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第二章 恒星内部的辐射转移过程与不透明度第一节 辐射场性质的宏观描述1. 辐射强度在dt 时间内，沿s 方向通过面元d σ，在立体角d Ω和频率间隔d ν内的辐射能为dE ν，那么辐射强度I ν定义为：dtd d d dE I Ω=νσθννcos其中θ是面元d σ的法线方向n 与辐射方向s 之间的夹角。
如果I ν与方向无关，则辐射场称为各向同性辐射场。
将I ν对所有方向求平均，可以得到平均辐射强度： ⎰⎰⎰=Ω=ππνννθθϕππ20sin 4141d I d d I J对各向同性辐射场，I ν ＝ J ν。
2. 辐射能量密度沿s 方向传播的辐射能，dt 时间内将充满dV 体积。
利用此性质，并对角度积分，就得到辐射能量密度νννπσθσθJ cd dtd c dt d I u 4cos cos =Ω=⎰对于各向同性辐射场，ννπI c u 4=3. 辐射通量对穿过面元d σ的辐射能对所有方向积分，就得到穿过该面元的辐射能通量：⎰⎰⎰=Ω=πνπννθθθϕθ020sin cos cos d I d d I F辐射通量F ν是一个与面元法向n 有关的量。
4. 辐射压强光子的能量-动量关系为E=pc ＝h ν。
辐射在传递能量的同时，也传递动量，由此产生辐射压强。
辐射能dE ν伴随的动量是dE ν/c 。
将其投影在d σ法线方向，并对所有方向和频率积分，就得到辐射压强：⎰⎰⎰⎰Ω==d cI d dtd dE cd P R θνσθννν2cos cos 1对于各向同性辐射场， uI cP R 3134==π第二节 辐射与物质的相互作用1. 辐射与介质相互作用的微观过程辐射与介质的相互作用可以分为两类：（1）散射过程：光子与粒子发生碰撞，其方向和频率会发生变化。
散射过程中光子数是守恒的，入射方向辐射强度减弱，但其它方向辐射强度增加。
例如：光子在自由电子上的散射：汤姆孙散射和康普顿散射光子在束缚电荷上的散射：分子的瑞利散射。
（2）吸收与发射过程：原子可以吸收光子，从低能态跃迁到高能态；也可以发射光子，从高能态跃迁到低能态。
例如：光致电离（束缚-自由跃迁）：原子吸收光子后发生电离。
入射光子能量等于电离能加上自由电子的动能，产生从某频率开始的连续谱吸收。
光致激发（束缚-束缚跃迁）：原子吸收光子后从低能态跃迁到高能态。
入射光子能量等于两能态能量差，产生谱线吸收。
轫致辐射（自由-自由跃迁）：自由电子与离子碰撞时产生，电子能量减少时发射辐射，电子能量增加时吸收辐射。
产生连续谱吸收。
气体原子吸收了入射光子能量后，将从低能级跃迁至高能级。
随后，可能发生两种不同的复合跃迁过程而从高能级返回低能级：自发跃迁：激发原子自发从高能级跃迁回低能级，此时发射出的光子是各向同性的。
感应跃迁：激发原子在入射辐射的感应作用下发生复合，此时发射的光子与入射光子方向相同。
2. 吸收系数介质可以吸收辐射能。
对于入射辐射I ν，穿越一介质层ds 后其强度减弱了dI ν，则定义该层介质的吸收系数κν为：dsI dI νννρκ-=这样定义的吸收系数为单位质量物质的吸收系数，又称为不透明度。
如果单个粒子的吸收截面为a ，那么有：ννρκna ＝其中n 是粒子数密度。
3. 发射系数介质不但会吸收辐射，还能够发射辐射。
设经过一介质层ds 后辐射强度增加了dI ν，那么定义发射系数ην为：dsdI ννρη=这样定义的发射系数为单位质量物质的发射系数。
发射过程也分可为真发射和散射发射。
真发射系数代表各向同性的自发发射系数，而感应发射的光子由于与入射光子同方向，可以当做“负吸收”来处理。
4. 爱因斯坦概率系数介质的真发射和真吸收过程之间是有联系的，可以用爱因斯坦概率系数进行研究。
设介质中原子的两个能态为m 能态和n 能态，并且E n > E m 。
定义自发跃迁概率系数A nm 为单位时间一个原子从高能态E n 跃迁到低能态E m 的概率。
受激发射概率系数B nm 定义为，在入射辐射I ν的作用下，一个原子单位时间内从高能态E n 跃迁到低能态E m 的概率。
吸收过程必定是受激的。
定义吸收概率系数B mn 为，单位时间内一个原子吸收入射辐射I ν的一个能量为h ν的光子，因而从低能态E m 跃迁到高能态E n 的概率。
上述系数是原子固有的性质，与原子所处环境无关。
于是我们可以利用热动平衡条件来推导这些系数之间的关系。
设m 能态的原子数密度为N m ，n 能态的原子数密度为N n 。
在热动平衡条件下，各能级间的跃迁和复合应该是处于平衡状态的，这叫做细致平衡原理。
于是，发射光子的跃迁数应该等于吸收光子的跃迁数：()ννI B A N I B N nm nm n mn m +=或者写成： 1/-=nmn mn m nm nm B N B N B A I ν在热动平衡条件下，各能级上的粒子占据数服从玻尔兹曼分布：kTh mn mn eg g N N /ν-=辐射强度满足普朗克函数：()112/23-==kTh ech T B I νννν比较上面两个式子，可以得出：nm n mn m B g B g =nm nmnm B ch A 232ν=这两个关系叫做爱因斯坦关系。
第三节 辐射转移方程1. 平面平行层的辐射转移方程辐射穿越一介质层ds 后，其强度变化应满足：dsds I dI ννννρηρκ+=－设辐射方向s 和坐标轴方向z 的夹角为θ，则dz ＝cos θds ＝μds ，于是辐射转移方程可以写成： ()νννννννρκρηρκμI S I dzdI -=+=－式中S ν称为源函数。
引入光学深度d τν＝－ρκνdz ，则辐射转移方程又写为： νννντμS I d dI －=2. 辐射转移方程的通解将辐射转移方程两边乘以积分因子exp(-τν/μ),得到：()μτνμτννννμτ//1--=eS eId d －积分上式得到：⎰--+=ννντνμνμτνννμτ0//)()0(dt eS e I I t不难看出，右边第一项代表入射辐射的贡献，第二项代表介质层的贡献。
（1）设源项S ν＝0,则有：μτννν/-=eI I inout（2）设入射辐射I νin ＝0,则有：⎰-=νντνμννμ/dt e S I tout设介质处于热动平衡状态并具有均匀的温度，则S ν＝B ν。
于是有：()μτντνμνννννμ/0/1---==⎰eB dt eB I t out3. 辐射转移方程的渐近解当光学深度τν很大时，可以将辐射强度I ν展开成角度μ的级数：＋＋＋2210)(μμμννννI I I I =代入到辐射转移方程中，并利用S ν＝B ν，得出：ννννμτμB I d dI n n nn n n －∑∑∞=∞=+=1由于上式对所有角度都成立，故两边角度μ指数相同的项的系数应该相等：ννB I =0 ννντd dB I =1222ννντd B d I =⋯⋯于是得到：＋＋＋222)(μτμτμννννννd B d d dB B I =取前两项近似，辐射能量通量可以表示为：dz dTdT dB d dB d d dB B d I d F ννννπνννππννρκπτπθθθθτπθθθϕ3434sin cos cos 2 sin cos 020-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈=⎰⎰⎰＋4. 灰大气模型如果不透明度与辐射频率无关，称为灰大气模型。
将辐射转移方程对所有频率积分，得到： SI d dI －=τμ将此方程对所有角度积分，得到：()S J d dF －πτ4=对处于辐射平衡状态的恒星大气，所有能量都是由辐射传递的，于是辐射通量是一个常数，得到J=S 。
代回辐射转移方程，得到一个关于I 的微分-积分方程。
将辐射转移方程两边乘以μ，再对角度积分，得到：()Fd S I d I d d =Ω=Ω⎰⎰μμτ－2对于各向同性的辐射场，I ＝J ，于是得到：Fd dJ πτ43=积分得到平均辐射强度随光学厚度变化的关系为： ()C F J +=τπ43在光学厚度很大的地方，辐射场基本上是各向同性的，上述近似有效。
但在光学厚度很小时，上述近似失效，C 将是光学深度的函数。
Eddington 假定C 总是一个常数，在无向内入射辐射的边界条件下，求得C ＝2/3。
这样的模型称为Eddington 灰大气模型。
在局部热动平衡条件下,J ＝I ＝B,得到灰大气温度分布为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=324344τeff T T第四节 恒星物质的不透明度1. 不透明度恒星物质的不透明度主要由束缚-束缚跃迁过程、束缚-自由跃迁过程、自由-自由跃迁过程和散射过程产生的吸收组成，可以表示为：()effif ijσκκκκν+++=∑其中：κij 代表束缚-束缚跃迁过程的贡献κif 代表束缚-自由跃迁过程的贡献 κff 代表自由-自由跃迁过程的贡献 σe 代表散射过程的贡献如果单个粒子的吸收截面为a ν，那么有：ννρκna ＝其中ρ是密度，n 是粒子数密度。
2. 束缚-束缚跃迁过程一个原子吸收频率为νij 的光子，发生从低能态i 到高能态j 的跃迁。
由于能级i 有一定展宽，用ϕν表示其轮廓函数。
同样地，用ψν表示能级j 的轮廓函数。
轮廓函数应满足归一化条件：10==⎰⎰∞∞νψνϕννd dϕν也被称为吸收轮廓，而ψν被称为发射轮廓。
在通常情况下，可以认为ϕν＝ψν，称为完全再分布假设。
单位体积内， （1）光致跃迁数目：ννϕI B n ij i（2）自发复合数目：ji j A n νψ（3）光致复合数目：ννψI B n ji j一般将光致复合效应当做负吸收而归并到吸收系数中。
于是，利用爱因斯坦关系和完全再分布假设，吸收系数和发射系数可以写成为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=i j j i ij i ij ij i ji j ij i ijji j ij i ijijn g n g B n h B n B n B n h B n B n h 14144ννννννϕπνϕψϕπνψϕπνρκ ji j ij ij A n h νψπνρη4=在经典理论中，爱因斯坦系数B ij 可以利用谐振子对电磁波的吸收进行计算。
设单色电磁波E ＝E 0exp(i ωt)沿z 轴传播，其电场在x 方向。
一个位于z ＝0处的谐振子，在此单色辐射驱动下的运动方程是：ti eE m e x x xωωγ020=++其中m 和e 是谐振子的质量和电荷，ω0是谐振子的本征频率，γ是一个小的阻尼系数。
设解的形式为x ＝x 0exp(i ωt),则有：ti eE me x x i x ωωγωω0202=++-于是得到：22ωωγω++-=i Em ex入射电磁波对束缚粒子做功而损失能量，粒子因而吸收电磁波。
