新湘教版八年级数学上册三角形

新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题三角形的基本概念教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题三角形的基本概念是本学期数学课程的重要组成部分。

这部分内容主要介绍了三角形的定义、分类、性质以及三角形的相关概念。

通过这部分的学习，学生可以对三角形有更深入的了解，为后续的三角形相关题目打下坚实的基础。

二. 学情分析在开始本节课的学习之前，学生已经掌握了实数、平面几何的基本概念，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。

但是，对于三角形的一些基本概念，如三角形的定义、分类、性质等，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解并掌握这些基本概念。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形的基本概念，掌握三角形的分类，能运用三角形的性质解决一些简单问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学与生活实际的联系。

四. 教学重难点1.重点：三角形的基本概念、分类和性质。

2.难点：三角形性质的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入三角形的基本概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动思考、发现问题、解决问题。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。

4.巩固练习法：通过适量练习，使学生掌握三角形的基本概念和性质。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。

2.课件：三角形的相关图片、动画、PPT等。

3.练习题：针对三角形基本概念的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如电线塔、自行车三角架等，引导学生思考：这些物体为什么都要用到三角形呢？从而引出三角形的基本概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT或板书，呈现三角形的基本概念、分类和性质。

让学生初步了解三角形的定义、分类和性质。

解析 (1)∵∠B=35°,∠E=25°, ∴∠ECD=∠B+∠E=60°, ∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=60°, ∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°. (2)证明:∵CE平分∠ACD,∴∠ECD=∠ACE, ∵∠BAC=∠E+∠ACE,∴∠BAC=∠E+∠ECD, ∵∠ECD=∠B+∠E,∴∠BAC=∠E+∠B+∠E, ∴∠BAC=∠B+2∠E.
2
∠A1=
1 2
∠A,同理∠A2=
1 2
∠A1,∴∠A2=
12∠A1=
1×
2
1∠A=
2
1 22
∠A,同理∠A3=
1 23
∠A,∠A4=
1 24
∠A,
∠A5=
1 25
∠A=
1 32
×96°=3°.故选D.
9.(教材变式·P49习题2.1 T8)(2024湖南岳阳汨罗期中,14,★ ★☆)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 180° .
解析 如图,由三角形的外角性质得∠EOF=∠B+∠F, ∠GOF=∠C+∠G,∠DPE=∠A+∠D,∴∠GOE=∠B+∠F+∠C +∠G,由三角形的内角和定理得∠GOE+∠DPE+∠E=180°, 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°.
10.(2024湖南永州宁远期中,23,★★☆)如图,CE是△ABC的 外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=35°,∠E=25°,求∠BAC的度数. (2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.

解： ∵ ∠3是△ABC的一个外角
∴∠3= ∠1+∠2 （三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和）
3 21
∵ ∠1=∠2
∴ ∠3= 2∠1
∴ ∠1= ∠2 = 1/2∠3=1/2×100
°
=50 °
3A
B2
1C
课堂达标
1. 三角形按角分类,可以分为锐角三角形, 直角三角形,钝角三角形
2.在 ABC 中, (1)若∠A=54°，∠B=27°，则∠C= 99° . (2)若∠B=∠C=30°，则∠A= 120°, ABC 为 钝角 三角形 (3)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠A= 30°,∠B= 60°,∠C = 90°.
多边形 三角形 四边形 五边形 … n 边形
内角和
180° 360° 540°
…
180°( n－2 )
做一做
在一张薄纸上任意画一个 三角形，你能设法画出它的一 个内角的平分线吗? 你能通过折纸的方法得到它吗?
B 用圆规画最简便。
在一张纸上画出一个 一个三角形并剪下，将它的 一个角对折，使其两边重合。
∴∠ＢＡＦ＋∠ＣＢＤ＋∠ＡＣＥ ＝（∠２＋∠３＋∠１＋∠３＋∠１＋∠２） ＝２（∠１＋∠２＋∠３）
例4 已知：Ｄ是ＡＢ上一点，
Ｅ是ＡＣ上一点，ＢＥ、ＣＤ相交于点
Ｆ，∠Ａ＝６２º，∠ＡＣＤ＝３５º，
∠ＡＢＥ＝２０º．
求：（１）∠ＢＤＣ的度数； Ａ
（２）∠ＢＦＤ的度
数 解．：Байду номын сангаас１） ∵∠ＢＤＣ ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ
个外角．
A
E
D
F
B
C
三.三角形的分类
直角三角形
按角分

2
△ABC的高,∴∠BAE=90°-∠B=90°-40°=50°,则∠DAE=
∠BAE-∠BAD=10°.故选B.
2.(2024广西崇左期中)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,点E 在AC上,DE∥BC,若∠A=62°,∠B=74°,求∠EDC的度数.
解析 在△ABC中,∠A=62°,∠B=74°, ∴∠ACB=180°-62°-74°=44°,
7.(2023湖南株洲中考,17,★★☆)《周礼·考工记》中记载有: “……半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”意思 是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘……”
即1宣= 1 矩,1欘=1 1 宣(其中,1矩=90°).
2
2
问题:图1为中国古代一种13,★☆☆)一副三角板按如图所示的 方式放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=
100° .
解析 如图,
由题意得∠BAC=60°,∠C=30°,∠D=45°, ∵∠EAB=35°,∴∠CAD=180°-∠EAB-∠BAC=85°, ∴∠AGD=180°-∠D-∠CAD=50°,∴∠CGF=∠AGD=50°, ∴∠DFC=180°-∠C-∠CGF=100°.
第2章 三角形
2.1 三角形 2.1.2 三角形的内角和与外角
第１课时 三角形的内角和
基础过关全练
知识点1 三角形的内角和
1.(2024广西北海合浦期中)如图,AD,AE分别是△ABC的角平
分线和高,若∠B=40°,∠C=60°,则∠DAE的度数为 ( B)
A.5°
B.10°
C.15°
D.20°
解析 ∵∠B=40°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°,又∵A D是△ABC的角平分线,∴∠BAD= ∠BA1C=40°,∵AE是

4. 若等腰三角形的一边长是 4 cm，另一边长是 9 cm， 则这个等腰三角形的周长为__2_2___cm.
拓展提升 5. 已知 a、b、c 为三角形的三边长，化简：|b + c - a| +
|b - c - a| - |c - a - b| - |a - b + c|. 解：因为 a、b、c 为三角形三边的长，
边关系
三角形 按边分类
三边各不相等的三角形 等腰三角形(包括等边三角形)
三角形的 三边关系
任意两边之和大于第三边
x + 2x + 2x = 18. 解得 x = 3.6. 所以三边长分别为 3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm.
(2) 因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
①若底边长为 4 cm，设腰长为 x cm，则有
4 + 2x = 18.
解得 x = 7.
②若腰长为 4 cm，设底边长为 x cm，则有
所以 a + b＞c，a + c＞b，b + c＞a．
则原式 = |(b+c)-a| + |b-(c+a)| - |c-(a+b)| - |(a+c)-b| =b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c = 2c - 2a．
课堂小结
三角形的定义：不在同一直线上的三条 线段首尾相接所构成的图形
三角形的 概念及三
归纳 判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断 两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可.
例2 有两根长度分别为 5 cm 和 8 cm 的木棒，用长度 为 2 cm 的木棒能与它们首尾相接摆成三角形吗？为什 么？长度为 13 cm 的木棒呢？ 解：取长度为 2 cm 的木棒时，由于 2 + 5 = 7 < 8，出 现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成 三角形；取长度为 13 cm 的木棒时，由于 5 + 8 = 13， 出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能 摆成三角形.

A
C
B
底角 底角 底边
C
（3 ）三条边都相等的三角形叫作等边三角形 (或正三角形)。等边三角形是特殊的等腰三角 形——腰和底边相等的等腰三角形。
A
B
C
＝
1.小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念的是 （ C ）
A B C D
2.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来. 【解析】图中有5个三角形.分别是：
(3) 在一个三角形中，任意两边之差与第三边的长度之 间有怎样的大小关系？为什么.
请同学们自己在本子上任意画一个三角形，量出三边的长， 再用任意两边的差与第三边比较，得出什么样的结论？
A
利用你发现的规律填空
AC-AB
BC-AB
＜ ＜ ＜
BC,
AC, AB,
B
三角形的三边关系：
C
BC-AC
（2）三角形的任意两边之差小于第三边.
A
6.三角形的边与角的关系:
B
C
(1)对边与邻边：一般情况下，我们把边BC叫作A的对边，AC，
AB叫A的邻边；边AC叫B的对边，AB，BC叫B的邻边；你能说
出C的对边及邻边吗？ C对边是AB，邻边是BC，AC. (2)对角与邻角：一般情况下，我们把A叫作边BC的对角， B , C叫作边BC的邻角； B叫作边AC的对角， A ， C叫作边
△ABE，△DEC， △BEC，
△ABC，△DBC。
（1）某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边（如图）. 可是，每年冬天小学生在麦田里就会走出一条小路来.你 说小学生为什么会这样走呢？
田
两点之间 线段最短
村 庄
麦
学 校
(2) 在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之 间有怎样的大小关系？为什么.

感悟新知
知1－练
1．如图，以CD为公共边的三角形是__△__C_D__F_与__△__B_C__D__； ∠EFB是__△__B_E_F__的内角；在△BCE中，BE所对的角 是_∠__B__C_E__，∠CBE所对的边是____C_E___；以∠A为公 共角的三角形有__△__A_B_D__，__△__A_C__E_和__△__A_B__C__.
知2－导
感悟新知
知2－讲
1.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形，在等腰 三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的 夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
2.等边三角形三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)， 等边三角形是特殊的等腰三角形。
3.易错警示：(1)等腰三角形中有关边角的名称与三角形的摆放 位置无关；(2)等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角， 而底角只能是锐角.
n＋8，3n，则满足条件的n的值有( D ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
感悟新知
知3－练
3. 已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的 第三边的长x的取值范围是___3_c_m__<_x_<_1_3__c_m__． 解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应 大于已知两边之差且小于已知两边之和，所 以3 cm<x<13 cm.
感悟新知
知1－讲
例 1 如图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是 ( C)
导引：按三角形的定义进行判断.观察每一个选项中的 图形，A，B，D中的三条线段都没有首尾顺次相接
感悟新知
总结
知1－讲
判断三角形的条件：①三条线段，②不在同一条直线 上，③首尾顺次连接三者必须同时满足，否则不是三角形.

解:AC和DB、BC和CB分别是对应边；∠A和∠D、∠ABC和 ∠DCB、∠ACB和∠DBC分别是对应角.
分层作业
10如图，在正方形ABCD中，E是正方形边AD上一点，F是BA 延长线上一点，并且AF＝AE. (1)可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法， 使△ABE与△ADF完全重合？ (2)指出图中线段BE与DF之间的关系，并证明.
B.60° D.50°
合作探究
2.把四边形ABCD绕点A旋转120°到四边形AEFG 的位置(如图)，那么四边形ABCD与四边形AEFG 是 全等图 形(填“是”或“不是”).
合作探究
3.如图，这两个三角形全等，用符号表示为 △ABC≌△DEF，你能写出对应顶点、对应边、对应角吗？
解:对应顶点:点A与点D，点B与点E，点C 与点F；对应边:边AB与DE，边AC与边DF， 边BC与边EF；对应角:∠A与∠D，∠B与∠E， ∠ACB与∠DFE.
合作探究
2.如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD， ∠C＝20°，AB＝10，AD＝4，G为AB延长线上一点.求∠EBG 的度数和CE的长.
合作探究
解:利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识， 求得∠EBG等于160°.利用全等三角形对应边相等的性质及等量 减等量差相等的关系可得:CE＝CA－AE＝BA－AD＝6.
分层作业
6下列各组图形中不是全等图形的一组是 ( B )
分层作业
7下列命题中不正确的是 ( D ) A.全等三角形的对应角相等 B.全等三角形的面积相等 C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等 8如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE＝ 5 .
分层作业
9如图，△ABC≌△DCB，AB和DC是对应边，指出其他的对应 边和对应角.

（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
第二十一页，共三十七页。
新课讲解
练一练
2 判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角.
（ ）×
（2）三角形的外角大于任何一个内角.
（）
×
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ）
×
（4）三角形的外角和等于360°.
（）
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A，B两岛的 视角∠ACB是90度.
第九页，共三十七页。
新课讲解
练一练
1 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45 从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？
知识点4 三角形外角和定理 思考 如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C
处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，
∴∠CAD=∠2+∠3，∠CBE=∠1+∠3，∠BCF=∠1+∠2.
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF =（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2） =2（∠1+∠2+∠3）.
知识点1 三角形内角和定理
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
A
23
l
证明：过点A作直线l，使得l//BC.

∴△ABC≌△DEF（ASA）．
合作交流
结论：边角边基本事实
有两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等.
可以简写成 边角边 或“ SAS ”
S ——边 A——角
例1 已知: 如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB. C
证明:
A
B
△ACB ≌ △ADB. D
这两个条件够吗?
证明：在△ACO和△BDO中， AO = BO ∠AOC =∠BOD（对顶角相等） CO = DO
∴ △ACO≌△BDO （ SAS ）
证明三角形全等的步骤：
1.写出在哪两个三角形中证明全等。 （注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）. 2.按边、角、边的顺序列出三个条件.
用大括号合在一起. 3.证明全等后要有推理的根据.
∠A = ∠A'
A
AB = A'B' ∠B = ∠B' B ∴ △ABC≌△ A'B'C'
CB′ (ASA)
A′ C′
例 如图，点D 在AB上，点E 在AC上，AB =AC， ∠B =∠C．求证：AD =AE．
证明：在△ABE 和△ACD 中，
A
∠B =∠C
AB =AC
D
E
∠A =∠A (公共角)
还要什么条件呢?
例1 已知: 如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB.
求证: △ACB ≌ △ADB.
C 证明: 在△ACB 和 △ADB中
AC = A D (已知)
B
A ∠CAB=∠DAB（已知）
A B = A B ( 公共边 )
D
∴△ACB≌△ADB （SAS）

三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积： 三角形的面积=21×底×高 二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

湘教版八年级上册三角形一、三角形的基本概念。

1. 定义。

- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

- 三角形有三个顶点、三条边和三个角。

例如，在△ABC中，A、B、C是顶点，AB、BC、AC是边，∠A、∠B、∠C是角。

2. 三角形的表示方法。

- 三角形用符号“△”表示，如三角形ABC记作“△ABC”。

3. 三角形的分类。

- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都是60°。

二、三角形的性质。

1. 三角形三边关系。

- 三角形两边之和大于第三边。

例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。

- 三角形两边之差小于第三边。

即AB - BC<AC，AB - AC<BC，BC - AC<AB。

2. 三角形的内角和定理。

- 三角形三个内角的和等于180°。

即∠A+∠B + ∠C = 180°。

- 直角三角形的两个锐角互余。

在Rt△ABC中，∠A+∠B = 90°（∠C = 90°）。

3. 三角形的外角性质。

- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

例如，在△ABC中，∠ACD （∠ACD是∠ACB的外角）=∠A+∠B。

- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

即∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。

三、三角形中的重要线段。