2015-2016学年第一学期海淀期中初三数学试题及答案

北京市海淀区2015-2016学年九年级（上）期中数学复习试卷（圆）一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD= 度．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= ．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．4．（2015秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数= ．5．（2015秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．11．（2014秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．12．（2014秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．13．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP 垂直平分线段AB．14．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O 交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．15．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．16．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（圆）参考答案与试题解析一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD= 度．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．【解答】解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度．故答案为：28．【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．【解答】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．故答案为：2．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=50°，∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠OCA=∠COD=40°，∴∠A=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．4．（2015秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数= ．【考点】圆周角定理．【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B=∠C=15°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接BD，∠B=∠C=15°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣15°=75°，故答案为：75°．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．5．（2015秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．【考点】切线的性质．【分析】利用切线长定理得出PA=PB，再利用等边三角形的判定得出△PAB是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，得出△PAB是等边三角形是解题关键．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【考点】点与圆的位置关系．【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是5，OP的长为7，5＜7，∴点P在圆外．故选C．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，其半径为3，∴S扇形==3π．故答案为：3π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由∠BOD=138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数【解答】解：∵∠BOD=138°，∴∠A=∠BOD=69°，∴∠BCD=180°﹣∠A=111°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°．故答案为：69°．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．【考点】点与圆的位置关系．【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点P在圆内时，则直径=6+2=8cm，因而半径是4cm；当点P在圆外时，直径=6﹣2=4cm，因而半径是2cm．所以⊙O的半径为4或2cm．故答案为：4或2．【点评】考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义．11．（2014秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．12．（2014秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．13．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP 垂直平分线段AB．【考点】切线的性质．【分析】由PA与PB为圆的两条切线，根据切线长定理得到PA=PB，且PO平分两切线的夹角，进而得到三角形PAB为等腰三角形，根据三线合一得到PC为高，PC为中线，可得出OP 垂直平分线段AB，得证．【解答】证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA=PB，PO为∠APB的平分线，∴PO⊥AB，C为AB的中点，则OP垂直平分线段AB．【点评】此题考查了切线的性质，涉及的知识有：切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．14．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O 交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．【考点】切线的判定．【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得EF是圆的切线．【解答】证明：连接OF，CF．∵AC是直径，∴∠AFC=90°，∴∠BFC=90°，又∵E是BC的中点，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵OC=OF，∴∠OFC=∠FCO，∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，∴OF⊥EF，∴EF是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．15．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．∴∠BAC=15°或75°．【点评】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．16．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN 的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON 的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度．【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM﹣ON，∴MN=8cm，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM+ON，∴MN=22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．。

2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（二次函数）副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共10小题，共30.0分）1.将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是______ ．2.将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______．3.若二次函数y=x2-5x+m的图象与x轴只有一个交点，则m= ______ ；当x= ______ 时，y有最______ 值是______ ；当0＜x＜1时，y随x的增大而______ ，y的取值范围是______ ．4.若二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______ ．5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ______ 0，b______ 0，c ______ 0，△ ______ 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则：（1）对称轴方程______ ；（2）a-b+c ______ 0，4a+2b+c ______ 0；（用“＜”，“=”或“＞”号连接）（3）当x ______ 时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为______ ；（5）由图象回答：当y＞0时，x的取值范围______ ；当y=0时，x= ______ ；当y＜0时，x的取值范围______ ．7.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1 ______y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）8.已知抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（-4，y1）、（-2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是______ ．9.抛物线y=（x-h）2-k的顶点坐标为（-3，1），则h-k= ______ ．10.请写出与抛物线y=x2形状相同，且经过（0，-5）点的二次函数的解析式______ ．二、解答题（本大题共4小题，共32.0分）11.二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（2，-9），且当x=-1时，y=0.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．12.已知函数y1=ax2+bx+c，它的顶点坐标为（-3，-2），y1与y2=2x+m交于点（1，6），求y1、y2的函数解析式．13.2x…-1-120121322523…y…-2-141742741-14-2…（）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；（2）作直线y2=-x+3，则当y2在y1的图象下方时，x的取值范围是______ ．14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2-x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C 与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】y =3x 2+1【解析】解：将抛物线y=3x 2向上平移1个单位得到的抛物线是y=3x 2+1． 故答案是：y=3x 2+1．根据“左加右减，上加下减”的规律解答．主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 2.【答案】y =（x +2）2-3【解析】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故答案为y=（x+2）2-3．先得到抛物线y=x 2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3.【答案】254；52；小；0；减小；y ≥0【解析】解：∵二次函数y=x 2-5x+m 的图象与x 轴只有一个交点， ∴（-5）2-4m=0， ∴m=，当x=时，二次函数有最小值为0，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，y的取值范围是y≥0，故答案为；；小；0；减小；y≥0．首先根据二次函数y=x2-5x+m的图象与x轴只有一个交点，求出m的值，根据二次函数的性质进行填空即可．本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，解题的关键是求出m的值，此题难度不大．4.【答案】m＞-1且m≠03【解析】解：∵原函数是二次函数，∴m≠0．∵二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，△=[-（2m+2）]2-4m（-1+m）＞0，解得m>-，∴m的取值范围是：m＞-且m≠0．故答案是：m＞-且m≠0．根据二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，可得△=[-（2m+2）]2-4m（-1+m）＞0且m≠0．本题考查了抛物线与x轴的交点：当△=b2-4ac＞0时图象与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0时图象与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＜0时图象与x轴没有交点．5.【答案】＞；＜；＞；=【解析】解：由开口方向可知：a＞0，由对称轴可知：-＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y的正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴△=0，故答案为：a＞0，b＜0，c＜0，△=0．根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴交点的位置，与x轴交点的个数即可判断．本题考查二次函数的图象与性质，只要根据图象的位置，即可判断a、b、c和△与0的大小关系．6.【答案】x=-1；＜；＞；＜-1；x1=-3，x2=1；x＜-3或x＞1；-3或1；-3＜x＜1【解析】解：（1）抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0），所以抛物线的对称轴为直线x=-1；（2）∵x=-1，y＜0，∴a-b+c＜0；∵x=2，y＞0，∴4a+2b+c＞0；（3）当x＜-1时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为x1=-3，x2=1；（5）当y＞0时，x的取值范围为x＜-3或x＞1；当y=0时，x=-3或1；当y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．故答案为x=-1；＜，＞；＜-1；x1=-3，x2=1；x＜-3或x＞1；-3或1；-3＜x＜1．（1）利用抛物线与x轴的交点为对称点可得到抛物线的对称轴；（2）观察函数图象，利用x=-1，y＜0和x=2，y＞0求解；（3）根据二次函数的性质求解；（4）根据抛物线与x轴的交点问题求解；（5）观察图象，写出抛物线在x轴上方或与抛物线与x轴的交点或抛物线在x 轴下方所对应的自变量的取值范围或取值．本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）．也考查了观察函数图象的能力．7.【答案】＞【解析】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，∴2＜-x1＜4，∴y1＞y2．根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；8.【答案】y2＜y3＜y1【解析】解：∵抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（-4，y1）、（-2，y2），（1，y3），∴y1=16a-8a+m=8a+m，y2=4a-4a+m=m，y3=a+2a+m=3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 9.【答案】-2【解析】解：∵抛物线y=（x-h ）2-k 的顶点坐标为（-3，1）， ∴h=-3，-k=1，解得h=-3，k=-1， ∴h-k=-3-（-1）=-2， 故答案为：-2．由二次函数的顶点式可求得h 和k 的值，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握封开次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，其顶点坐标为（h ，k ）． 10.【答案】y =x 2-5或y =-x 2-5【解析】解：设所求的二次函数的解析式为：y=ax 2+bx+c ， ∵与物线y=x 2形状相同， ∴|a|=1，a=±1， 且经过（0，-5）， 所以c=-5，∴所求的二次函数的解析式为：y=x 2-5或y=-x 2-5．先从已知入手：由与抛物线y=x 2形状相同则|a|相同，且经过（0，-5）点，即把（0，-5）代入得c=-5，写出二次函数的解析式．本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解答时注意抛物线形状相同时要分两种情况：①开口向下，②开口向上；即|a|=1． 11.【答案】解：（1）将（2，-9）、（-1，0）代入y =x 2+bx +c ，得{4+2b +c =−91−b +c =0，解得{b =−4c =−5， ∴所求二次函数的解析式是y =x 2-4x -5； （2）y =x 2-4x -5=（x -2）2-9， ∴顶点坐标是（2，-9）． 【解析】（1）将（2，-9）、（-1，0）代入y=x 2+bx+c ，利用待定系数法即可确定二次函数的解析式；（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标．本题考查用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．12.【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式y=a（x+3）2-2，∵抛物线经过点（1，6），∴6=a（1+3）2-2，解得a=1，2∴抛物线的解析式为y1=1（x+3）2-2．2把（1，6）代入y2=2x+m得6=2×1+m，解得m=4，∴y2的函数解析式为y2=2x+4．【解析】根据已知设出抛物线的解析式y=a（x+3）2-2，把（1，6）代入即可求得a的值，即可求得y1的函数解析式；把（1，6）代入y2=2x+m即可求得m的值，即可求得y2的函数解析式．本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和直线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．13.【答案】x＜1或x＞2【解析】解：（1）由表可知当x=1时，y有最大值，∴二次函数图象开口向下，其顶点坐标为（1，2）；（2）∵抛物线顶点坐标为（1，2），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2，∵当x=0时，y=1，∴1=a+2，解得a=-1，∴抛物线解析式为y1=-（x-1）2+2=-x2+2x+1，联立两函数解析式可得，解得或，两函数图象如图所示：当y2在y1的图象下方时，结合图象x＜1或x＞2，故答案为：x＜1或x＞2．（1）由题目所给表格可观察得出答案；（2）可先求得二次函数解析式，联立两函数解析式可求得两函数图象的交点坐标，可画出两函数图象，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质和图象，掌握二次函数的性质是解题的关键，注意数形结合．14.【答案】解：（1）∵抛物线y=12x2−x+2与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）．∵y=12x2−x+2=12(x−1)2+32，∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点B的坐标为（1，32）．又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为y=kx+b．∵直线BC经过点B（1，32）和点C（2，2），∴{k+b=3 22k+b=2解得{k=12 b=1.∴直线BC的解析式为：y=12x+1；（2）∵抛物线y=12x2-x+2中，当x=4时，y=6，∴点D的坐标为（4，6）．∵直线y=12x+1中，当x=0时，y=1．当x=4时，y=3，∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【解析】（1）欲求直线BC的解析式，需要求得点B、C的坐标，由抛物线解析式求得点A、B的坐标，然后根据点的对称性得到点C的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；（2）根据抛物线解析式y=-x+2易求D（4，6），由直线y=x+1易求点（0，1），点F（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．。

海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题 号1 2 3 45 6 7 8 9 10 答 案D A A ABBCDBC二、填空题（本题共18分，每小题3分）题 号11 12 13 14 15 16 答 案,21=x 22-=x21y x =+（答案不唯一）<1300.6120，150三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：2320.x x -+=……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵PA ,PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥PA ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB Pº．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==．…………………………2分 在Rt △OAM 中，∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明：22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ，∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m.…………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25．解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º． 在Rt △ACB 中，∵2=AB ，2AC =，∴2BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º． ∴CAD ∠为15º或105º．…………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ）， ∴5n =．……………………………………………2分 ∵抛物线21y xbx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b ∴3221--=x x y ．……………………………………………4分 （2）12-.……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r.在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=．∵1,5,BP CP ==∴222(5)(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分 ②2143． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分（2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29.解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分 ∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒. ∴AMN QMP ∠=∠.∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠. ∵AEM QEF ∠=∠， ∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分 （3）（32，12）或（32-，12-）. ………………………8分xyF EPQAO MN。

O DCB A 北京市海淀区2015届九年级上期中考试数学试题及答案（WORD 版）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图形是中心对称图形的是（ ）A B C D2．将抛物线2y x =向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A.21y x =+ B.21y x =- C.()21y x =+D.()21y x =-3.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球.下面说法正确的是（ ） A.这个球一定是黑球 B.这个球一定是白球C.“摸出黑球”的可能性大D.“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4.用配方法解方程2230x x --=时，配方后得到的方程为（ ）A.2(1)=4x - B.2(1)4x -=- C.2(1)=4x + D.2(1)=4x +- 5．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，O 的半径为2，则AB 的长为（ ）A.5πB.25πC.35πD.45π6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，59ABD ∠=︒，则C ∠等于（ ）A.29︒B.31︒C.59︒D.62︒7．已知二次函数24y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两个实数根是（ ）B AEDO CEDCBAA.121,1x x ==-B.121,2x x =-=C.121,0x x =-=D.121,3x x ==8．如图，C 是半圆O 的直径AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），过C 作AB 的垂线交半圆于点D ，以点D ，C ，O 为顶点作矩形DCOE ． 若AB =10，设AC =x ，矩形DCOE 的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连接AB .60APB ∠=︒，5AB =，则PA 的长是 ．10．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为_________．11．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若1 42x -<<-，202x <<，则1y 2y .（用“<”，“=”或“>”号连接）12．如图，正方形ABCD 中，点G 为对角线AC 上一点，AG=AB ． ∠CAE =15°且AE=AC ，连接GE ．将线段AE 绕点A 逆时针旋转得到 线段AF ，使DF=GE ，则∠CAF 的度数为____________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解方程：2310x x +-=．14．如图，∠DAB =∠EAC ，AB =AD ，AC =AE ．求证：BC =DE ．EGDCA BEDCBO A OBA POD CBA15．已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式．16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =130°，求∠OAC 的度数．17．若1x =是关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式()2213+m -的值．18.列方程解应用题：某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天； （2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．已知关于x 的方程2(3)30ax a x +--=(0)a ≠. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a 的值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，点G 在直径DF 的延长线上，∠D =∠G =30．（1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若CD =6，求GF 的长．FG D CE O A B空气质量指数22．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．计算1x ，122x x +，1233x x x ++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的价值．例如，对于数列2，1-，3，因为22=，2(1)122=+-，2(1)3433+-+=，所以数列2，1-，3的价值为12． 小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列1-，2，3的价值为12；数列3，1-，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，1-，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12． 根据以上材料，回答下列问题：（1）数列4-，3-，2的价值为______；（2）将“4-，3-，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为______ ，取得价值最小值的数列为___________（写出一个即可）； （3）将2，9-，a (1)a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a 的值为__________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）当15ABC S △=时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C 的直线l :y kx b =+(0)k <与抛物线的另一个交点为D . 该抛物线在直线l 上方的部分与线段CD 组成一个新函数的图象. 请结合图象回答：若新函数的最小值大于8-，求k 的取值范围．xy 123456–1–2–3–4–5–612345678910–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10O24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0120)α<<得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限．以P 为圆心的圆经过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合），过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0≥m ．xPAy OxPAy O（1）若5b =，则点A 坐标是________________； （2）在（1）的条件下，若OQ =8，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2y x =(0)x >的图象上，且△BQP 是等腰三角形. ①直接写出实数a 的取值范围：__________________； ②在12，64，10这三个数中，线段PQ 的长度可以为 ，并求出此时点B 的坐标．备用图海淀区九年级第一学期期中练习2014.11数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案BACADBDA二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 5 ； 10． 4 ； 11． > ； 12． 30°或60°．（注：每个答案2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13.（本小题满分5分）解：∵131a ,b ,c ===-， …………………………………………………………………1分∴2341(1)=13>0∆=-⨯⨯-． … ……………………………………………………2分∴2431322b b ac x a -±--±==．∴1231331322x ,x -+--==． ……………………………………………………5分 14．（本小题满分5分）证明：∵∠DAB =∠EAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC+∠BAE ．∴∠DAE =∠BAC ． ………………………………………………………………1分 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BAC ≌△DAE ． ………………………………………………………………4分 ∴BC =DE ． ………………………………………………………………………5分 15.（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为()225y a x =-+ (0)a ≠．……………………………1分∵二次函数的图象经过点(0,1)．∴()21025a =-+．………………………………………………………………2分 ∴1a =-． …………………………………………………………………………4分 ∴二次函数的解析式为241y x x =-++．………………………………………5分16. （本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°． …………………………………………………………1分 ∵∠ABC =130°，∴∠ADC =180°-∠ABC =50°． …………………………………………………2分∴∠AOC =2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分 ∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA ． ……………………………………………………………4分∴∠OAC =1(180)402AOC -∠=． ……………………………………………… 5分17. （本小题满分5分）解：依题意,得 21420m m -+=. ……………………………………………………2分∴2241m m -=-． ………………………………………………………………3分 ∴()()2222132213245154+=m m m m m --++=-+=-+=． …………5分18. （本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ．…………………………………………………… ……1分 由题意，得()24501288x -=． ……………………………………………… ………2分解方程得 115x =，295x =． ………………………………………………… ……3分经检验，915x =>不合题意，舍去；15x = 符合题意． ……………… …………4分答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. （本小题满分5分）解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的 日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分 由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分所以，P （到达当天空气质量优良）93155==． …………………… ………5分20. （本小题满分5分） 解：（1）∵0a ≠，∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯- ………………………………………………1分()23a =+．∵()230≥a +．∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分 （2）解原方程，得 11x =-，23x a=. ……………………………………………3分 ∵此方程有两个负整数根，且a 为整数，∴1a =-或3-． …………………………………………………………………4分 ∵12x x ≠，∴3a ≠-．∴1a =-． ………………………………………………………………………5分 21. （本小题满分5分） （1）证明:连接OC ．∵OC=OD ，∠D =30°， ∴∠OCD =∠D = 30°．…………………………………1分 ∵∠G =30°，∴∠DCG =180°-∠D -∠G =120°． ∴∠GCO =∠DCG -∠OCD =90°． ∴OC ⊥CG ．又∵OC 是⊙O 的半径．∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴132CE CD ==. ………………………………………………………3分∵在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠OC E =30°，∴12OE OC =，222OC OE CE =+．设OE x =，则2OC x =.∴()22223x x =+.解得3x =（舍负值）．∴23OC =． ………………………………………………………………4分∴23OF =．在△OCG 中，∵∠OCG =90°，∠G =30°， ∴243OG OC ==．∴23GF GO OF =-=． ……………………………………………………5分22. （本小题满分5分）答：（1）53． …………………………………………………………………………………1分（2）12， ………………………………………………………………………………2分 3,2,4--或2,3,4--．（写出一个即可）…………………………………………3分 （3）11或4．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令0y =，即 2(1)0x m x m ---=．解得 11x =-，2x m =． …………………………………………………1分 又∵ 点A 在点B 左侧，且0m >，∴ 点A 的坐标为(1,0)-． …………………………………………………2分（2）由（1）可知点B 的坐标为(0)m ，．∵抛物线与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,)m -． ……………………………………………………3分 ∵0m >，∴1AB m =+，OC m =． ∵15△ABC S =，∴1(1)152m m +=． ∴6m =-或5m =．∵0m >， ∴5m =．∴抛物线的表达式为245y x x =--． ………………………4分（3）由（2）可知点C 的坐标为(0,5)-．xy 123456–1–2–3–4–5–612345678910–1–2–3–4–5–6–7–8OABCD∵直线l ：y kx b =+(0)k <经过点C ，∴5b =-. ………………………………………5分 ∴直线l 的解析式为5y kx =-(0)k <． ∵2245(2)9y x x x =--=--，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为9-，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8-． 令8y =-，即2458x x --=-．解得 11x =（不合题意，舍去），23x =． ∴抛物线经过点(3,8)-．当直线5y kx =-(0)k <经过点(3,8)-时，可求得1k =-．…………………6分 由图象可知，当10k -<<时新函数的最小值大于8-． ………………………7分24．（本小题满分7分） 解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分②不改变，∠BDC 的度数为30．方法一：由题意知，AB=AC=AD ．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2分 ∴∠BDC=12∠BAC =30．……………………………………………………3分 方法二：由题意知，AB=AC=AD ． ∵AC =AD ，∠CAD =α， ∴1801=9022ADC C αα-==-∠∠．…………………………………2分 ∵AB=AD ，∠BAD =60α+，∴()18060120160222ADB B ααα-+-====-∠∠． ∴11(90)(60)3022BDC ADC ADB αα=-=---=∠∠∠．…………3分（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ．∴90AMC ∠=． 在△AEB 与△AMC 中，AEB AMC B ACD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AEB ≌△AMC ． ………………………………………………………4分 ∴AE AM =，BAE CAM ∠=∠．∴60EAM EAC CAM EAC BAE BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=．∴△AEM 是等边三角形．∴EM AM AE ==． …………………………………………………………5分 ∵AC AD =，AM CD ⊥ ， ∴CM DM =． 又90DEC ∠=，∴EM CM DM ==．∴AM CM DM ==． …………………………………………………………6分 ∴点A 、C 、D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上．∴90CAD α=∠=． …………………………………………………………7分 25. （本小题满分8分） 解： （1）（0，10）． …………………………………………………………………1分（2）连接BP 、OP ，作PH ⊥OA 于点H ．∵5,b =PH ⊥OA ， ∴152OH AH OA ===．∵OQ =8，∴3QH OQ OH =-=．在Rt △QHP 中，22229PQ QH PH PH =+=+．在Rt PHO △中，2222225PO OH PH PH BP =+=+=．在Rt △BQP 中，22222(25)(9)16BQ BP PQ PH PH =-=+-+=． ∴4BQ =．……………………………………………………………………3分（3）①1≥a ．……………………………………………………………………………4分②10． ……………………………………………………………………………5分 解：∵△BQP 是等腰直角三角形，10PQ =，HQ PBA O xyMDCAB E∴半径25BP =． 又∵2(,)P a a ，∴2242(25)OP a a =+=． 即42200a a +-=．解得2a =±．∵0a >，∴2a =． ……………………………………………………………………………6分 ∴(2,4)P ．如图，作BM y ⊥轴于点M ，则△QBM ≌△PQH ． ∴2MQ PH ==，226MB QH PQ PH ==-=．∴1(6,66)B +． …………………………………7分若点Q 在OH 上，由对称性可得2(6,26)B -． ……………………………8分综上，当10PQ =时，B 点坐标为(6,66)+或(6,26)-．M HQ P BA O xy。

C D北京四中2015-2016学年度第一学期九年级期中考试数学试卷（时间：120分钟总分：120分）一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．已知，则锐角A 的度数是（） A ． B ． C ． D ． 2．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB =1∶2，若DE =2，则BC 等于（）A ．4B ．6C ．12D ．184．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A ．()231y x =+-B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，1sin 2A =30︒45︒60︒75︒AC ＝3，则CD 的长为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）A ．512B ．513C ．1213 D ．1257. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△BCE 绕点C 旋转得到△ACD ，则cos ∠ABC 的值等于（）A. 33B. 21C. 31 D. 1010第7题第8题8.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线x ＝1，则下列结论：①0,0,a b <<②20,a b ->③0,a b c ++>④0,a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④9. 若抛物线1222-++-=m m mx x y （m 是常数）的顶点是点M ，直线2+=x y 与坐标轴分别交于点A 、B 两点，则△ABM 的面积等于（） A ．6B ．3C ．25D ．23 10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ， AC =6，BD =8，动点P 从点B 出发，沿着B -A -D 在 菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点'P 是 点P 关于BD 的对称点，'PP 交BD 于点M ，若BM =x ，'OPP △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 如果23a b b =-，那么ab=________． 12．已知抛物线522+-=x x y 经过两点A （-2，y 1）和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．MOP'PDBACDAB C13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为m.14．已知在△ABC 中，tan A =43，AB =5，BC =4，那么AC 的长等于. 15．若关于x 的一元二次方程0142=-+-t x x （t 为实数）在270<<x 的范围内有解，则t 的取值范围是__________．16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值等于；（2）当AE +AF 的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF .三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．18．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．ADC B EF图①图②EA19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，， AC=3.（1）求∠B 的度数； （2）求AB 及BC 的长．20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：(2) 求出这个二次函数的解析式； (3) 当y >3时，x 的取值范围为.21．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)，在第一象限内，以原点为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点C 1坐标．xDCBA22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD ．23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE =90°.（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：△CAE ∽△CBF ； （ii ）若BE =1，AE =2，求CE 的长；k FCEF==时，若BE =1，AE =2，CE =3，则k 的值等于.A图1 图225．抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出△ABP 面积的最大值； (3)设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使m S ABQ =∆，则m 的值等于.26. 有这样一个问题：探究函数11-+=x x y 的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数11-+=x x y 的图象与性质进行了探究. 下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围是___________； (2)下表是y 与x 的几组对应值(3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.x27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1+=x y 交于点A ，点A 关于直线1-=x 的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象， 求a 的取值范围.28．如图1，△ABC 为等腰直角三角形，∠C =90°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0°≤α≤180°）得到线段AQ . （1）直接写出APPF的值为；（2）如图2，当α=180°时，延长BE 到D 使得ED =BE ，连接QD ，证明QD ⊥BD ；（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当△AMP 为等腰三角形时，△AMP 的底角正切值为.图1 图2图329．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y 、抛物线③（t ，2）旋转180°得到抛物线C 2，若抛物线C 1与C 2关联，求抛物线C 2的解析式；（3）A 为抛物线C 1：()69812++-=x y 的顶点，点B 为与抛物线C 1关联的抛物EBD线的顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在直线x上?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．=-10参考答案一、选择：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 AABCCBDCBD二、填空： 16．（Ⅰ）561+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭……………… 3分 题号 1112 13 14 15 16答案35 12y y ＞ 2474±13<≤-t 2615+121.2= ……………… 5分 18．解：∵在△ABC 中，∠B =90º，∴∠A +∠ACB = 90º． ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD =90º． ∴∠A =∠ECD ． ……………………2分∵在△ABC 和△CDE 中，∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º， ∴△ABC ∽△CDE ．………………………3分 ∴DEBC CDAB =．……………………4分∵AB = 3，DE =2，BC =6，∴CD =1． ……………………5分19．解：（1）∵在△ACD 中，90C ∠=︒，CD =3，AC =3，∴tan 3CD DAC AC∠==．∴∠DAC =30º． ………………………1分∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠DAC =60º． ……………2分 ∴∠B =30º．…………………………………3分(2) ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B =30º，AC =3， ∴AB =2AC =6．………………………4分tan AC BC B===……………………5分20．解：(1) m 的值为 3 ； 1分 (2) 二次函数为y =a （x -2）2−1 2分 ∵过点（3，0）∴a=1 y =x 2-4x +3 3分(3) 当y >3时，x 的取值范围为x <0或x >4 . 5分21. C 1坐标（8,6）．22. 3160200+米23．设房价为（180+10x ）元利润y=(180+10x ）（50-x)-(50-x)20 =-10x 2 +340x+8000当x=17即房间定价为180+170=350的时利润最大.25．（1）322++-=x x y（2）当=x ABP 面积的最大值是827.（3）82726.（1）1≠x ；（2）313=m ；（4）增减性，对称性，最值等27. （2）122-+=x x y ，顶点（-1，-2）；（3）292<≤a .28．（1）2；（2）作AH ⊥BD 于D ，证明△APH ∽△QPD ，得证；（3） 43，13或3.29.（1）②1分（2）21781218122-+=-+=)x (y ,)x (y 5分。

海淀区九年级第一学期期中测评数 学 试 卷（分数：120分 时间：120分钟） 2015.11学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．2,1,3B ．2,1,3-C ． 2,1,3-D ．2,1,3-- 2．下列图形是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定5．将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+ D ．()22y x =-6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为A ．9πB ．6πC ．3πD ．π 7．用配方法解方程243x x +=，下列配方正确的是A ．()221x -= B ．()227x -= C ．()227x += D ．()221x +=8．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选 项中不正确．．．的是 A ．0a < B ．0c >C ．0 <12ba-< D ．0a b c ++<9．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若 33=∠DBC ，则A ∠等于A ． 33B ．57C ．67D ．6610．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表：x /分 … 2.66 3.23 3.46 …y /米…69.1669.6268.46…下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是A ．7分B ．6.5分C ．6分D ．5.5分 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．方程240x -=的解为_______________．12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________． 13．若二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、(3,)B b ， 则a____b （填“<”或“=”或“>”）．14．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC =100°，则∠ABC =______°．15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x 为_______米（2取1.4）．16．如图，O 是边长为1的等边△ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α（0180α︒<<︒），得到'AB 、'BC 、'CA ，连接''A B 、''B C 、''A C 、'OA 、'OB ． （1）''A OB ∠=_______〬；（2）当α= 〬时，△'''A B C 的周长最大．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：232x x =-．18．若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．19．已知点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，求此抛物线的对称轴．20．如图，AC 是⊙O 的直径，P A , PB 是⊙O 的切线，A , B 为切点， 25=∠BAC ．求∠P 的度数．21．已知x =1是方程2250x ax a -+=的一个根，求代数式23157a a --的值．22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1.6m ．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m ，求水面下降的高度．23．已知关于x 的方程)0(0)3(32>=---a a x a x . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计为多高（5取2.2 ）．25．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，AB =2，AC =2，AD =1，求∠CAD 的度数．26．抛物线21y x bx c =++与直线22y x m =-+相交于A (2,)n -、B (2,3)-两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若14≤≤-x ，则21y y -的最小值为________.27.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D . P 为AB 延长线上一点，2PCD BAC ∠=∠. （1）求证：CP 为⊙O 的切线； （2）BP =1，5CP =. ①求⊙O 的半径；②若M 为AC 上一动点，则OM +DM 的最小值为 .28.探究活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象(如图1)和性质，探究函数(1)(2)y x x =--的图象与性质.下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)函数(1)(2)y x x =--的自变量x 的取值范围是___________；(2)如图2，他列表描点画出了函数(1)(2)y x x =--图象的一部分，请补全函数图象；图1 图2解决问题：设方程1(1)(2)04x x x b ----=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <.若12b <<，则1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为 （用“<”连接）．29．在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 与x 轴负半轴交于点A ，点M 在⊙O 上，将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q . 点N 为x 轴上一动点（N 不与A 重合 ），将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P . PQ 与x 轴所夹锐角为α. （1） 如图1，若点M 的横坐标为21，点N 与点O 重合，则α=________︒； （2） 若点M 、点Q 的位置如图2所示，请在x 轴上任取一点N ，画出直线PQ ，并求α的度数；（3） 当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为_________.图1 图2 备用图海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案DAAABBCDBC二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题 号 111213 14 1516 答 案 ,21=x 22-=x21y x =+（答案不唯一）<1300.6120，150三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：2320.x x -+= ……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分 ∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵P A ,PB 是⊙O 的切线，∴P A =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥P A ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==． …………………………2分 在Rt △OAM 中，∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明： 22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m. …………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分 解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º． 在Rt △ACB 中， ∵2=AB ，2AC =，∴2BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º．∴CAD ∠为15º或105º． …………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ），∴5n =．……………………………………………2分∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ， ∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b ∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b ∴3221--=x x y ．……………………………………………4分（2）12-. ……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º．∴∠PCD+∠OCD =90º．∴∠OCP =90º．∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分（2）解：①设⊙O 的半径为r .在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=． ∵1,5,BP CP == ∴222(5)(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分 ②2143． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分（2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29. 解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒.∴AMN QMP ∠=∠. ∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分∴MAN MQP ∠=∠.∵AEM QEF ∠=∠，∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分（3）（32，12）或（32-，12-）. ………………………8分x yF E P Q AO MN。

2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（一元二次方程）一、填空题1．一元二次方程2x2+3x﹣4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ．2．一元二次方程（x﹣4）2+5=6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ．3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根是0，则m的值是 ．4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 ．二、解答题5．解下列方程．（1）x2=3x（2）（x﹣1）2=4（3）x2+4x=1（4）x2+3x﹣1=0（5）x2﹣3x=4x﹣6（6）（x+3）（x﹣1）=5．6．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．7．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．8．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x+2=0有两个实数根，求正整数m的值．9．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．10．列方程解应用题：（1）如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（2）一个矩形的长比宽多2，面积是24，求矩形的长．2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（一元二次方程）参考答案与试题解析一、填空题1．一元二次方程2x2+3x﹣4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　2，﹣3，4　．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0），a、b、c分别是二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：2x2+3x﹣4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，﹣4，故答案为：2，3，﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0），a、b、c分别是二次项系数，一次项系数，常数项．2．一元二次方程（x﹣4）2+5=6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　1、﹣14、21　．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】去括号，移项，合并同类项，可将方程化成一元二次方程的一般形式．【解答】解：由（x﹣4）2+5=6x得到：x2﹣14x+21=0．二次项的系数是1，一次项系数是﹣14，常数项是21．故答案是：1、﹣14、21．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，然后可确定二次项系数，一次项系数和常数项．3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根是0，则m的值是　﹣1　．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=0代入方程即可得到一个关于m的方程，即可求得m的值．【解答】解：根据题意得：m2﹣1=0且m﹣1≠0解得：m=﹣1故答案是：﹣1．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为　4　．【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4k=0，解得k=4．故答案为4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．二、解答题5．解下列方程．（1）x2=3x（2）（x﹣1）2=4（3）x2+4x=1（4）x2+3x﹣1=0（5）x2﹣3x=4x﹣6（6）（x+3）（x﹣1）=5．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）利用直接开平方法求出方程的解；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解；（5）将方程整理为一般形式，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（6）先去括号，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x=0，即x（x﹣3）=0，可得x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3，（2）∵（x﹣1）2=4，∴x﹣1=±2，∴x1=3，x2=﹣1；（3）解：由原方程配方，得x2+4x+22=1+22．∴（x+2）2=5，∴x+2=±，解得，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（4）解：x2+3x﹣1=0，这里a=1，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=9+4=13＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（5）x2﹣3x=4x﹣6，整理得：x2﹣7x+6=0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣6）=0，可得x﹣1=0或x﹣6=0，解得：x1=1，x2=6．（6）∵（x+3）（x﹣1）=5，∴x2+2x﹣3=5，∴x2+2x﹣8=0，∴（x+4）（x﹣2）=0，∴x+4=0或x﹣2=0，∴x1=﹣4，x2=2．【点评】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．6．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=1代入已知方程可以求得2m2﹣4m=﹣1，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．【解答】解：依题意，得1﹣4m+2m2=0，∴2m2﹣4m=﹣1，∴2（m﹣1）2+3=2（m2﹣2m+1）+3=2m2﹣4m+5=﹣1+5=4．即2（m﹣1）2+3=4．【点评】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．7．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x+2=0有两个实数根，求正整数m的值．【考点】根的判别式．【分析】根据方程（m﹣1）x2+3x+2=0有两个实数根可得m﹣1≠0，△=32﹣4×（m﹣1）×2≥0，解不等式求得m的范围即可得答案．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x+2=0有两个实数根，∴m﹣1≠0，△=32﹣4×（m﹣1）×2≥0，解得：m≤且m≠1，∴正整数m的值为2．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．9．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．列方程解应用题：（1）如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（2）一个矩形的长比宽多2，面积是24，求矩形的长．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设切去得正方形的边长为xcm，得出盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，再根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．（2）设矩形的长为x，则宽为（x﹣2），根据矩形的面积公式列出方程并解答．【解答】解：（1）设铁皮各角应切的正方形边长为xcm，由题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）=3600，解得：x1=5，x2=70（不合题意，舍去），答：铁皮各角应切去边长为5cm的正方形．（2）设矩形的长为x，则宽为（x﹣2），则x（x﹣2）=24，解得x1=6，x2=﹣4（舍去）．答：矩形的长为6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。

北京市海淀区初三数学第一学期期中试题及答案初中数学海淀区九年级第一学期期中练习数学试卷答宴及谗分捻考16医号9 10 11 12•'•斗=4內=-2・ .................. ................................ 5分x-l»±3.A x} «4.r;■・2・................. ….................................. 5分14.计％彳34（护*声・1卜（一2）°.tt： ®St-2v3-3+^3-l^l ............................................ ........................2 •=373-4-1,15.计算2 (272-3)(72 + 1). 解：原式=4 42的一 3运一31-72.16.解法r 违按OC.OZXA ZJCO = 90°. Z/DO = 90°「・•\ m } +2m-5 = 0.•*• rn‘+・5/w ・9-刃（亦十2加-5）-9V AO&^B 的I ［径，C. £）两点在上.4 RtA ACO 和 RtA /DO 中.促OB 的宣径• C\ D 两点在O B 匕Z^CC? = 90% "DO 二AC. AD 3分4分AD^S.解法二连接OC.OD2分••• AC^ADr4分I 4C-5. A 4D = 5.AC^ AD.\OC^OD. imo ・ 0••• RtA ACO 4 RU ADO.7.風 I 刖她方程，+ 2上一5M 0的一个根.$分2 •18・解! （I ） •即为所球.（不写结论的不扣分） 3C.......................................................... 3分（2） 2鬲・ .............................. 3分 四.解备题（本題共20分.毎小題5分） 19・解：设这种药品平均每次降价的百分率足工 依题意.得200(1-x)2 =不合注意■舍去〉. 解鸭勺亦2卫 卒 这种药品号均毎伙降价的百分20%・ .............20・解，如田•当弦CQ 与半径。

北京市一五九中学2015-2016学年度第一学期九年级期中数学试题班姓名 学号得分一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知1sin 2A =，则锐角A 的度数是（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒2.已知△ABC ∽△DEF ，且AB :DE =1:2，则△ABC 的周长与△DEF 的周长之比为（ ） A ．2:1 B ．1:2C ．1:4 D ．4:13．如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形共有（）A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对4．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若72AOB ∠=︒，则ACB ∠的度数是( ) A ．18° B ．30° C ．36° D ．72°5．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一 个条件，不正确．．．的是（ ）. A ．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABC C．AD AB AB AC = D ．AB CBBD CD=6. 如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，AB OC ⊥，垂足为E ，如果2=CE ，那么AB 的长是（ ） A ．4B. 6 C. 8 D. 107.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于D ， 如果:4:3AC BC =，AB=10cm,那么BD 的长为（ ） A ．3cmB ．32cm C ．6cm D.12cm8. △ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．12B ．312C ．324D ．348321EDCBA9.下列说法错误的是（ ）A ．直径是圆中最长的弦B ．圆内接平行四边形是矩形C ．90°的圆周角所对的弦是直径D ．相等的圆周角所对的弧相等10．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 、E 都在小正方形的顶点上. 则tan ∠ADC 的值等于（）.A ．33B ．21C ．31 D ．1010二、填空题（每小题4分,共24分） 11. 若3x =4y ,则y-x yx 的值为 . 12．在□ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB =7，CF =3，则CEAD= ． 13.△ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC ＝，则∠A 的度数为 .14.圆内接四边形ABCD 中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=，∠B=，∠C=，∠D=。