几种常见的概率分布复习过程

考研数学概率与统计备考掌握常见概率分布和统计方法概率与统计是考研数学中的一个重要内容，备考期间，掌握常见的概率分布和统计方法是非常关键的。

本文将介绍几种常见的概率分布和统计方法，以助于考生备考时的复习。

一、离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量是指在一次试验中，可能取一些特定值的变量。

在概率论中，常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布和几何分布。

1. 二项分布二项分布是指在n次试验中，成功次数为X的概率分布。

它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n为试验次数，k为成功次数，p为一次试验成功的概率，C(n, k)为组合数。

2. 泊松分布泊松分布是一种在独立时间段内总体事件发生次数的离散概率分布。

它的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生的次数，λ为单位时间或空间内事件的平均发生率。

3. 几何分布几何分布是指在一系列独立重复的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数的概率分布。

它的概率质量函数为：P(X=k) = p * (1-p)^(k-1)其中，X为首次成功所需的试验次数，p为一次试验成功的概率。

二、连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量是指在某一区间内可能取任意值的变量。

在概率论中，常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布和指数分布。

1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，随机变量取任意值的概率相等的分布。

它的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a) (a <= x <= b)其中，a为区间下界，b为区间上界。

2. 正态分布正态分布也称为高斯分布，是自然界和社会现象中最常见的分布。

它的概率密度函数为：f(x) = 1 / (σ* √(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。

3. 指数分布指数分布是一种用于描述事件发生时间间隔的分布。

第三章第二次课： 回顾概率基础知识，通过离散型和连续型随机变量的概率分布引出本次讲授内容。

第二节几种常见的理论分布重点：掌握正态分布、二项分布、泊松分布的定义、特点和概率计算。

难点：二项分布的概率函数特征，正态分布的特征。

一、二 项 分 布一）、贝努利试验及其概率公式将某随机试验重复进行n 次，若各次试验结果互不影响， 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的。

对于n 次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A 与A 之一，在每次试验中出现A 的概率是常数p (0<p <1),因而出现对立事件A 的概率是1-p=q ，则称这一串重复的独立试验为n 重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials )。

在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n 枚种蛋的出雏数、n 头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。

在n 重贝努利试验中，事件A 可能发生0，1，2，…，n 次，现在我们来求事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率P n (k)。

先取n =4，k =2来讨论。

在4次试验中，事件A 发生2次的方式有以下24C 种： 21A A 43A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A其中A k (k =1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验发生；k A (k =1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验不发生。

由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 P (21A A 43A A )=P (4321A A A A )=…= P (4321A A A A )= P (1A )·P (2A )·P (3A )·P (4A )=242-qp又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中，事件A 恰好发生2次的概率为)2(4P = P (21A A 43A A )+P (4321A A A A )+…+ P (4321A A A A )=24C 242-qp一般，在n 重贝努利试验中，事件A 恰好发生k (0≤k ≤n)次的概率为)(k P n =kn C kn k qp - k =0,1,2…，n (3-14)若把(4-14)式与二项展开式∑=-=+nk kn k k n nqp C p q 0)(相比较就可以发现，在n 重贝努利试验中，事件A 发生k 次的概率恰好等于np q )(+ 展开式中的第k +1项，所以也把(4-14)式称作二项概率公式。

第四章 几种常见的概率分布第一节 二项分布 一、二项总体 1. 定义由非此即彼事件构成的总体，叫做二项总体(binomial population) 孵n 枚种蛋的出雏数、n 头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等 2. 表示方法通常给“此”事件以变量“1”，具概率φ ，给“彼”事件以变量“0”，具概率1- φ 。

二项总体又称0、1总体。

● 在n 重贝努利试验中，事件A 可能发生0，1，2，…，n 次，现在我们来求事件A 恰好发生k(0≤k ≤n)次的概率Pn(k)。

● 先取n=4，k=2来讨论。

在4次试验中，事件A 发生2次的方式有 24C● 其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验发生；kA (k=1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验不发生。

由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有● 由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中，事件A 恰好发生2次的概率为● 一般，在n 重贝努利试验中，事件A 恰好发生k(0≤k ≤n)次的概率为k n k kn n q p C (k)P -=nk ,,2,1,0 =二、二项分布如果我们每次独立抽取二项总体的n 个个体，则所得变量X 将可能有0，1，…n ，共n+1种变量有它各自的概率而组成一个分布。

这个分布就叫做二项概率分布，或简称二项分布（binomial distribution) 由此得到计算二项分布任何一项概率的通式为：p(x) =Cnx φ x(1- φ)n-x二项分布是一种离散型随机变量的概率分布性质1)1(0=-∑=-nx x n x x n C ϕϕ∑=--=≤mx xn x x n C m x P 0)1()(ϕϕ∑=--=≥nmx xn x x nCm x P )1()(ϕϕ∑=-=≤≤=≤≤21)()(2121m m x xn x x nn q p Cm k m p m x m P● 例1：若研究施用某种农药后蚜虫的死亡数，设死虫子为0，其概率为0.3；其活的为1，概率为0.7。