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ROBOTICS TEACHING PLAN-CH07(机器人学-动力学)20100117

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《机器人学导论》课程教学大纲

《机器人学导论》课程教学大纲

《机器人学导论》课程教学大纲课程名称：机器人学导论课程编号：BF（英文）：Introduction to Robotics先修课程：线性代数、机构学、自动控制适用专业：机械电子、机械工程及自动化开课系（所）：机械与动力工程学院机器人研究所教材和教学参考书：1．1．教材：机器人学、蔡自兴、清华大学出版社、20002．教学参考书: 机器人学导论，约翰J.克雷格、西北工业大学出版社、1987 注：上述教材和参考书将根据教材课购买情况可互换一、一、本课程的性质、地位、作用和任务面对21世纪知识经济时代的机遇与挑战，人类（地球人）正在以非凡的智慧构思新世纪的蓝图。

世界的明天将更加美好。

但是，地球人在发展中也面临着环境、人口、资源、战争和贫困等普遍问题，同时还要学会与机器人共处,这是21世纪地球人必须正视和处理的紧要问题，是影响地球人生存和发展的休戚与共的重大事件。

机器人学是一门高度交叉的前沿学科，机器人技术是集力学、机械学、生物学、人类学、计算机科学与工程、控制论与控制工程学、电子工程学、人工智能、社会学等多学科知识之大成，是一项综合性很强的新技术。

自第一台电子编程工业机器人问世以来，机器人学已取得令人瞩目的成就。

正如宋健教授1999年7月5日在国际自动控制联合会第14届大会报告中所指出的：“机器人学的进步和应用是本世纪自动控制最有说服力的成就，是当代最高意义上的自动化。

”机器人技术的出现与发展，不但使传统的工业生产面貌发生根本性的变化，而且将对人类的社会生活产生深远的影响。

二、二、本课程的教学内容和基本要求1．1．绪言简述机器人学的起源与发展，讨论机器人学的定义，分析机器人的特点、结构与分类。

2．2．机器人学的数学基础空间任意点的位置和姿态变换、坐标变换、齐次坐标变换、物体的变换和逆变换，以及通用旋转变换等。

3．3．机器人运动方程的表示与求解机械手运动姿态、方向角、运动位置和坐标的运动方程以及连杆变换矩阵的表示，欧拉变换、滚-仰-偏变换和球面变换等求解方法，机器人微分运动及其雅可比矩阵等4．4．机器人动力学机器人动力学方程、动态特性和静态特性；着重分析机械手动力学方程的两种求法，即拉格朗日功能平衡法和牛顿-欧拉动态平衡法；然后总结出建立拉格朗日方程的步骤5．5．机器人的控制机器人控制与规划6．6．机器人学的现状、未来包括国内外机器人技术和市场的发展现状和预测、21世纪机器人技术的发展趋势、我国新世纪机器人学的发展战略等。

机器人概论(2004版)7-第五章 操作臂动力学

机器人概论(2004版)7-第五章 操作臂动力学
（1）动力学基本理论：包括 牛顿－欧拉方程 （2）拉格朗日力学：特别是 拉格朗日方程
此外还有应用高斯原理、阿佩尔（Appel）方程式、旋量对 偶数法和凯恩（Kane）法等来分析动力学问题的。
2009-2-20
机电研究室－李挺 (http:// )
3
机器人概论
第五章 操作臂动力学
c1θ&12
+
1 2
c2θ&22
x
外力做的功W
θ
(x1, y1)
d1 m1
r2
W = T1θ1 + T2θ2
2009-2-20
机电研究室－李挺 (http:// )
θ2 d2
(x2, y2)
m2
11
机器人概论
第五章 操作臂动力学
牛顿-欧拉法求解动力学方程
d dt
(
∂K
∂θ&1
2m2 d1d 2
cosθ2 ]θ&&1
+
(m2d
2 2
+
m2 d1d 2
cosθ2 )θ&&2
+
c1θ&1
− 2m2d1d2 sinθ2θ&1θ&2 − m2d1d2 sinθ2θ&22 + (m1 + m2 )gd1 sinθ1 + m2 gd2 sin(θ1 +θ2 )
T2
=
(m2
d
2 2
+
m2 d1d 2
⎤ ⎥ ⎦
⎢⎣⎡θθ&&1222
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
D112 D212

机器人动力学课程1

机器人动力学课程1

第一章 绪 论
• 1.2.2 动态仿真和优化设计 1) 根据连杆质量、负载大小、传动机构特征进 行动态仿真。仿真结果可用于选择适当尺寸 的传动机构，指导机械结构设计。 2) 在上述仿真基础上进行运动参数和机构结构 的综合优化。一般指标和要求是：运动速度 高，但惯性小，结构轻便。— 广义惯性球 GIE 。
• • 1) 2) 3)
第二章 惯性参数
• 2.2 惯性参数的计算 • 2.2.1 质量 1) 对于具有 n个质点p1 , p2 KK, pn 的质点系 s， n mi 为质点 pi 的质量； 有 m = ∑ mi ， i =1 2) 对于质量均匀分布的规则物体，有 m = ∫v ρdv ρ — 密度。 • 2.2.2 质心及质心位置 Ø 质心定义— 外力作用线通过物体上的一定点 时，物体仅作平动；外力作用线不通过这个 定点时，整个物体为随这个点的平动和绕该
2 2 G = m y + z i ω x − ∑ mi xi yiω y − ∑ mi z i xiω z x ∑ i i i =1 i =1 i =1 n n n 2 2 G x = −∑ mi xi yiω x + ∑ mi zi + xi ω y − ∑ mi yi ziω z i =1 i =1 i =1 n n n G = − m z x ω − m y z ω + m x 2 + y 2 ω ∑ ∑ ∑ i i i x i i i y i i i z x i =1 i =1 i =1
第一章 绪 论
• 1.1 研究范围 • 1.1.1、机器人动力学正问题 例：单自由度弹性体振动微分方程：
m 其中， — 质量，c— 阻尼， k— 刚度系数， F— 主动力， x— 位置坐标。 Ø 基本定义：对于给定的一组关节力和力矩，求 关节位移、速度和加速度。主要用于机器人动 态仿真和动力学优化。求解微分方程组— 难。

青少年机器人二级教案设计

青少年机器人二级教案设计

青少年机器人二级教案设计Title: Teenage Robot Level 2 Lesson Plan Design。

Introduction:Welcome to the Teenage Robot Level 2 lesson plan design. In this lesson, we will focus on building upon the foundational knowledge and skills acquired in the Level 1 lesson plan. This lesson is designed for teenagers who have already completed the Level 1 curriculum and are ready to take their understanding of robotics to the next level. By the end of this lesson, students will have a deeper understanding of robotics and be able to apply their knowledge to more complex projects.Lesson Objectives:To deepen students' understanding of roboticsprinciples and concepts.To introduce more advanced programming and coding skills.To provide hands-on experience with building and programming robots.To encourage creativity and problem-solving skills through robotics projects.Lesson Outline:1. Review of Level 1 Concepts (30 minutes)。

第六章--机器人动力学-PPT

第六章--机器人动力学-PPT

2024/1/4
28
例6-4：
2024/1/4
2024/1/4
2024/1/4
2024/1/4
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2024/1/4
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2024/1/4
解： （3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，m2 5kg
由已知条件可得
0 r 2m m2 5kg
r 0 max 1s 2
则有
D 1
m1r12
m2r2
196 10 12 5 22 1
226kg m2 / s2
N
r
M
m2
r1
m1
o
2024/1/4
27
结果分析：
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
2024/1/4
6
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体 系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange 方程，其基本形式为
（1）正问题 （2）逆问题
2024/1/4
4
动力学的两个相反问题
动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
7

二自由度机械臂动力学分析

二自由度机械臂动力学分析

平面二自由度机械臂动力学分析姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。

动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。

拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。

经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。

关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程相关介绍机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日(Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。

欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。

在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。

在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类：1)给出已知轨迹点上•••θθθ、及、，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。

这对实现机器人动态控制是相当有用的。

2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。

也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动•••θθθ、及、。

这对模拟机器人的运动是非常有用的。

平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。

机器人动力学方程的具体推导过程如下：1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ⋅⋅⋅=θ。

2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。

机器人学基础(全套课件470P)

机器人学基础
Fundamentals of Robotics
智能科学基础系列课0
Fundamentals of Robotics
1
Ch. 1 Introduction 第1章 绪 论
Ch. 1 Introduction
2
Contents
Course Schedule Top 10 Robotics News of 2008 Development of Robotics Structure, Feature, and Classification of
讲授
2 讲授
2 课堂 报告
2 实验
9
教学进度安排（3）
月 日 周次 4 20 8
教学内容 机器人编程
教学 时数
2
教学 课外 备 方式 时数 注
讲授 2
4 23 8
机器人编程训练
2 训练
4 27 9 综合实验:智能机器人的路 2 综合
径规划与行为决策实验
实验
4 30 9
机器人应用
2 讲授
5 4 10
Ch. 1 Introduction
17
2 Robot ride on a wheelbarrow
➢ In September 2008 Japanese Murata Manufacturing Institute launched a new type of robot riding on a wheelbarrow, named "seiko". This new type of robot can maintain its balance through a series of sensors and gyroscopes, and easy to complete riding of a wheelbarrow.

工业机器人技术学习目标计划

工业机器人技术学习目标计划(中英文实用版)Task Title: Industrial Robot Technology Learning Objectives Plan工业机器人技术是现代制造业的重要组成部分，对于提高生产效率和产品质量具有重要意义。

为了系统地学习这一技术，我们需要制定一个明确的学习目标计划。

Industrial robot technology is a key component of modern manufacturing, which plays a significant role in improving production efficiency and product quality.In order to systematically learn this technology, we need to develop a clear learning objectives plan.首先，我们需要了解工业机器人的基本概念、分类和应用领域。

这包括了解机器人的机械结构、控制系统以及编程语言。

Firstly, we need to understand the basic concepts, classifications, and application fields of industrial robots.This includes understanding the mechanical structure, control systems, and programming languages of robots.其次，我们需要学习工业机器人的编程和操作技能。

这包括掌握机器人编程软件的使用、编写控制程序以及进行故障排查和维护。

Secondly, we need to learn the programming and operation skills of industrial robots.This includes mastering the use of robot programming software, writing control programs, and troubleshooting and maintenance.接下来，我们需要深入了解工业机器人在实际生产中的应用。

《机器人学》教学大纲

《机器人学》课程教学大纲、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标:机器人学是智能制造工程专业培养计划中一门高度交叉、前沿的重要专业必修课程，融合了运动学/动力学分析、机械学、控制理论与工程、计算机技术、人工智能等多学科内容的综合性新技术应用课程.通过该课程的学习，使学生了解并掌握机器人学相关的基本理论和方法，具有现代机器人系统设计、分析、应用等基本能力和以后从事相关科学研究和技术工作的能力。

本课程针对智能制造工程专业的特点，主要介绍机器人数学基础、工业机器人、服务机播人的基本机械结构设计、运动学与动力学分析，以及机器人传感器和控制技术等基础理论和技术基础知识，并以实际工程应用为背景，安排各类机器人实样参观、专题讲座、实验等内容。

通过本课程教学，不但使学生掌握机器人技术的基本理论知识，使学生对各类机器人技术和开发方法有所了解，同时通过课程设计等活动培养其在逻辑思维、科学研究和设计实践上的能力，从而培养学生综合运用机器人技术解决智能制造领域实际工程问题的能力。

（二）课程目标：课程目标1：学习并掌握现代机器人的基本理论及方法，具有应用机器人解决工程问题的创新意识和能力；（支撑毕业要求1）课程目标2：学习并掌握工业机器人、服务机器人的状态检测和控制技术，具有利用先进控制理论和方法进行机器人控制并完成具体工程应用的能力；（支撑毕业要求2）课程目标3：学习并掌握现代机器人的总体设计、技术设计和详细结构设计及控制系统设计等内容,具有根据实际工程问题设计相应机器人解决方案的能力：（支撑毕业要求3）课程目标4：评定方法包括课后作业（15%）、实验（20%）、项目研究（15%）和期末考试（50%）环节,总评成绩以百分计，满分100分，各考核环节所占分值比例和根据具体情况微调。

2.（三）评分标准通过机器人的实验，获得相关实验设计和实验技能的基本训练，具有应用相关实验方法解决实际工程问题的能力。

（支撑毕业要求5）（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第1章：绪论（3学时）通过本章内容的教学，使学生了解机器人学的起源与发展，讨论机器人学的定义，分析机器人的特点、结构与分类。

机器人(Robotics)与人工智能( Artificial Intelligence)到底是个啥呢？

机器人（Robotics）与人工智能（Artificial Intelligence）到底是个啥呢？大数据的浪潮开始没多久，机器人和人工智能专业就以迅雷不及掩耳之势占据了留学的热门专业大榜，工程类专业的留学意向者中有一半左右都说“老师，我想申请美国的机器人专业或者人工智能”，那么问题来了：请问你知道美国的机器人/人工智能是什么专业呢？他们有什么区别？有哪些学校设置这类专业的学位课程？今天，小编将带你揭开机器人和人工智能的神秘面纱。

什么是人工智能（Artificial Intelligence）？人工智能这个术语最初是由约翰.麦卡锡（John McCarthy）编写的一种名为LISPAI编程语言信息来源：/technology/difference-between-robots-and-artificial-intellige nce/生硬的文字或许很难理解这两个根本上的差异，在此小编以美国西北大学为例详细讲解，希McCormick School of Engineering & Applied Science 麦考克工程与应用科学学院Electrical Engineering and Computer Science电子工程和计算机科学下设3个大部：ElectricalEngineeringDivisionComputerEngineeringDivisionComputerScienceDivisionComputer Engineeringdivision：Computer architectureComputer-aided designMobile systemsParallel processingHardware softwareinteractionVLSI designEmbedded systemsSystems simulationRoboticsLarge-scale systems翻译：计算机工程方向：计算机架构计算机辅助设计移动系统并行处理硬件软件交互VLSI设计嵌入式系统系统仿真机器人大型系统http://www.mccormick.northwester/eecs/computer-engineering/graduate/Computer Science division：Systems and NetworkingTheoryArtificial Intelligence andMachine LearningHuman-Computer InteractionGraphicsRoboticsCS+X翻译：计算机科学方向：系统和网络理论人工智能和机器学习人机交互图像学机器人计算机科学+ 其他学科http://www.mccormick.northwester/eecs/computer-science/graduate/美国西北大学的麦考克工程与应用科学学院是美国的顶尖工程学院之一，2019年USNEWS排第20位，学院致力于用创新的教育计划激发学生的全脑性思维，促进教育和研究。

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二连杆机械手的动能与位能(续1) 再求连杆2的动能K2和位能P2：
二连杆机械手的动能与位能(续2)
这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为：
三、动力学方程的两种求法
1、拉格朗日功能平衡法 二连杆机械手系统的拉格朗日函数L：
对 L 求偏 导数 和导 数
1、拉格朗日功能平衡法
以 及
动 力 学 方 程 式
当qi=θ2时：
把 上 列各 式 代 入 (9.2.26) ， 并化简得：
§7.3 机械手动力学方程
在分析简单的二连杆机械手系统的基础上，我们进而分 析由一组A变换描述的任何机械手，求出其动力学方程。 推导过程分五步进行：
（1）计算任一连杆上任一点的速度；
（2）计算各连杆的动能和机械手的总动能； （3）计算各连杆的位能和机械手的总位能； （4）建立机械手系统的拉格朗日函数； （5）对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程式。
Chapt.7 机器人动力学
张建瓴
研究内容
机器人的动力学方程：动力学方程的建立
§7.1 引言
从控制观点来看，机械手系统代表冗余的、多变量的 和本质非线性的自动控制系统，也是个复杂的动力学 耦合系统。每个控制任务本身，就是一个动力学任务。 因此，研究机器人机械手的动力学问题，就是为了进 一步讨论控制问题。 机器人的操作臂是一个复杂的动力学系统，存在严重 的非线性，具有多输入和多输出的特点，并且存在复 杂的偶合关系。
至此，求得关于K、P、D和W的四个标量方程式。有了这四个 方程式，就能够按式(9.2.26)求出系统的动力学方程式。为此， 先求有关导数和偏导数。
2、牛顿-欧拉动态平衡法(续3)
当qi=θ1时：
把所求得的上列各 导 数 代 人 式 (9.2.26) ， 经合并整理可得：
2、牛顿-欧拉动态平衡法(续4)
机械手动力学方程
图7-4表示一个四连杆机械手的 结构。 先求得此机械手某个连杆（例 如连杆3）上某一点（如点 P ） 的速度、质点和机械手的动能 与位能、拉格朗日算子，再求 系统的动力学方程式。然后， 由特殊到一般，导出任何机械 手的速度、动能、位能和动力 学方程的一般表达式。
图9-4 四连杆机械手
rp为质心矢量，以及
如果设定上式中非对角线各惯量项为0，即为一个正态假设，那么式
(4.31)进一步简化为：
1、惯量项Dij的简化(续3)
由式(9.3.50)可见，Dij 和式的每一元是由三组项组成的。其第一
组项
p
2 ixk pxx 表示质量mp在连杆p上的分布作用。第二组项表
p 示连杆p质量的分布，记为有效力矩臂pdi·dj。最后一组项是由于
根据理论力学或物理学可知，物体的转动惯量、矢量积以及 一阶矩量为
二、动能和位能的计算(续3)
如果令：
于是可把Ii表示为：
二、动能和位能的计算(续4)
具有n个连杆的机械 手总的动能为： 此外，连杆i的传动装置动能为：
式中：Iai为传动装置的等效转动惯量，对于平动关节，Iai为等 效质量；为关节i的速度。
二、研究机器人动力学的目的
1、实时控制
2、路径控制仿真
三、动力学问题的类型
对于机器人动力学，有两个相反的问题： （1）已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的 位移、速度和加速度，求得运动轨迹； （2）已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度 和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。 第一个问题称为动力学正问题，第二个问题称为动力学 逆问题。一般的操作机器人的动态方程由六个非线性微 分联立方程表示。实际上，除了一些比较简单的情况外， 这些方程式是不可能求得一般解答的。
三、动力学方程的推导
据 式 (9.1.1) 求 拉 格朗日函数
再据式(9.1.2)求 动力学方程。 先求导数
据式(9.3.18)知，Ii为对称矩阵，即 I iT I i ，所以下式成立
三、动力学方程的推导(续1)
当p>i时，后面连杆变量qp 对前面 各连杆不产生影响，即Ti/qp=0， p>i。这样可得：
P 1 k ( x1 x0 ) 2 M 1 gx1 M 0 gx0 2
式中：K、P、D和W分别表示物体的动能、位能，所消耗的 能量和外力所做的功，M0和M1为支架和运动物体的质量。
1、x0=0，x1为广义坐标
其中：左式第一项为动能随速度和时间的变化；第二项 为动能随位置的变化；第三项为能耗随速度的变化；第 四项为位能随位置的变化。右式为实际外加力或力矩。 代入相应各项的表达式，并化简可得
对于连杆i上任一点的速度为：
P点的加速度：
速度的平方：
一、速度的计算(续2)
对于任一机械手上一点的速度平方为对于任一机械手上一点的速度平 方为：
式中：Trace表示矩阵的迹。对于n阶方程来说，其迹即 为它的主对角线上各元素之和。
二、动能和位能的计算
令连杆3上任一质点P的 质量为dm，则其动能为：
拉格朗日方程
由于势能P往往不显含 qi (i 1, 2 n) ，因此（9.2.2） 式可以写成：
Ek E p d Ek ( ) Fi dt qi qi qi
（9.2.3）
一、刚体的动能和位能
如图所示为一般物体平动时 所具有的动能和位能：
1 1 2 2 K M 1 x1 M 0 x0 2 2
所有关节的传动装置总动能为：
于是得到机械手系统（包括传动装置）的总动能为：
二、动能和位能的计算(续5)
下面再来计算机械手的位能。如所周知，一个在高度h处质量为m的 物体，其位能为：
P=mgh 连杆i上位置ir处的质点dm，其位能为： （9.3.23）
式中：
其中：mi为连杆i的质量；iri为连杆i相对于其前端关节坐标系的重心位置。 由于传动装置的重力作用Pai 一般是很小的，可以略之不计，所以，机 械手系统的总位能为：
这中间三项是由式(3.79)、(4.18)和式(3.79)的转置得到的。它们相乘所得矩阵的底行及右
T 列各元均为零。它们左乘Tp和右乘 Tp 时，只用到Tp变换的旋转部分。在这种运算下，矩
阵的迹为不变式。因此，只需要上述表达式中间三项的迹，它的简化矢量形式为：
1、惯量项Dij的简化(续2)
式中：
p
质量m1和m2的位置矢量r1和r2（见图9-3）为
图7-3 二连杆机械手（3）
2、牛顿-欧拉动态平衡法(续1)
速度矢量v1和v2：
再求速度的平方，计算结果得：
于是可得系统动能：
2、牛顿-欧拉动态平衡法(续2)
系统的位能随r的增大（位置下降）而减少。我们以坐标 原点为参考点进行计算。
系统能耗：
外力矩所做的功：
拉格朗日功能平衡法(续1)
上式的一般形式和矩阵形式：
式中：Dii称为关节i的有效惯量；Dij称为关节i和j间耦合惯
量；Dijki2 项是向心力；(Dijk jk Dikjk j ) 项是哥氏力；Di表示
关节i处的重力。
拉格朗日功能平衡法(续2)
有效惯量
耦合惯量
向 心 加 速 度 系 数
因为： 所以
三、动力学方程的推导(续2)
再求L/qp项
在上列两式运算中，交换第二项和式的哑元j和k，然后与第一项和式 合并，获得化简式。把上述两式代入(9.1.2)的右式得：
交换上列各和式中的哑元，以i代替p， 以j代替i，以m代替j即可得具有n个 连杆的机械手系统动力学方程如下：
三、动力学方程的推导(续3)
一、速度的计算
图9-4中连杆3上点P的位置为：
式中：0rp为总（基）坐标系中的位置矢 量； 3rp 为局部（相对关节O3 ）坐标系 中的位置矢量；T3为变换矩阵，包括旋 转变换和平移变换。 对于任一连杆i上的一点，其位置为： 图9-4 四连杆机械手
点P的速度为：
式中：
一、速度的计算(续1)
所以有：
表示为一般形式：
2、x0=0，x0和x1均为广义坐标
这时有：
或用矩阵形式表示为：
二、二连杆机械手的动能与位能
考虑二连杆机械手（见图）的动能和 位能。图中，T1 和T2 为转矩，m1 和m2 为连杆1和连杆2的质量，且以连杆末 端的点质量表示；d1 和d2 分别为两连 杆的长度，θ1和θ2为广义坐标；g为重 力加速度。 先计算连杆1的动能K1和位能P1：
对于旋转关节，据式
(3.93)可得微分平移矢量
和微分旋转矢量如下：
上式中采用了下列缩写：把
Tp
d i写为pdi，把 T n写成i-1np，等等。
i 1
对于棱柱（平移）关节，据式(3.94)可得各矢量为：
以式(9.3.40)代入式(9.3.36)得：
1、惯量项Dij的简化(续1)
对上式中间三项 展开得：
§7.2 刚体动力学
对于任意一个机械系统，拉格郎日函数L定义为系统的 动能K和势能P之差，即： L=K–P （9.2.1） 其中：K和P可以用任何方便的坐标系来表示。 系统的动力学方程，即第二类拉格朗日方程为：
d L L ( ) Fi （i=1,2,…,n） dt qi qi
（9.2.2）
2、惯量项Dii的简化(续1)
正如式(4.32)一样，Dii和式的每个元也是由三个项组 p 成的。如果为棱柱关节，pδi=0，pdi·di=1，那么
3、重力项Di的化简
以式(4.28)代入式(4.27)，得：
把Tp分离为Ti-1i-1Tp，并用 并用后乘pΔi，得：
i 1
Tp1 i 1Tp后乘pΔi，得把Tp分离为Ti-1i-1Tp，
连杆p的质心不在连杆p的坐标系原点而产生的。当各连杆的质心 相距较大时，上述第二部分的项将起主要作用，而且可以忽略去 第一组项和第三组项的影响。