复变函数测试题一

第一章 复数与复变函数（一） 本章主要知识 一．复数及其代数运算 1．复数的概念 2．复数的代数运算设两个复数12,z a bi z c di =+=+，复数的四则运算定义为 ()()()(a i b c i d a c i b d+±+=+±+ ()()()(a i b c i d a c b d i b ca d+⋅+=-++ 222222()(),0ac bd bc ad a ib c id i c d c d c d+-+÷+=++≠++ 二．复数的几何表示 1．复平面① 模—||z z a bi ==+其中 ② 辐角—,,tan()yArgz z a bi Argz xθ==+=其中 ③ 复数的三角表示式—(cos sin )z r i θθ=+ ④ 复数的指数表示式—i z re θ=2． 复球面三．复数的乘幂与方根 1．乘积与商① 两个复数乘积的模等于模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于辐角的和。

② 两个复数商的模等于它们模的商; 两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。

2．乘幂与方根 幂:(cos sin )n n z r n i n θθ=+方根:22sin)k k i nnθπθπ++=+，当0,1,,1k n =- 时，有n个相异的根。

四．区域 1．基本概念①距离;②领域;③去心领域;④内点;⑤开集;⑥区域;⑦边界点;⑧闭区域;⑨有界;⑩圆环域。

2． 单连通域与多连通域单连通区域—对于区域D ，D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D ，则称D 为单连通区域。

复连通区域—不是单连通区域的区域。

五．复变函数1．复变函数)(z f w =的定义类似于数学分析中实函数)(x f y =的定义，不同的是前者)(z f w =是复平面到复平面的映射。

2．反函数 3．映射六． 复变函数的极限与连续 1． 复变函数的极限 2．复变函数的连续重点：1．复习复数的基本概念 2．计算有关复数的典型题3．乘积与商的运算4．复变函数的极限与连续 难点：1．复球面2．开集与闭集的概念 3．极限的定义 （二） 本章作业 一．单项选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ）A. iB. -iC. 1D. -1 2．使得22z z =成立的复数z 是（ ） A.不存在 B.唯一的 C.纯虚数 D.实数。

新高考数学《复数》专题解析一、选择题1．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.2．若复数21z i i =+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）AB C D ．5【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.【详解】 22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.3．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题4．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +【答案】C【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--， 则2z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2C ．5D ．3【答案】D【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.6．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.8．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．9．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则222m i i +=-（ ） A ．iB ．1C ．- iD ．1-【答案】A【解析】 因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20{240m m m >⇒=-=，故22(1)222(1)m i i i i i ++==--，应选答案A ．10．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）A ．8-B ．8+C ．1+D ．8【答案】B【解析】【分析】根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.【详解】|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为)221(18=+=+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12．复数12i 2i +=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i - 【答案】A【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.13．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2C ．D 【答案】D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi15．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.16．复数1122i i ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310- 【答案】A【解析】【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122i i ++的虚部为110. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 17．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-， 则221310()()22z =+=，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -．18．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则； ③若，则． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.19．若复数满足，则复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以， 因此复数的虚部为，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为20．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。

《复变函数》考试试题与答案（一）《复变函数》考试试题（一）一、判断问题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若{Zn}收敛，然后{rezn}{imzn}与都收敛了（）4.若f(z)在区域d内解析，且f'（z）？0，那么f（z）？C（常数）5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点.()7.若Z如果z0limf（Z）存在且是有限的，那么z0是函数f（Z）（）8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?d).()9.若f(z)在区域d内解析,则对d内任一简单闭曲线c? cf（z）dz？0()10.如果函数f（z）在区域D的圆中是常数，那么f（z）在区域D中是常数（II）填充空格（20点）dz?__________.（n为自然数）1、?| Zz0 |？1（z？z）n022sinz？科兹。

二3.函数sinz的周期为___________.f（z）？4.设计?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.n5。

幂级数?nzn?0的收敛半径为__________.6.如果函数f（z）在整个平面上的任何地方都被分解，则调用它_____7.若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n，则______________.limezres（n，0）？z8.____________;其中n是一个自然数sinz9.的孤立奇点为________.ZLMF（z）？_____;ZF（z）的极点，那么z？z010。

如果0是三.计算题（40分）：1.设计1f(z)?(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz.？|z |？Cosz2。

3?2?7??1f(z)??d?c??z3.设，其中c?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).W4.找出复数z?1z?1的实部与虚部.证明问题（20分）1函数是常数。

第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ）A ．iB ．1C ．2D ．2i2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i i z +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11iz +-是实数，则z =（ ） A ．－i B ．i C ．－2i D ．2i4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2i i 1i b a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i +B ．12i +C ．32i --D ．32i + 5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i 1i a ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．36．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ）A ．||||||ab a b =B ．10a a +≠C ．()20a b +≥D ．22a a = 7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个.A ．9B ．10C ．11D ．无数 二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z z B ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为211．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z = D ．2021132z = 12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限B ．i 2e π为纯虚数C i3i x +12 D ．i 6e π的共轭复数为132- 三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________.14．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可)16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围.18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-. （1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模．22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．。

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =-+=-其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=-，且21z z =，则实数a 的值为（）A .1B .1-C .1或1-D .1±或03.复数：满足31i z z +=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A 2i-B .2C .2-D .2i 6.定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i i z z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（）A .11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1,1)C .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(1,1)-8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21i z +-是实数，则z =（）A .2i -B .1i 2-C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（）A .1B .1-C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（）A .满足i i z z -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ∈R g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+-+++∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =-（i 为虚数单位），则z z=________.16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+-，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ∈R ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =--+--是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +-=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，,m n ∈R ，求+m n 的值；（2）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，,m n ∈R ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+-=+--+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z ωθθ∈+=+=-C （θ为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =-+=-Q ，1234i 23i 1i z z ∴+=-++-=-+，12z z ∴+在复平面内对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =-，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则33i 1i i x y x y ++=+-，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+-，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=-+Q ，z ∴在复平面内对应的点的坐标为(4,7)-，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==-+，所以z 的虚部为2-，故选C .6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+，42i 3i 1iz +∴==-+，对应的点的坐标为(3,1)-，位于第四象限，故选D .7.【答案】A【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++--+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，∴设i z b =（b ∈R 且0b ≠），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++-+===++---+，又21i z +-Q 为实数，1(2)02b ∴+=，即2b =-，2i z ∴=-.9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =-=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”的d 为i -；同理，当i c =-时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d ∴++=-.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z -=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+--=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，∴“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ⋅∈R ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ∈R ，则z z ⋅∈R .∴“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ⎧+-=⎪⎨++≠⎪⎩即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、1316【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，240,20,a a ⎧-=⎪∴⎨-≠⎪⎩解得2a =-，4i z ∴=-，4i z =，114i z ∴+=-=，=16z z ⋅.14.【答案】1-【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z ∴=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++∴===---+，其共轭复数为i -，∴其共轭复数的虚数是1-.15.【答案】34i 55+【解析】依题意得，34i 55z z ==+.16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM =uuu r ，所以1210M M =uuuuu u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==uuur uuur uuuuu u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+∈R ，则由13i z z =+-13i i 0a b -++=，10,30,a b -=∴-=⎪⎩解得4,3,a b =-⎧⎨=⎩43iz ∴=-+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++-++++∴====+-+--+.18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩即251,53,m k m m m ⎧==-⎪⎨≠≠-⎪⎩或且解得1m =-.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z -===++-，从而1i z =-，所以2i (1i)2i 1i z +=-+=+.19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n -+-=，(1)2i 0n m m ∴--+=，10,20,n m m --=⎧∴⎨=⎩解得1,0,n m =⎧⎨=⎩1m n ∴+=.（2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n -+-+-=，(4)(24)i 0n m m ∴--+-=，40,240,n m m --=⎧∴⎨-=⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.解法二：2i 1-Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，∴12i --也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n -++--=-⎧⎨-+--=-⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ⎧⎪-⎨⎪-⎩＜＜解得1,5,2a a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）解：()22310i 5z a a =+-+Q ()22310i 5z a a ∴=--+()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a ⎡⎤∴+=+-+--=++---⎣⎦-++-.12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a ∴---=≠≠且.由()225100a a ---=得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍）.12(25)i 1i 1z a a ∴=+-=-+-，1z ∴=21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22ππ＜，因此cos2＜0，sin 20＞，∴点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。

大连理工大学二O O 五年硕士生入学考试《自动控制原理（含20%现代）》试题一、（15分）试求图1所示电路的传递函数U c (s) / U r (s) 。

二、（20分）给定系统结构如图2所示。

1．设r(t)=n 1(t)=n 2(t)=1(t), 试求系统的稳态误差e ss ;2．在r(t)=n 1(t)=n 2(t)=1(t)情况下，如何使稳态误差e ss =0。

三、（25分）已知负反馈系统的开环传递函数为1．试绘制以K 为参量的根轨迹图；2．试求系统处于临界稳定状态时的闭环极点。

四、（15分）已知负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)=)1)(5()1(10-++s s s ,试绘制开环幅相特性曲线，并应用奈奎斯特判据判断系统的稳定性。

五、（15分）已知负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)=)50)(5(2500++s s s ，并绘制开环频率特性对数坐标曲线，并计算相角裕度。

六、（15分）给定系统微分方程为,试确定奇点位置及类型，并绘制相平面草图。

七、（15分）设系统结构如图3所示。

试求C(z)，并判断K=1时系统的稳定性。

八、（10分）已知离散系统的状态方程为a>0，试用李雅普诺夫第二方法确定使平衡点渐进稳定的a取值范围。

九、（20分）给定系统结构如图4所示。

1．试建立系统的状态空间描述；2．试设计状态反馈阵，使系统闭环极点位于-2，-2处；3．K是否可以取为0.5，为什么？大连理工大学二O O 四年硕士生入学考试《自动控制原理（含30%现代）》试题一、（15分）试求图1所示电路的结构图和传递函数。

二、（10分）已知系统的特征方程为： s 4+2.5s 3+2.5s 2+10s -6 = 0 试求特征根在S 平面上的分布。

三、（10分）试求系统的单位脉冲响应。

四、（20分）设系统的开环传递函数为：1. 试绘制根轨迹图（可能的分离点为：-1.2、-1.6、-2.6、-2.9、-3.5）；2. 试求出分离点处的K 值。

1. 一个项目的输入输出端口是定义在 A 。

A. 实体中B. 结构体中C. 任何位置D. 进程体2. 描述项目具有逻辑功能的是 B 。

A. 实体B. 结构体C. 配置D. 进程3. 关键字ARCHITECTURE定义的是 A 。

A. 结构体B. 进程C. 实体D. 配置4. MAXPLUSII中编译VHDL源程序时要求 C 。

A.文件名和实体可以不同B. 文件名和实体名无关C. 文件名和实体名要相同 D. 不确定5. 1987标准的VHDL语言对大小写是 D 。

A. 敏感的B. 只能用小写C. 只能用大写D. 不敏感6. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 A 。

A必须以英文字母开头B可以使用汉字开头C可以使用数字开D任何字符都可以7. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 B 。

A下划线可以连用B下划线不能连用 C不能使用下划线 D可以使用任何字符8. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。

A. A_2B. A+2C. 2AD. 229. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。

A. a_2_3B. a_____2C. 2_2_aD. 2a10. 不符合1987VHDL标准的标识符是 C 。

A. a_1_inB. a_in_2C. 2_aD. asd_111. 不符合1987VHDL标准的标识符是 D 。

A. a2b2B. a1b1C. ad12D. %5012. VHDL语言中变量定义的位置是 D 。

A. 实体中中任何位置B. 实体中特定位置C. 结构体中任何位置D. 结构体中特定位置13. VHDL语言中信号定义的位置是 D 。

A. 实体中任何位置B. 实体中特定位置C. 结构体中任何位置D. 结构体中特定位置14. 变量是局部量可以写在 B 。

A. 实体中B. 进程中C. 线粒体D. 种子体中15. 变量和信号的描述正确的是 A 。

A. 变量赋值号是:=B. 信号赋值号是:=C. 变量赋值号是<=D. 二者没有区别16. 变量和信号的描述正确的是 BA. 变量可以带出进程B. 信号可以带出进程C. 信号不能带出进程D. 二者没有区别17. 关于VHDL数据类型，正确的是 C 。

第五章 线性系统的频域分析法单元测试题（A ）一、填空题：1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是_ __。

2、控制系统中的频率特性反映了 信号作用下系统响应的性能。

3、已知传递函数ss G 10)(=，其对应的幅频特性A(ω)=_ _，相频特性φ(ω)=___ ___。

4、常用的频率特性图示方法有极坐标图示法和_ _图示法。

5、对数频率特性曲线由对数 曲线和对数 曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。

6、0型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。

7、I 型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。

8、Ⅱ型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。

9、除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于 。

10、传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于 0dB 线对称，对数相频曲线关于 线对称。

11、惯性环节的对数幅频渐进特性曲线在交接频率处误差最大，约为 。

12、开环幅相曲线的起点，取决于 和系统积分或微分环节的个数。

13、开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中 和 的阶次和。

14、当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的 。

15、复变函数F(s)的零点为闭环传递函数的 ，F(s)的极点为开环传递函数的 。

16、系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称为 。

17、系统开环频率特性上相位等于-1800时所对应的角频率称为 。

18、延时环节的奈氏曲线为一个 。

19、ω从0变化到＋∞时，惯性环节的频率特性极坐标图在__ _象限，形状为___ ___。

20、比例环节的对数幅频特性L(ω)＝ dB二、单项选择题 （在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。

）1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是( )。

A.脉冲函数B.斜坡函数C.阶跃函数D.正弦函数2、比例环节的频率特性相位移θ(ω)=( )。