物理竞赛静电场h

1、一半圆均匀带电，电荷线密度为>0，试求该半圆圆心处的场强。

解：我们采用微元法，如图所示，设半圆半径为，微元所对圆心角为，在点的场强为而则根据对称性，半圆上各个微元在点场强的y轴方向分量互相抵消。

点处场强为各个在x轴上分量的和也可表为2、证明：在静电场中没有电荷分布的地方，如果电场线相互平行，则电场强度的大小必处处相等。

解：电场线的性质都可由高斯定理和安培环路定理推出，故此处，可考虑用这两个定理。

先证明同一场线上不同地方的场强相同。

如图（a），取一圆柱面形高斯面，其轴与平行，长，截面积足够小，则可认为上各点电场相同。

因空间无电荷，由高斯定理得其中，分别为圆柱两端面上的场强。

再证明不同电场线上的场强相同。

如图（b），取安培环路为。

、均垂直于电力线，且、的长度足够小，则可认为、段上的场强为定值，分别为，。

由安培环路定理得综上，即可得题中所述场确定为匀强场。

注意，若场区有电荷存在，则即使电场线平行，也不会为匀强场。

电场线可在电荷处中断。

如图（c）。

3、在点电荷的电场中，放入一个半径为的接地导体球，从到导体球球心的距离为，求导体球对的作用力。

解：如图所示，根据对称性，肯定在或其延长线上，设到的距离为，对导体球表面上任意一点A而言，它的电势应该由和的电势叠加而成，由因为导体接地，所以有设为原点，为轴，A点的坐标为，则有因为A点位于球心在原点的球面上，、的一次项及常数项都应该是零，于是有可解得和而“电像”和感应电荷是等效的。

这样，就可以很容易地用库仑定律求得感应电荷对作用力（即导体球对的作用力）的大小为方向指向方向。

4、半径分别为和的两个同心半球面相对放置，如图所示。

两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为和。

求大半球面的直径AOB上电势的分布。

解：半径为的均匀带电球壳内部电势为，外部电势为。

这道题目要解决两个问题：（1）半球壳的电势是多少？（2）两个半球壳的电势如何叠加？完整的半径为的球壳在AOB上产生的电势为鉴于对称性，半个球面对的贡献必为1/2，因此，它在AOB上产生的电势应为完整的半径为的球壳在AOB上离距离小于的范围内（即图中的COD段）的电势为在AOB上，离的距离大于的范围内的电势为半球的贡献同样必为和的1/2。

高中物理竞赛——静电场习题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。

【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。

如图7-5所示，在球壳内取一点P ，以P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS 1和ΔS 2 ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P 点激发的场强分别为ΔE 1 = k 211r S ∆σΔE 2 = k 222r S ∆σ为了弄清ΔE 1和ΔE 2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然211r cos S α∆ = ΔΩ = 222r cos S α∆所以 ΔE 1 = k α∆Ωσcos ，ΔE 2 = k α∆Ωσcos ，即：ΔE 1 = ΔE 2 ，而它们的方向是相反的，故在P 点激发的合场强为零。

同理，其它各个相对的面元ΔS 3和ΔS 4 、ΔS 5和ΔS 6 … 激发的合场强均为零。

原命题得证。

【模型变换】半径为R 的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

【解析】如图7-6所示，在球面上的P 处取一极小的面元ΔS ，它在球心O 点激发的场强大小为ΔE = k 2RS ∆σ ，方向由P 指向O 点。

无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS 激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x 方向、y 方向上的对称性，Σix E= Σiy E= 0 ，最后的ΣE = ΣE z ，所以先求ΔE z = ΔEcos θ= k 2R cos S θ∆σ ，而且ΔScos θ为面元在xoy 平面的投影，设为ΔS ′所以 ΣE z = 2Rk σΣΔS ′ 而 ΣΔS ′= πR 2【答案】E = k πσ ，方向垂直边界线所在的平面。

〖学员思考〗如果这个半球面在yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？〖推荐解法〗将半球面看成4个81球面，每个81球面在x 、y 、z 三个方向上分量均为41 k πσ，能够对称抵消的将是y 、z 两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE x …〖答案〗大小为k πσ，方向沿x 轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。

第八部分 静电场第一讲 基本知识介绍在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。

在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。

如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。

也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。

一、电场强度1、实验定律 a 、库仑定律 内容；条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。

事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k 进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k ′= k /εr ）。

只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。

b 、电荷守恒定律c 、叠加原理 2、电场强度a 、电场强度的定义电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。

b 、不同电场中场强的计算决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。

这可以从不同电场的场强决定式看出——⑴点电荷：E = k2r Q 结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如——⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P ：E =2322)R r (kQr ，其中r 和R 的意义见图7-1。

⑶均匀带电球壳 内部：E 内 = 0外部：E 外 = k2r Q，其中r 指考察点到球心的距离 如果球壳是有厚度的的（内径R 1 、外径R 2），在壳体中（R 1＜r ＜R 2）：E =2313r R r k 34-πρ ，其中ρ为电荷体密度。

真空中得静电场基 本 要 求一、理解电场强度与电势这两个基本概念与它们之间得联系。

二、掌握反映静电场性质得两个基本定理——高斯定理与环流定理得重要意义及其应用。

三、掌握从已知得电荷分布求场强与电势分布得方法。

内 容 提 要一、真空中得库仑定律)(412210r rq q rF ⋅=πε 库仑定律得适用条件:1、 点电荷;2、 电荷静止(或低速)。

二、电场与电场强度电场 电荷能够产生电场。

电场就是一种客观存在得物质形态。

电场对外表现得性质:1、 对处于电场中得其她带电体有作用力;2、 在电场中移动其她带电体时,电场力要对它做功,这也表明电场具有能量。

电场强度得定义式q F E = 点电荷场强公式)(4120rr q r E ⋅⋅=πε场强叠加原理 电场中某点得场强等于每个电荷单独在该点产生得场强得叠加(矢量与)。

几种常见带电体得场强1、电荷线密度为λ得无限长均匀带电直线外一点得场强a λE 02πε=2、电荷面密度为σ得无限大均匀带电平面外一点得场强2εσE = 方向垂直于带电平面。

3、带电Q 、半径为R 得均匀带电导体球面或导体球得场强分布r<R 时, E =0r>R 时,0204r E r Qπε=4、带电Q 、体密度为ρ得均匀带电球体场强分布r<R 时,r E 304R Qπε=r>R 时,0204r E r Q πε=三、电通量 高斯定理电场线(电力线)画法 1、 电场线上某点得切线方向与该点场强方向一致;2、 通过垂直于E 得单位面积得电场线得条数等于该点E 得大小。

电场线得性质 1、 两条电场线不能相交;2、 电场线起自正电荷(或无穷远处),止于负电荷(或无穷远处),电场线有头有尾,不就是闭合曲线。

电场强度通量 ⎰⎰⋅=se d ΦS E电场强度通量也可形象地说成就是通过该面积S 得电场线得条数。

高斯定理 真空中静电场内,通过任意闭合曲面得电场强度通量等于该曲面所包围得电量得代数与得1/ε 0倍。

《静电场》【全国物理竞赛知识要点2003】库仑定律、电荷守恒定律、电场强度、电场线、点电荷的场强、场强叠加原理、均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）、匀强电场、电场中的导体、静电屏蔽、电势和电势差、等势面、点电荷电场的电势公式（不要求导出）、电势叠加原理、均匀带电球壳壳内的电势和壳外的电势公式（不要求导出）、电容、电容器的连接、平行板电容器的电容公式（不要求导出）、电容器充电后的电能、电介质的极化、介电常数 【内容讲解】(一) 场强、电势的计算 1、点电荷的电场2、均匀线分布电荷产生的场强净电荷均匀分布在一条线上，在空间某点产生的场强，通常可用微积分的方法进行定量计算，但运用微积分的方法进行定量计算，必须确定场强的方向才能方便可行。

下面将介绍一种等效方法来求解均匀线分布电荷的场强问题。

如图所示，线段AB 上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷，其旁边有一点P ，P 点到直线AB 的距离为R ，则P 点的电场强度大小、方向如何确定？现以P 点为圆心以R 为半径做一个与直线AB 相切的圆弧，认为圆弧上也均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷，今在AB 上C 点取一微元△L ，在圆弧上对应取下微元△L /（取法如图），令PC=r ，则微元△L 在P 点产生的场强是：2.rLkE i ∆=ρ 而θθsin ∆=∆r L ，rR =θsin 所以：RkE iθρ∆=./l∆在P 点产生的场强是：22//...R R kR L kE i θρρ∆=∆=所以：RkE iθρ∆=./由以上论证可知：/iiE E =，且二者方向也相同。

可见L ∆在P 点产生的场强可由/L ∆在P 点产生的场强代替，不难得出，AB直线上的电荷在P点产生的场强，可由图中MEN弧在P点产生的场强来代替。

下面将介绍均匀分布在圆弧上的电荷在圆心处产生的场强的计算公式。

如图所示，半径为R的圆弧AB，其圆心角为θ，其上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷，圆心O 点的场强设为E o，由对称性可得，E o的方向一定沿AB的连线的中垂线向右，即图中x方向，取圆弧上一微元△L i，它在O点的场强为2.RLkE ii∆=ρ，所以：∑∑∑∆=∆==αραραcoscos.cos22iiioLRkRLkEE而∑=∆ABLiαcos.则：2sin2.22θρρRRkABRkE==所以：2sin2θρRkE=---------------------------------------------------------①若对于无限长均匀带电直线，在距离直线为R的一点（相当于①式中θ=π），场强为RkEρ2=---------------------------------------------------------②若在均匀带电线段的延长线上一点，场强公式又如何？如图所时，在线段AB上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷，其旁边有一点P，P点到线段AB的A、B两点的距离分别为d1、d2，点P到线段AB的垂直距离为R，线段AB的长为L，点P与A、B两点的连线之间的夹角为θ，则由公式①得，P点的场强为：2sin2θρRkE=LRdd21sin2121=θ∴LddRθsin21=代入P点的场强公式整理得：2cos21θρddLkE=若在长为L的均匀带电（线电荷密度为ρ）线段AB的延长线上一点P，P点距离线段AB较近的一点的距离为d ，则根据上述表达式，d d =1L d d +=2 0=θ，代入得：)(L d d Lk E +=ρ即Ld k d k E +-=ρρ-----------------------------------------------------③3、均匀面分布电荷的场强 （1）无限大的带电平面的场强（2）均匀带电球面的场强参考均匀带电圆弧在圆心处产生的场强公式的推导，同样可推出面电荷密度为σ的均匀带电球冠在球心处产生的场强为：S Rk E 2σ=式中S 为球冠的底面积，R 为球面半径。

高中物理竞赛—静电场 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN真空中的静电场基 本 要 求一、 理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。

二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定理的重要意义及其应用。

三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。

内 容 提 要一、 真空中的库仑定律)(412210rr q q r F ⋅=πε 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。

二、电场和电场强度电场 电荷能够产生电场。

电场是一种客观存在的物质形态。

电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。

电场强度的定义式q F E = 点电荷场强公式 )(4120r r q r E ⋅⋅=πε1场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）。

几种常见带电体的场强1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强a λE 02πε=2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强2εσE = 方向垂直于带电平面。

3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布r<R 时， E =0r>R 时，0204r E r Qπε=4、带电Q 、体密度为ρ的均匀带电球体场强分布r<R 时，r E 304R Q πε=r>R 时，0204r E r Qπε=三、电通量 高斯定理2电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E 的单位面积的电场线的条数等于该点E 的大小。

电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。

电场强度通量 ⎰⎰⋅=se d ΦS E电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S 的电场线的条数。

全国高中物理竞赛静电场专题静电场【知识点】 1、库仑定律表述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力的大小和点电荷电量的乘积成正比，它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸引，即r rF 30214q q πε=式中，r 为矢量r 的大小，即两个点电荷之间的距离，0ε为真空介电常数． 2、电场强度定义实验点电荷0q 放入电场中，它所受的电场力F 与电量0q 的比值0q F 与电量0q 无关，反映了电场在空间不同点的性质，定义为电场强，用E 表示，即q FE =3、电场场度的叠加原理表述电场中任意一点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和.于是带电系统的电场强度是 i ni i in i i r r q E E ∑∑====1314πε 点电荷系 r r dq E d E ??==34πε，其中??=dVdS dldq ρσλ，连续带电体 4、电场线规定如图4所示，满足如下要求的几何曲线称为电场线，也称E 线．⑴电场线上每一点的切线方向与该点场强的方向一致；⑵在电场中任一点处，通过垂直于该处电场强度方向的单位面积的电场线的条数等于该点处电场强度的量值，即⊥Φ=dS d E E式中，E Φ为电场强度通量，表示通过某一面积的电场线的条数dSdS En e图 45、电位移矢量D定义电场中某点的电位移矢量D 表示为P E D +=0ε式中，P 为介质的电极化强度，在各向同性线性电介质中，D 可以表示为 E E D r εεε==06、电通量定义通过某一曲面电位移线的条数，称作该曲面上的电位移通量，简称为电通量．其数学表达式为=?=ΦSSe dS D S d D θcos , 有限面=?=ΦSSe dS D S d D θcos , 闭合面7、静电场的高斯定理表述在静电场中，通过任一闭合面的电通量数值上等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和，数学表达式为∑?=)(S内S iqS d D8、静电场的环路定理表述在静电场中，电场强度的环路积分为零，即 0=??dl E L若试验电荷在静电场中沿任一闭合路径运动一周，则电场力所做的功恒等于零，即 00=?=?l d E q A L9、电势能定义若选择点电荷在某参考点时系统的电势能为零，则0q 在P 点进系统的电势能为l d q P=?参考点E W 0P10、电势定义电场中某点单位正电荷所具有的电势能称为该点的电势，即将单位正电荷从该点经任意路径移到电势零点时电场力所做的功．即l d E q U P P ?==?参考点0PW11、场强与电势的微分关系表述电场中某点电场强度等于该点电势梯度的负值，即 U E -?=12、导体的静电平衡表述若将导体放在静电场中，当导体中的电荷没有宏观定向运动时，电荷分布不再发生变化，电场的分布也不再改变，这时导体所处的状态称为静电平衡状态，导体静电平衡的条件是导体内部电场强度处处为零． 13、电容器的电容定义当电容器的两极板带等量异号电荷q +、q -，且电势差为b a ab U U U -=时，则电容器的电容为abU qC = 14、电场的能量定义电场中单位体积内存储的电场能量称为电场能量密度，用e w 表示，即 E D w e ?=21对带电体系整个电场的能量，有如下计算公式 dV E D dV w W V Ve e ?==ε21对于各项线性介质，则 dV E dV w W VVe e 221ε?==15、电流和电流密度定义电流（I ）单位时间内通过导体任一截面的电量，即 dtdqI =电流密度 (J ) 通有电流的导体中，每一点电流密度大小等于通过该点单位垂直截面的电流，电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，即 n e dS dIJ ⊥=16、电动势定义电源内单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所做的功，其表达式为l d E K=+-ε式中，K E 为单位正电荷反受到的“非静电力”，又称作“非静电性场强”，因电源外部0=K E ，电动势定义又可表示为l d EKL=?ε【例题】1、已知真空中电场的能量密度为，试求（1）均匀带电球面（电荷量为，半径为）上的电场强度。