2019-2020学年度最新高一数学上第三次月考试题奥赛班

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高一数学上学期第三次月考试题______年______月______日____________________部门注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.参考公式：球的表面积公式：，其中是球的半径；24R S ⋅=πR球的体积公式： 其中R表示球的半径；34.3V R π=锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积.是锥体的高．h s V ⋅⋅=31s h第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知全集，则集合{0,1,2,3},{1,3}U A ==U C A =A ．B ．C ．D ． {}0{}1,2{}0,2{}0,1,22、空间中，垂直于同一直线的两条直线A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能3、已知幂函数的图象经过点，则的值等于()f x (2,8)1()2f -A ．B ．C ．-8D ．818-184、已知过点的直线与直线平行，则的值为(2,),(,4)A mB m -210x y +-=mA ．0B ．-8C ．2D ．105、函数的零点所在的一个区间是()2log 4f x x x =+- A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,3()3,46．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为 A ．B ．C ．D ． 2102267．两条平行线：3x －4y －1＝0，与：6x －8y －7＝0间的距离为1l 2lA ．B ．C ．D ．11235658．如图，正方形的面积为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为C ''''O A B 4A ．B ．C ．D ．434+1612424+9、已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是,,l m n ,,αβγA ．若，则B ．若，则 ,m l n l ⊥⊥//m n ,αγβγ⊥⊥//αβC ．若，则D ．若，则 //,//m l n l //m n //,//m n αα//m n10、若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为220(0)Ax By C A B ++=+≠,,A B CA ．同号B ．,,A BC 0,0AC BC >< C ．D ．0,0AC BC <>0,0AB AC ><11.一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是A. B.2(2042)cm +221cm C. D.2(2442)cm +224cm 12、已知函数的定义域为且，且是偶函数，当时，，那么当时，函数的递减区间是()y f x ={|x x R ∈2}x ≠()2y f x =+2x <()21xf x =-2x >()f xA ．B ．C ．D ．()3,5()3,+∞()2,+∞(]2,4第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13、已知奇函数满足当时，，则 ．()y f x =0x ≥()2x f x x a =+-()1f -=14、经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的方程是__________．)1,3(-P x y l15、已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为 .16、在三棱柱中，各棱都相等，侧棱垂直底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 . 11BB C C三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分） 计算下列各式的值 ；18、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中， 直线与直线的交点为，过点作直线，使得点到直线的距离为1.求直线的方程.xOy240x y --=1y x =-M (0,3)A l M l l19、（本小题满分12分）如图，已知在直三棱柱中（侧棱垂直于底面），，，，点是的中点．111C C AB -A B C 3A =5AB =C 4B =D AB()1求证：；1C C A ⊥B ()2求证：平面．1C //A 1CD B20、（本小题满分12分）已知函数（且）．()()()log 1log 1a a f x x x =+--0a >1a ≠()1求的定义域；()f x()2判断的奇偶性并予以证明．()f x21、（本小题满分12分）已知平面内两点.()1求的中垂线方程；()2求过点且与直线平行的直线的方程；AB l()3一束光线从点射向中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程.B ()2l A22. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是等腰直角三角形，∠APD ＝90º，且平面PAD ⊥平面ABCD.()1求证：PA ⊥PC ；()2若AD ＝2，AB ＝4，求三棱锥P-ABD 的体积；在条件下，求四棱锥P-ABCD 外接球的表面积.()3()2数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、C ． 由题意得，根据集合中补集的概念，得集合。

2019—2020学年度第一学期第三次月考试题高一数学（立体几何专题）本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若,,则B. 若,,,则C. 若,,,则D. 若,,则2.如图,是水平放置的的直观图,则的周长为( )A. B. C. D. 123.棱长为4的正方体的内切球的表面积为( )A. B. C. D.4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是（）A.B.C.D.5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）A. 2B.C.D.6.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.B.C.D.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )．A.B.C.D.9.如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“2”所对的面是A. 1B. 7C. 快D. 乐10.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（）①若mα，nα，则m n；②若mα，mβ，则αβ；③若mα，m n，则n a；④若mα，mβ，则αβ．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个11.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A.B.C.D.12.一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+π，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为______．14.如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是______．15.已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．16.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF平面PAD；（Ⅱ）求证：EF平面PDC．18.如图，是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，．求证：平面平面；若，求几何体的体积V．19.如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．求证：平面PCB；求点C到平面DEB的距离；求二面角的余弦值．20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP平面BB1C1C；（2）A1N平面AMP．21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC平面EBD；（Ⅱ）求证：平面EBD平面PAC；（Ⅲ）若PA=PC，求三棱锥C-ABE的体积．22.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，（1）求异面直线与的夹角；（2）求证：MN平面PAD；（3）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查两直线平行、两平面平行、线面垂直以及面面垂直的判定定理，属于基础题．根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面，B．错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面，C．错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交，D．正确，由mα，m n，得nα，又nβ，∴αβ．故选D.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查斜二侧画法,属于一般题,属于较易题.根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,∠AOB=90°,边长OB=4，OA=2O'A'=6，然后求三角形的周长即可．【解析】解：根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长OB=4，高OA=2O'A'=6，所以AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2.故选A.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体的内切球的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．棱长为4的正方体的内切球的半径r=2，由此能求出其表面积．【解答】解：棱长为4的正方体的内切球的半径r=2，表面积=4πr2=16π．故选C．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征与空间中直线与直线的位置关系及利用空间向量判定线线的垂直平行关系的知识点，考查了正方体的结构特征，空间线线位置关系及其判定方法，属于基础题．如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长=1．则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），∴=（-1，-1，1），=（-1，0，-1），∴=1+0-1=0，∴，因此不可能有BD1B1C，故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，属于基础题．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S==6+4，故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由三视图求体积的应用问题，是基础题目．根据已知中的三视图可分析出该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，结合图中数据，即可求出体积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，且正方体的棱长为2，正四棱锥的高为2；所以该组合体的体积为V=V正方体+V正四棱锥=23+×22×2=cm3．故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为：S几何体=π12+π×1×2+2×2=3π+4．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线AC与BD所成角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线AC与BD所成角是关键．分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF BD，EG AC，则∠FEG为异面直线AC与BD所成角．【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF,EG,FO,FG,GO,则EF BD，EG AC，OF AB，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．因为AB平面BCD，BC、BD、OG在平面BCD内，则AB BC，AB BD，AB OG，则FO OG，设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，∴ 为等边三角形，即∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A．9.【答案】B【解析】【分析】根据已知中的正方体表面展开图，分析出三组相对的面，可得答案．本题考查的知识点是正方体的展开图，正方体的几何特征，难度不大，属于基础题．【解答】解：由已知中的正方体表面展开图可得：2和7对面，0和快对面，1和乐对面，故选：B10.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面与平面之间的位置关系，解答此类题，需要有较强的空间想像能力，能通过对题设条件的分析想像出所研究的线线、线面、面面之间的位置关系，作出正确判断，空间感知能力是立体几何的重要能力，可通过一些物体的实物图加深对空间几何体的认识由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，①若mα，nα，则m n，可由线面平行时线与面内的线的位置情况进行讨论；②若mα，mβ，则αβ，可由两个平面平行于同一条直线，两面的可能的位置关系进行判断；③若mα，m n，则n a，可由线面的位置关系进行判断；④若mα，mβ，则αβ，可由垂直同一条直线的两个面的位置关系判断．【解答】解：①若mα，nα，则m n；此命题不正确，线面平行时，线与面内的线的位置关系有两种，平行或者异面；②若mα，mβ，则αβ；此命题不对，平行于同一直线的两个平面可能平行也可能相交；③若mα，m n，则n a；此命题不对，若mα，m n，则n与面α的关系可能是平行或n在面α内；④若mα，mβ，则αβ．此命题正确，垂直于同一条直线的两个平面一定平行综上知只有④正确故选B11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题目．根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥与半球体的组合体，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆锥与半球体的组合体，且圆锥的高为2，底面圆的半径为1，球的半径也为1，圆锥的母线长为=3；所以，该几何体的表面积为S=S圆锥侧+S半球=π×1×3+2π×12=5π．故选B．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆柱、圆球、圆锥的三视图、体积与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为圆锥、圆柱、半球．表面积为6π+π=+2πr×2r+2πr2，解得r．再利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为圆锥、圆柱、半球．表面积为6π+π=+2πr×2r+2πr2，解得r=1．∴该几何体的体积V=r2×r+πr2×2r+=3π．故选：D．13.【答案】96π【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．根据侧面积计算圆锥的底面半径，根据勾股定理得出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为rcm，则S侧=π×r×10=60π，解得r=6，∴圆锥的高h==8（cm），∴圆锥的体积V===96π（）．故答案为96π．14.【答案】【解析】【分析】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，再求解该角的余弦值．【解答】解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵A1C1AC，∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，因为∠ACB=，AA 1=2，AC=BC=1，∴，，A1C1=1，∵，∴，∴ ，故答案为：.15.【答案】【解析】【分析】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=,在直角三角形POA中，PO===1,所以=••PO=×4×1=,故答案为．16.【答案】9π【解析】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在CPA中，EF PA，且PA平面PAD，EF⊊平面PAD，∴EF平面PAD（Ⅱ）因为平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD AD，所以CD平面PAD，∴CD PA又PA=PD=AD，所以PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA PD而CD∩PD=D，∴PA平面PDC，又EF PA，所以EF平面PDC.【解析】（Ⅰ），要证EF平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；（Ⅱ）要证明EF平面PDC，由第一问的结论，EF PA，只需证PA平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA PD，只需再证明PA CD，而这需要再证明CD平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证．本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．18.【答案】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC BC．因为AA1平面ABC，BC平面ABC，所以AA1BC，而AC∩AA1=A，所以BC平面AA1C．又BC平面BA1C，所以平面AA1C平面BA1C．（2）解：在Rt ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．【解析】（1）证明BC平面AA1C，即可证明平面AA1C平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1-ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明：∵PD平面ABCD，∴PD BC，又∵正方形ABCD中，CD BC，PD∩CD=D，∴BC平面PCD，又∵DE平面PCD，∴BC DE，∵PD=CD，E是PC的中点，DE PC，PC∩BC=C，∴DE平面PCB．（2）解：过点C作CM BE于点M，由（1）知平面DEB平面PCB，又平面DEB∩平面PCB=BE，∴CM平面DEB，∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，∴PC=2，EC=，BC=2，∴BE=，∴CM=．（3）解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），∴，，，，，，设平面BDE的法向量为，，，则，，∴ ，令z=1，得到y=-1，x=1，∴，，，又∵，，，，，，，，，且AC平面PDB，∴平面PDB的一个法向量为，，．设二面角E-BD-P的平面角为α，则cosα=|cos＜，＞|=||=．∴二面角E-BD-P的余弦值为．【解析】本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．（1）由已知条件推导出PD BC，CD BC，由此得到BC平面PCD，从而能够证明DE平面PCB．（2）过点C作CM BE于点M，平面DEB平面PCB，从而得到线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，由此能求出结果．（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-P的余弦值．20.【答案】证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，M是BC的中点，∴AM BC，AM BB1，∵BC∩BB1=B，,∴AM平面BB1C1C，∵AM平面AMP，∴平面AMP平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，∵M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点，∴NE BC1PM，A1E AM，∵PM∩AM=M，A1E∩NE=E，PM、AM平面APM，A1E、NE平面A1EN，∴平面A1NE平面APM，∵A1N平面A1NE，∴A1N平面AMP．【解析】（1）由已知条件推导出AM BC，AM BB1，从而AM平面BB1C1C，由此能证明平面AMP平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，推导出平面A1NE平面APM，由此能证明A1N平面AMP．本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.【答案】解（Ⅰ）设AC∩BD=O，连接EO，∵E为PA中点，O为AC中点，∴EO PC．又∵EO平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC平面EBD．（Ⅱ）连接PO，∵PD=PB，O为BD中点，∴PO BD．又∵底面ABCD为菱形，∴AC BD．∵PO∩AC=O，PO,AC平面PAC，∴BD平面PAC．又∵BD平面EBD，∴平面EBD平面PAC．（Ⅲ）由题意知，O为AC中点，又PA=PC，故，由（Ⅱ)知PO BD，且，、平面ABC，∴平面ABC，而E是PA的中点，过E做面ABCD的垂线，垂足在AC上且与PO平行，等于PO的一半，V C-ABE=V E-ABC==．【解析】本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（Ⅰ）设AC∩BD=O，连结EO，证明EO PC．即可证明PC平面EBD．（Ⅱ）连结PO，证明PO BD．AC BD．即可证明BD平面PAC，然后说明平面EBD 平面PAC．（Ⅲ）利用V C-ABE=V E-ABC，求解即可．22.【答案】解：(1)取PD中点T,连接AT,则AM TN,且AM=TN,∴四边形AMNT为平行四边形,∴MN AT,又BC AD,∴∠TAD即为异面直线MN与BC的夹角,∵,∴∠PAD=90°,即∠TAD=45°,故异面直线MN与BC的夹角为45°;(2)由(1)中的结论知MN AT，又∵AT在平面PAD内，MN不在平面PAD内，∴MN平面PAD；(3)Q是PB的中点时，平面MNQ平面PAD.∵M、N分别是AB、PC的中点，Q为PB的中点，∴MQ PA，且NQ AD，则MQ平面PAD，NQ平面PAD，且MQ∩NQ=Q，∴平面MNQ平面PAD，故当Q是PB的中点时，平面MNQ平面PAD.【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定，异面直线所成的角.(1)取PD中点T,连接AT,通过MN AT,知∠TAD即为异面直线MN与BC的夹角，即可求解;(2)由(1)知MN AT，根据直线与平面平行的判定定理可证得MN平面PAD；(3)Q是PB的中点时，平面MNQ平面PAD.利用线面平行的判定定理得到MQ平面PAD，NQ平面PAD，再利用面面平行的判定定理得到平面MNQ平面PAD.。

2019-2020学年高一数学上学期第三次月考试题（含解析）时量：120分钟，总分：150分.一、选择题（每小题5分，共8个小题，共40分）1.的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】，故选：A．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点( )A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变.B. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变.C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变.D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.【答案】B【解析】【分析】根据两函数解析式的特点，可以分析出这种变换是周期变换，所以按照正弦型函数的周期变换的特点，从四个选项中选出正确的答案.【详解】函数的图象为，通过变换得到函数的图象，可以发现振幅和初相都没有改变，只改变周期，周期由原来的变为，因此只需横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变即可，故本题选B.【点睛】本题考查了正弦型函数的周期变换，通过解析式之间的关系，判断出哪种变换或哪几种变换是解题的关键.3.不等式成立的的集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正切函数的图象和性质，解不等式即可得到结论．【详解】由得，即，即不等式的解集为，故选：C．【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础．4.函数的实数解落在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为的图像是连续不断的，且，所以函数的实数解落在的区间是．考点：零点存在性定理．点评：函数上的图像是连续不断的，且，则函数上存在零点，但不能判断零点的个数．5.设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点（且不与重合），则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为此题为单选题，故可考虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入，计算即可得解．【详解】为任意一点，不妨把A点看成O点，则，是平行四边形的对角线的交点，故选D．【点睛】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．6.函数（，且）是上的减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用函数的单调性的性质，可得，由此求得的取值范围．【详解】函数（，且）是上的减函数，，故选：D．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性的性质，属于基础题．7.在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，记，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求出与，进而表示出的表达式．【详解】由三角函数定义知，，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及诱导公式的应用，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．8.三个数，，的从小到大的顺序为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质可得，根据指数的运算性质可知，进而得到答案．【详解】由对数函数的性质可知，故选：C．【点睛】本题考查了指数的运算性质与对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共8个小题，共40分）9.已知，则_________．【答案】3【解析】,故答案为310.函数的定义域为_____________________ .【答案】【解析】【分析】直接由分母不为求解一元二次不等式得答案．【详解】由，得且．函数的定义域为故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．11.已知公式，你可以由此公式计算的值吗？_________________ .【答案】【解析】【分析】将化为和两个特殊角，然后根据特殊角的三角函数值来解答．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．12.已知表示不超过的最大整数，如：，，则方程的解集为___________________ .【答案】【解析】【分析】依据题目定义结合方程，即可求出答案．【详解】由已知表示不超过的最大整数，则方程得解为，故方程的解集为，故答案为：．【点睛】本题是新定义题，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．13.已知函数在[5，20]上具有单调性，实数k的取值范围是____________【答案】【解析】【详解】函数在上具有单调性，只需或，即或∴实数k的取值范围为14.如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，点关于点B的对称点为N，用，表示向量__________ .【答案】【解析】【分析】由已知得是的中位线，从而，由此能求出结果．【详解】，，任意点M关于点A的对称点为S，点关于点B的对称点为N，是的中位线，．故答案为：【点睛】本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．15.请你构造一个函数，使得函数满足以下条件：①值域为；②为周期函数，且周期为2.________________________________ .【答案】，【解析】【分析】根据函数的值域以及周期性求出函数的解析式即可．【详解】由题意得：函数满足、①值域为；②为周期函数，且周期为2.故，故答案为：，【点睛】本题考查了函数的周期性、值域问题，是一道基础题．16.已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出．【详解】函数的图像如下图所示，不妨设，则、关于直线对称，所以，且满足则故的取值范围是．【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像，由图像结合对称性经过计算得出的取值范围．三、解答题（共6个小题，共70分）17.利用“五点法”作图作函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中轴上每格的长度为，轴上每格的长度为1）列表：【答案】见解析【解析】【分析】根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．【详解】列表：【点睛】本题主要考查三角函数的图象的作法，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法．18.（1）求值：；（2）已知点，，，，试问与否共线？并证明之.【答案】（1）；（2）与不共线．【解析】【分析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）由已知点的坐标求出与的坐标，再由共线向量基本定理得答案．【详解】（1）（2），，，，，由于，所以问与不共线．【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值，考查对数的运算性质，平面向量的坐标运算，考查共线向量基本定理的应用，是基础题．19.（1）已知，且是第三象限的角，求与的值.（2）已知点，向量，，点是线段上靠近点的三等份点，求点的坐标.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由条件利用同角三角函数基本关系，求得cosα和tanα的值．（2）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点的坐标．【详解】（1），并且是第三象限的角，，；（2），，，点是线段上靠近点的三等份点，，．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限中的符号，向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．20.已知奇函数，在时的图象是如图所示的抛物线的一部分，（1）请补全函数图象（2）求函数的表达式（3）写出函数的单调区间【答案】（1）见解析（2）（3）增区间为和；减区间为．【解析】试题分析：（1）（2）（3）增区间：，，减区间考点：二次函数的图象和性质，函数的奇偶性．点评：中档题，由函数图象确定函数解析式，是一类常见题目，解题过程中，要注意观察图象的对称性、过特殊点等特征．本题主要利用函数图象的对称性，明确求偶函数的解析式，进一步写出单调区间．21.函数的一段图象如下图所示，(1)求函数的解析式．(2)写出函数的单调增区间；(3)当时，求函数的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由函数的最值求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式；（2）利用正弦函数的单调性，求得这个函数的单调递增区间；（3）通过，求出相位的范围，利用正弦函数的值域，求函数的值域．【详解】（1）由图可知：，，所以，由得，所以，又因为该图象过点，所以，即，所以，即，，又因为，所以，函数．（2）由，，得，，即，所以这个函数的单调增区间为．（3），，，函数的值域为．【点睛】本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式、正弦函数的单调性及正弦函数的值域的求法，考查计算能力，属于基础题．22.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论.（3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）为上的减函数；（3）【解析】【分析】（1）因为为上奇函数，所以，代入可求；（2）由（1）可得，利用定义，任取，只要说明的符号即可判断；（3）由不等式恒成立，及是上的奇函数且是上的减函数，可得对恒成立．由题意可得，，结合二次函数的性质先求出的最大值，即可求的范围．【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，，；（2）为上的减函数．任取，，，，，，，所以为上的减函数．（3）若不等式恒成立，，又为上的奇函数，所以又为上的减函数，所以对恒成立．即对恒成立．，，设，其对称轴为，时是增函数，所以，所以．【点睛】本题主要考查了奇函数的性质（定义域内有时）的应用，灵活利用该性质可以简化基本运算，函数的单调性的应用是函数基本知识的应用，而函数的恒成立与函数的奇偶性、单调性的综合应用是解决抽象不等式（或恒成立）问题中最为常用的工具．2019-2020学年高一数学上学期第三次月考试题（含解析）时量：120分钟，总分：150分.一、选择题（每小题5分，共8个小题，共40分）1.的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】，故选：A．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点( )A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变.B. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变.C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变.D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.【答案】B【解析】【分析】根据两函数解析式的特点，可以分析出这种变换是周期变换，所以按照正弦型函数的周期变换的特点，从四个选项中选出正确的答案.【详解】函数的图象为，通过变换得到函数的图象，可以发现振幅和初相都没有改变，只改变周期，周期由原来的变为，因此只需横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变即可，故本题选B.【点睛】本题考查了正弦型函数的周期变换，通过解析式之间的关系，判断出哪种变换或哪几种变换是解题的关键.3.不等式成立的的集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正切函数的图象和性质，解不等式即可得到结论．【详解】由得，即，即不等式的解集为，故选：C．【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础．4.函数的实数解落在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为的图像是连续不断的，且，所以函数的实数解落在的区间是．考点：零点存在性定理．点评：函数上的图像是连续不断的，且，则函数上存在零点，但不能判断零点的个数．5.设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点（且不与重合），则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为此题为单选题，故可考虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入，计算即可得解．【详解】为任意一点，不妨把A点看成O点，则，是平行四边形的对角线的交点，故选D．【点睛】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．6.函数（，且）是上的减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用函数的单调性的性质，可得，由此求得的取值范围．【详解】函数（，且）是上的减函数，，故选：D．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性的性质，属于基础题．7.在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，记，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求出与，进而表示出的表达式．【详解】由三角函数定义知，，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及诱导公式的应用，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．8.三个数，，的从小到大的顺序为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质可得，根据指数的运算性质可知，进而得到答案．【详解】由对数函数的性质可知，故选：C．【点睛】本题考查了指数的运算性质与对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共8个小题，共40分）9.已知，则_________．【答案】3【解析】,故答案为310.函数的定义域为_____________________ .【答案】【解析】【分析】直接由分母不为求解一元二次不等式得答案．【详解】由，得且．函数的定义域为故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．11.已知公式，你可以由此公式计算的值吗？_________________ .【答案】【解析】【分析】将化为和两个特殊角，然后根据特殊角的三角函数值来解答．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．12.已知表示不超过的最大整数，如：，，则方程的解集为___________________ .【答案】【解析】【分析】依据题目定义结合方程，即可求出答案．【详解】由已知表示不超过的最大整数，则方程得解为，故方程的解集为，故答案为：．【点睛】本题是新定义题，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．13.已知函数在[5，20]上具有单调性，实数k的取值范围是____________【答案】【解析】【详解】函数在上具有单调性，只需或，即或∴实数k的取值范围为14.如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，点关于点B的对称点为N，用，表示向量 __________ .【答案】【解析】【分析】由已知得是的中位线，从而，由此能求出结果．【详解】，，任意点M关于点A的对称点为S，点关于点B的对称点为N，是的中位线，．故答案为：【点睛】本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．15.请你构造一个函数，使得函数满足以下条件：①值域为；②为周期函数，且周期为2. ________________________________ .【答案】，【解析】【分析】根据函数的值域以及周期性求出函数的解析式即可．【详解】由题意得：函数满足、①值域为；②为周期函数，且周期为2.故，故答案为：，【点睛】本题考查了函数的周期性、值域问题，是一道基础题．16.已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出．【详解】函数的图像如下图所示，不妨设，则、关于直线对称，所以，且满足则故的取值范围是．【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像，由图像结合对称性经过计算得出的取值范围．三、解答题（共6个小题，共70分）17.利用“五点法”作图作函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中轴上每格的长度为，轴上每格的长度为1）列表：【答案】见解析【解析】【分析】根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．【详解】列表：【点睛】本题主要考查三角函数的图象的作法，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法．18.（1）求值：；（2）已知点，，，，试问与否共线？并证明之.【答案】（1）；（2）与不共线．【解析】【分析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）由已知点的坐标求出与的坐标，再由共线向量基本定理得答案．【详解】（1）（2），，，，，由于，所以问与不共线．【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值，考查对数的运算性质，平面向量的坐标运算，考查共线向量基本定理的应用，是基础题．19.（1）已知，且是第三象限的角，求与的值.（2）已知点，向量，，点是线段上靠近点的三等份点，求点的坐标.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由条件利用同角三角函数基本关系，求得cosα和tanα的值．（2）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点的坐标．【详解】（1），并且是第三象限的角，，；（2），，，点是线段上靠近点的三等份点，，．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限中的符号，向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．20.已知奇函数，在时的图象是如图所示的抛物线的一部分，（1）请补全函数图象（2）求函数的表达式（3）写出函数的单调区间【答案】（1）见解析（2）（3）增区间为和；减区间为．【解析】试题分析：（1）（2）（3）增区间：，，减区间考点：二次函数的图象和性质，函数的奇偶性．点评：中档题，由函数图象确定函数解析式，是一类常见题目，解题过程中，要注意观察图象的对称性、过特殊点等特征．本题主要利用函数图象的对称性，明确求偶函数的解析式，进一步写出单调区间．21.函数的一段图象如下图所示，(1)求函数的解析式．(2)写出函数的单调增区间；(3)当时，求函数的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由函数的最值求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式；（2）利用正弦函数的单调性，求得这个函数的单调递增区间；（3）通过，求出相位的范围，利用正弦函数的值域，求函数的值域．【详解】（1）由图可知：，，所以，由得，所以，又因为该图象过点，所以，即，所以，即，，又因为，所以，函数．（2）由，，得，，即，所以这个函数的单调增区间为．（3），，，函数的值域为．【点睛】本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式、正弦函数的单调性及正弦函数的值域的求法，考查计算能力，属于基础题．22.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论.（3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）为上的减函数；（3）【解析】【分析】（1）因为为上奇函数，所以，代入可求；（2）由（1）可得，利用定义，任取，只要说明的符号即可判断；（3）由不等式恒成立，及是上的奇函数且是上的减函数，可得对恒成立．由题意可得，，结合二次函数的性质先求出的最大值，即可求的范围．【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，，；（2）为上的减函数．任取，，，，，，，所以为上的减函数．（3）若不等式恒成立，，又为上的奇函数，所以又为上的减函数，所以对恒成立．即对恒成立．，，设，其对称轴为，时是增函数，所以，所以．【点睛】本题主要考查了奇函数的性质（定义域内有时）的应用，灵活利用该性质可以简化基本运算，函数的单调性的应用是函数基本知识的应用，而函数的恒成立与函数的奇偶性、单调性的综合应用是解决抽象不等式（或恒成立）问题中最为常用的工具．。