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:a ,b 共面;a ,b ,若a ·b =0,则a ⊥b ; (a ·b )·c =a ·(b ·c ); b ,由a ·b =b ·c ,则a =c ;. ( )B.①③④ D.①)a =λb (λ是实数)是a 与b 共线的( ) B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件，-3,1)，b =(2,0,4)，c =(-4，-6,2)，下列结论正确的是( ) ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对ABCD-A1B1C1D1中，点E 为上底面A1C1的中心，若 则x,y 的值分别为( ) B ．x=1，y=D ．x= ，y=1O-ABC,点M,N 分别为AB,OC 的中点,且 用a ,b ,c 表示 ,则 等于( )A. (b +c -a )B. (a +b -c )C. (a -b +c )D. (c -a -b )121212AA xAB yAD ++，,OC ,=c MN MN考点1 空间向量的线性运算【典例1】(1)在四面体O-ABC 中, =a , =b , =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则 = .(用a ,b ,c 表示) (2)如图所示，在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中，各面为平行四边形,设 =a，=b ， =c ，M,N,P 分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：【变式训练】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O 为AC 的中点.(1)化简：(2)用 (3)设E 是棱DD1上的点，且 试求x,y,z 的值．【加固训练】1.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB,AC ，M,N 分别是边 OA,CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG=2GN ，则用向量 表示向量 正确的是()2.已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，M 在线段 PC 上，N 在线段PD 上，且PM=2MC,PN=ND ，若 则x+y+z= .3.如图，已知M,N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，G 为AM 上一点，且GM ∶GA=1∶3.设 试用 a ，b ，c 表示考点2 共线向量定理、共面向量定理的应用【典例2】(1)已知向量a ,b ,且 =a +2b , =-5a +6b , =7a -2b ,则一定共线的三点是( )A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D(2)如图，已知各面均为平行四边形的四棱柱ABCD-A ′B ′C ′D ′，E,F,G ,H 分别是棱A ′D ′,D ′C ′,C ′C 和AB 的中点，求证:E,F,G ,H 四点共面．【加固训练】OA OB OC OE 1AA AB AD 1AP;MP NC .+①②111A O AB AD.22--11AB,AD,AA OC .表示112DE DD EO xAB yAD zAA 3==，若＋＋，OA OBOC ，，OG 22A.OG OA OB OC33122B.OG OA OB OC233111C.OG OA OB OC633112D.OG OA OB OC633====＋＋＋＋＋＋＋＋MN xAB yAD zAP =++，AB AC AD ===，，，a b c ABBC CD1．有下列命题：①若p=x a ＋y b ，则p 与a ,b 共面；②若p 与a ,b 共面，则p=x a ＋y b ；③若 则P,M,A,B 共面； ④若P,M,A,B 共面，则 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.已知E,F,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点， (1)求证：E,F,G ,H 四点共面. (2)设M 是EG 和FH 的交点， 求证：对空间任一点O ，有3.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，P 点是四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G ,H 分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA 的重心．试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断．考点3 空间向量的坐标运算及数量积的应用【典例3】(1)(2014·合肥模拟)已知a =(1,0,-1)，b =(-1,1,2).①a -b 与a 夹角的余弦值为 ;②若k a +b 与a -2b 平行，则k= ; ③若k a +b 与a +3b 垂直，则k= .(2)(2014·安阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算： ①②EG 的长．【通关题组】1.(2014·随州模拟)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的 长都等于a ，点E,F 分别是BC,AD 的中点，则 的值为( ) 2．(2014·珠海模拟)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是 ． 3．(2014·焦作模拟)已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)．则以 为边的平行四边形的面积等于( )2．(2014·东北联考)已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当 取最小值时，点Q 的坐标是 ．MP xMA yMB =＋，MP xMA yMB=＋，()1OM OA OB OC OD 4=＋＋＋．EF BA ；AE AF 2222113A a B.a C.a D.a 244．AB AC ，QA QB。
标题：空间直角坐标系三个单位矢量叉乘一、概述空间直角坐标系是描述空间中点的一种坐标系，三维空间中的向量可以使用坐标系中的单位矢量进行表示。
在空间直角坐标系中，单位矢量的叉乘运算具有重要的几何和物理意义。
本文将介绍空间直角坐标系中三个单位矢量叉乘的相关知识，包括定义、性质和应用。
二、概念和定义1.单位矢量在空间直角坐标系中，三个相互垂直的单位向量分别记为i、j、k，它们在$x$、$y$、$z$轴上的投影分别为$(1, 0, 0)$、$(0, 1, 0)$和$(0, 0, 1)$。
单位矢量具有长度为1的特性。
2.叉乘给定空间直角坐标系中的两个向量$\boldsymbol{A}=(A_x, A_y,A_z)$和$\boldsymbol{B}=(B_x, B_y, B_z)$，它们的叉乘$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$定义为向量：$$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = (A_yB_z - A_zB_y)i - (A_xB_z - A_zB_x)j + (A_xB_y - A_yB_x)k$$3.三个单位矢量的叉乘在空间直角坐标系中，三个单位矢量的叉乘具有如下性质：- $i \times j=k$- $j \times k=i$- $k \times i=j$- $j \times i=-k$- $k \times j=-i$- $i \times k=-j$三、性质和应用1.右手定则利用右手定则可以确定单位矢量的叉乘方向。
将右手的四指从第一个单位向量转至第二个单位向量，拇指的方向即为叉乘的方向。
2.几何意义单位矢量的叉乘具有重要的几何意义。
$\boldsymbol{A} \times\boldsymbol{B}$的模长等于由$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$所张成的平行四边形面积，方向垂直于平行四边形所在的平面。
空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc$-$d$′$a$′$b$′$c$′中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od$′的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。
2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如果$a（x_1，y_1，z_1）$，$B（x_2，y_2，z_2）$，那么$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ob}-\overrightarrow{OA}$=$（x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1）$。
3、空间向量的坐标运算设置$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后（1）$\boldsymbola+\boldsymbolb$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
（2） $\boldsymbola-\boldsymbolb$=$（x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2）$（3）$\boldsymbola·\boldsymbolb$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
（4） $|\boldsymbola |=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$（5）$λ\boldsymbola=（λx_1,λy_1,λz_1）$。
4.平行（共线）和垂直空间向量的充要条件设非零向量$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ（λ∈\mathbf{r}）$$\boldsymbola⊥\boldsymbolb\leftrightarrow\boldsymbola·\boldsymbolb=0\leftrig htarrow$$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。
