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15．3分式方程(一)教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的缘故.2．把握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.重点难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会查验一个数是不是原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会查验一个数是不是原方程的增根.教学进程一、例、习题的用意分析1． P149试探提出问题，引发学生的试探，从而引出解分式方程的解法和产生增根的缘故.2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的大体思路和做法.3． P150试探提出问题，什么缘故有的分式方程去分母后取得的整式方程的解确实是原方程的解，而有的分式方程去分母后取得的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的缘故，及P151的归纳出查验增根的方式.4． P150试探提出P33的归纳出查验增根的方式的理论依照是什么？5． 教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，关于学有余力的学生，教师能够点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以那个系数. 这种方程的解必需验根.二、课堂引入1．回忆一元一次方程的解法，而且解方程163242=--+x x 2．提出本章引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所历时刻，与以最大航速逆流航行60千米所历时刻相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，依照“两次航行所历时 间相同”这一等量关系，取得方程vv -=+206020100. 像如此分母中含未知数的方程叫做分式方程.三、例题讲解（P151）例1.解方程[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必需验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，如此做也比较简便.（P151）例2.解方程[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必需验根.四、随堂练习讲义P152练习.五、课后练习1．讲义P154习题15.3第1题.2．X 为何值时，代数式x x x x 231392---++的值等于2？15．3分式方程(二)教学目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.重点难点1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.教学进程一、例、习题的用意分析本节的P152例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生依照题意，寻觅未知数，然后依照题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除要查验外，还要比较甲乙两个施工队哪个队的施工速度快，才能完成解题的全进程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.P153例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这种题有所不同（1）此题中涉及到的列车平均提速v 千米/时，提速前行驶的路程为s 千米，完成. 用字母表示已知数（量）在过去的例题里并非多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v 、s 和未知数x ，表示提速前列车行驶s 千米所用的时刻，提速后列车的平均速度设为未知数x 千米/时，和提速后列车行驶（x+50）千米所用的时刻.这两道例题都设置了带有探讨性的分析，应注意鼓舞学生踊跃探讨，当学生在探讨进程中碰到困难时，教师应启发诱导，让学生通过自己的尽力，在克服困难后体会如何探讨，教师不要替代他们试探，不要过早给出答案.教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生仍是要独立地分析、解决实际问题，因此教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.专门是题目中的数量关系清楚，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.二、例题讲解P152例3分析：此题是一道工程问题应用题，大体关系是：工作量=工作效率×工作时刻.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时刻单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队一起做的工作量=1P153例4分析：是一道行程问题的应用题, 大体关系是：速度=时间路程.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时刻=提速后所用的时刻三、随堂练习讲义P154练习.四、课堂小结本节课你学到了什么？五、布置作业讲义P154习题15.3第3、4、五、6题.。
分式相关专题总结及应用一、识性专题专题1 分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据。
只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.例1 化简（1）2610xy x ; (2） 21xy y x --； 解：(1)26233.10255xy x y y x x x x == （2）2(1)1(1)(1)1xy y y x y x x x x --==-+-+. 【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时,能分解因式的一定要分解因式. 例2 计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝⎝解：2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝⎝3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)3186(2)(2)(2)(2)3.a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦++=÷+-+-= 【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减。
在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式。
专题2 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入,求出分式的值。
但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值，而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂,需根据其转点采用相应的方法.例3 已知13x x+=，求2421x x x -+的值。
解： 因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母。
原式22221111113361()21x x x x ====--++--。
人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十五章分式15.3 分式方程一：考点归纳考点一:分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.考点二:分式方程的解法：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
考点三：分式方程解应用题基本步骤①审—仔细审题，找出等量关系。
②设—合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程（组）。
④解—解出方程（组）。
注意检验⑤答—答题。
二：【题型归纳】题型一：分式方程的意义1．如果关于x 的分式方程m 2x x 22x ---＝1有增根，那么m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2题型二：分式方程的解 2．解分式方程211112x x x x --=--时，去分母后得到的方程正确的是（ ） A ．211x x x -+=- B ．2421x x x -+=-C ．2421x x x +-=-D ．211x x x +-=- 3.解方程：242111x x x x +=-+-题型三：分式方程解答应用题 4．学校为满足学生体育运动的需求，计划购买一定数量的篮球和足球．若每个足球的价格比篮球的价格贵15元，且用600元购买篮球的数量与用800元购买足球的数量相同．设每个篮球的价格为x 元，则可列方程为（ ）A ．60080015x x =+ B ．60080015x x =- C ．60080015x x =+ D ．60080015x x =-5．山西民间的雕刻艺术源远流长，主要以古代传统吉祥纹样为素材，以石雕、木雕砖雕等形式，来体现主人的高尚情操和文化修养以及人们的美好愿望.某木雕经销商购进“木象”和“木马”两种雕刻艺术品，购“木象”艺术品共用了2000元，“木马”艺术品共用了2400元已知“木马”每件的进价比“木象”每件的进价贵8元，且购进“木象”“木马”的数量相同.()1求每件“木象”、“木马”艺术品的进价；()2该经销商将购进的两种艺术品进行销售，“木象”的销售单价为60元，“木马”的销售单价为88元，销售过程中发现“木象”的销量不好，经销商决定:“木象”销售一定数量后，将剩余的“木象”按原销售单价的七折销售；“木马”的销售单价保持不变要使两种艺术品全部售完后共获利不少于2460元，问“木象”按原销售单价应至少销售多少件？三：基础巩固和培优一、单选题1．如果关于x 的方程2133m x x =---无解，则m 的值等于（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．3 2．分式方程71222x x+=--的解是（ ）． A ．1x =B ．2x =C ．2x =-D ．4x = 3．若关于x 的方程62033x m x x --=--有增根，则m 的值是（ ）A ．32B ．23-C ．3D ．3-4．县城建局对某一条街的改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则所列方程正确的是（ ）A ．4116x x x +=+-B ．116x x x =-+C ．4116x x x +=--D ．4116x x x +=-+ 5．若关于x 的方程111ax x +=-有增根，则a =（ ） A ．1- B ．3- C ．1 D ．36．关于x 的方程2311x m x -=-的解是正数，m 的值可能是（ ） A ．23 B ．12C ．0D ．-17．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Max(a ，b)表示a ，b 中的较大的值，如Max(2，4)=4，按照这个规定，方程Max( 1x ， 2x )=1- 3x的解是( ) A ．x=4B ．x=5C ．x=4或x=5D ．无实数解8．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( )A ．240024008(120%)x x-=+ B ．240024008(120%)x x -=+ C ．240024008(120%)x x -=- D ．240024008(120%)x x-=-9．关于x 的分式方程2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1> B ．a 1< C ．a 1<且a 2≠- D ．a 1>且a 2≠10．已知关于x 的分式方程433x k x x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k≤－12B ．k≥ －12且k ≠ －3C ．k>－12D ．k<－12二、填空题 11．若关于x 的分式方程12224x a a x x ++=--无解，则a 的值为__________． 12．当m ＝______时，分式方程233x m x x-=--会出现增根 13．x=1是关于x 的方程2x －a=0的解，则a 的值是_____．14．若数a 使关于x 的不等式组542x x a<⎧⎨-≥⎩有且只有四个整数解，且使关于y 的方程2211y a a y y ++=--的解为非负数，则符合条件的正整数a 的值为___________．15．若关于x 的分式方程a b x =的解为1a b +，我们就说这个方程是和解方程．比如：24x=-就是一个和解方程．如果关于x 的分式方程3n n x =-是一个和解方程，则n =___________．三、解答题16．解分式方程（1）32122x x x-=--- （2） 2216224x x x x x +-=-+- 17．若关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，求m 的取值范围 18．解方程：22311x x x++=-- 19．清明时节，张老师和王老师组织八年级1班学生步行到距学校10.8千米的烈士陵园扫墓．出发时，王老师带领学生先出发，30分钟后，张老师骑自行车出发，张老师骑自行车的速度是学生步行速度的2倍，当学生到达烈士陵园时，张老师已经到达1个小时，并为大家买好了扫墓门票．（1）求学生的步行速度和张老师骑自行车的速度各是多少；（2）当张老师追上学生时，距离烈士陵园还有多远？20．端午节是中华民族的传统节日，全国各地素来都有端午节吃粽子的习俗．在今年端午节前夕，某商场采购了一批甲、乙两种品牌的粽子共600盒，其中采购甲品牌粽子花费7200元，采购乙品牌粽子花费9600元，已知每盒甲品牌粽子的进价是乙品牌粽子进价的1.5倍．（1）求该商场采购的甲、乙两种品牌的粽子每盒进价分别是多少元．（2）该商场原计划确定甲品牌粽子的售价为60元/盒，乙品牌粽子的售价为32元/盒．后调整销售策略，对甲品牌粽子进行打折销售，乙品牌粽子按原价售出．若要使购进的甲、乙两种品牌的粽子全部售出后所获利润不低于5600元，则每盒甲品牌粽子最低能打几折？21．阅读下列材料∶11x c x c +=+的解是12111,,x c x x c c x c ==-=-的解是121,x c x c ==-22x c x c +=+的解是12233,,x c x x c c x c ==+=+的解是123,x c x c== （1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程m m x c x c -=-的解分别为：1x =___ ，2x =___ ．（2）利用这个结论可得关于x 的方程；4455x x +=的解为：1x =___ ，2x =___ ． （3）利用这个结论求解关于x 的方程：3225x x -=参考答案题型归纳1．B2．C3．x=24．A5．()1 “木象”艺术品每件进价为40元，“木马”艺术品每件进价为48元．()2至少销售20件．基础巩固和培优1．B2．C3．A4．D5．A6．B7．B8．A9．D10．A11．2a =-或32a =-12．－1．13．214．2 15．3416．（1）16x =；（2）无解 17．6m >-，且3m ≠-18．34x =． 19．（1）学生的步行速度为3.6千米/时，张老师骑自行车的速度为7.2千米/时；（2）当张老师追上学生时，距离烈士陵园还有 7.2千米20．（1）每盒甲品牌粽子进价为36元，每盒乙品牌粽子进价为24元；（2）每盒甲品牌棕子最低打8折21．（1） c ，m c -；（2）5，45；（3）1235,5x x ==-。
分式方程相关概念重难点汇编一、单选题1．若分式方程x x−1=m (x−1)(x+2)+1无解，则m 的值为（ ）A ．1B ．1或﹣2C ．0或3D ．3 2．若a 使关于x 的不等式组02432x a x x -⎧⎪⎨⎪-+⎩＜＜（）至少有三个整数解，且关于x 的分式方程3a x x +-+23x -=2有正整数解，a 可能是（ ）A ．﹣3B ．3C ．5D ．83．关于x 的分式方程121k x -=-的解为非负数，且使关于x 的不等式组6112x x k x <-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩有解的所有整数k 的和为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．24．从7-，5-，1-，0，4，3这六个数中，随机抽一个数，记为m ，若数m 使关于x 的不等式组()x m 02x 43x 2-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩的解集为x 1>，且关于x 的分式方程1x m 32x x 2-+=--有非负整数解，则符合条件的m 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．关于x 的分式方程3111m x x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．3 D ．3-6．若数a 使关于x 的不等式组111(1){3223(1)x x x a x -≤--≤-，有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程31222y a y y++--=1有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ） A ．﹣10 B ．﹣12 C ．﹣16 D ．﹣187．若数a 使关于x 的不等式组112352x x x x a-+⎧<⎪⎨⎪-≥+⎩有且只有四个整数解，且使关于y 的方程2211y a a y y++=--的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．3- B ．2- C ．1 D ．28．若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解，则实数m 的值是（ ） A ．x=0或1B ．x=1或3C ．x=3或7D ．x=0或3 9．若分式方程231222x a x x x x -+=--有增根，则实数a 的取值是（ ） A ．0或2 B ．4 C ．8 D ．4或810．若关于x 的不等式组132210223x a x x x ⎧->-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程2344a y y y-=+--有正整数解，则满足条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．611．若x=4是分式方程213a x x -=-的根，则a 的值为（ ） A ．6 B ．－6C ．4D ．－4 12．分式方程()()31112x x x x -=--+的解为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．无解 13．方程1223x x =+的解为（ ） A ．x=﹣1 B ．x=0 C ．x=35 D ．x=114．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3B ．m≤3且m≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2 二、填空题15．若关于x 的分式方程1x a x -+＝a 无解，则a 的值为____． 16．已知关于x 的分式方程1a x +－221a x x x --+=0无解，则a 的值为____________. 17．要使关于x 的方程121(2)(1)x x a x x x x +-=+-+-的解是正数，a 的取值范围是___．. 18．关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a =______. 19．当m =____________时,解分式方程533x m x x-=--会出现增根． 20．若关于x 的分式方程3x x -－2＝3m x -有增根，则增根为________，m ＝________． 21．若关于x 的方程2134416m m x x x ++=-+-无解，则m 的值为__． 22．若代数式12x -和32x 1+的值相等，则x ＝________．三、解答题 23．若关于x 的方程432212-=++-x x k x 无解，求k 的值．24．已知关于x 的分式方程5=12x a x x+--. (1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值；(2)若方程有增根，求a 的值；(3)若方程无解，求a 的值．25．已知关于x 的方程4433x m m x x ---=--无解，求m 的值．26．已知关于x 的分式方程2=+4m x x 与分式方程3121x x =-的解相同，求m 2－2m 的值．27．已知关于x 的分式方程()()2mx 1x 1x 1x 2x 2+=--++，若方程无解，求m 的值．28．若关于x 的方程221933m x x x +=-+-有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．29．关于x 的方程：11ax x +-－21x-＝1. (1)当a ＝3时，求这个方程的解；(2)若这个方程有增根，求a 的值．30．阅读后解决问题：在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程3111a x x +=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？经过交流后，形成下面两种不同的答案：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3．（1）小明与小强谁说的对，为什么？（2）关于x 的方程11222mx x x-+=--有整数解，求整数m 的值．参考答案1．C 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．C 8．C 9．D 10．A11．A 12．D 13．D 14．D15．1或－1 16．-1或0或1217．1a <-且a≠-3. 18．-1 19．2 20．x ＝3，3 21．-1或5或13- 22．923．当k ＝－1或－34时原方程无解. 解：432212-=++-x x k x ， 去分母得，x ＋2＋k(x －2)＝3，去括号得，x ＋2＋kx －2k ＝3，移项合并同类项得，(1＋k)x ＝2k ＋1，①当1＋k ＝0，即k ＝－1时整式方程无解，①当1＋k≠0时x ＝211k k ++，211k k ++＝±2时，即k ＝－34时分式方程无解， 综上所述当k ＝－1或-34时原方程无解. 24．（1）－2；（2）－2；（3）3或－2解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；①当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.25．－3或1解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则483mm++＝3，解得m＝1.经检验，m＝1是方程483mm++＝3的解．综上所述，m的值为－3或1.26．－48 49解：解分式方程3121x x=-，得x＝3.经检验，x＝3是该方程的解．将x＝3代入24x+＝mx，得273m=.解得m＝67.①m2－2m＝(67)2－2×67＝-4849.27．m的值为-1或-6或3 2解：方程两边同时乘以（x+2）（x-1），去分母并整理得（m+1）x= -5，当m+1=0时，该方程无解，此时m= -1；当m+1≠0时，则原方程有增根，原方程无解①原分式方程有增根，①（x+2）（x-1）=0，解得：x=-2或x=1，当x=-2时，m=1.5；当x=1时，m= -6①m= -6或m=32，综上，m的值为-1或-6或32．28．x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.29．（1）x＝－2；（2）a＝－3.解：(1)当a＝3时，原方程为311xx+-－21x-＝1,方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，解这个整式方程得x＝－2，检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，①x＝－2是原分式方程的解．(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.30．（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0．解:（1）小强的说法对,理由如下:解这个关于x的分式方程,得到方程的解为x=a﹣2,因为解是正数,可得a﹣2＞0,即a＞2,同时a﹣2≠1,即a≠3,则a的范围是a＞2且a≠3,（2）去分母得：mx﹣1﹣1=2x﹣4,整理得:（m﹣2）x=﹣2,当m≠2时,解得: x=﹣22 m-,由方程有整数解,得到m﹣2=±1,m﹣2=±2,解得:m=3,4,0.。
专题15.3分式方程-重难点题型【人教版】【知识点1分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程②解整式方程③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程④作答【题型1解分式方程（基本法）】【例1】（2021春•碑林区校级月考）解方程：（1）32−13K1=56K2；（2）K1−3(K1)(r2)=1．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5，去括号得：9x﹣3﹣2＝5，移项合并得：9x＝10，解得：x=109，检验：把x=109代入得：2（3x﹣1）≠0，∴x=109是分式方程的解；（2）去分母得：x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），整理得：x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：（x﹣1）（x+2）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-1】（2021•潍坊）若x＜2，且1K2+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝1．【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：1K2+|x﹣2|+x﹣1＝0，∵x＜2，∴方程为1K2+2﹣x+x﹣1＝0，即1K2=−1，方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，故答案为：1．【变式1-2】（2021•宜都市一模）解方程：3+6K1−r52−=0．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，去括号得：3x﹣3+6x﹣x﹣5＝0，移项合并得：8x＝8，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x（x﹣1）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-3】（2021•北碚区校级开学）解分式方程：（1）3K5−1=2K1K5．（2）122−4−K1r2=6−K2．【分析】（1）方程两边同乘（x﹣5），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．（2）方程两边同乘（x﹣2）（x+2），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣5），得3﹣x+5＝2x﹣1，解得x＝3，经检验，x＝3是原方程的解；（2）方程两边同乘（x﹣5）（x+2），得12﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（6﹣x）（x+2），解得x＝﹣2，经检验，x＝﹣2是增根，原方程无解．【题型2解分式方程（新定义问题）】【例2】（2021春•宝安区期末）定义新运算：a#b=12−B，例如2#3=132−3×2=13，则方程x#2＝1的解为x=32．【分析】根据新定义列出方程，解出这个方程即可．【解答】解：根据题意得，x#2=122−2=1，即22﹣2x﹣1＝0，解得x=32，经检验，x3是原方程的解，故答案为：32．【变式2-1】（2021•怀化）定义a⊗b＝2a+1，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（）A．x=15B．x=25C．x=35D．x=45【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义得：3⊗x＝2×3+1，4⊗2＝2×4+12，∵3⊗x＝4⊗2，∴2×3+1=2×4+12，解得：x=25，经检验，x=25是分式方程的根．故选：B．＞，如果5※x＝2，那么x的值为【变式2-2】（2021春•甘孜州期末）定义运算“※”：a※b=＜4或10．【分析】根据定义运算，分5＞x或5＜x两种情况列方程求解，注意分式方程的结果要进行检验．【解答】解：①当5＞x时，25−=2，去分母，可得：2＝2（5﹣x），解得：x＝4，检验：当x＝4时，5﹣x≠0，且符合题意，∴x＝4是原方程的解；②当5＜x时，K5=2，去分母，得：x＝2（x﹣5），解得：x＝10，检验：当x＝10时，x﹣5≠0，且符合题意，∴x＝10是原方程的解；综上，x的值为4或10，故答案为：4或10．【变式2-3】（2021秋•信都区校级月考）运符号“”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：=ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x=1．【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可．【解答】解：根据题中的新定义化简所求方程得：2K1−11−=1，去分母得：2+1＝x﹣1，解得：x＝4，当x＝4时，x﹣1＝3≠0，∴x＝4是分式方程的解，故x的值为4．【知识点2分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3裂项法解分式方程】【例3】观察下面的变形规律：11×2=11−12；12×3=12−13；13×4=13−14；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1or1)=1−1r1．（2）说明你猜想的正确性．（3）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019=20182019．（4）解关于n的分式方程11×2+12×3+13×4+⋯+1or1)=r7r9．【分析】（1）由题意可得1or1)=1−1r1；（2）利用通分即可证明等式成立；（3）原式＝11111111，再计算即可求解；（4）方程可以化简为1−1r1=r7r9，再解分式方程即可求解．【解答】解：（1）1or1)=1−1r1，故答案为：1−1r1；（2）1−1r1=r1or1)−or1)=1or1)，∴1or1)=1−1r1成立；（3）11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019＝1−12+12−13+13−14+⋯+12018−12019＝1−12019=20182019；（4）11×2+12×3+13×4+⋯+1or1)＝1−12+12−13+13−14+⋯+1−1r1＝1−1r1=r7r9＝1−2r9，∴1r1=2r9，方程两边同时乘（n+1）（n+9），得n+9＝2（n+1），去括号，得n+9＝2n+2，解得n＝7，经检验，n＝7是方程的解，∴原方程的解为n＝7．【变式3-1】（2020春•京口区校级月考）观察下列算式：16=12×3=12−13，112=13×4=13−14，120=14×5=14−15，……（1）由此可推断：142=16−17；（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律1or1)=1−1r1；（3）仿照以上方法解方程：1(K1)(K2)+1oK1)=1．【分析】（1）观察已知等式得到所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）方程利用得出的规律变形，计算即可求出解．【解答】解：（1）根据题意得：142=16×7=16−17；（2）根据题意得：1or1)=1−1r1；（3）方程整理得：1K2−1K1+1K1−1=1，即1K2=2，去分母得：x＝2x﹣4，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．故答案为：（1）16−17；（2）1or1)=1−1r1【变式3-2】（2020秋•五华区期末）观察下列式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14．将以上三个等式两边分别相加的：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=34．（1）猜想并填空：1or1)=1−1r1；11×2+12×3+13×4+⋯148×49=4849．12+16+112+120+ 130+⋯+19900=99100．（2）化简：1or1)+1(r1)(r2)+1(r2)(r3)+⋯+1(r2019)(r2020)．（3）探索并作答：①计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020；②解分式方程：1111．【分析】（1）观察已知等式得到拆项的方法，计算即可；（2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值；（3）①原式利用拆项法变形，计算即可求出值；②方程利用拆项法变形，计算即可求出解．【解答】解：（1）1or1)=1−1r1，11×2+12×3+13×4+⋯+148×49=1−12+12−13+13−14+⋯+148−149=1−149=4849；12+16+112+120+130+⋯+19900=11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+⋯+199×100=1−12+12−13+⋯+199−1100=1−1100=99100；故答案为：1−1r1；4849；99100；（2）原式=1−1r1+1r1−1r2+1r2−1r3+⋯+1r2019−1r2020=1−1r2020=2020or2020)；（3）①原式=12×（12−14+14−16+16−18+12018−12020）=12×（12−12020）=10094040；②方程整理得：1K2+1K3−1K2+1K4−1K3=1，即1K4=1，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．【变式3-3】（2020秋•天心区校级月考）观察下列等式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，将以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34，（1）猜想并写出：1or1)=1−1r1．（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017=20062007；②11×2+12×3+13×4+⋯+1or1)=r1．（3）若11×3+13×5+15×7+⋯+1(2K1)(2r1)的值为1735，求n的值．【分析】（1）根据已知等式猜想得到所求即可；（2）各式利用拆项法变形，计算即可求出值；（3）根据题意列出方程，利用拆项法变形，计算即可求出n的值．【解答】解：（1）猜想得：1or1)=1−1r1；（2）①原式＝1−12+12−13+⋯+12016−12017＝1−12017=20162017；②原式＝1−12+12−13+⋯+1−1r1＝1−1r1=r1；（3）根据题意得：11×3+13×5+15×7+⋯+1(2K1)(2r1)=1735，整理得：12（1−13+13−15+15−17+⋯+12K1−12r1）=1735，即1−12r1=3435，移项合并得：12r1=135，即2n+1＝35，解得：n＝17，经检验n＝17是分式方程的解，则n的值为17．【知识点3换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程：另（x－y）=u，则原方程转换为：方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
15.3 分式方程15.3 分式方程（第1课时）教学目标1.理解分式方程的意义，了解解分式方程的基本思路和方法，理解解分式方程时可能无解的原因，会解分式方程.2.经历“实际问题—分式方程—整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，感悟数学的转化思想，培养学生的应用意识.教学重点难点重点：解分式方程的基本思路和方法. 难点：理解分式方程可能无解的原因.教学过程导入新课导入一：西天取经路上，唐僧给徒弟们出了一道数学题目：某项工程要在规定的期限内完成，甲卫队单独做正好能够按期完成，乙卫队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后，再由乙卫队单独做，也正好按期完成.如果设规定的期限是x 天，工程总量为1，如何列方程呢？三个徒弟都给出了自己的答案：孙悟空：2x +3x x +＝1；猪八戒：2x +23x +＝1；沙和尚：1123x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+23x x -+＝1.师傅表扬徒弟积极动脑，并说道：有一个徒弟的结论是错误的.你知道谁的错了吗？请同学们分析一下，解决这个问题所列出的方程还是整式方程吗？该如何解呢？导入二：某公司打字员小刚为了提高打字速度，决定到某电脑培训班培训，半个月后，打字速度相当于原来的3倍.现在打80字所用的时间比原来少用100秒，则小刚现在每分钟能打多少个字？如果设小刚现在每分钟打x 个字，你能列出方程吗？你列出的这个方程和我们学过的一元一次方程有什么不同？你会解这个方程吗？快跟我来学习本节吧，学了本节后问题就迎刃而解了.学生思考讨论，教师引入课题.引导学生分析：设小刚现在每分钟打x 个字，则小刚原来每分钟打3x个字，根据“现在打80字所用的时间比原来少用100秒”可以建立方程为803x -80x ＝10060. 导入三：教师提出问题，引入课题（出示多媒体课件） 活动一：教学反思问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用的时间与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速是v km/h.填空：（1）轮船顺流航行速度为（30+v）km/h，逆流航行速度为（30-v）km/h；（2）顺流航行90 km所用时间为9030v+h；（3）逆流航行60 km所用时间为6030v-h；（4）根据题意可列方程为9030v+＝6030v-.在学生完成填空的过程中，教师应关注学生能否把实际问题转化成数学问题，能否找到相等关系列出方程，对于基础较差的学生应加以指导.探究新知活动二：1.议一议：方程9030v+＝6030v-的特征.教师提出问题，学生思考、讨论后全班进行交流.学生归纳出：该方程的特征是分母中含有未知数.教师板演出分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程.2.想一想：方程x+13（x+1）＝16是不是分式方程？如何区分分式方程和整式方程？学生交流讨论，教师点拨归纳：上式不是分式方程.主要是看分母中是否含有未知数，含未知数的是分式方程，不含未知数的是整式方程.3.做一做：在方程①73x-＝8+152x-，②1626x-＝x，③281x-＝81xx+-，④x-112x-＝0中，是分式方程的有（）A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④由学生代表回答：C.4.解一解：解方程24x+-236x-＝1.由一位学生代表板演，其余学生独立完成，教师和学生一起得出答案. 解：方程两边同时乘12，得3（x+2）-2（2x-3）＝12，去括号，得3x+6-4x+6＝12，合并同类项，得-x＝0，系数化为1，得 x＝0.5.讨论：怎样解方程9030v+＝6030v-？学生分小组讨论，让学生讨论后得出：通过去分母.教师继续问：怎么去分母？学生继续讨论得出：方程两边同乘各分式的最简公分母.（教师可帮助学生回忆最简公分母的定义）请学生代表板演，其余学生独立完成，教师点拨，对学习有困难的学生给予一定的帮助.解：方程的两边同乘（30+v）（30-v），得90（30-v）＝60（30+v）.解得v＝6.（教师提醒学生注意检验）检验：将v＝6代入原方程中，左边＝右边，因此v＝6是原分式方程的解.由以上可知，江水的流速为6 km/h.6.试一试：解方程15x-＝21025x-.教师引导学生观察两个分母，x2-25能分解因式，这个方程的最简公分母是（x+5）（x-5）.师生共同解这个分式方程，教师板书：解：方程的两边同乘（x+5）（x-5），得x+5＝10，解得x＝5.检验：将x＝5代入原方程中，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0.相应的分式是无意义的.因此，这个分式方程无解.7.再议一议：为什么分式方程有时会无解？学生先独立思考问题，然后提出自己的看法并在小组内讨论.在学生讨论期间，教师应到学生当中，参与学生的数学活动，鼓励学生勇于探索、实践，解释产生这一现象的原因，并懂得在解分式方程时一定要进行检验.师生合作达成共识：明确因为x＝5使原方程没有意义，因此x＝5不是原分式方程的根，所以原方程无解（提示：方程的解也可称为方程的根）.①增根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的根（或解），这种根通常称为增根.②解分式方程时必须进行检验.③为什么会产生增根呢？对于原分式方程来说，方程中各分式的分母的值均不为零，但方程变形后得到的整式方程则没有这个要求，如果所得的整式方程的某个根使原分式方程中至少一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式的值为零，那么它就不适合原方程，即是原方程的增根.④怎样检验？将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根.8.你能结合解法，归纳出解分式方程的基本步骤吗？学生独立思考后，请学生代表回答，老师帮忙总结出解分式方程的一般步骤：（1）去分母（方程两边同乘最简公分母，化为整式方程）.（2）解这个整式方程.（3）检验.把整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使最简公分母为零的值是原方程的增根，须舍去.可简单记作：一化、二解、三检验.新知应用例1 解方程：23x -＝3x. 由学生在练习本上独立完成，同时找两名学生板演.教师巡视指导，对学习有困难的学生及时帮助指点.学生做完后，同桌互相批阅.解：方程两边同乘x （x-3），得 2x ＝3（x-3）. 解得x ＝9.检验：将x ＝9代入x （x-3）得x （x-3）＝54≠0， 因此x ＝9是分式方程的解.例2 解方程：1xx --1＝3(1)(2)x x -+.由学生在练习本上独立完成，同时找两名学生板演.教师巡视指导，对学习有困难的学生及时帮助指点.学生做完后，同桌互相批阅.解：方程两边同乘（x+2）（x-1），得 x （x+2）-（x+2）（x-1）＝3. 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，（x+2）（x-1）＝0，所以x ＝1不是原分式方程的解，原分式方程无解.解完例题后，教师和学生共同总结解分式方程需要注意的问题. 总结：1.解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘同一个整式，把分式方程转化为整式方程来解的过程，所乘的整式通常是方程中出现的各分式的最简公分母.2.解分式方程时必须进行检验，检验时，可将转化成的整式方程的根代入所乘的整式（即最简公分母）中，看它的值是否为零，如果为零，即为增根，应舍去.3.一个未知数的值是分式方程的增根应具备两个条件：一是该值应是去分母后所得到的整式方程的根，二是该值应使最简公分母的值为零.课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案1.D2.B3.D4.C5.B6.A7.解：（1）方程变形为13x ++23x -＝2129x -. 两边同时乘（x 2-9），得x-3+2x+6＝12， 解得x ＝3，经检验x ＝3是原方程的增根， 故原方程无解.（2）原方程去分母，得2+3（x-2）＝-（1-x ）， 解得x ＝32.经检验x＝32是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x＝32.（3）方程两边乘x（x2-1），得5x-2＝3x，解得x＝1，经检验x＝1是原方程的增根，故原方程无解.8.a<5且a≠3解析：去分母得1-（a-2）＝x-2，整理得x＝5-a.因为分式方程的解为正数，所以5-a>0，解得a<5.又因为x≠2，所以5-a≠2，即a≠3.所以a的取值范围是a<5且a≠3.课堂小结今天我们学习了：1.什么是分式方程.2.解分式方程的基本思路和一般步骤是什么.解分式方程应该注意什么问题.布置作业教材154页习题15.3第1题.板书设计。
第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：1、解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠． （三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+． 故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。
