青岛五十八中李宁物理竞赛第十一讲：静电场

因为绳中拉力为零，所以速度最小处动力学方程为
m vm2 = F
(29)
l−h
解得
√
h = 15 − 5
3 l
(30)
12
3. 真空中有两个固定的点电荷，带电量均为 Q > 0，它们相距为 L. 在其连线的中点有一带正电、 质量为 m、带电量 q > 0 的点电荷静止在 O 处，如图所示. 现将 q 沿连线偏移少许后放手，点 电荷在中点附近小振动，求振动周期.
θ
−
1 2
gt2
当 y = 0 时，消去 t 将得到
s
=
x
=
v2
( sin 2θ
+
EQ
(1
−
) cos 2θ)
(26)
g
mg
求极值知其最大值为
smax
=
v2 (EQ
mg2
√ + m2g2
+
E2Q2)
(27)
2. 如图所示，长为 l 的绝缘细线，一端悬于 O 点，另一端连接一质量为 m 的带负电小球，置于水 平向右的匀强电场中，在 O 点正下方钉一钉子 O′，已知小球受到的电场力是重力的 √1 . 现将细
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2.2 对电场力的描述——电场强度
电场强度的定义：放入电场中某点的检验电荷所受的电场力跟它所带电量的比值，叫做该点的 场强，即 E = F 。
q 场强 E 描述了电场的力的性质，而电场力的特点与重力场的情况非常相似，可以通过类比的方 式加以理解。 电场线：用数学方式对电场进行描述，虽然严格，但比较抽象，对复杂的电场用数学方式加以 描述将是非常困难的，引入电场线是直观而又形象地描述电场的有效而且方便的物理方法，现将有 关电场线结论归纳如下：
3
线水平拉直后从静止释放，细线碰到钉子后要使小球刚好绕钉子 O′ 在竖直平面内做圆周运动. 求 OO′ 的长度.
第 213 页
解：【分析】先确定重力和电场力的合力斜向左下，小球先沿合力方向“下落”至绳子绷紧
后做圆周运动。由动能定理求出绳子绕上后，合势能最高点处的速度，刚好能圆周运动的条
件是此处绳中张力为零. √
q
q
E+
=
k (r
−
l 2
)
,
E−
=
k
(r
+
l 2
)2
(13)
其中合场强为：
[
]
1
1
E = E+ − E− = kq [
(r
−
1 2
)2
−
(r + ]
l 2
)2
kq =
r2
(1 − l )−2 − (1 + l )−2
2r
2r
kq l
l
≈
(1 + r2
r
−1+
) r
(14)
2ql =k
r3
若为空间中任意一点，它到两电荷连线中点的距离为 r，则 ql⊥ 在 T 产生的场强分量为
εA = qUA
(20)
与重力做功完全相似的是，在电场中移动电荷时，电场力所做的功等于电势能增量的负值，即：
WAB = −∆ε = εA − εB
(21)
电势与电势能的大小与零势点的选取有关，但两点间的电势差和电势能的增量都与零势点选取无关。
6.3 电势的叠加原理
在 N 个场源电荷所激发的电场中任一点的电势，等于每个场源电荷单独激发的电场在该点的分 电势的代数和，这就是电势叠加原理。
Qq
Qq
Qq
W = k r2 (r1 − r) + k r12 (r2 − r1) + k r22 (r3 − r2) + · · ·
Qq
Qq
Qq
≈ k rr1 (r1 − r) + k r1r2 (r2 − r1) + k r2r3 (r3 − r2) + · · ·
(22)
Qq Qq Qq Qq Qq
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6.4 点电荷电场的电势
现设在离场源电荷 Q 距离为 r 的 C 处有一带电量为 q 的检验电荷，将这一检验电荷由该点移
至无穷远处（该处电势为零）过程中，由于其所受的电场力为变力，故将 q 向外移的过程理解为由
C 移至很近的 C1（离 Q 距离 r1）点，再由 C1 移至很近的 C2（离 Q 距离 r2）点 · · · · · · 直至无穷 远。那么这一过程中的电场力做功可表示为：
电通量的大小与半径 r 无关，只与源电荷有关。
5 几种典型电场的场强
均匀带电球壳内外的电场
1. 均匀带电球壳内部的场强处处为零。
2. 均匀带电球壳任意一点的场强公式为
Q E=k
(8)
r2
均匀带电球体内外的电场：设球体的半径为 R，电荷体密度（单位体积带电量）为 ρ，距球心 r 处场强为
(1)r
>R
时，E
李宁物理竞赛讲义 第十一讲：静电场
1 库仑定律
1.1 电荷及其守恒定律
自然界中存在着两种不同性质的电荷，它们之间同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。在物 理学中，用正、负加以区别，即我们通常所说的正电荷与负电荷。
点电荷是一种理想化的物理模型，当两个带电体间的距离远大于它们本身的尺寸时，带电体的 形状和大小对它们的相互作用的影响就可以忽略不计，这样的带电体就可称为点电荷。
(19)
6.2 电势及电势能
电场中某点的电势，在数值上等于单位电量的正电荷由该点移动到标准位置（零势点，通常选 大地或无穷远处）时，电场力所做的功，同样，电势仅与场源电荷有关。
电势是描述电场的能的属性的物理量，放入电场中某点 A 的电荷的电量与该点电势的乘积，叫 做电荷在该点的“电势能”，用符号 εA 表示，则：
= k −k +k −k +k −···
r
r1
r1
r2
r2
Qq ≈k
r
所以，距场源电荷 Q 的距离为 r 处的 C 点电势可表示为：
Q U =k
(23)
r
1. 一个质量为 m，带电量为 Q 的粒子，受到重力和水平匀强电场（场强为 E）力的合力作用. 粒
子以初速度 v 在平行于场强的竖直平面内斜向上抛，在回到初始点水平高度时，有一定射程 s，
UAB
=
WAB q
(18)
它反映了电场力做功的能力，电势差仅与场源电荷有关，与被移动电荷的电量无关。即使没有电荷
或不移动电荷，这两点间的电势差依然存在。
两点间的电势差在数值上等于电场力将单位电量的正电荷从一点移到另一点，电场力所做的功，
电势差是标量，由于电场力做功有正有负，故电势差也有正有负，即：
UAB = UA − UB = −UBA
解：【分析】考虑一定偏移下的恢复力，做一阶近似，近似为线性恢复力即得周期.
【解答】考虑大小为 x 的偏移，回复力
kQq
kQq
F
=
( L/2
+
x)2
−
( L/2 −
x)2
(31)
一阶近似后
F
=
−
32kQq L3
x，又
F
=
ma，故
√
√
mL3 πL mL
T = 2π
=
(32)
32kQq 2 2kQq
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F = k q1q2
(1)
r2
式中 k 为静电力常量，k = 1 大小为 9.0 × 109N · m2/C2
4πε0
当两个点电荷处于某种均匀介质中时，电荷间的相互作用力变为真空中的
1 ，其中 εr
εr
是介质
中的相对介电常数，库仑定律表达式变为：
F
=
1 4πε0εr
q1q2 r2
(2)
其中有 ε = ε0εr，称 ε 为真空中的介电常数。
√
2kq
Ex
=
(x4/3
+
l2 2x2/3
+
) l2 3/2
2x2/3
4 3kq 9l2
(4)
4 电通量和高斯定理
在研究静电场性质时，常引入电通量的概念，即在静电场中任取一很小的面积元 ∆S，由于 ∆S
很小，故 ∆S 面上的各点的场强 E 可视为是均匀的，若 E⃗ 与 ∆S 的夹角为 θ，则对 ∆S 的电通量
例题：两同号电荷，沿其中垂线方向，何处电场强度最大？ 以两正电荷为例，沿中垂线方向，电场强度大小为：
2q cos θ
2kqx
2kq(x2/3)3/2
2kq
Ex = k x2 + l2
=
=
(x2 + l2)3/2
(x2 + l2)3/2
=
(x4/3
+
) l2 3/2
x2/3
(3)
√ 根据 a + b + c 3 3 abc 有:
定义为：
∆ϕ = E∆S cos θ = E⃗ · ∆S⃗
(5)
电场对任意曲面 S 的电通量，则是电场对从 S 上分割出的许多小面积元 ∆S 的电通量的代数和。
∑
∑
ϕ = ∆φ = E⃗ · ∆S⃗
(6)
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球面的电通量
ϕ
=
∑ E⃗
· ∆S⃗
=
kq r2
·
4πr2
=
4πkq
=
q ε0
(7)
大量的实验表明：在所研究的系统与外界没有电荷交换的条件下，无论系统内发生怎样的变化， 整个系统所有电量的代数和始终保持不变——电荷守恒定律。