,y0)是线段 AB 的中点,则 x0= 2 ,y0= 2 .
=(4,3), =(1,5),则 =
.
解析: =2 =2( − )=2(-3,2)=(-6,4), =3 =3( + )=3(-2,7)
=(-6,21).
答案:(-6,21)
随堂练习
1. 如图,向量的坐标是(
)
A.(1,1)
B.(-1,-2)
C.(2,3)
+
+
∴x0=
,y0=
,
2
2
1+
-2+
即 1= 2 ,-1= 2 ,
解得xC=4,yC=-3,∴点C(4,-3).
同理O'又是BD的中点,得xD=-6,yD=-1,
∴点D(-6,-1).
故B(8,-1),C(4,-3),D(-6,-1).
反思感悟
发现图形中的对称关系是求解此类问题的关键.
范?
提示:误将的坐标当成了点 P 的坐标.
正解:设 P(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).
又因为 = +λ =[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),
∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),

人B版数学-必修第二册-第六章向量-§2.3平面向量的坐标及其运算

(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果
a＝xe1＋ye2，则称(x,y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
向量的坐标的直观理解：
平面上指定一点 O 作为原点，以 e1 的方向为 x 轴的正方向，以 e2 的
方向为 y 轴的正方向，以 e1 (或 e2 )的模为单位长度建立平面直角坐
一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本
领的人，一定谦虚.
——谢觉哉
x2 x1
y2 y1
，
则有
x2
y2
x1 y1
；如果
x1 =0,
y1
0
，则有
x2
0，
设 y2
y1
同理： (x2, y2 ) = (x1, y1) 即 b a 因此 a//b ；
如果 x1 0, y1=0 ，类似可得 a//b ；
如果 x1=0, y1=0 ，即 a 0 ，因此 a//b .
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可分解为水平方向的速度vcos α和竖直方向的速度vsin α.
把一个向量分解到两个不同的方向,特别是在两个互相垂直的方向分解,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解. 有了向量的正交分解,向量就可用平面直角坐标表示,从此向量的计算就转化为坐标的代数运算.
0,
7 3
B
MQ
P
A
A
MQ
P
A
例 5. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A2,1, B2,2,C 3,4 ，
而且 A, B,C, D 按逆时针方向排列，求：⑴ AB, AD ; ⑵ D 点的坐标.

高中数学《平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算》新人教B版必修

坐标.
12
归纳总结 1.两个向量的坐标相同时,这两个向量相等,但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同,如A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6), 则 ��=(3,3),��=(3,3),显然�� = ��, 但A,B,C,D各点的坐标却不相同.
(x=(2 016,-2 017),且a=xe1+ye2,{e1,e2}为正交基
底,且e1,e2为单位向量,则x=
,y=
.
答案:2 016 -2 017
12
2.向量的直角坐标运算
(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a±b=(a1±b1,a2±b2),即两个向量的
2.在平面直角坐标系中,给出了向量的坐标,将向量的运算代数化, 同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法.
12
【做一做2-1】已知a=(1,-1),b=(3,0),则3a-2b等于( )
A.(5,3)
B.(4,-1)C.(-2,-1) D.(-3,-3)
答案:D
【做一做2-2】已知向量 ��=(9,-7)(O为原点),则点N的坐标为
�� = 3.
从多个角度来理解向量的坐标剖析若在平面直角坐标系下,我们分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一个向量a,则
(1)i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
(2)在平面直角坐标系内,以原点为始点作向量��=a,则点 A 的位置由向量 a 唯一确定.
和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差; 若λ∈R,则λa=(λa1,λa2),即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量

平面向量的直角坐标及其运算

GH （-1，-2）-（3，-1）=（- 4，- 1）
（-1，-2）（0，-3）
（3，-1）
2．平面向量的直角坐标运算
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差；数乘向量的坐标等于用这个实数分别乘以原来向量的对应坐标。
（1）若
a
=（
a1
，
a
2
），b
=（
b1
，b
2
）则：
a
=
a1a
的积是一个向量，记作：λ
a
（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；（2）λ>0
时λ
a
与
a
方向相同；λ<0
时λ
a
与
a
方向相
反；λ=0
时λ
a
=
0
5．运算律:
结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都
AM
1 =
AB
，求点 M 的坐标。
2
解：设点 M 的坐标为（x,y），因为
AM = 1 AB
所以
2
（x,y）-（3，-2）= 1 [ （-5，-1）-（3，-2）]
2
=(-4， 1 )
即
2
（x,y）=
(-4， 1 ) 2
+（3，-2）
=（-1，- 3 ） 2
所以点 M 的坐标为（-1，- 3 ）。 2

向量的直角坐标运算(共24张PPT)

A.(4,1) B.(-4,2)C.(-2,2) D.(-4,4)
【答案】C
)
4.点(5,5)到原点的距离是
(
A.0
B.5
C.2
【答案】D
)
D.5
5.若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
A.m=2,n=1
B.m=2,n=-1
C.m=-2,n=1
D.m=-2,n=-1
(3)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=a1b1+a2b2
4.向量长度坐标运算
(1)若 a=(a1,a2),则|a|= +
→
(2)若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则||= ( − ) + ( − )
→
【说明】 ||也叫做 A、B 两点的距离,记为 dA、B,上式也叫两点距离
(0,0)或(10,0)
(1)在直角坐标系中,求作a,b;(2)求3a-4b;(3)若2a+x=b,求x.
m=-2,n=1
D.
→ →
掌握向量的直角坐标运算.
(8,9)或(10,0)
若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
(-2,0)或(8,0)
D.
)
已知点A(2,4),经平移向量a后,坐标变为A'(3,3),则向量a的坐标是
【答案】C
→
8.已知点 A(-2,0),B(1,5)和向量 a=(x,2),且∥a,则 x=(

A.
【答案】B

B.

C.

D.
)
9.若x轴上一点A与点B(3,12)的距离等于13,则点A的坐标是

高中数学第二章平面向量2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修452

求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA＝60°， (1)求向量OA的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求BA的坐标．解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，OA＝(2 3，6)． (2) BA＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[活学活用]
1．设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b＝
＝(3＋8,15－2) ＝(11,13)． BC －2 AB＝(－5，－4)－2(1,5) ＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)． [答案] (11,13) (－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)， 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的
坐标．
()
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．
()
(4)点的坐标与向量的坐标相同．
()
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×

平面向量问题的坐标解法

成题目的解答。
2.（2017 年天津 14）在
中， A 60o ,A B =3,A C=2,
若
,λ
，（λ∈R），
且•
，则λ的值为
AD 1 AB 2 AC
3
3
AD • AE 2 AC 1 AB • AC AB
3
3
=
2
2
AC
2 AC
•
AB
1
2
AB
3
3
3
=
8
3
3
2
*3*2*
1 2
3
4
解的
3 11
建立如图所示直角坐标系：
则 A(0,0), B(3,0), C(1, 3), D(5 , 2 3 ) 33
AD (5 , 2 3 ), AE (1, 3) (3,0) ( 3, 3)
33
AD • AE 5 3 2 4 3
3
11
3.已知向量AB 与 AC 的夹角为 120°,且|AB |=3,|AC|=2. 若AP=λAB+AC且AP⊥ BC ,则实数λ的值为 ______.
7 4
2
3 4
2
13 2
（9.17 周考）.已知是
的外心，
，则
的值为
，
，
．
，若
建立如图所示直角坐标系：
则 A(0,0), B(1, 3), M ( 1 , 3 ), C(1,0), N (1 ,0)
22
2
x1 直线 O N 的方程为： 2
y
直线 O M 的方程为：
3 2
3 (x 1) 32
）• = 1
例 1.（2014 年江苏卷 12 题）如图，在平行四边形 ABCD 中，

2024-2025学年高一数学必修第二册(人教B版)平面向量的坐标及其运算(1)-课件

y
a
e2
O e1
x
b
e1 1, 0 e2 0,1 a 4, 2
尝试与发现写出图中向量的坐标
y
a
e2
O e1
x
b
e1 1, 0 e2 0,1 a 4, 2 b 3, 1
尝试与发现写出图中向量的坐标
y
a
e2
Байду номын сангаас
O e1
x
b
e1 1, 0 e2 0,1 a 4, 2 b 3, 1
2.平面上向量的运算与坐标的关系
问题二已知向量 a = ( x1, y1)，b = ( x2, y2 )，即：a = x1e1 y1e2，b = x2e1 y2e2 .
思考：用向量 a,b 的坐标表示 a b 的坐标.
a + b = ( x1e1 + y1e2 ) + ( x2e1 + y2e2 ) = ( x1e1 + x2e1) + ( y1e2 + y2e2 ) = ( x1 + x2 )e1 + ( y1 + y2 )e2
x1 = x2 , y1 y2
2.平面上向量的运算与坐标的关系
问题一已知向量 a = ( x1, y1)，b = ( x2, y2 )，即：a = x1e1 y1e2，b = x2e1 y2e2 .
思考：你能用 a, b 的坐标表示 a b 的充要条件吗？ a b x1e1 y1e2 = x2e1 y2e2 x1 = x2 , y1 y2
点的坐标
2.平面上向量的运算与坐标的关系
问题一已知向量 a = ( x1, y1)，b = ( x2, y2 )，即：a = x1e1 y1e2，b = x2e1 y2e2 .

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同步练习
你会吗？
如果a =(3,4),b =(1,2),
则
a+ b = =（４，６） a- b = =（２,２）
2 a= =（ 6,8 ）
-3b= =（-3，-6）
新课讲授
二、平面向量的直角坐标运算
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2)求 A B 的坐标。解：A B = O B - O A y
同理可得 a-b =(a ,a )- (b ,b )=(a -b a -b ) 1 2 1 2 1 1, 2 2 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两向量
相对应坐标的和与差.
新课讲授
二、平面向量的直角坐标运算已知a=(a1,a2) , 求 λa.
解：λa = (a1i+a2j) λ a1i+ λ a2j =( λ a1 , λ a2 ) =λ j)=
你能得出 a +b a+b
的坐标吗？
→ →
→
→
，a -b b
→ →
，a λ a λλλ
→
新课讲授
二、平面向量的直角坐标运算
已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2),求a+b ,
a-b.
解：a+b= (a1i+a2j) + (b1i+b2j) =(a1+ b1)i+(a2+ b2)j= (a1 + b1 , a2 + b2) 即 a+b=(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1 , a2+b2)
y
4 3
新课讲授
例1：用向量i, j 分别表示向量a,b,c,d，并求出它们的坐标。
b b=2j= (0,2)
2
a
j i
1
a=i+2j= (1,2)
c=2i-2j=(2, c=2i-2j= -2)
-1
-2
d=-4i-j=(-4,-1) d=-4i-j=
d
2
4
6
x
c
-2
-3
y
4 3
新课讲授
i = (1,0) j = (0,1) 0 = (0,0)
新课讲授
一、平面向量的直角坐标的概念
y
如图, i, j 是分别与x轴、y a2j 轴方向相同的单位向量。对于该平面内任意一个向量a,有且只有一对实数a1, a2， j o 使得
a
a=a1i+a2j
a= (a1, a2).
i
a1i
x
其中，a1叫做a在x轴上的坐标，a2叫做a在y轴上的坐标。我们把（a1, a2）叫做向量a的直角坐标，记作
解： + b = (2 ,1 ) + (-3 ,4 ) = (-1,5) a a - b = (2 ,1 ) - (-3 ,4 ) = (5,-3)
3a + 4b = 3 (2 ,1 )+ 4 (-3 ,4 )
(6, 3 ) ( 12, 16 )
( 6, 19 )
-2 -3
新课讲授
已知ａ＝（ｘ，１），ｂ＝（２，ｙ），且ａ＝ｂ，则ｘ= 2 ，ｙ＝ 1 ．
y
4
新课讲授
B
一、平面向量的直角坐标的概念
3
2
P(3,2)
F
1
A
-2
j
O
-1
i
2
4
6
x
E
-2
OP = xi + y j
P(x,y)
-3
y
4
同步练习
A
3
在平面直角坐标系中，作出向量
= (x2,y2)-(x1,y1) = (x2 -x1,y2 –y1)
A(x1,y1)
B(x2,y2)
O x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
同步练习
看谁最棒？
点Ａ
（１,－２）（４,３）
点Ｂ
（６,０）
AB
（５,２）
（３,－１）（－１,－４）（３,５）
ＤＯＢＡ
课堂小结
1. 任一向量 a的坐标表示： a = a1 i + a 2 j a = (a 1 , a 2 ) 2. 特殊向量 OA 的坐标表示：
OA = xi + y j
y Y y
a
A(x,y)
j
O
x
A(x,y)
i
x
X
若：A(x1,y1) , B(x2,y2) 则：AB= (x2-x1 , y2-y1) 3. 平面向量的坐标运算：
a2j
A a
相等向量的坐标
如果a=(a1, a2),b=(b1, b2)，则a=b a1=b1且a2=b2
j
o
a
i
a1i
x
向量OA的坐标表示（O为坐标原点）
一一对应点A的坐标向量OA的坐标（a1 已知 a=(x1 1,y1)) ， b=(x 2 ,y2 ) b=(b1,b2)
（－２,－３）（１,２）
（－４,１）（－５,－７）（－１,－８）
新课讲授
例３：已知点A(３,-２)，B(-５,-１), 1 且 A M = A B ,求M点的坐标.
2
解：设点Ｍ的坐标是(ｘ，ｙ)，
因为
1 AM = AB 2
所以(x,y)－(３,-２)=
新课讲授
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
新课讲授
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点 D的坐标。
i
2 4 6
2
1
j
-2
x
-1
-2
特殊向量的坐标表示
-3
y
4
新课讲授
B
一、平面向量的直角坐标的概念
3
2
1
A
-2
j
i
-1 2
A B = 3i+ 2 j E F = 3i + 2 j A B = E F (3, 2 )
4 6
F x
E
如果a=(a1, a2),b=(b1, b2)，则a=b a1=b1且a2=b2
即 λa=λ（a1, a2)=(λ a1, λ a2) 实数与向量的积的坐标等于这个实数分别乘原来的向量的相应坐标．
结论：
例 2 ：已知 a = (2 ,1 ), b = (-3 ,4 ), 求 a + b , a -b , 3a +4b 的坐标 .
新课讲授
a+b
1 、已知 a和 b,求做 a + b,a - b.
a
b
温故知新
a-b
２、什么是单位向量？
长度等于１的向量叫做单位向量。
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
OA OB OC OD
4
B
2
( 2, 3),
( 1, 2 ), ( 2, 1), ( 3, 0 ).
6
1
D
-2
O
-1
2
x
C
-2
-3
新课讲授
一、平面向量直角坐标的概念 y 特殊向量的坐标表示 i=(1,0), j=(0,1), 0=(0,0)
若 a = (a 1 ,a 2 ) ，= (b 1 ,b 2 ), 则 a - b =(a1-b1 , a2-b2) b
λa =
a + b =(a1+b1 , a2+b2)
(λa1 , λa2)
课后作业
１.（必做题）课本第６２页练习３,４,５２.（选做题）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
烟台第一职业中专教师：王莉丽班级：10级30班
新课引入
新课引入
足球受到的力如图所示，为研究足球的运动轨迹，物理学中常常将力按水平方向和竖直方向进行分解，也就是说，平面向量在应用时常常取互相垂直的两个向量来进行研究。
平面向量的直角坐标及其运算
y
a
j o
i
x
教学目标
重点
平面向量的直角坐标的概念及运算
1 2
[(-5 , -1 ) - (3 , -2 )] 1 2 )
= (- 4 ,
x, y
= (-4 ,
1 2
)+
3 , -2
3 2
= (-1 , -
3 2
)
所以点M的坐标为 (-1 , - )
同步练习
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。Ｃ
难点
平面向量的直角坐标的应用
平面向量的坐标运算为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为进一步研究平面向量的数量积以及解析几何、立体几何的相关问题奠定了基础。
学情分析
1 、已知 a和 b,求做 a + b,a - b.
a
b
温故知新
a+b