微分几何 2.7 常高斯曲率的曲面

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微分几何第二章曲面论第三节第六小节

上式又可写成： nudu nv dv k N (rudu rv dv) 两边分别点乘ru , rv 得： Ldu Mdv k N ( Edu Fdv) Mdu Ndv k N ( Fdu Gdv)
即：( L Ek N )du ( M Fk N )dv 0
0. 得： 1 2 0，
1 ln( 1 2 ) ln a ln ， (其中a为正常数) 2 2 2 2 a 1 ，1 ( ) ， a 2 1 1，可化为ln 1 ， 2 a a a 2 ( ) 1 a z 2 C， ln ( ) 1 积分得： (其中C为任意常数) a a a
即k N 只有一个值. 在脐点处，有两个相等的实根，
2.高斯曲率和平均曲率
定义曲面在一点的两个主曲率k1 , k2 之积叫做曲面 . 记作K . 在该点的高斯曲率(或全曲率）
曲面在一点的两个主曲率k1 , k2的平均值叫做曲面 . 记作H . 在该点的平均曲率(或中曲率）
由主曲率的计算公式 2 ( EG F 2 )k N ( LG 2 MF NE )k N ( LN M 2 ) 0
rt s 2 K , 2 2 2 (1 p q )
H (1 q 2 )r 2 pqs (1 q 2 )t 2(1 p 2 q 2 )
3 2
,
例8 求旋转曲面r { ( u) cos , ( u) sin , ( u)} ( ( u) 0) 的主曲率、高斯曲率和平均曲率. z ru { (u) cos , (u) sin , (u)}，解： r { (u) sin , (u) cos ,0}, ( x, y, z ) ruu { (u) cos , (u) sin , (u)}， o y ru { ( u) sin , ( u) cos ,0} r u , r { (u) cos , (u) sin ,0}， x x ( u) ru r { cos , sin , }, , z ( u) ru r { cos , sin , } n ru r 2 2

微分几何课件

3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个点 x ，有一个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向量函数，记作 r r ( x), x G, 例如设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
例书中的开圆和圆柱螺线。
z
3、曲线的参数方程
坐标式
M
x x(t ) y y (t ) z z (t )
at b
x
o
y
向量式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
例1、开圆弧
x a cos t y a sin t
t (0, 2 )
1、5 向量函数的积分
c b （1）当a<c<b时有 a r (t )dt a r (t )dt c r (t )dt b b （2）m 是常数时有 mr (t )dt m r (t )dt
a
b
a （3）如果 m 是常向量，则有

微分几何课程标准

《微分几何》课程标准一、课程概述《微分几何》是数学与应用数学（师范）专业的一门选修课，本课程是以数学分析为主要工具研究空间形式的一门数学分科。

它以经典微分几何为主要内容，主要讨论三维欧氏空间中曲线和曲面的局部性质。

同时还介绍了现代研究方法，即外微分、活动标架方法去处理曲线、曲面的局部理论。

通过本课程的学习，可以使学生空间思维及几何直观想象能力得到提高，为进一步学习诸如流形上微积分、偏微分方程、拓扑、黎曼几何等课程打好基础。

二、课程目标1、知道《微分几何》这门科学的性质，地位与独立价值，知道该学科的研究对象、研究方法、学科进展与未来方向；2、理解本学科的基本概念、基本原理和方法及初步的应用；3、能用《微分几何》的观点来认识中学几何的内容；4、具备进一步学习现代微分几何及其它数学分支的基础知识。

三、课程内容、教学要求该课程的知识与技能要求分为了解、理解、掌握三个层次，下面教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。

（一）曲线论（二）曲面论四、课程实施（一）课时安排与教学建议《微分几何》是数学与应用数学（师范）专业的一门选修课。

每周安排4课时，共60课时。

函授生一般为40课时。

具体安排如下：（二）教学组织形式与教学方法的要求1、教学班是主要教学组织，班级授课是教学的主要组织形式。

根据几何学种的特点，尽可能使用多媒体教学手段。

2、充分利用习题课课时，灵活地组织学生进行有利于培养学生发现问题，分析问题与解决问题的能力的各种教学活动。

3、评价教学方法要以实现课程标准规定的教学目标为依据，好的教学方法应有助于学生对教学内容的理解，并能激发学生的学习热情，更好地培养学生的空间思维及几何直观想象能力。

五、教材编写与选用本课程选用梅向明、黄敬元编写的由高等教育出版社出版的教材《微分几何》（第二版）六、学习评价与考核1、这门课程的评价依据本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求。

该门课程的成绩评定采用平时考核（30%）和期末考试（70%）相结合的形式。

微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面资料

其中常数A, B依赖于v0，
偏微分方程 ()的通解为： G A(v ) cos( K u) B(v ) sin( K u)
G A(v ) cos( K u) B(v ) sin( K u) 由初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0得： A(v ) 1, B(v ) 0. 曲面的第一基本形式为

E u v E u G v 2 1 G 1 G uu 2 G u G 现设曲面S的高斯曲率 K 常数，则得二阶常系数偏微分方程： 1 K EG
K G 0 2 u 根据初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0. 按以下三种情形求出这个偏微分方程的解 . (1).正常数高斯曲率的曲面 ( K 0)
I a 2du2 a 2 cos2 udv2 球面的第一基本形式为： 2 2 u 作参数变换：u au, v av, 则有： I du cos dv 2 a 1 而具有正常数高斯曲率 2 的曲面的第一基本形式为： a 2 2 u 2 2 2 I du cos ( K u)dv du cos dv2 a 它们等距等价.
Ku
齐次微分方程 ()的通解为： (u, v0 ) Ach( K u) Bsh( K u)
其中常数A, B依赖于v0，
偏微分方程 ()的通解为：
G A(v )ch( K u) B(v ) sh( K u) 由初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0得： A(v ) 1, B(v ) 0. 曲面的第一基本形式为
称为伪球面 . 定义上述曳物线绕z轴旋转所得的旋转曲面 z 伪球面的参数方程

高斯曲率的计算公式解析

第二章曲面论高斯曲率的计算公式高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。

注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。

所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。

曲面的高斯曲率分布

曲面的高斯曲率是描述曲面在某一点上局部弯曲程度的量，通常用K来表示。

具体地说，曲面上任一点处的高斯曲率可以通过曲面局部坐标系下的一阶偏导数和二阶偏导数计算得到。

曲面的高斯曲率分布通常有以下情况：
K > 0：曲面上某个点的高斯曲率为正，代表该点处曲面的弯曲方向相同（凸）。

K < 0：曲面上某个点的高斯曲率为负，代表该点处曲面的弯曲方向相反（凹）。

K = 0：曲面上某个点的高斯曲率为零，代表该点处曲面是平的或者其弯曲方向相互抵消。

除此之外，还有以下特殊情形：
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是正值时，这样的曲面称为椭球面；
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是负值时，这样的曲面称为双曲面；
曲面的高斯曲率在不同位置之间变号，称为过渡曲面，典型例子包括圆柱面和双曲抛物面等。

一般情况下，曲面的高斯曲率分布是一个连续的函数，在不同位置处变化，并且曲面的性质与它局部高斯曲率的符号有密切关系。

例如，对于凸曲面，其高斯曲率处处为正，即在任何一点处曲率半径都是正值；而对于双曲面，则处处为负，即在任何一点处曲率半径都是负值。

微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网

1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)

F (u, v)
其中，c为待定常数；每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。特别地，当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ，此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）

《微分几何》教学大纲

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。

重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。

教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

常高斯曲率的曲面

以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：
（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程
2 G u2 K G 0.
的通解为 G A(v) cos K u B(v) sin K u 这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由初始条件
G(0, v) 1,Gu (0, v) 0. 可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为
这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0 时，曲面与球面等距，K=0 时与平面等距，K<0 时与伪球面等距。
4、把命它题经：过若保通角过变伪换球映面射的到第平一面基上本，形则式伪球面 d的s2测地ay22线(d对x2应 d于y2 )
园心在 x 轴上的园。
要证明这个命题，先作保角变换：x
7、3 罗氏几何
1、罗氏平面上的距离
设 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 是罗氏平面上的两点，通过保角变换，
它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把

v,
y

eu a
,
ady
dx dv, du
y

ds2

du2

a
2
e
2u a
dv
2

a2
(dx2

dy2 )
y2
与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上
的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线：
现在
d 2uk
ds2

i, j
ikj
dui ds
du j ds
0
, k 1,2
y
y
K=2时， y 1 (xx yy) 0 y x2 y 2 0

微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念

2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅

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1 2 1 2 x x y (常数 ) 2 2
( x c)2 y 2 r 2
这是 xoy 平面上园心在 x 轴上的园的方程，命题得到证明。
下面考虑 xoy 平面上在 x 轴上方的半平面，我们称之为罗氏平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在 x 轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平面上任两点P1 到P2 正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们。
y x y y y x 0 2 2 0 2 x 由第二式 y y y y y y
2 2

积分之
y x (常数) y
y 除以 x
积分整理得
2
得
x dy y dx x y
2u a
ady dx dv, du y
y 1 2 2 2 2 22 0 , 11 1 , 12 21 0 , 22 1 , y y
代入测地线方程有 y 1 2x ( )(x y x y ) 0 x x 0 K=1时， y y 2 y 2 1 x (x x y y ) 0 y y 0 K=2时， y y y 2x x 0, y 所以测地线方程为 2 2 x y y 0. y 2x y x x x 由第一式 y 2 y 3 0 y2 0 y 2 (常数 )
G A(v) cosh K u B(v) sinh K u
由初始条件得 A(v)=1，,B(v)=0
ds2 du2 cosh2 K udv2
下一节讨论这种情形。
7.2 伪球面
（负高斯曲率的曲面）
1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z 轴之间的线段始终保持定长a ，此曲线称为曳物线，z 轴称为它的渐近线。 2、曳物线的方程设它的参数表示为 x=x(t) , z=z(t) ,曲线上一点 P(x,z) 的切线的
以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：
（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程
2 G K G 0. 2 u
的通解为
G A(v) cos K u B(v) sin K u
这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由初始条件
G(0, v) 1, Gu (0, v) 0.
2 2 2 2 2
2u a
因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，u线是测地线，其高斯曲率为 2
K 1 G 1 1 2 2u a ( a e ) . 2 2 2u 2 a G u a e a
所以伪球面为负高斯曲率的曲面。这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0 时，曲面与球面等距，K=0 时与平面等距，K<0 时与伪球面等距。
可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为
ds2 du2 cos2 K udv2
例：球心在原点，半Байду номын сангаас为 R 的球面。
（2）K=0 ，则微方程的通解为 G A(v) B(v)u ，由初始条件得 G 1, 因此 du2 dv2 与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。（3）K<0，则微分方程的解为
3、伪球面将 ozx 平面上的曳物线绕oz 由旋转一周所得的旋转面叫伪球面，它的参数表示为 x a sin t cos y a sin t sin z a(ln tan t cost ) 2 计算知
ds du Gdv du a e dv2
7、3 罗氏几何 1、罗氏平面上的距离设P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 是罗氏平面上的两点，通过保角变换，它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把这两对应点之间的测地线的弧长定义为 P1 到P2 的罗氏距离。 2 a 由 ds2 2 (dx2 dy2 ) y ( x1 , y1 ) ( x1 , y1 ) dx 2 dy 2 s( P ds a 得 1, P 2) ( x2 , y 2 ) ( x2 , y 2 ) y 积分沿着P1 和P2对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行，注意到测地线的方程为 ( x c)2 y 2 r 2 xi c r cosi 作坐标变换 x c r cos i 1,2 令 yi r sin i y r sin
dx dz { x , z } ，故切线上一点的坐标是 dt dt dx x 0 x dx 如果这点在 oz 轴上，则横坐标为0，即 dt dt
的方向为 {
dx dz , } dt dt
求得曲线在 P 点的切线与z 轴的交点的坐标为 {0, z xdz dx} 由两点间距离公式得 2 2 2 dz a x x 2 ( xdz ) 2 a 2 x 2 x 2 a 2 dz dx dx x dx 令 x=asint 并两边积分 x a sin t t z a (ln tan 得曳物线方程为： 2 cost )
2 a 2 2 2 ds ( dx dy ) 4、命题：若通过伪球面的第一基本形式 2 y 把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于园心在 x 轴上的园。 u x v, y e a , 要证明这个命题，先作保角变换：
2 a ds2 du2 a 2e dv2 2 (dx2 dy2 ) y 与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线： i j d 2u k k du du ij 0 , k 1,2 2 ds ds ds i, j 1 1 1 现在 u1 x , u 2 y , 11 0 , 12 21 1 ,