平摆线与圆的渐开线

4．4.4 平摆线与圆的渐开线1．平摆线(1)半径为r 的圆所产生的摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (θ－sin θ)，y ＝r (1－cos θ)(θ为参数)．由上述参数方程所确定的曲线称为平摆线(或称旋轮线)． (2)平摆线的几何特性：①由无数个呈周期性排列的拱组成； ②每个拱的高为2r ；③拱的底为2πr ，即在x 轴上每隔2πr 拱将重复一次．2．圆的渐开线(1)半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos θ＋θsin θ)，y ＝r (sin θ－θcos θ)(θ为参数)．(2)渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．[例1] 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时刻平摆线的参数方程．[思路点拨] 将点(2,0)代入平摆线的参数方程中求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程．[精解详析] 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．[对应学生用书P26][对应学生用书P27]代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得 r ＝1k π(k ∈Z )． 又r >0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)．由圆的平摆线的参数方程的形式可知，只要确定了平摆线生成圆的半径，就能确定平摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将平摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．1．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l ：x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程； (3)求平摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数)． (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1. 所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )， 即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．2．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中，求参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离． 解：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)． 把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎫3π2－3，3， ∴AB ＝ ⎝⎛⎭⎫3π2－3－3π22＋(3－2)2＝10.[例2] 当θ＝π4，π2时，求圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．[思路点拨] 把θ＝π4，π2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而求出两点间的距离．[精解详析] 把θ＝π4，π2分别代入参数方程得⎩⎨⎧x ＝22⎝⎛⎭⎫1＋π4，y ＝22⎝⎛⎭⎫1－π4，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1，即A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22⎝⎛⎭⎫1＋π4，22⎝⎛⎭⎫1－π4，⎝⎛⎭⎫π2，1，∴AB ＝⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1＋π4－π22＋⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1－π4－12 ＝14(5－22)π2－42π＋32－16 2.圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母θ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．3．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，求得到的曲线的焦点坐标．解：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝⎛⎭⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1.它表示焦点在x 轴上的椭圆，其中c ＝a 2－b 2＝144－36＝63， 故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．4．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．解：因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(cos φ＋φsin φ)，y ＝11(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．1．给出直径为6的圆，写出此圆的渐开线的参数方程．解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．因为的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．2．求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．解：当y ＝2时，有2(1－cos t )＝2， ∴t ＝π2或t ＝3π2.当t ＝π2时，x ＝π－2；[对应学生用书P28]当t ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴平摆线与直线y ＝2的交点为 (π－2,2)，(3π＋2,2)．3．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积．解：由平摆线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)知圆的半径为4，故圆的面积为16π.4．已知圆的半径为1，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A ，B 的参数值分别为π3和π2，求A 与B 两点的距离． 解：圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)．当θ＝π3时，得x ＝3＋3π6，y ＝33－π6；当θ＝π2时，得x ＝π2，y ＝1，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16(13－63)π2－6π－363＋72.5．已知平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，求平摆线一个拱的宽度与高度．解：法一：由平摆线参数方程可知，产生平摆线的圆的半径r ＝2，又由平摆线的产生过程可知，平摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，平摆线的拱高等于圆的直径为4.法二：由于平摆线的一个拱的宽度等于平摆线与x 轴两个相邻交点的距离，令y ＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2k π(k ∈Z )，不妨分别取k ＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x 1＝0，x 2＝4π，所以平摆线与x 轴两个相邻交点的距离为4π，即平摆线一个拱的宽度等于4π； 又因为平摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x 1,0)，(x 2,0)的中点，此时φ＝φ1＋φ22＝π，所以平摆线一个拱的高度为|y |＝2(1－cos π)＝4.6．已知一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t >0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t )，求出圆对应的平摆线的参数方程．解：(1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t >0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2. (2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t (φ－sin φ)，y ＝t (1－cos φ)(φ为参数)． 7．有一个直径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 与轮子中点连线的中点P 的轨迹方程．解：以M 落在轨道上的某一位置为原点，轨道所在直线为x 轴，建立直角坐标系， 则x M ＝a (φ－sin φ)，y M ＝a (1－cos φ)． 设轮子中心为C ，则x c ＝aφ，y c ＝a . 而P 是CM 中点，则P 的轨迹方程是⎩⎨⎧x P ＝12a (2φ－sin φ)，y P＝12a (2－cos φ).(φ为参数)8.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平平摆线，取AQ ＝r 2或AQ ＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程．解：设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).当AQ ＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －rθ，y 0＝2y －r ， 代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r (θ－12sin θ)，y ＝r (1－12cos θ)(θ为参数)．当AQ ＝3r2时，有⎩⎨⎧x 0＝rθ＋2x 3，y 0＝r ＋2y3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).∴点Q 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝r ⎝⎛⎭⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝⎛⎭⎫1－32cos θ(θ为参数)．对应学生用书P29]考情分析从考试内容上来看，极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化是考查的重点，着重考查直线与圆的极坐标方程或参数方程的应用，难度中等．真题体验1．(江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝02．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则AB ＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3② ①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故AB ＝16. 答案：163．(广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 2 cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为______________．解析：曲线C 是圆x 2＋y 2＝2，点(1,1)处的切线l 为x ＋y ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. 答案：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2 4．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为(22，0)，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：225．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为______________________．解析：椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，设焦点坐标为(±c,0)．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m ，可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ， 即直线l 的普通方程为x ＋y －m ＝0，经过焦点(±c,0)，m ＝±c ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，直线与圆相切，|m |2＝b ，m 2＝2b 2，c 2＝2a 2－2c 2，c 2a 2＝23，e ＝63.答案：636．(上海高考)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.解析：在直线l 上任取点P (ρ，θ)，在△OPM 中， 由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，即2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 5π6， 化简得ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，故f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.答案：1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ 7．(辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.5．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________________．解析：椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，设焦点坐标为(±c,0)．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m ，可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ， 即直线l 的普通方程为x ＋y －m ＝0，经过焦点(±c,0)，m ＝±c ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，直线与圆相切，|m |2＝b ，m 2＝2b 2，c 2＝2a 2－2c 2，c 2a 2＝23，e ＝63.答案：638．(福建高考)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心为(1,0)，半径r ＝1， 以为圆心到直线的距离d ＝22<1， 所以直线与圆C 相交．对应学生用书P30]简单曲线的极坐标方程及应用1.线与圆的位置关系问题．2．极坐标与直角坐标的互化公式：ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx ，常用方法有代入法、平方法等，还会用到同乘以(或除以)ρ等技巧．[例1] (新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.[例2] (江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． [解] 在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径 PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的．对于曲线的普通方程转化为参数方程，一定要看清以谁为参数，然后利用普通方程中x ，y 的关系求得参数方程．同样，转化前后要注意参数的范围．[例3] 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0,4)的直线的斜率k 为参数． [解] (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到 4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ， ∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 的任意一点，则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0)，∵曲线上还有一点A (0,4)，∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2(k 为参数)．[例4] 分别在下列两种情况下，把曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )cos θ，y ＝12(e t－e－t)sin θ，化为普通方程，并指出方程表示什么曲线．(1)θ为参数，t 为非零常数； (2)t 为参数，θ(θ≠k π2，k ∈Z )为常数．[解] (1)∵t ≠0时，∴cos θ＝x12(e t ＋e －t )，sin θ＝y12(e t －e －t )，消去θ得x 214(e t ＋e －t )2＋y 214(e t －e －t )2＝1.∵(e t ＋e －t )2>(e t －e －t )2.∴方程表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆．(2)∵θ≠k π2(k ∈Z )，∴⎩⎨⎧e t ＋e －t＝2x cos θ，e t－e－t ＝2y sin θ，平方后相减得4＝4x 2cos 2θ－4y 2sin 2θ，即x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1. 方程表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线.过定点(x 0，y 0)，倾斜角为θ的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，其中|t |表示直线上任意一点到定点的距离，其应用十分广泛，解决问题要注意判断直线的参数式是否符合标准形式，否则t 无几何意义．[例5] (湖南高考改编)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，求a 的值．[解] 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝⎛⎭⎫舍去－32. [例6] (江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．[解] 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.位置关系，这是综合应用考查的重点．解决此类问题时要注意数形结合思想的运用．[例7] (辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1 (t ∈R 为参数)．求a ，b 的值．[解] (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2.解得a ＝－1，b ＝2.[例8] (新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由已知可得 A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)， C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。