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参数方程与摆线物理学中的物体运动方程,在数学上就是参数方程。
参数方程对于解决实际问题具有重要意义。
本专题将介绍参数方程的基本概念，给出参数方程的一个重要实例——摆线。
摆线是一类十分重要的曲线，可以分为平摆线、圆摆线、渐开线三大类。
我们常见的大部分曲线都可以看成是摆线的特例，如星形线、心脏线、阿基米德螺线、玫瑰线等等。
摆线也是很有用的一类曲线,如最速降线就是平摆线；工厂中常用的齿轮通常是渐开线或圆摆线；公共汽车的两折门利用了星形线的原理。
再如像收割机、翻土机等许多农业机械和工厂中的车床等,大都采用的是摆线原理。
而且，摆线在天文中也有重要应用，行星相对地球的轨迹、月亮相对太阳的轨迹都可以看作是摆线。
本专题主要内容是参数方程与摆线，摆线可以利用向量方法通过参数方程表示出。
因此本专题可以看成是“解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的综合应用和进一步深化。
本专题首先介绍了曲线的一般表示方法，阐述了坐标系的类型和曲线方程的表现形式。
这些内容是“解析几何初步”等内容的补充和完善，也是摆线内容的必备基础。
通过对本专题的学习，学生将掌握参数方程的基本概念，了解曲线的表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力。
通过对天体轨道方程的学习和对摆线应用的了解，学生将体会到数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
通过对摆线的探索，学生将树立辨证统一的观点，提高数学抽象能力，发展创新精神。
内容与要求1. 参数方程（1）坐标与曲线方程（2）曲线的一般方程——隐式方程；——参数方程；——参数化与隐式化简介。
（3）特殊的参数方程（4）参数方程的参数变换①回顾直角坐标系的概念, 回顾(显式)曲线方程实例,比如抛物线y=x2等。
②给出曲线的显式、隐式和参数方程的定义，说明显式方程是隐式方程的特例，并通过实例(如圆等)，指出隐式方程和参数方程才是曲线的一般方程，介绍隐式方程和参数方程各自的优缺点，说明参数化与隐式化的作用。
《2.4.1 摆线的参数方程》教学案3教学目标1．了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 2．了解平摆线和渐开线在实际中的作用．教学过程知识梳理 一、平摆线 1．平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线)，如图．2．平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (－∞＜α＜＋∞)．3．平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点____，再滚动半周，点M 到达______，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是____，即平摆线的拱高为____．【做一做1】已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫32π，2之间的距离为( )． A ．π2－1 B ． 2 C ．10 D ．32π－11．圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．答案： 一、1．平摆线2．r (α－sin α) r (1－cos α) 3．(πr,2r ) (2πr,0) 2r 0 2r【做一做1】C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3.∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－32π2＋ 3－2 2＝10.二、1．相切 渐开线 基圆2．r (cos φ＋φsin φ) r (sin φ－φcos φ)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数) r ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数)． 【做一做2－2】5π2－4π＋82 当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，∴A ⎝⎛⎭⎫π2，1.当φ＝π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，∴B (－1，π)．∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋12＋ 1－π 2＝54π2－π＋2＝5π2－4π＋82.题型一 求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义． 题型二 求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程． 分析：代入参数方程公式即可．反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可． 题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．分析：利用参数方程求出t 的三角函数值，从而求出点的坐标． 反思：解此类题，应明确相应参数的意义． 答案：【例1】解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2， 即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ ，y ＝1π 1－cos φ(φ为参数)．【例2】解：∵r ＝10，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10 cos φ＋φsin φ ，y ＝10 sin φ－φcos φ (φ为参数)．【例3】解：由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0， ∴sin t ＝1.∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π2－1，1.1半径为2的圆的渐开线方程是( )． A ．=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨-⎩（）,（）(φ为参数)B ．=2cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)C ．=2sin ,=2cos x y ϕϕϕϕ⎧⎨-⎩(φ为参数)D ．()()2sin cos ,2cos sin x y ϕϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(φ为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4cos φ，y ＝－4sin φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 φ－sin φ ，y ＝4 1－cos φ (φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 1－sin φ ，y ＝4 φ－cos φ(φ为参数)3面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________． 4已知圆C 的参数方程是=16cos ,=26sin x y αα+⎧⎨-+⎩(α为参数)，直线l 对应的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点． 答案： 1．A2．C 把r ＝4代入平摆线参数方程即可．3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数) S ＝36π，∴r ＝6. ∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．4．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。
ug平摆线方程ug平摆线方程是一种重要的数学模型，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
平摆线是指一个物体在重力作用下，在一定条件下做的摆动轨迹。
它的形状独特且美观，具有一定的几何特性和数学规律。
平摆线的方程可以通过参数方程或者直角坐标方程来表示。
在这里，我将介绍ug平摆线方程的直角坐标方程表示方法。
我们来看一下ug平摆线的几何特性。
ug平摆线是指一个长度为2a 的细线一端固定在平面上的一点O，另一端绕O点做匀速旋转运动，同时在细线的延长线上有一个质点P，质点P受到重力作用，在细线的张力的作用下做摆动。
这样，质点P的轨迹就是ug平摆线。
为了描述ug平摆线的形状，我们需要引入一些参数。
首先，我们定义细线与水平方向的夹角为θ，细线的长度为2a。
接下来，我们来推导ug平摆线的直角坐标方程。
假设细线在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y。
根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = a(θ - sinθ)y = a(1 - cosθ)通过这两个方程，我们可以计算出ug平摆线上任意一点的坐标。
这个方程的推导过程比较复杂，但是我们可以通过数值方法或者计算机程序来计算出ug平摆线上的各个点的坐标。
接下来，我们来看一下ug平摆线的几何性质。
首先，ug平摆线是一个闭合曲线，它的形状类似于一个钟摆。
其次，ug平摆线对称于y轴，即在y轴上的点与其对称点的坐标相同。
此外，ug平摆线的长度是2πa，其中π是圆周率。
ug平摆线的应用非常广泛。
在物理学中，ug平摆线可以用来描述钟摆的运动，研究钟摆的周期和频率。
在工程学中，ug平摆线可以应用于机械装置的设计和优化，例如钟摆驱动的钟表和摆线传动装置等。
在计算机图形学中，ug平摆线可以用来生成平滑曲线，用于绘制曲线和曲面。
ug平摆线方程是一种重要的数学模型，它具有独特的几何特性和数学规律。
通过ug平摆线方程，我们可以描述和研究ug平摆线的形状和性质。
ug平摆线在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。
平摆线绕y轴的侧面积1. 介绍平摆线是一种特殊的曲线，它可以由一个固定在竖直平面上的杆上的重物在重力作用下摆动而成。
平摆线的形状非常有趣，它不仅具有美丽的几何性质，还在数学和物理领域中有广泛的应用。
本文将探讨平摆线绕y轴旋转时所形成的侧面积。
我们将从定义、性质以及计算方法等方面进行详细介绍，并给出具体的例子和应用。
2. 定义平摆线是指一个铅垂线上悬挂一根不可伸长且质量均匀分布的杆，在重力作用下产生周期性运动形成的曲线。
这个曲线被称为平摆线，也叫做钟形曲线或链锁曲线。
具体来说，我们可以通过以下方式得到平摆线：1.假设一根长度为L、质量均匀分布在直线上的杆；2.将杆固定在竖直平面上；3.在杆下方悬挂一个质量不计、长度为0且可视化的链锁；4.杆自由摆动，链锁受到重力的作用，形成一条曲线。
这个曲线就是平摆线。
它的形状呈钟形，两端尖锐，中间较宽。
在数学上可以用函数表示，并有一系列特殊的性质。
3. 性质平摆线有许多有趣的性质，其中之一就是它绕y轴旋转时所形成的侧面积。
我们先来看一下平摆线绕y轴旋转时的几何特征：1.当杆静止时，链锁自然垂直向下，形成一个与y轴平行的直线。
2.当杆逐渐向左或向右摆动时，链锁会产生曲线运动。
3.当杆完全向左或向右摆动时，链锁会再次形成一个与y轴平行的直线。
根据这些几何特征，我们可以想象出平摆线绕y轴旋转所形成的立体图形。
这个立体图形类似于一个钟表壳或者圆柱体的侧面。
我们将探讨如何计算这个立体图形的侧面积。
4. 计算方法要计算平摆线绕y轴旋转的侧面积，我们可以使用积分的方法。
假设平摆线由函数y=f(x)表示，则旋转后的立体图形可以由以下公式计算：S=2π∫yx2x1√1+(dydx)2dx其中，x1和x2是平摆线的两个交点。
这个公式的物理意义是，将平摆线分割成无穷小的微元，每个微元都是一个矩形条带。
通过求和这些矩形条带的面积，就可以得到整个立体图形的侧面积。
具体计算步骤如下：1.根据给定的平摆线函数f(x)，求解交点x1和x2。
参数方程与摆线参数方程与摆线物理学中的物体运动方程,在数学上就是参数方程。
参数方程对于解决实际问题具有重要意义。
本专题将介绍参数方程的基本概念，给出参数方程的一个重要实例——摆线。
摆线是一类十分重要的曲线，可以分为平摆线、圆摆线、渐开线三大类。
我们常见的大部分曲线都可以看成是摆线的特例，如星形线、心脏线、阿基米德螺线、玫瑰线等等。
摆线也是很有用的一类曲线,如最速降线就是平摆线；工厂中常用的齿轮通常是渐开线或圆摆线；公共汽车的两折门利用了星形线的原理。
再如像收割机、翻土机等许多农业机械和工厂中的车床等,大都采用的是摆线原理。
而且，摆线在天文中也有重要应用，行星相对地球的轨迹、月亮相对太阳的轨迹都可以看作是摆线。
本专题主要内容是参数方程与摆线，摆线可以利用向量方法通过参数方程表示出。
因此本专题可以看成是“解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的综合应用和进一步深化。
本专题首先介绍了曲线的一般表示方法，阐述了坐标系的类型和曲线方程的表现形式。
这些内容是“解析几何初步”等内容的补充和完善，也是摆线内容的必备基础。
通过对本专题的学习，学生将掌握参数方程的基本概念，了解曲线的表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力。
通过对天体轨道方程的学习和对摆线应用的了解，学生将体会到数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
通过对摆线的探索，学生将树立辨证统一的观点，提高数学抽象能力，发展创新精神。
内容与要求1. 参数方程（1）坐标与曲线方程（2）曲线的一般方程——隐式方程；——参数方程；——参数化与隐式化简介。
（3）特殊的参数方程（4）参数方程的参数变换①回顾直角坐标系的概念, 回顾(显式)曲线方程实例,比如抛物线y=x2等。
②给出曲线的显式、隐式和参数方程的定义，说明显式方程是隐式方程的特例，并通过实例(如圆等)，指出隐式方程和参数方程才是曲线的一般方程，介绍隐式方程和参数方程各自的优缺点，说明参数化与隐式化的作用。
