第14章 达朗贝尔原理（动静法）14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。
设零件与臂之间的摩擦系数f s = 0.2。
求：（1）降落加速度a 为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d 等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。
解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力F I 。
（1）零件不滑动时，受力如图（a ），它满足以下条件： 摩擦定律 N s F f F s ≤ （1） 达朗伯原理 0=∑x F030sin I s =︒-F F （2） 0=∑y F030cos I N =-︒+mg F F （3）把F I = ma 代入式（1）、（2）、（3），解得2m/s 92.2≤a2）零件不滑动而倾倒时，约束反力F N 已集中到左侧A 点 如图（b ），零件在惯性力作用下将向左倾倒。
倾倒条件是 0≥∑A M 即0230sin )30cos (2I I ≥︒+︒+-h F F mg d （4）以F I = ma 代入式（4），解得aag dh 32-≥此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果2m/s 92.2≤a 代入上式 得 5≥dh加速度为t lrt r xa B x ωωωω2222cos cos --==取重物为研究对象，并虚加惯性力F I ，受力如图（b ）。
)2cos cos (222I t lr t r m ma F x x ωωωω+=-=按达朗伯原理有0 ,0I T =++-=∑F mg F F x故金属杆受之拉力)2cos (cos 2T t lr t r m mg F ωωω++=14-3 图示矩形块质量m 1 = 100 kg ，置于平台车上。
车质量为m 2 = 50 kg ，此车沿光滑的水平面运动。
车和矩形块在一起由质量为m 3的物体牵引，使之作加速运动。
设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动而m 1块不倒的质量为m 3的最大值，以及此时车的加速度大小。
解：取车与矩形块为研究对象如图（a ）。
惯性力 F I = (m 1 + m 2 ) a = 150 a 。
由动静法a F F F F x 150 , 0,0T I T ==-=∑ 取矩形块为研究对象，欲求使车与矩形块一起加速运动而m 1块不倒的m 3最大值，应考虑在此时矩形块受车的约束反力F N 已集中到左侧A 点，如图（b ），且矩形块惯性力F I1 = m 1a 。
由动静法，不翻倒的条件为：02125.01 ,011T =⋅-⋅-⋅=∑a m g m F MA将F T = 150 a 代入解出 2m/s 45.24==g a取物块为研究对象，惯性力F I3 = m 3a ，如图（c ）。
由动静法 F T + m 3a - m 3g = 0kg 5044150T3=-⋅=-=g g g ag F m14-5 曲柄滑道机械如图所示，已知圆轮半径为r ，对转轴的转动惯量为J ，轮上作用一不变的力偶M ，ABD 滑槽的质量为m ，不计摩擦。
求圆轮的转动微分方程。
解：取C 为动点，动系固连于ABD 滑槽，C 点的绝对加速度分解为t a a 、n a a ，滑槽的加速度为a e ，则ϕϕc o s s i n n a t a e a a a +=ϕϕϕϕc o s s i n 2 r r +=其中ϕ为任意角。
取ABD 滑槽为研究对象，受力分析如图（a ）。
图中 惯性力 ϕϕϕϕcos sin 2I mr mr F += 由动静法：0 ,0N I =-=∑C x F F F解出)cos sin (2N ϕϕϕϕr r m F C += 取圆轮为研究对象，受力分析如图（b ），惯性力偶矩ϕJ M =I ，由动静法： M mr mr J r F M M MC O=++='--=∑ϕϕϕϕϕϕsin cos )sin (0sin ,02222NI14-7 图示为均质细杆弯成的圆环，半径为r ，转轴O 通过圆心垂直于环面，A 端自由，AD 段为微小缺口，设圆环以匀角速度ω绕轴O 转动，环的线密度为ρ，不计重力，求任意截面B 处对AB 段的约束反力。
解：（1）图（a ），取图示坐标，分布惯性力向外，由对称性，其合力在y 轴投影为0，即2cos22πsin2d cos 2π2πcos d 2π2π02222222I I θωρθωρϕϕθθωρϕϕρωθθr r r r r F F x y =-⋅=---=⋅---==⎰⎰（2）图（b ） )cos 1(2cos, 0sin 2sin)2πcos( , 0)cos 1(2cos2)2πsin(, 022I N n 22I I T t 32223I θρωθθωρθθθρωθωρθ+===∑==-==∑+==-⋅==∑r F F F r F F F F r r r F MMx B x x B x BB14-9 转速表的简化模型如图示。
杆CD 的两端各有质量为m 的C 球和D 球，CD 杆与转轴 AB 铰接，质量不计。
当转轴AB 转动时，CD 杆的转角ϕ就发生变化。
设0=ω时，0ϕϕ=，且弹簧中无力。
弹簧产生的力矩M 与转角ϕ的关系为)(0ϕϕ-=k M ，k 为弹簧刚度。
试求角速度ω与角ϕ之间的关系。
解：取二球及CD 杆为研究对象如图，由动静法0cos 2,0I =⋅-=∑ϕl F M M x 其中惯性力 2I sin ωϕ⋅⋅=l m F代换前式得 0cos sin 2)(20=⋅⋅⋅⋅--ϕωϕϕϕl l m kϕϕϕω2sin )(20ml k -=14-11 所图所示，质量为1m 的物体A 下落时，带动质量为2m 的均质圆盘B 转动，不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦，a BC =，盘B 的半径为R 。
求固定端C 的约束力。
解：（1）图（a ），0=∑B M011=-⋅+gR m R a m J B α0211122=-+⋅Rg m Ra m Ra R mg m m m a 12122+=0=∑x F ，0=Bx F0=∑y F ，0112=-+-g m a m g m F Byg m m m m m F By 21222123++=（2）图（b ）0=∑x F ，0=Cx F 0=∑y F ，g m m m m m F Cy 21222123++=0=∑CM，ag m m m m m MC212212)3(++=14-13 图示为升降重物用的叉车，B 为可动圆滚（滚动支座），叉头DBC 用铰链C 与铅直导杆连接。
由于液压机构的作用，可使导杆在铅直方向上升或下降，因而可升降重物。
已知叉车连同铅直导杆的质量为1500 kg ，质心在1G ；叉头与重物的共同质量为800 kg ，质心在2G 。
如果叉头向上加速度使得后轮A 的约束力等于零，求这时滚轮B 的约束力。
解：（1）整体平衡受力图（a ）0=∑E M ，g m g a m 12)(=+ g g a 1500)(800=+g a 87=（2）受力图（b ），平衡0=∑CM ，6.0)(9.02⨯+=g a m F B )(322g a m F B +=8.9)187(80032⨯+⨯⨯=kN 9.8N 108.93=⨯=14-15 图示曲柄OA 质量为m 1，长为r ，以等角速度ω绕水平的O 轴反时针方向转动。
曲柄的A 端推动水平板B ，使质量为m 2的滑杆C 沿铅直方向运动。
忽略摩擦，求当曲柄与水平方向夹角︒30时的力偶矩M 及轴承O 的反力。
解：取曲柄OA 上A 点为动点，动系固连于滑杆BC 上，则有2a e 2130sin ωr a a =︒=（1）、取滑杆BC 为研究对象，受力分析如图（a ） 由动静法0,021I N =-+=∑g m F F F y 式中 2/22e 21I ωr m a m F ==解出222N 2ωr m g m F -=（2）、取曲柄OA 为研究对象，由动静法 0=∑O M ，0232231N =⋅-⋅-r gm r F M[]22221)2(43ωr m g mg m r M -+=0=∑x F ，023I=+-F F Ox式中221I ωr m F ⋅=代入解出 2143ωr m F Ox =0=∑y F ，0211I N =-⋅+-g m F F F Oy 2212142ωr m m g m g m F Oy +-+=14-17 图示均质板质量为m ，放在两个均质圆柱滚子上，滚子质量皆为2m ，其半径均为r 。
如在板上作用一水平力F ，并设滚子无滑动，求板的加速度。
解：设板的加速度为a ，则滚子中心的加速度为2a 。
1）取圆柱A 为研究对象，见图（a ）之左上部，其惯性力a ma m F A 422I =⋅=惯性力偶矩 ra mr a r m MA8)2()2(212I =⋅=由动静法有02 ,0I I =⋅'-+⋅=∑r F M r F M AA A D 把F I A ，M I A 代入，解得a m F A163='2）取圆柱B 为研究对象，见图（a ）之右上部，同理可得a m F B 163='3）取板为研究对象，见图（a ）之下部，惯性力F I = ma ，由动静法有F – F I – F A – F B = 0 以上结果代入，解出mF a 118=14-19 图示磨刀砂轮I 质量m 1 = 1 kg ，其偏心距e 1 = 0.5 mm ，小砂轮Ⅱ质量m 2 = 0.5 kg ，偏心距e 2 = 1 mm 。
电机转子Ⅲ质量m 3 = 8 kg ，无偏心，带动砂轮旋转，转速n = 3000 r/min 。
求转动时轴承A 、B 的附加动反力。
解：取整个系统为研究对象，受力如图（a ）所示。
因为转速n = 常量， 所以 角加速度α= 0，惯性力偶矩M I = 0Nπ5)30π3000(1015.0Nπ5)30π3000(105.012232222I 2232111I =⨯⨯===⨯⨯==--ωωe m F e m F因F I1与F I2大小相等方向相反，故组成一力偶，F N A 、F N B 也必成一力偶，方向如图（a ）所示。
由动静法0=∑M 得：N 74π5152.03.02I1N N =⨯===F F F B A14-20 三圆盘A 、B 和C 质量各为12 kg ，共同固结在x 轴上，其位置如图所示。
若A 盘质心G 距轴5 mm ，而盘B 和C 的质心在轴上。
今若将两个皆为1 kg 的均衡质量分别放在B 和C 盘上，问应如何放置可使物系达到动平衡？解：取整个系统为研究对象，设D 1、D 2各为两平衡质量的质心，偏心距分别为e 1及e2 mm ，偏心方向与y 方向的夹角分别为θ，ϕ，转轴角速度为ω，则惯性力大小分别为N 100010001 ,N 1006100051221211I 22I ωωωωe e F F =⋅==⨯=及 N 10001000122222I ωωe e F =⋅=F I 平行于z 轴，又F I1与y 轴夹角为θ，F I2与y 轴夹角为ϕ。
