2019-2020年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线自我小测苏教版选修

高中数学选修4­4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：2.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x2＋y2，θ＝yx（x≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y ＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。

【2019最新】高中数学4-4参数方程4-4-4参数方程中曲线欣赏——平摆线圆的渐开线同步测控——平摆线圆的渐开线同步测控参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线同步测控我夯基,我达标1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（ ）A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． 答案：C2.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有（ ）A.①③B.②④C.②③D.①③④ 解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题．对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置． 答案：C3.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧-=+=θθθθθθcos sin ,sin cos y x （θ为参数），则此渐开线对应的基圆的直径是___________，当参数θ＝4π时，对应的曲线上的点的坐标为_____________. 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2．求当θ=4π时对应的坐标只需把θ=4π代入曲线的参数方程，得x ＝22＋82π，y ＝22－82π，由此可得对应的坐标为（22＋82π，22－82π）. 答案：2 （22＋82π，22－82π）4.已知一个圆的摆线方程是⎩⎨⎧-=-=θθθcos 44,sin 44y x （θ为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.思路分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程.解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧-=+=θθθθθθcos 4sin 4,sin 4cos 4y x （θ为参数）.5.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin 62,cos 61y x （α为参数，α∈［0,2π)）和直线l 对应的普通方程是x-y-26=0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线是什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x 轴的交点.思路分析：首先根据条件，可知圆的半径是6，平移后的圆心为O （0，0），根据圆心O 到直线的距离可以判断出直线和圆的位置关系．再由圆的半径写出圆的摆线方程．求摆线和x 轴的交点只需令y ＝0，求出对应的参数θ，再代入求出x 值.解：(1)圆C 平移后圆心为O （0，0），它到直线x-y-62=0的距离为d=226＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧-=-=θθθcos 66,sin 66y x （θ为参数）． (3)令y ＝0,得6-6cos θ＝0⇒cos θ=1，所以θ＝2k π(k∈Z ).代入x=6θ-6sin θ,得x=12k π（k∈Z ），即圆的摆线和x 轴的交点为（12k π，0）（k∈Z ）.我综合,我发展6.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 3y x （θ为参数,θ∈［0,2π)），那么圆的摆线方程中与参数θ＝2π对应的点A 与点B(23π，2)之间的距离为（ ） A.2π-1 B.2 C.10 D.123-π 解析：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(3),sin (3θθθy x（θ为参数），把θ＝2π代入参数方程中可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,3),12(3y x π即A(3(2π-1)，3)， ∴|AB|＝10)23(]23)12(3[22=-+--ππ. 答案：C7.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH 、…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是（ ）A.3πB.4πC.5πD.6π 解析：根据渐开线的定义，可知是半径为１的41圆周长，长度为2π；继续旋转可得是半径为２的41圆周长，长度为π；是半径为3的41圆周长，长度为23π；是半径为４的41圆周长，长度为2π.所以，曲线AEFGH 的长是5π. 答案：C8.渐开线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin 6),sin (cos 6θθθθθθy x （θ为参数）的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的焦点坐标为_____________.解析：根据圆的渐开线方程，可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2+y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的方程为(21x)2+y 2＝36，整理可得3614422y x +＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c=363614422=-=-b a ，故焦点坐标为（63，0）和（-63，0）.答案：（63，0）和（-63，0）9.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (θθθr y r x （θ为参数）关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为____________.解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换．所以，要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换即可. 答案：⎩⎨⎧-=-=)sin (),cos 1(θθθr y r x （θ为参数）10.求摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(2),sin (2t y t t x (０≤t≤2π)与直线y ＝２的交点的直角坐标. 思路分析：本题考查交点坐标的求法，可利用代入法求解．解：当y ＝2时,有2(1-cost)＝2，∴cost＝０.又０≤t≤2π，∴t＝2π或t ＝23π. 当t ＝2π时，x ＝π－２；当t ＝23π时，x ＝3π+2. ∴摆线与直线y ＝２的交点为（2π，π-2），（23π，3π+2）. 我创新，我超越11.星形线的参数方程一轴承的剖面如图所示，小圆表示滚球，半径为r ，大圆表示轴瓦，半径为a ＝4r.设想大圆固定，而小圆在大圆内无滑动地滚动．小圆上的一定点M 在运动中的轨迹为一条曲线，称为星形线．试推导它的参数方程.思路分析：解实际应用题，一般先建立适当的坐标系，然后根据条件转化为数学问题.解：取大圆圆心为坐标原点，设小圆的定点M 开始时位于点A 处，x 轴正方向为向量的方向.小圆滚动α角后，圆心在C 点，与大圆切点为B ，小圆上的定点M 的位置如题图所示．因为是无滑动的滚动，所以＝.记θ＝∠AOB，由＝r α，＝a θ＝4r θ得r α＝4r θ.由此知α＝４θ.作CD 平行于x 轴，则∠BCD＝θ，得∠DCM＝∠BCM－∠BCD＝α－θ＝3θ.由此知CM 与x 轴正向形成的任意角为-3θ.由|OC|＝a －r ＝3r ，用向量的坐标表达式，得＝（3rcos θ，3rsin θ），CM ＝（rcos(-3θ),rsin(-3θ)）＝（rcos3θ，-rsin3θ）. 因此有CM OM +=＝（3rcos θ＋rcos3θ，3rsin θ-rsin3θ）. 用三角函数的三倍角公式cos3θ＝4cos 3θ-3cos θ，sin3θ＝3sin θ-4sin 3θ，得OM ＝（4rcos 3θ，4rsin 3θ）＝（acos 3θ，asin 3θ）. 另一方面OM =(x,y).因此得星形线参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sin ,cos a y a x (０≤θ<2π). 方程易于化为直角坐标方程．由⎪⎩⎪⎨⎧==,sin ,cos 2323223232θθa y a x 二式两端分别相加，得323232a y x =+. 用描点法画出曲线，如图所示，星形关于x 轴、y 轴都对称.。

4.4.4平摆线与圆的渐开线自我小测1．渐开线6(cos sin )6(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨⎩＝，＝－(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________． 2．已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数π2ϕ=对应的点A 与点B 3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的距离为__________． 3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数π2ϕ=，则点P 的坐标为________．4．已知圆的渐开线的参数方程是cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数π4ϕ=时对应的曲线上的点的坐标为________．5．参数方程3(cos sin ),3(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)表示的曲线是__________．6．平摆线2(sin ),2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是__________．7．如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是__________．8．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为__________．9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．10．已知圆的渐开线(cos sin),(sin cos)x ry rϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．参考答案1答案：(0)和(-0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为221362x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理可得22114436x y +=，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c ==坐标为(，0)和(-0)．2解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为3(sin ),3(1cos )x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，把π2ϕ=代入参数方程中可得π3(1),23,x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩)即π31,32A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴|AB ==3答案：(π，2) 解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为2(cos sin ),2(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 当π2ϕ=时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)． 4答案：2 +⎝⎭ 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当π4ϕ=时对应的坐标，只需把π4ϕ=代入曲线的参数方程，得28x =+，28y =-，由此可得对应的点的坐标为,2828⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭. 5答案：半径为3的圆的渐开线解析：由参数方程的形式可直接得出答案．6答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)解析：由y ＝2得2＝2(1－cos t )，∴cos t ＝0.∵0≤t ≤2π，∴π2t =或3π2.∴x 1＝ππ2sin 22⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π－2， 2332πsin π3π222x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＝＋ ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．7答案：5π解析：根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 8答案：(1cos ),(sin )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出平摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换．9解：∵平摆线的生成圆的半径r ＝40 mm ，∴此平摆线的参数方程为40(sin ),40(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．10解：把已知点(3,0)代入参数方程得3(cos sin ),0(sin cos ),r r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩解得0,3.r ϕ=⎧⎨=⎩所以基圆的面积S ＝πr 2＝π×32＝9π.。

§4 平摆线和渐开线4.1 平摆线 4.2 渐开线学习目标：1.了解平摆线和渐开线的生成过程.2.能推导平摆线和渐开线的参数方程．(难点)3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用．(重点)教材整理1 平摆线及其参数方程1．一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为α，那么摆线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞<α<＋∞)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹．( )(2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程．( ) [答案] (1)√ (2)√教材整理2 渐开线的参数方程1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是 ⎩⎨⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号)．①只有圆才有渐开线；②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形；③正方形也可以有渐开线；④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同．[解析]对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．[答案]③【例[精彩点拨]定点(1，0)―→滚动圆的半径―→平摆线的参数方程[尝试解答]令r(1－cos α)＝0，可得cos α＝1.∴α＝2kπ(k∈Z)，∴x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝1 2kπ.又由题意可知，r是圆的半径，故r＞0.∴应有k＞0且k∈Z，即k∈N＋.∴所求平摆线的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π(α－sin α)，y ＝12k π(1－cos α)(α为参数，k ∈N ＋)．根据圆的摆线的参数方程⎩⎨⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(α为参数)，可知只需求出其中的半径r .圆摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．1．平摆线⎩⎨⎧x ＝2(α－sin α)，y ＝2(1－cos α)(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)[解析] y ＝2时，2＝2(1－cos α)， ∴cos α＝0.∵0≤α≤2π，∴α＝π2或32π， ∴x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝π－2，x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－sin 32π＝3π＋2.∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A. [答案] A【例A ，B 对应的参数分别是π2和3π2，求A ，B 两点间的距离．[精彩点拨] 根据渐开线的参数方程，分别求出A ，B 两点的坐标，再由A ，B 两点间的距离公式求出．[尝试解答] 由题意，知r ＝1，则圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.当φ＝3π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 3π2＋3π2·sin 3π2＝－3π2，y ＝sin 3π2－3π2·cos 3π2＝－1，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋(1＋1)2 ＝2π2＋1.利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求．2．给出圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________．[解析] 所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φcos φ)，所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π，y ＝4.所以当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4)． [答案] 4 (2π，4)1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①③④[解析] 结合圆的渐开线的知识可知②③正确． [答案] C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)[解析] 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程． ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6， y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π. [答案] C3．半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π[解析] 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－3sin α，y ＝3－3cos α(α为参数)．把y ＝0代入可得cos α＝1，所以α＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3α－3sin α＝6k π(k ∈Z )．故应选C.[答案] C4．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．[解析] 圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.[答案] 35．已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．[解] 令y ＝0， 可得r (1－cos α)＝0. ∵r ＞0，∴cos α＝1， ∴α＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (α－sin α)， 得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z )．又∵x ＝2，∴r (2k π－sin 2k π)＝2，得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)，易知当k ＝1时，r 取最大值1π. 代入，得圆的摆线的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(α－sin α)，y ＝1π(1－cos α)(α为参数)．。

4.4.4平摆线与圆的渐开线练习x＝6(cos sin)，1．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长y6(sin cos)＝－为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．x3cos,2．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数y3sin对应的点A与点B3π,2π之间的距离为__________．22π3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐2标为________．4．已知圆的渐开线的参数方程是x cos sin,(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数y sin cosπ时对应的曲线上的点的坐标为________．4x3(cos sin),5．参数方程(φ为参数)表示的曲线是__________．y3(sin cos)x2(t sin t),6．平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是__________．y2(1cos t)7．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是__________．8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线( sin ),x r(φ 为参数)关于直线 y ＝x 对称的曲线的参数方程为__________．y r (1 cos )9．已知平摆线的生成圆的直径为 80 m m ，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱 高． 10．已知圆的渐开线x r (cos sin ),y r (sin cos )(φ 为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．1参考答案1. 答案：(63，0)和(63，0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为21x y2236，整理可得x y ，这是一个焦点在x轴上的椭圆．221c a2b21443663，故焦点坐14436标为(63，0)和(63，0)．2. 答案：10解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为x3(sin),(φ为参数)，把y3(1cos)π代入参数方程中可得2πx3(1),2)即y3,πA31,32.∴2π3AB|31π(32)10222.3. 答案：(π，2)解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为x 2(cos sin),(φ为参y 2(sin cos)数)．π当时，x ＝π，y ＝2，故点 P 的坐标为(π，2)． 22 2π 2 2π4. 答案：2,2 8 2 8解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为 1，故时对应的坐标，只需把 ππ代入曲线的参数方程，得2 2π直径为 2.求当x，44 28y，由此可得对应的点的坐标为 2 2π , 22π2 2π.2 8 282 85. 答案：半径为 3的圆的渐开线解析：由参数方程的形式可直接得出答案． 6. 答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)π解析：由 y ＝2得 2＝2(1－cos t )，∴cos t ＝0.∵0≤t ≤2π，∴t 或 3 π 22π π2 sin＝π－2，2 2 x ＝2 π sin π ＝3π＋23 322 2∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．7. 答案：5π.∴x 1＝2解 析：根据渐开线的定义可知， AAE 是半径为 1的 1 π圆周长，长度为，继续旋转可得 E A F42 1 圆周长，长度为 π； F A G 是半径为 3的 13π是半径为 2的圆周长，长度为；G A H 是半径4 4 21 为 4的 圆周长，长度为 2π.所以曲线 AEFGH 的长是 5π.4x r (1 cos ),8. 答案：(φ 为参数)y r (sin)解析：关于直线 y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互 换，所以要写出平摆线方程关于直线 y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的 x 与 y 互换．x 40(tsin t ),9. 解：∵平摆线的生成圆的半径 r ＝40 mm ，∴此平摆线的参数方程为y 40(1 cos t )(t 为参数)，它一拱的拱宽为 2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为 2r ＝2×40＝80(mm)．10. 解：把已知点(3,0)代入参数方程3 r (cossin ),得0 r (sincos ),0,解得r 3.所以基圆的面积 S ＝πr 2＝π×32＝9π.3。