北师大版高三数学选修4-4教案：2.7圆的渐开线与摆线

§4 平摆线和渐开线1.平摆线定义一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线).当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(πr ，2r )，再滚动半周，点M 到达(2πr ，0)，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r ，最小值是0，即平摆线的拱高为2r . 2.平摆线轨迹的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （α－sin α），y ＝r （1－cos α）(－∞＜α＜＋∞，α为参数) 3.渐开线定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的基圆. 4.圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(其中φ为参数). 【思维导图】【知能要点】1.平摆线，平摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.题型一 平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点M 的起始位置是圆与定直线的切点O ，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B 作圆周运动.如果点M 绕圆心B 转过φ弧度后，圆与直线相切于A ，那么线段OA 的长等于AM ︵的弧长，即OA ＝rφ；点M 绕圆心B 运动一周回到切点的位置E ，那么OE 的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点M 的位置可以有圆心角φ惟一确定，因此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程. 解 根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)可知，只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π (k ∈Z )代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1. 所以r ＝12k π.又根据实际情况可知r 是圆的半径， 故r >0.所以，应有k >0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.所以，所求摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）(φ为参数) (其中k ∈N＋).【反思感悟】 本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面.1.圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ，圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹方程. 解 x M ＝r ·θ－r ·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（φ＋θ）－π2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋θ－π2 ＝r [1－cos(φ＋θ)].题型二 圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM 的长就是AB ︵的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.解 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角和向量知识，得OA→＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM → ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).又OM →＝(x ，y )，因此有⎩⎨⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ）这就是所求圆的渐开线的参数方程.【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y ). (2)取定运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到OM→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解 直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为：⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ） (φ是参数).【例3】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离.分析 首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φ sin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)， 分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16（13－63）π2－6π－363＋72.即点A 、B 之间的距离为 16（13－63）π2－6π－363＋72.【反思感悟】 对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋28π，22－28π1.若某圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ (φ为参数)，则此圆的方程是____________，对应的φ＝0的点的坐标是__________，对应的φ＝π2的点的坐标是________.答案 x 2＋y 2＝4 (2，0) (π，2)2.曲线⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φy ＝a sin φ－a cos φ(φ是参数)的形状为( )A.第一、三象限的平分线B.以原点为圆心，2|a |为半径的圆C.以(－a ，－a )，(a ，a )为端点的线段D.以(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的线段 解析 ⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φ＝a （－cos φ＋sin φ），y ＝a sin φ－a cos φ＝a （sin φ－cos φ），∴x －y ＝0，y ＝x . 但是x ＝a (－cos φ＋sin φ)＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin φ－22cos φ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ，－2|a |≤x ≤2|a |，∴对应的曲线为y ＝x (－2|a |≤x ≤2|a |)，亦即是以第一、三象限角平分线上的点(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的一段线段. 答案 D3.当φ＝π2·π时， 求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φyy ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B间的距离.解 φ＝π2代入渐开线方程，x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2， y ＝sin π2－π2cos π2＝1， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.同理x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π， 点B 的坐标为(－1，π). 即|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＋（π－1）2 ＝π24＋π＋1＋π2－2π＋1＝54π2－π＋2.一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C2.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1B. 2C.10D.3π2－1解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， ∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C 二、填空题4.渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________. 解析 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0). 答案 (63，0)和(－63，0)5.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________.解析 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换.答案 ⎩⎨⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ） (φ为参数)三、解答题6.有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程.解 如图：B 点坐标为(2aφ，2a )，MB→＝(a sin φ，a cos φ)，设OM→＝(x ，y )，OM →＝OB →＋BM →＝(2aφ，2a )＋(－a sin φ，－a cos φ)＝(2aφ－a sin φ，2a －a cos φ)，∴⎩⎨⎧x ＝a （2φ－sin φ），y ＝a （2－cos φ）. 7.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点.解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0) (k ∈Z ).8.设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解 轨迹曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ）(0≤t ≤2π). 即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤t ≤2π)的对称轴为x ＝8π.习题2－4 (第47页)A 组1.解 (1)取点A 的初始位置O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴，圆滚动的方向为正方向建立平面直角坐标系，设圆转动的角度α为参数，则点A 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝12（α－sin α），y ＝12（1－cos α）. (2)令y ＝0即cos α＝1，取α＝0，α＝2π，得点A 相邻两次着地点间的距离为24π. 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2252（cos φ＋φsin φ），y ＝2252（sin φ－φcos φ）(φ为参数)B 组解 如图，设圆的渐开线上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)，作直线MN 和基圆相切于点N ，连接OM ，ON ，以∠MON ＝α为参数，则在直角三角形OMN 中，cos α＝|ON ||OM |＝R ρ，所以，ρ＝R cos α. 又tan α＝|MN ||ON |＝AN ︵R ＝（θ＋α）RR ＝θ－α.所以θ＝tan α－α这就得到圆的渐开线的极坐标参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝R cos α，θ＝tan α－α(α为参数).。

§4 平摆线和渐开线1．了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 2．了解平摆线和渐开线在实际中的作用．一、平摆线1．平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线)，如图．2．平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (－∞＜α＜＋∞)．3．平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点____，再滚动半周，点M 到达______，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是____，即平摆线的拱高为____．【做一做1】已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2之间的距离为( )．A ．π2－1 B ． 2C ．10D ．32π－1 二、渐开线1．渐开线、基圆把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧再逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持____，此时，铅笔尖所画出的曲线称为此圆的______，此圆称为渐开线的____，如图．2．渐开线的参数方程半径为r 的圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (其中φ为参数)．【做一做2－1】半径为4的圆的渐开线的参数方程为__________ .【做一做2－2】当φ为π2，π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上对应点A ，B 的距离为__________．1．圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义 剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB 相对于Ox 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．答案：一、1．平摆线2．r (α－sin α) r (1－cos α) 3．(πr,2r ) (2πr,0) 2r 0 2r【做一做1】C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3.∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－32π2＋ 3－2 2＝10.二、1．相切 渐开线 基圆2．r (cos φ＋φsin φ) r (sin φ－φcos φ)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数) r ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ(φ为参数)．【做一做2－2】5π2－4π＋82 当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.当φ＝π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，∴B (－1，π)．∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＋ 1－π 2 ＝54π2－π＋2＝5π2－4π＋82.题型一 求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义． 题型二 求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程． 分析：代入参数方程公式即可．反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可． 题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．分析：利用参数方程求出t 的三角函数值，从而求出点的坐标． 反思：解此类题，应明确相应参数的意义． 答案：【例1】解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ ，y ＝1π 1－cos φ (φ为参数)．【例2】解：∵r ＝10，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10 cos φ＋φsin φ ，y ＝10 sin φ－φcos φ (φ为参数)．【例3】解：由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0，∴sin t ＝1.∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )，又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，1.1半径为2的圆的渐开线方程是( )．A ．=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨-⎩（）,（）(φ为参数)B ．=2cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)C ．=2sin ,=2cos x y ϕϕϕϕ⎧⎨-⎩(φ为参数)D ．()()2sin cos ,2cos sin x y ϕϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(φ为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为( )． A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4cos φ，y ＝－4sin φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 φ－sin φ ，y ＝4 1－cos φ(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 1－sin φ ，y ＝4 φ－cos φ (φ为参数)3面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________．4已知圆C 的参数方程是=16cos ,=26sin x y αα+⎧⎨-+⎩(α为参数)，直线l 对应的普通方程是x －y－0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点． 答案： 1．A2．C 把r ＝4代入平摆线参数方程即可． 3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数) S ＝36π，∴r ＝6. ∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．4．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。

4.1 平摆线 4.2 渐开线学习目标：1.了解平摆线和渐开线的生成过程.2.能推导平摆线和渐开线的参数方程．(难点)3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用．(重点)教材整理1 平摆线及其参数方程1．一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为α，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞<α<＋∞)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹．( )(2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程．( ) [答案] (1)√ (2)√ 教材整理2 渐开线的参数方程1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号)． ①只有圆才有渐开线；②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形； ③正方形也可以有渐开线；④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同． [解析] 对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．[答案] ③【例1 [精彩点拨] 定点(1，0)―→滚动圆的半径―→ 平摆线的参数方程[尝试解答] 令r (1－cos α)＝0，可得cos α＝1. ∴α＝2k π(k ∈Z )，∴x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又由题意可知，r 是圆的半径，故r ＞0. ∴应有k ＞0且k ∈Z ，即k ∈N ＋. ∴所求平摆线的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π(α－sin α)，y ＝12k π(1－cos α)(α为参数，k ∈N ＋)．根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(α为参数)，可知只需求出其中的半径r .圆摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．1．平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(α－sin α)，y ＝2(1－cos α)(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)[解析] y ＝2时，2＝2(1－cos α)， ∴cos α＝0.∵0≤α≤2π，∴α＝π2或32π，∴x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝π－2，x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－sin 32π＝3π＋2.∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A. [答案] A【例2，B 对应的参数分别是π2和3π2，求A ，B 两点间的距离．[精彩点拨] 根据渐开线的参数方程，分别求出A ，B 两点的坐标，再由A ，B 两点间的距离公式求出．[尝试解答] 由题意，知r ＝1，则圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.当φ＝3π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 3π2＋3π2·sin 3π2＝－3π2，y ＝sin 3π2－3π2·cos 3π2＝－1，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋(1＋1)2 ＝2π2＋1.利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求．2．给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________．[解析] 所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φcos φ)，所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π，y ＝4.所以当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4)．[答案] 4 (2π，4)1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①③④[解析] 结合圆的渐开线的知识可知②③正确．[答案] C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)[解析] 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程． ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.[答案] C3．半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π[解析] 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－3sin α，y ＝3－3cos α(α为参数)．把y ＝0代入可得cos α＝1，所以α＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3α－3sin α＝6k π(k ∈Z )．故应选C.[答案] C4．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．[解析] 圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.[答案] 35．已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程． [解] 令y ＝0， 可得r (1－cos α)＝0. ∵r ＞0，∴cos α＝1， ∴α＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (α－sin α)， 得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z )． 又∵x ＝2，∴r (2k π－sin 2k π)＝2，得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)，易知当k ＝1时，r 取最大值1π. 代入，得圆的摆线的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(α－sin α)，y ＝1π(1－cos α)(α为参数)．。

平摆线和渐开线
【学习目标】
1．掌握平摆线和渐开线的定义。

2．熟练运用平摆线和渐开线解决问题。

3．亲历平摆线和渐开线性质的探索过程，体验分析归纳得出平摆线和渐开线性质结论的过程，发展探究、交流能力。

【学习重难点】
重点：掌握平摆线和渐开线的定义。

难点：平摆线和渐开线性质的实际应用。

【学习过程】
一、新课学习
知识点一：平摆线
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫做平摆线。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．平摆线的定义是什么？
2.平摆线有什么作用？
2．知识点二：渐开线
在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹叫做渐开线。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．什么是渐开线？
2．渐开线有什么作用？
三、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？
四、习题检测
1．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为32mm，求齿廓线的渐开线的参数方程。

2．平面直角坐标系中，若圆的摆线过点（1,0），求这条摆线的参数方程。

§4 平摆线和渐开线1.平摆线定义一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线).当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(πr ，2r )，再滚动半周，点M 到达(2πr ，0)，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r ，最小值是0，即平摆线的拱高为2r . 2.平摆线轨迹的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （α－sin α），y ＝r （1－cos α）(－∞＜α＜＋∞，α为参数) 3.渐开线定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的基圆. 4.圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(其中φ为参数). 【思维导图】【知能要点】1.平摆线，平摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.题型一 平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点M 的起始位置是圆与定直线的切点O ，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B 作圆周运动.如果点M 绕圆心B 转过φ弧度后，圆与直线相切于A ，那么线段OA 的长等于AM ︵的弧长，即OA ＝rφ；点M 绕圆心B 运动一周回到切点的位置E ，那么OE 的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点M 的位置可以有圆心角φ惟一确定，因此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程. 解 根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)可知，只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π (k ∈Z )代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1. 所以r ＝12k π.又根据实际情况可知r 是圆的半径， 故r >0.所以，应有k >0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.所以，所求摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）(φ为参数) (其中k ∈N＋).【反思感悟】 本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面.1.圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ，圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹方程. 解 x M ＝r ·θ－r ·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（φ＋θ）－π2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋θ－π2 ＝r [1－cos(φ＋θ)].题型二 圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM 的长就是AB ︵的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.解 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角和向量知识，得OA→＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM → ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).又OM →＝(x ，y )，因此有⎩⎨⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ）这就是所求圆的渐开线的参数方程.【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y ). (2)取定运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到OM→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解 直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为：⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ） (φ是参数).【例3】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离.分析 首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φ sin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)， 分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16（13－63）π2－6π－363＋72.即点A 、B 之间的距离为 16（13－63）π2－6π－363＋72.【反思感悟】 对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋28π，22－28π1.若某圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ (φ为参数)，则此圆的方程是____________，对应的φ＝0的点的坐标是__________，对应的φ＝π2的点的坐标是________.答案 x 2＋y 2＝4 (2，0) (π，2)2.曲线⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φy ＝a sin φ－a cos φ(φ是参数)的形状为( )A.第一、三象限的平分线B.以原点为圆心，2|a |为半径的圆C.以(－a ，－a )，(a ，a )为端点的线段D.以(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的线段 解析 ⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φ＝a （－cos φ＋sin φ），y ＝a sin φ－a cos φ＝a （sin φ－cos φ），∴x －y ＝0，y ＝x . 但是x ＝a (－cos φ＋sin φ)＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin φ－22cos φ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ，－2|a |≤x ≤2|a |，∴对应的曲线为y ＝x (－2|a |≤x ≤2|a |)，亦即是以第一、三象限角平分线上的点(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的一段线段. 答案 D3.当φ＝π2·π时， 求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φyy ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B间的距离.解 φ＝π2代入渐开线方程，x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2， y ＝sin π2－π2cos π2＝1， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.同理x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π， 点B 的坐标为(－1，π). 即|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＋（π－1）2 ＝π24＋π＋1＋π2－2π＋1＝54π2－π＋2.一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C2.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1B. 2C.10D.3π2－1解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， ∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C 二、填空题4.渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________. 解析 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0). 答案 (63，0)和(－63，0)5.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________.解析 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换.答案 ⎩⎨⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ） (φ为参数)三、解答题6.有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程.解 如图：B 点坐标为(2aφ，2a )，MB→＝(a sin φ，a cos φ)，设OM→＝(x ，y )，OM →＝OB →＋BM →＝(2aφ，2a )＋(－a sin φ，－a cos φ)＝(2aφ－a sin φ，2a －a cos φ)，∴⎩⎨⎧x ＝a （2φ－sin φ），y ＝a （2－cos φ）. 7.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点.解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0) (k ∈Z ).8.设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解 轨迹曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ）(0≤t ≤2π). 即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤t ≤2π)的对称轴为x ＝8π.习题2－4 (第47页)A 组1.解 (1)取点A 的初始位置O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴，圆滚动的方向为正方向建立平面直角坐标系，设圆转动的角度α为参数，则点A 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝12（α－sin α），y ＝12（1－cos α）. (2)令y ＝0即cos α＝1，取α＝0，α＝2π，得点A 相邻两次着地点间的距离为24π. 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2252（cos φ＋φsin φ），y ＝2252（sin φ－φcos φ）(φ为参数)B 组解 如图，设圆的渐开线上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)，作直线MN 和基圆相切于点N ，连接OM ，ON ，以∠MON ＝α为参数，则在直角三角形OMN 中，cos α＝|ON ||OM |＝R ρ，所以，ρ＝R cos α. 又tan α＝|MN ||ON |＝AN ︵R ＝（θ＋α）RR ＝θ－α.所以θ＝tan α－α这就得到圆的渐开线的极坐标参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝R cos α，θ＝tan α－α(α为参数).。

第七课时 圆的渐开线与摆线一、教学目标：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：复习：圆的参数方程（二）、新课探析：1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）（三）、例题与训练题：例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。

变式训练2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3： 求摆线⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。

（四）、小结：本节课学习了以下内容：1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程；2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。