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第二章直线和圆的方程2.2 直线的方程2.2.2 直线的两点式方程一、教学目标1、掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；2、了解直线方程截距式的形式特点及适用范围；3、让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点；4、认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题.二、教学重点、难点重点：直线的两点式方程和截距式方程难点：直线的两点式方程和截距式方程的应用三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【问题1】观察实例：两点确定一条直线，那么由两个点的坐标是否可以求出过这两点的直线的方程。
【问题2】如果已知直线经过12(1,3),(2,4)P P 两点,如何求直线的方程？使用点斜式方程还是斜截式方程？ 解：方法一：使用点斜式方程：433(1)21y x --=--，即31y x -=- 方法二：使用斜截式方程：y kx b =+，将点12(1,3),(2,4)P P 代入得方程组解之得2y x =+【结语】已知直线经过两点，可以通过点斜式和斜截式来求出直线的方程.【问题3】能否直接求出经过两点的直线方程？（二）阅读精要，研讨新知【直线的两点式方程】 已知直线l 经过两个定点1112221212(,),(,)(,)P x y P x y x x y y ≠≠，如何求直线的方程？【演绎】由点斜式方程及斜率公式得211121()y y y y x x x x --=-- 当21y y ≠时，形式调整为112121y y x x y y x x --=-- 从而得出直线的两点式方程：112121y y x x y y x x --=--，简称两点式(two-point form) 【即时训练】已知直线l 经过点(1,2),(3,2)A B --,则直线l 的方程是 ( )A. 10x y ++=B. 10x y -+=C. 210x y ++=D.210x y +-=解：由两点式方程得212231y x +-=+--，化简得10x y ++=，故选A【直线的截距式方程】已知直线l 的横截距(0)a a ≠与纵截距(0)b b ≠，如何求直线的方程？（对应于课本63P 例3）【演绎】直线l 的横截距为a ，即过点(,0)A a ，纵截距为b ，即过点(0,)B b由两点式方程得000y x a b a --=--，化简得1x y a b+= 从而得出直线的截距式方程：1x y a b +=,简称截距式(intercept form) 【即时训练】在,x y 轴上的截距分别是3,4-的直线方程为( )A. 43120x y +-=B. 43120x y -+=C. 4310x y +-=D. 4310x y -+= 解：由截距式方程得134x y +=-，化简得43120x y -+=，故选B 【例题研讨】阅读领悟课本63P 例4（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）例4已知ABC ∆的三个顶点(5,0),(3,3),(0,2)A B C --， 求边BC 所在直线的方程，以及这条边上的中线AM 所在直线的方程.解：由已知，过(3,3),(0,2)B C -的直线的两点式方程为203230y x --=--- 整理得5360x y +-=，即为边BC 所在直线的方程. 由中点坐标公式，可得点3032(,)22M +-+，即31(,)22M - 所以过(5,0)A -，31(,)22M -两点的直线方程为05130522y x -+=--+ 整理可得1350x y ++=，即为边BC 上中线AM 所在直线的方程.【小组互动】完成课本63P 练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟类型一 直线的两点式方程1. 已知ABC ∆的三个顶点(1,2),(1,4),(5,2)A B C -，则边AB 上的中线所在的直线方程为___________. 解：由已知，线段AB 中点为(0,3)D ，所以ABC ∆的边AB 上的中线即CD 所在直线，所以CD 所在的直线方程为302350y x --=--，化简得5150x y +-=， 即为ABC ∆的边AB 上的中线所在的直线方程.答案：5150x y +-=类型二 直线的截距式方程2. 直线1:1x y l m n -=与2:1x y l n m-=在同一坐标系中的图象可能是( )解： 1l 在x 轴上的截距为m ，与2l 在y 轴上的截距为m -互为相反数，1l 在y 轴上的截距为n -，与2l 在x 轴上的截距为n 互为相反数，符合此关系的只有选项B ，故选B.3. 已知直线l 过点(1,2)A ，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程. 解：方法一：设:1(0,0)x y l a b a b +=>>，则 121a b += ，又142ab = 解得2,4a b ==所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-= 方法二：设:2(1)(0)l y k x k -=-<，令0,x =则2y k =-，令0,y =则21x k=- 由已知，12(2)(1)42S k k=--=，即2440,k k ++=解得2k =-所以直线l 的方程为22(1)y x -=--，即:240l x y +-=类型三 直线方程形式的灵活应用4. 已知ABC ∆的一个顶点是(3,1)A -，角,B C 的平分线方程分别为0,x y x ==.（1）求直线BC 的方程.（2）求直线AB 的方程.解：（1）因为角,B C 的平分线方程分别为0,x y x ==，所以AB 与BC 关于0x =对称，AC 与BC 关于y x =对称.可知(3,1)A -关于0x =的对称点(3,1)A '--在直线BC 上，(3,1)A -关于y x =的对称点(1,3)A ''-也在直线BC 上. 由两点式得133113y x ++=+-+，化简得250x y -+= 所以直线BC 的方程为250x y -+=（2）因为直线AB 与BC 关于0x =对称，所以直线AB 与BC 的斜率互为相反数由（1）知2,2BC AB k k =∴=-，又(3,1)A -所以直线AB 的方程为12(3)y x +=--，即250x y +-=5.一条光线从点(2,3)A 出发,经y 轴反射后,通过点(4,1)B -，求入射光线和反射光线所在的直线方程. 解：由已知点(2,3)A 关于y 轴的对称点为(2,3)A '-，点(4,1)B -关于y 轴的对称点为(4,1)B '-- 则入射光线所在直线的方程为32:1342y x AB --'=----，即2350x y -+= 反射光线所在直线的方程为32:1342y x A B -+'=--+，即2350x y +-= （四）归纳小结，回顾重点（五）作业布置，精炼双基P习题2.2 1（4）（5）（6）、4、5、7、9 1.完成课本672.预习2.2 直线的方程五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
高二数学教案 必修2 直线方程——两点式（截距式） 班级 姓名 教学目标（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件选择恰当的方法求直线的方程；（3）能认识到等截距的多解性，并能很好的解决相关问题。
复习提问：上一节课，我们学习了直线的哪些表达式？创设问题情境，引出问题情境。
过两定点的直线方程该如何求解？已知直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，如何求l 的方程．先求直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，再利用点斜式方程求解，得出y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)． 已知直线过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则其方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，称为直线的两点式方程．【精典范例】例1：已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程．【解】∵l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x y a b+=． 点评:（1）以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；（2）截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．（3）当直线l 过原点时，在x 轴与y 轴上的截距都为0.例2：三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程．点评:过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线能写成两点式的条件是12x x ≠且12y y ≠，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式． 练习：1.直线324x y -=的截距式方程为1423x y +=-.2．根据下列条件，求直线的方程：（1）过点(3,4)A 和(3,2)B -；3x =； （2）在x 轴上、y 轴上的截距分别是2，3-；123x y -=；（3）过点(1,4)A -，且在x 轴上的截距为3．30x y +-=．3.求经过点(3,4)-且在两坐标轴上截距相等的直线方程是430x y +=10x y ++=或例3：求经过点(4,3)-且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．分析： 涉及直线在坐标轴上的截距时，可选择直线方程的截距式．【解】设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为,a b ，①当0,0a b ≠≠时，设直线方程为1x y a b +=， ∵直线经过点(4,3)-，∴431a b-=， ∵||||a b =，∴11a b =⎧⎨=⎩或77a b =⎧⎨=-⎩，∴直线方程为 10x y +-=或70x y --=；②当0a b ==时，则直线经过原点及(4,3)-，∴直线方程为 340x y +=，综上，所求直线方程为10x y +-=或70x y --=或340x y +=．点评:题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方．例4：直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程． 分析：根据题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零，因此可以用截距式方程．【解】由题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零， 故可设直线方程为1x y a b+=(0,0)a b >>， 由已知得：122||3ab a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩或41a b =⎧⎨=⎩或14a b =-⎧⎨=-⎩（舍）或41a b =-⎧⎨=-⎩（舍） ∴直线方程为14x y +=或14y x +=． 练习：求过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别为,a b ，且满足3a b =的直线方程．答案：分截距为零、不为零两种情况讨论，可得所求直线方程为310x y ++=或12y x =-．后记：高二数学学案 必修2 直线方程——两点式（截距式） 班级 姓名 我的学习目标（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件选择恰当的方法求直线的方程；（3）能认识到等截距的多解性，并能很好的解决相关问题。
2.2.2直线的两点式方程（基础知识+基本题型）知识点一直线的两点式方程1.直线的两点式方程的定义212y y y y --=121x x x x --就是经过两点111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.当直线的斜率不存在（12x x =）或斜率为0（12y y =）时，不能用两点式方程，若12x x =，12y y ≠,则直线方程为10x x -=若12y y =、12x x ≠，则直线方程为10y y -=.提示：(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴平行（或重合）或垂直的直线.(2)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关.(3)将两点式化成整式：211211()()()()x x y y y y x x --=--.用该式可求出过平面内的任意两个已知点的直线的方程.3.若点12,p p 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，是线段12p p 的中点M 的坐标为(,),x y 则有中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.知识点二直线的截距式方程直线与x 轴的交点(,0)a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，若此时直线在y 轴上的截距为b ，则直线的方程为1(0),x y a b+=≠此方程由直线在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程.拓展（1）到x 轴和y 轴上的截距，反之，若已知直线在x 轴和y 轴上的截距（都不为0），也可直接由截距式写出方程.（2）由截距式的方程可知，截距式的方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在，且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y 轴垂直的直线.过原点的直线可以表示y kx =；与x 轴垂直的直线可以表示0x x =；与y 轴垂直的直线可以表示0y y =.（3）直线与两坐标轴都相交（非原点）时，直线与两坐标轴围成直角三角形，围绕三角形的面积考查时要注意截距式与“距离”的关系.（4）求截距的方法在直线l 的方程中，令0x =，解出y 的直线，即得直线l 在y 轴上的截距.令y 0=，解出x 的值，即得出直线l 在x 轴上的截距.考点一直线的两点式方程例1.（1）已知直线l 经过点(2,1),(2,7)A B -，求直线l 的方程；（2）已知点(3,)P m 在过点(2,1),(3,4)A B --的直线上，求m 的值；（3）三角形的三个顶点分别是(1,0),(3,1),(1,3)A B C --，求三角形三边所在直线的方程.解：（1）因为点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，故所求直线方程为2x =.（2）由两点式方程，得过A ，B 两点的直线方程为(1)24(1)32y x ---=----，即10x y +-=.又因为点(3,)P m 在直线AB 上，所以310m +-=，得2m =-.（3）由两点式，得边AB 所在直线的方程为(1)30(1)13y x ---=----，即410x y ++=.同理，边BC 所在直线的方程为311331y x --=---，即250x y +-=.边AC 所在直线的方程为310311y x --=---，即3230x y -+=.总结：1.利用两点的坐标写直线的两点式方程时，一定要注意2121,y y x x ≠≠.2.若点P 在直线AB 上，则点P 的坐标满足直线AB 方程.求直线的两点式方程的策略及注意点（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑两点式求方程.（2）用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.考点二利用截距式求直线方程例2.（1）求在,x y 轴上的截距分别是3,4-的直线方程；（2）求过点(3,4)A ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.解：（1）根据直线方程的截距式，得直线方程为134x y +=-，化简得43120x y -+=.（2）当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为1x y a a +=-.又因为l 过点(3,4)A ，所以341a a =，解得1a =-.所以直线l 的方程为111x y +=-，即10x y -+=.当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为43y x =，即430x y -=.综上，直线l 的方程为10x y -+=或430x y -=.总结：用截距式求直线方程的步骤（1）由已知条件确定直线在轴和y 轴上的截距.（2）若截距为0，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为0，则代入公式1x y a b +=中，可得所求直线方程.考点三：直线方程的综合应用例3．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），分别求BC 边上的高和中线所在的直线方程．【答案】3x －5y+15=0x+13y+5=0【解析】BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC 的中点坐标，由两点式得BC 边上的中线所在的直线方程．设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴1BC AD k k ⋅=-，∴23103AD k +⋅=--，解得35AD k =，∴BC 边上的高所在的直线方程是30(5)5y x -=+，即3x －5y+15=0．设BC 的中点是M ，则31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴BC 边上的中线所在直线方程是05130522y x -+=--+，即x+13y+5=0．∴BC 边上的高所在的直线方程是3x －5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．总结：求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．。
